Einführung in die Physik I Kinematik der Massenpunkte

Einführung in die Physik I
Kinematik der Massenpunkte
O. von der Lühe und U. Landgraf
Ort und Geschwindigkeit
•
Wir betrachten den Ort eines als
punktförmig angenommenen
Körpers im Raum als Funktion der
Zeit
0
•
x
Ort
Eindimensionale Position x
Ort
•
•
Verändert der Körper seinen Ort
im Laufe der Zeit t, so wird x eine
Funktion der Zeit: x = x(t)
x
Δx
Die Geschwindigkeit v ist die
Änderung des Ortes mit der Zeit.
Δt
0
Kinematik
t
Zeit
2
Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung
•
Ein ruhendes Objekt verändert
den Ort nicht mit der Zeit
Steigung = 0
Ort
0
Zeit
t
•
Ein gleichförmig bewegtes
Objekt hat eine konstante
Geschwindigkeit v. Die Ableitung
von x(t) nach der Zeit t ist überall
gleich groß
Steigung > 0
Steigung < 0
Ort
0
Zeit
•
Ein nicht gleichförmig
bewegtes Objekt unterliegt einer
Beschleunigung a . Die
Geschwindigkeit ist eine Funktion
der Zeit v = v(t)
Ort
Steigung ist
variabel
0
Zeit
Kinematik
3
Mathematische Formulierung
•
Die Geschwindigkeit v wird mathematisch ausgedrückt durch die
Ableitung des Orts x(t) nach der Zeit
v=
•
•
d x(t )
dt
Für ein nicht gleichförmig bewegten Körper ist die Geschwindigkeit
ebenfalls eine Funktion der Zeit: v = v(t)
Die Beschleunigung a wird mathematisch ausgedrückt durch die
Ableitung der Geschwindigkeit v(t) nach der Zeit. Sie entspricht der
zweiten Ableitung des Orts nach der Zeit
d v(t ) d 2 x(t )
a=
=
dt
dt 2
•
Ist die Beschleunigung a konstant, so wird der Körper gleichförmig
beschleunigt
Kinematik
4
Einheiten von Geschwindigkeit und
Beschleunigung
•
•
•
•
•
Die Einheit der Geschwindigkeit ist „Änderung einer Länge“
(gemessen in [m]) dividiert durch „Änderung der Zeit“
(gemessen in [s])
Einheit von v ist [m s-1]
Die Einheit der Beschleunigung ist „Änderung einer
Geschwindigkeit “ (gemessen in [m s-1]) dividiert durch
„Änderung der Zeit“ (gemessen in [s])
Einheit von a ist [m s-2]
Merkregel: bei jeder Ableitung ergibt sich die Einheit des
Ergebnisses aus der Einheit der abgeleiteten Funktion dividiert
durch die Einheit der Größe, nach welcher abgeleitet wird
Kinematik
5
Beispiel: freier Fall
•
•
•
Als „freien Fall“ bezeichnet man die Bewegung eines Körpers unter
dem Einfluss einer konstanten Beschleunigung, d.h. die Bewegung
eines gleichförmig beschleunigten Körpers.
Bekanntestes Beispiel ist ein im Gravitationsfeld der Erde fallen
gelassener Körper
In der Nähe des Erdbodens ist die vom Gravitationsfeld bewirkte
Beschleunigung konstant:
[
g = 9.80665 m s −1
•
]
Konventionell wird der Ort als „Höhe“ z, mit positiver Richtung nach
oben gemessen; daher muss g ein negatives Vorzeichen haben
Kinematik
6
Berechnung der Höhe beim freien Fall
•
Zu einem Zeitpunkt t = 0 wird der Körper losgelassen. Für diesen
Zeitpunkt gilt:
z (0) = z0
v(0) = 0
•
•
Nach einer Zeit Δt beträgt die Geschwindigkeit v(Δt ) = -g·Δt, nach
der doppelten Zeit ist v(2Δt ) = -2g·Δt, usw.
Allgemein kann v(t) durch Integration der Beschleunigung über die
Zeit für einen beliebigen Zeitpunkt t > 0 ermittelt werden:
v(t ) =
t
t
0
0
t
′
′
′
(
)
1
−
g
d
t
=
−
g
d
t
=
−
g
0 [t ] = − g ⋅ t + g ⋅ 0
∫
∫
= − gt
Kinematik
7
Berechnung der Höhe beim freien Fall
Die Höhe z(t) zum Zeitpunkt t kann durch Integration der
Geschwindigkeit v(t) ermittelt werden:
Freier Fall aus 100 m Höhe
100
t
z (t ) = z0 + ∫ v(t ′) dt ′
80
0
t
t
= z0 + ∫ (− gt ′) dt ′ = z0 − g ∫ t ′ dt ′
0
0
t
1
1
⎡1 ⎤
= z0 − g ⎢ t ′2 ⎥ = z0 − g ⋅ t 2 + g ⋅ 0
2
2
⎦
0 ⎣2
1
= z0 − gt 2
2
60
Höhe [m]
•
40
20
0
0
1
2
3
4
Zeit [s]
Kinematik
8
Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit
•
Hat der Körper zu Beginn des Falls eine Anfangsgeschwindigkeit
v(0) = v0, so gilt für die Geschwindigkeit
t
v(t ) = v0 + ∫ (− g ) dt ′ = v0 − gt
0
•
Dann ergibt sich die Höhe z als Funktion der Zeit
t
t
0
0
z (t ) = z0 + ∫ v(t ′) dt ′ = z0 + ∫ (v0 − gt ′) dt ′
t
t
0
0
= z0 + ∫ v0 dt ′ − g ∫ t ′ dt ′
1 2
= z0 + v0t − gt
2
Kinematik
9
Bewegungen in mehreren Dimensionen
•
•
•
•
In der Welt unserer Erfahrung werden
Orte und Strecken im Raum durch die
Angabe von drei Längen festgelegt –
Länge, Breite, Höhe
Zur Angabe von Orten benötigt man
ein Koordinatensystem
Viele physikalische Probleme lassen
sich bequem im Cartesischen
Koordinaten (nach René Descartes,
1596 – 1650) darstellen
Darstellung des Ortes durch einen
Vektor
Kinematik
z
x
y
⎛ x ⎞ ⎛ x(t ) ⎞
r ⎜ ⎟ ⎜
⎟
X = ⎜ y ⎟ = ⎜ y (t )⎟
⎜ z ⎟ ⎜ z (t ) ⎟
⎠
⎝ ⎠ ⎝
10
Berechnungen mit Koordinatenvektoren
•
Addition und Subtraktion
•
skalares Produkt
•
Skalarprodukt
•
⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x1 + x2 ⎞
r
r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
X 1 + X 2 = ⎜ y1 ⎟ + ⎜ y2 ⎟ = ⎜ y1 + y2 ⎟
⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎜z +z ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1 2 ⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x1 − x2 ⎞
r
r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
X 1 − X 2 = ⎜ y1 ⎟ − ⎜ y2 ⎟ = ⎜ y1 − y2 ⎟
⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎜z −z ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1 2 ⎠
⎛a⋅x⎞
r ⎜
⎟
a⋅ X = ⎜a⋅ y⎟
⎜a⋅z⎟
⎝
⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞
r r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
X 1 ⋅ X 2 = ⎜ y1 ⎟ ⋅ ⎜ y2 ⎟ = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2
⎜z ⎟ ⎜z ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
r
X =
Betrag
Kinematik
r r
X ⋅X =
x2 + y2 + z 2
11
Geschwindigkeit und Beschleunigung
in mehreren Dimensionen
•
•
Die Geschwindigkeit gibt die
Änderung des Ortes mit der Zeit für
jede Richtung im Koordinatensystem
unabhängig an, und kann daher auch
als Vektor mit drei Komponenten
dargestellt werden
Dasselbe gilt für die Beschleunigung.
Sie gibt die Änderung der
Geschwindigkeit mit der Zeit für jede
Richtung unabhängig an.
Kinematik
⎛v ⎞
r ⎜ x⎟
V = ⎜ vy ⎟
⎜v ⎟
⎝ z⎠
⎛ dx(t ) ⎞
⎟
⎜
dt
⎟
⎜
(
)
dy
t
⎟
=⎜
⎜ dt ⎟
⎜ dz (t ) ⎟
⎟
⎜
dt
⎠
⎝
⎛a ⎞
r ⎜ x⎟
A = ⎜ ay ⎟
⎜a ⎟
⎝ z⎠
2
⎛ dv x ⎞ ⎛ d x(t ) ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
2
⎟
⎜ dt ⎟ ⎜ dt
2
dv y ⎟ ⎜ d y (t ) ⎟
⎜
=⎜
=⎜
⎟
dt 2 ⎟
dt
⎜ dv ⎟ ⎜ d 2 z (t ) ⎟
⎟
⎜⎜ z ⎟⎟ ⎜⎜
2 ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
12
Beispiel: der schiefe Wurf
•
•
In diesem Beispiel ist der zeitliche Verlauf des Ortes eines im
Schwerefeld der Erde geworfenen Körpers für jede der drei
Raumrichtungen anders
Wir nehmen an, dass der Körper zum Zeitpunkt t = 0 vom Ursprung
des Koordinatensystems schräg in die Richtung der x-Achse und
nach oben (Richtung der z-Achse) geworfen wird
•
Die Anfangsbedingungen lauten somit
•
Die Beschleunigung wirkt nur in
Richtung der z-Achse
Kinematik
⎛ 0⎞
r
⎜ ⎟
X (0 ) = ⎜ 0 ⎟,
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ vx0 ⎞
r
⎜ ⎟
V (0 ) = ⎜ 0 ⎟
⎜v ⎟
⎝ z0 ⎠
⎛ 0 ⎞
r ⎜
⎟
A=⎜ 0 ⎟
⎜− g ⎟
⎠
⎝
13
Beispiel: der schiefe Wurf
•
•
•
•
•
r
Gesucht ist das Zeitgesetz für den Ort in den drei Raumrichtungen X (t )
Für jede Richtung müssen Beschleunigung und Geschwindigkeit
integriert werden
In Richtung der y-Achse sind die Anfangsgeschwindigkeit und die
Beschleunigung gleich Null. Die Lage des Körpers erfährt in dieser
Richtung keine Änderung mit der Zeit. Damit ist die Position des
Körpers in der y-Richtung gleich der Position für t = 0, d.h., y(t) = 0
In der Richtung der x-Achse hat der Körper die Anfangsgeschwindigkeit vx0. Da die Beschleunigung in diese Richtung ebenfalls Null ist,
gilt x(t) = vx0·t
Das Problem in der Richtung der z-Achse wurde schon für den freien
Fall gelöst
vx 0 ⋅ t
⎛ x(t ) ⎞ ⎛
⎞
r
⎜
⎟ ⎜
⎟
X (t ) = ⎜ y (t )⎟ = ⎜
0
⎟
⎜ z (t ) ⎟ ⎜ v ⋅ t − 1 2 g ⋅ t 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝ z0
⎠
Kinematik
14
Darstellung Schiefer Wurf
vx0 = 10 [m s-1]
vz0 = 30 [m s-1]
Kinematik
15
Die Kreisbewegung
•
Kreisbewegung:
– Bewegung eines Körpers mit
konstantem Abstand r zum
Mittelpunkt M des Kreises
– Veränderlicher Winkel ϑ(t)
mit einer Referenzrichtung
(z.B. X-Achse)
•
Die Winkelgeschwindigkeit
ist die Änderung des Winkels
ϑ mit der Zeit
Y
ϑ
X
d ϑ (t )
ω=
dt
•
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist
[Umdrehung pro Sekunde]
oder [s-1]
Kinematik
16
Die Kreisbewegung
•
Die momentane Geschwindigkeit
v des Körpers
– ist tangential zum Kreis
– steht senkrecht auf der
Verbindungslinie vom
Kreismittelpunkt zum Körper
•
r
v
●
Ortsvektor
– verbindet Kreismittelpunkt mit dem
momentanen Ort des sich
bewegenden Körpers
– hat konstante Länge r
•
Y
X
Betrag der momentanen
Geschwindigkeit
r
r dϑ r
v = ω⋅ r =
⋅r
dt
Kinematik
17
Mathematischer Umweg: das Vektorprodukt
•
r r
r
X1 × X 2 = X 3
•
•
•
r
X3
Mithilfe des Vektorprodukts
(Kreuzprodukt) wird aus zwei
Vektoren ein dritter Vektor
gebildet, der zu beiden anderen
senkrecht steht
r
X2
r
r r
X 3 = X 1 ⋅ X 2 ⋅ sin (α )
Rechte-Hand-Regel bestimmt die
Richtung des Ergebnisvektors
Das Vektorprodukt ist nicht
kommutativ
Sind zwei Vektoren parallel
zueinander, verschwindet ihr
Vektorprodukt
Kinematik
α
r
X1
r r
r
r
X1 × X 2 = − X 2 × X1
⎛ x3 ⎞ ⎛ y1 z 2 − z1 y2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ y3 ⎟ = ⎜ x1 z 2 − z1 x2 ⎟
⎜z ⎟ ⎜x y − y x ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 1 2 1 2⎠
18
Die Kreisbewegung
•
Darstellung der Winkelgeschwindigkeit als Vektor:
– Steht senkrecht auf Ortsvektor
und Geschwindigkeitsvektor
– Liegt in Richtung der
Drehachse
r r r
v = ω×r
⎛ x⎞
⎛ vx ⎞
⎛0⎞
r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟
r = ⎜ y ⎟, v = ⎜ v y ⎟, ω = ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ω ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Kinematik
r
ω
r
v
r
r
⎛ r ⋅ cos(ϑ (t ))⎞
⎜
⎟
r
r (t ) = ⎜ r ⋅ sin (ϑ (t )) ⎟
⎜
⎟
0
⎝
⎠
19
Die gleichförmige Kreisbewegung
•
Ist die Winkelgeschwindigkeit
konstant, dann ist die
Kreisbewegung gleichförmig
ϑ (t ) = ω ⋅ t
r
ω
r
v
r
r
⎛ r ⋅ cos(ωt )⎞
⎟
r ⎜
r = ⎜ r ⋅ sin (ωt ) ⎟
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛ r ⋅ cos(ωt )⎞ ⎛ − rω sin (ωt )⎞
⎟ ⎜
⎟
r d ⎜
v = ⎜ r ⋅ sin (ωt ) ⎟ = ⎜ rω cos(ωt ) ⎟
dt ⎜
⎟ ⎜
⎟
0
0
⎝
⎠ ⎝
⎠
Kinematik
20
Beschleunigung auf der Kreisbahn
•
Da die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zeitabhängig ist, gibt es eine
Beschleunigung
⎛ − rω sin (ωt )⎞
r
⎟
r dv
d ⎜
a=
= ⎜ rω cos(ωt ) ⎟
dt
dt ⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛ − r ⋅ ω 2 ⋅ cos(ωt )⎞
⎟
⎜
r
2
= ⎜ − r ⋅ ω ⋅ sin (ωt ) ⎟ = − ω 2 ⋅ r
⎟
⎜
0
⎠
⎝
•
r
ω
r
v
r
r r
a
Die Beschleunigung ist dem
Radiusvektor entgegengesetzt parallel Zentripetalbeschleunigung
Kinematik
21
Harmonische Schwingung
•
Viele Bewegungen lassen sich
als Schwingungen darstellen
– Gebundene Bewegung um eine
Ruhelage
– „Harmonische Bewegung“ –
Darstellung durch eine Sinusoder Kosinusfunktion der Zeit t
– Begrenzte Amplitude r
•
•
Eine harmonische Schwingung
ist eine Kreisbewegung „von der
Seite betrachtet“
Ort und Beschleunigung sind
proportional zueinander –
Differentialgleichung für
harmonische Schwingungen
(zwei Schreibweisen)
Kinematik
x(t ) = r ⋅ sin (ωt )
dx(t )
dt
d 2 x(t )
2
a (t ) = − r ⋅ ω ⋅ sin (ωt ) =
dt 2
v(t ) = r ⋅ ω ⋅ cos(ωt ) =
d 2 x(t )
2
+
ω
⋅ x(t ) = 0
2
dt
&x&(t ) + ω 2 x(t ) = 0
22
Harmonische Schwingung –
Frequenz und Kreisfrequenz
•
Kreisfrequenz ω:
– Winkel ϑ im Bogenmaß
– Eine Umdrehung entspricht 2π
– Einheit [s-1]
•
Frequenz ν:
– Inverse Länge der Periode der Schwingung in [s]
– Eine Umdrehung entspricht einer Periode
– Einheit [s-1] oder Hertz [Hz]
x(t ) = r ⋅ sin (ω ⋅ t ) = r ⋅ sin (2π ⋅ν ⋅ t )
ω = 2π ⋅ν
Kinematik
23
Harmonische Schwingung
Harmonische Schwingung
1.5
10
1
Geschwindigkeit [m s^-1]
5
Ort [m]
0.5
0
0
0.5
5
1
1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
10
Zeit [s]
Ort
Geschwindigkeit
Kinematik
24
Harmonische Schwingung
Harmonische Schwingung
1.5
40
1
Beschleunigung [m s^-2]
20
Ort [m]
0.5
0
0
0.5
20
1
1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
40
Zeit [s]
Ort
Beschleunigung
Kinematik
25