Mechanik Kinematik des Punktes - WWW-Docs for TU

Mechanik
Kinematik des Punktes
In der Kinematik werden die Bewegungsgesetze von Körpern beschrieben. Dies geschieht
durch die Angabe der Ortskoordinaten und deren Zeitabhängigkeit.
In der Kinematik des Punktes wird nur die Bewegung eines Punktes betrachtet, d.h. die
Gestalt des Körpers wird auf einen Punkt reduziert. Damit ist eine Rotation ausgeschlossen
und nur eine Translation möglich. Die Kräfte als Ursache der Bewegung werden ebenfalls
nicht betrachtet.
Physikalische Größen (Definitionen)
Zeit:
t
Ort, Weg:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
r
s
r
r ds
v=
dt
r
r dv
a=
dt
Erste Ableitung des Ortes nach der Zeit
Erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
Der Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung sind im Allgemeinen vektorielle
Größen.
Reale Bewegungen (dreidimensional) lassen sich häufig auf eindimensionale Vorgänge
reduzieren. Damit müssen die physikalischen Größen (Weg, Geschwindigkeit,
Beschleunigung) nicht explizit als Vektoren betrachtet werden.
Physikalische Größen
Einheiten
Zeit:
t
[t] = s
Ort, Weg:
s
[s] = m
Geschwindigkeit:
v=
ds
dt
[v] = m
Beschleunigung:
a=
dv d 2 s
=
= v& = &s&
dt dt 2
[a ] = m2
s
s
Aus den Definitionen der Geschwindigkeit und der Beschleunigung lassen sich bei definierten
Bedingungen einfache Bewegungsgesetze ableiten.
Die folgenden Betrachtungen beziehen sich auf die geradlinige eindimensionale Bewegung.
Geradlinige (eindimensionale) Bewegung
Gleichförmige Bewegung (Beschleunigung a = 0)
Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit:
a=
dv
dt
bzw.
dv = a dt
v = ∫ a dt
v=a⋅t +c
c … Integrationskonstante
mit der Bedingung a = 0 und der Anfangsbedingung v(t=0) = v 0 folgt:
v = v0
Für den Ort ergibt sich:
v=
ds
dt
bzw.
ds = v dt
s = ∫ v dt
s= v⋅t + k
k … Integrationskonstante
mit der Bedingung v(t=0) = v 0 und der Anfangsbedingung s(t=0) = s 0
folgt:
s = v ⋅ t + s0
Zusammenfassung gleichförmige Bewegung
a=0
unbeschleunigte Bewegung
v = v0
konstante Geschwindigkeit
s = v ⋅ t + s0
Weg-Zeit-Gesetz
Das Diagramm 1 zeigt gleichförmige Bewegungen für verschiedene Anfangsbedingungen.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Beschleunigung a = const. = a0)
Für die Geschwindigkeit ergibt sich:
dv = a dt
v = ∫ a dt
mit a = a0
v = a0 ⋅ t + m
m … Integrationskonstante
mit der Bedingung a = const. = a0 und der Anfangsbedingung v (t=0) = v 0
v = a 0 ⋅ t + v0
Für den Ort ergibt sich:
ds = v(t) dt
(v ist hierbei abhängig von der Zeit)
s = ∫ (a ⋅ t + v 0 ) dt = ∫ (a ⋅ t) dt + ∫ v 0 ) dt
s=
1
a 0 ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + n
2
mit a = a0
n … Integrationskonstante
mit den Anfangsbedingungen v (t=0) = v 0 und s (t=0) = s 0
s=
folgt:
1
a 0 ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0
2
Zusammenfassung gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a = a0
konstante Beschleunigung
v = a 0 ⋅ t + v0
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
s=
1
a 0 ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0
2
Weg-Zeit-Gesetz
Das Diagramm 2 zeigt gleichmäßig beschleunigte Bewegungen für verschiedene
Anfangsbedingungen.
folgt:
Weg
s > 0, v > 0
o
o
1
s = 0, v > 0
o
o
2
s >0, v = 0
o
o
3
s = 0, v > 0
o
o
4
s < 0, v > 0
o
o
5
s = 0, v = 0
o
o
6
s > 0, v < 0
o
o
7
0
0
Zeit
Bild1: Weg-Zeit-Diagramm (s-t-Diagramm) für gleichförmige Bewegungen
Weg
Bewegungen (1) und (4) bzw. (2) und (5) mit gleicher Geschwindigkeit.
0
0
s > 0, v > 0, a > 0
o
o
1
s = 0, v > 0, a > 0
o
o
2
s < 0, v > 0, a > 0
o
o
3
s = 0, v = 0, a > 0
o
o
4
s > 0, v = 0, a < 0
o
o
5
s = 0, v > 0, a < 0
o
o
6
Zeit
Bild 2: Weg-Zeit Diagramm (s-t-Diagramm) für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen
Bewegungen (1), (2) und (3) mit gleicher Beschleunigung. Bewegung (5)
entspricht dem Freien Fall.
Senkrechter Wurf und freier Fall
Die gleichförmige Bewegung (a = a0 = 0) ist ein Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung.
Der senkrechte Wurf nach oben oder nach unten und der freie Fall sind ebenfalls gleichmäßig
beschleunigte Bewegungen. Es wirkt jeweils die konstante Erdbeschleunigung.
Wird die Ortskoordinate vom Abwurfpunkt nach oben als positiv und nach unten als negativ
m
gesetzt, muss für die Beschleunigung a 0 = - g = - 9,81 2 eingesetzt werden (Beschleunigung
s
wirkt nach unten).
Die Vorzeichen gelten auch für die Geschwindigkeit (nach oben positiv und nach unten
negativ).
Überlagerung von geradlinigen Bewegungen
Bei der Überlagerung von zwei geradlinigen Bewegungen (auf einer Linie) ergeben sich
folgende Zusammenhänge:
Der resultierende Gesamtweg ist die Summe der bei den Teilbewegungen zurückgelegten
Wege.
Die resultierende Geschwindigkeit ist die Summe der Geschwindigkeitskomponenten.
Die resultierende Beschleunigung ist die Summe der Beschleunigungskomponenten.