Aufgabensammlung Arbeit, Energie, Reibung – Teil 2

Aufgabensammlung Arbeit, Energie, Reibung – Teil 2
Lösungen
1.
a) Die Federkonstante D wird nach folgender Formel berechnet:
F
s
m⋅g
D=
s
D=
60 kg⋅9,81
D=
m
s2
0,25m
N
D = 2354,4
m
Für die Kraft F wird hier die Gewichtskraft des Jungen eingesetzt.
b) Die größte und die kleinste Geschwindigkeit ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kurz vorher
und kurz hinterher entweder größer oder kleiner ist. Ein Veränderung der Geschwindigkeit
bedeutet, dass eine Beschleunigung vorliegen muss. Dabei gilt: v wird größer → Beschleunigung a
ist positiv ; v wird kleiner → Beschleunigung a ist negativ. Wegen F = m · a gilt das gleiche auch für
die Kraft F. Sie muss positiv sein, wenn sich die Geschwindigkeit noch erhöht und negativ, wenn v
geringer wird. Am Ort der größten Geschwindigkeit muss daher die Summe aller wirkenden Kräfte
Null sein.
Welche Kräfte wirken nun auf den Jungen?
Zum einen ist natürlich seine Gewichtskraft FG = m · g zu nennen, die versucht, ihn nach unten zu
beschleunigen. Zum anderen ist die Kraft zu nennen, die in dem gespannten Trampolin steckt und
versucht, den Jungen nach oben zu beschleunigen, FT = D · s. Weitere Kräfte kommen hier nicht vor.
Durch gleichsetzen der Kräfte kommt man auf den Ort der maximalen Geschwindigkeit:
F G = m⋅g
F T = D⋅s
m⋅g = D⋅s
m⋅g
s=
D
m
s2
s=
N
2354,4
m
s = 0,25 m
60kg⋅9,81
Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?
Für die Berechnung der Geschwindigkeit müssen wir die Energieen betrachten. In dem Zustand des
maximal gespannten Trampolins, in dem weder kinetische noch potentielle Energie vorliegen,
beträgt die Spannenergie ESpann = ½ D s2, mit s als der maximalen Auslenkung.
1
E Spann = ⋅D⋅s2
2
1
N
2
E Spann = ⋅2354,4 ⋅ 0,65m 
2
m
N
E Spann = 497,367
m
Die Spannenergie ist gleich der maximalen Energie im System „Trampolin – Junge“. Während des
Sprungs teilt sich diese maximale Energie auf in die einzelnen Energien Ekin, Epot und ESpann , je
nachdem, an welcher Stelle des Sprungs die Energieen berechnet werden sollen.
Hier ist die kinetische Energie an der Stelle der größten Geschwindigkeit gesucht. Wir können also
aufschreiben:
1
1
N
⋅D⋅s 2  m⋅g⋅h  ⋅m⋅v 2 = 497,367
2
2
m
Folgende Skizze kann eventuell helfen:
Bewegungsrichtung
des Jungen
Z3
s = 0; h = 0,65 m
Z2
Z1
s = 0,25 m; h = 0,40 m
s = 0,65 m; h = 0
Z1: die Position des maximal gespannten Trampolins, keine kinetische oder potentielle Energie
Z2: die Position der maximalen Geschwindigkeit, Spann- und potentielle Energieen sind vorhanden
Z3: die Position, an der der Junge das Trampolin gerade nicht mehr spannt, Spannenergie ist Null
1
1
2
2
⋅D⋅s  m⋅g⋅h  ⋅m⋅v = 497,367Nm
2
2
1
N
2
m
1
⋅2354,4 ⋅ 0,25 m  60 kg⋅9,81 2⋅0,40 m  ⋅60 kg⋅v 2 = 497,367Nm
2
m
2
s
2
73,575Nm  235,44Nm  30 kg⋅v = 497,367 Nm

497,367Nm − 73,575Nm − 235,44Nm
30 kg
m
v = 2,51
s
v=
c) Für die Geschwindigkeit des Jungen in der Höhe des entspannten Trampolintuchs können wir
dieselbe Formel verwenden, da ebenfall die maximale Energie im System auf die einzzelnen
Energiebestandteile aufgeteilt werden.
1
1
⋅D⋅s2  m⋅g⋅h  ⋅m⋅v 2 = 497,367Nm
2
2
1
N
2
m
1
⋅2354,4 ⋅ 0 m  60 kg⋅9,81 2⋅0,65 m  ⋅60 kg⋅v 2 = 497,367 Nm
2
m
2
s
2
0 Nm  382,59Nm  30 kg⋅v = 497,367 Nm

497,367Nm − 382,59Nm
30 kg
m
v = 1,96
s
v=
d) Die erreichbare Höhe lässt sich ebenfalls aus der gleichen Formel berechnen. Wir müssen nur
berücksichtigen, dass die Spannenergie und die kinetische Energie am höchsten Punkt des Jungen
Null sind.
1
1
⋅D⋅s2  m⋅g⋅h  ⋅m⋅v 2 = 497,367Nm
2
2
2
 
1
N
2
m
1
m
⋅2354,4 ⋅ 0 m  60 kg⋅9,81 2⋅h  ⋅60 kg⋅ 0
2
m
2
s
s
0 Nm  588,6 N⋅h  0 Nm = 497,367Nm
= 497,367 Nm
497,367Nm
588,6 N
h = 0,845 m
h=
Diese Höhe bezieht sich aber auf die h-Nulllinie, die sich am Ort des maximal gespannten
Trampolins befindet. Für die Höhe über dem Trampolin müssen wir den Spannweg s = 0,65 m von
dem Ergebnis abziehen. Wir erhalten dann:
h = 0,195 m.
2.
Für diese Aufgabe müssen wir zunächst überlegen, welche Energieumwandlungen hier statt
finden. Die Springerin springt aus einer definierten Höhe auf das Trampolin. Da ihre Masse (+
Zusatzmassen) bekannt ist, kann man die potentielle Energie bezüglich des entspannten
Trampolins berechnen. Diese potentielle Energie wird natürlich in kinetische Energie umgewandelt,
diese jedoch wird komplett in Spannenergie des Trampolins umgewandelt. Diese Spannenergie
wird aber wieder als kinetische Energie an die Springerin abgegeben, die daraufhin wieder eine
bestimmte Höhe über dem Trampolin erreichen kann. Da sich im Zustand des gespannten
Trampolins aber die Masse der Springerin ändert (von 60 kg auf 50 kg), die Spannenergie aber von
der Masse unabhängig ist, erreicht die Springerin eine größere Höhe als die, von der sie
losgesprungen ist. Als Formel:
1
mA⋅g⋅h A = ⋅D⋅s 2 = mB⋅g⋅hB
2
mA⋅g⋅h A = mB⋅g⋅hB
mA⋅h A = mB⋅hB
mA
hB =
⋅h
mB A
60 kg
hB =
⋅2 m
50 kg
hB = 2,4 m
3.
Hier ist zu beachten, dass sich die kinetische Energie des Waggons auf zwei Pufferfedern aufteilt. D
ist folgendermaßen zu bestimmen:
1
E kin = ⋅m⋅v 2
2
2
 
1
m
E kin = ⋅10000 kg⋅ 1
2
s
E kin = 5000 Nm
E kin = 2⋅E Spann
1
5000 Nm = 2⋅ ⋅D⋅s 2
2
5000 Nm = D⋅ 0,1 m
N
D = 500000
m
2
4.
Der Stein hat am Anfang (Zustand 1) eine potentielle Energie, m und h sind bekannt, und eine
kinetische Energie, m und v sind bekannt. Am Ende (Zustand 2) hat er weder potentielle noch
kinetische Energie. Also muss alle Energie in innere Energie in das System Stein-Berg umgewandelt
worden sein.
2
 
1
m
E in = ⋅2 kg⋅ 15
2
s
E in = 1206 Nm
m
 2 kg⋅9,81 2⋅50 m
s
5.
Entlang der Straße wirkt zur Abbremsung des Autos zum einen die Hangabtriebskraft (die Fahrerin
fährt aufwärts) und die Reibkraft. Diese Kräfte wirken auf einer Strecke von 10 m, sie verrichten
also Arbeit. Diese Arbeit wandelt kinetische Energie des Autos um in innere Energie des Systems
Reifen-Straße. Wir haben also die kinetische Energie des Autos am Beginn der Bremsung und wir
haben die verrichtete Arbeit. Formell bedeutet das:
1
⋅m⋅v 2 = F⋅s
2
1
2
⋅m⋅v =  F H  F R ⋅s
2
1
⋅m⋅v 2 =  F G⋅sin   F N⋅f ⋅s
2
1
⋅m⋅v 2 =  F G⋅sin   F G⋅cos ⋅f ⋅s
2
1
⋅m⋅v 2 =  m⋅g⋅sin   m⋅g⋅cos ⋅f ⋅s
2


2⋅ m⋅g⋅sin   m⋅g⋅cos ⋅f ⋅s
m
v =  2⋅g⋅s  sin   cos ⋅f 
v=
m
v = 2⋅9,81 2⋅10 m  sin 5°  cos 5°⋅0,5 
s
m
km
v = 10,639 = 38,3
s
h
Nein, sie hat die vorgeschriebene Geschwindigkeit nicht eingehalten.
6.
Hier ist ein wenig Spielen mit Einheiten gefragt.
Die spezifische Wärme zeigt an, wieviel Energie das Material aufnimmt pro kg Masse und pro K
Erwärmung. Der Wert lautet c = 0,45 kJ / (kg · K). Da die Bremsen eine Masse von 10 kg besitzen,
ergibt sich eine aufnehmbare Energie von 4,5 kJ / K. Das sind 4500 J / K. Die kinetische Energie des
LKW beträgt 1929321 J. Wenn wir jetzt die kinetische Energie des LKW durch die aufnehmbare
Energie der Bremsen teilen, erhalten wir:
1929321 J / (4500 J / K) = 428,7 K
Die Bremsen erwärmen sich um ca. 430 K.