Mechanik - Kinematik

Compendio „Mechanik“ - Teil B: Kinematik
Zusammenfassung
1) Bewegung, Bezugssystem:
In der Kinematik werden Bewegungen von Objekten mathematisch beschrieben. Eine Bewegung (Ortsveränderung in einem bestimmten Zeitintervall) wird innerhalb eines Bezugssytemes (Koordinatensystem) beschrieben. Bewegungen sind immer relativ. Die Objekte
werden vorerst vereinfacht als Massenpunkte (= Modell) angenommen.
2) Geschwindigkeit, geradlinig gleichförmige Bewegung:
Als Geschwindigkeit definieren wir den Ausdruck (Ortsveränderung ∆s pro Zeit ∆t):
v=
∆s s 2 − s1
=
∆t
t 2 − t1
[v] = 1 m / s
Umrechnung: 1 m/s = 3600 m/h = 3.6 km/h
Die einfachste Bewegungsart ist die sogenannte geradlinig gleichförmige Bewegung. Der
Massenpunkt bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Es gilt:
Zurückgelegter Weg s: s = v⋅t , Geschwindigkeit v: v = konstant
3) Ungleichförmige Bewegung:
Falls sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert, so ergibt der Quotient v =
∆s
die soge∆t
nannte mittlere Geschwindigkeit v .
4) Beschleunigung, geradlinig gleichmässig beschleunigte Bewegung:
Unter der Beschleunigung a (engl. acceleration) verstehen wir die Geschwindigkeitsänderung ∆v pro Zeit ∆t:
∆v v 2 − v1
m/s
a=
=
[a] = 1
= 1m / s 2
∆t
t 2 − t1
s
Die Beschleunigung gibt an, um wie viele m/s die Geschwindigkeit in 1 s ändert.
Bei einer gleichmässig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant.
Speziell für Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 und Startpunkt bei s0 = 0:
Zurückgelegter Weg s:
s = 1/2⋅a⋅t2
Momentane Geschwindigkeit v:
v = a ⋅t
wobei a = konstant
5) Grafische Darstellung von Bewegungen:
s-t-Diagramm (Ort ↔ Zeit): Die Steigung der Kurve ergibt die Geschwindigkeit.
v-t-Diagramm (Geschw. ↔ Zeit): Die Kurvensteigung ergibt die Beschleunigung.
Im v-t-Diagramm ergibt sich der zurückgelegte Weg aus der Fläche unter der Kurve.
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6) Allgemeinfall der gleichmässig beschleunigten Bewegung: (Fundamentum S.81)
Bei einer gleichmässig beschleunigten Bewegung mit Anfangsdistanz s0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 gelten folgende Formeln:
1
s = s(t) = s0 + v0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t2 oder
Wegstrecke s:
2
v2 = v0 2 + 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 )
Momentangeschwindigkeit v:
v = v(t) = v 0 + a ⋅ t
Beim Beschleunigen (Abbremsen) ist die Beschleunigung a positiv (negativ) !
Bsp: • freier Fall ohne Luftwiderstand (a=g=9.81 m/s2, Fallbeschl. g für alle Körper gleich !)
• Körper rollt/gleitet Hang mit konst. Neigung hinunter → a konstant
7) Vektoren:
Viele physikalische Grössen beschreibt man mit Vektoren (Pfeile): Bei diesen Grössen spielt
sowohl der Betrag als auch die Richtung eine wichtige Rolle (Bsp: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ort, Kraft,...) Im Gegensatz dazu besitzen skalare Grössen keine Richtung
(Bsp: Masse, Temperatur, Energie,...).
Ein Vektor ist durch seine Richtung und seinen Betrag festgelegt. Analysieren wir nicht nur
geradlinige Bewegungen ( v und a liegen nicht auf einer Geraden, oder Bewegungen im 3
dim. Raum), so müssen wir die Probleme mit Vektoren anpacken (→ später bei Kraft F ).
8) Die gleichförmige Kreisbewegung:
Eine Kreisbewegung heisst gleichförmig, wenn v konstant ist.
_
v
Wichtige Parameter stellen folgende Grössen dar:
m
r: Radius der Kreisbahn
_
r
_
ar
m: Masse des rotierenden Körpers
v: Geschwindigkeit des Körpers
_
ar
T: Umlaufszeit, Periode
f: Frequenz (Anzahl Umläufe pro Zeit)
ar: Radialbeschleunigung
Zwischen diesen Grössen gelten folgende mathematischen Zusammenhänge:
- Frequenz: f =
Anzahl Umläufe 1
=
;
Zeit
T
- Geschwindigkeit: v =
[f] = 1s −1 = 1Hertz = 1Hz
2⋅r ⋅π
= 2 ⋅r ⋅π ⋅ f
T
v2
- Radialbeschleunigung: ar =
r
Die Radialbeschleunigung steht stets senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit v . Diese Beschleunigung ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, aber nicht deren Betrag.
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