L13

P. Frübing, 04. 02. 2014
Lösung zu Aufgabe 13/3: Molekularfeldnäherung des Ferromagnetismus
Ziel: modellmäßige Beschreibung der Temperaturabhängigkeit der spontanen Magnetisierung
~ sp (T )
M
Annahme: die Austauschwechselwirkung wird durch ein fiktives Austausch- oder Molekularfeld
am Ort des betrachteten magnetischen Dipols erfaßt, das ist das Magnetfeld aller (nicht wechselwirkenden) magnetischen Dipole in der Umgebung des betrachteten Dipols, welches zusätzlich
~ ext wirkt. Das effektive magnetische Feld am Ort des betrachteten
zum externen Magnetfeld B
~
~
~ sp (T ), dabei ist γ die Molekularfeldkonstante.
Dipols ist dann Bef f = Bext + γµ0 M
Der Betrag der Magnetisierung eines Systems lokalisierter, nicht wechselwirkender magnetischer
Momente ist
gJ µB JB
.
kB T
Um einen analogen Ausdruck zu erhalten, der die spontane Magnetisierung berücksichtigt, er~ ef f . Allerdings kann M nun nicht mehr explizit angegeben werden, da
setzen wir B durch B
Msp sowohl in M als auch im Argument der Brillouin-Funktion steckt. Für Bext = 0 ist jedoch
M = Msp und damit
M = ngJ µB JBJ (x) mit x =
Msp = ngJ µB JBJ (x) mit x =
gJ µB Jγµ0 Msp
.
kB T
(1)
Die analytische Lösung wird schwierig, da Msp sowohl links als auch im Argument der BrillouinFunktion steht. Aber eine graphische Lösung ist möglich. Dazu stellen wir das Argument der
Brillouin-Funktion nach Msp um:
kB T
Msp =
x.
(2)
gJ µB Jγµ0
Schließlich tragen wir für die Gleichungen (1) und (2) Msp über x in einem Diagramm auf (siehe z.
B. R. Gross, A. Marx, Festkörperphysik, München (Oldenbourg) 2012, Abb. 12.20, S. 713). Die
Schnittpunkte der beiden Graphen für gegebene Werte von gJ , J und γ ergeben die möglichen
Wertepaare für die Darstellung Msp (T ). Msp geht gegen Null, wenn die Steigung der Geraden
gleich der Steigung der Brillouin-Funktion für x → 0 wird, die entsprechende Temperatur heißt
ferromagnetische Curie-Temperatur TC .
Kritik:
1. Das Molekularfeld ist ein hypothetisches, fiktives Feld, das nicht in die Maxwellschen Gleichungen eingeht.
2. Der Verlauf von Msp (T ) stimmt nur qualitativ mit dem beobachteten Verlauf überein. Bei
tiefen Temperaturen wird er besser durch das Blochsche T 3/2 -Gesetz beschrieben und in der
Nähe von TC muß Msp (T ) auf der Grundlage der Landauschen Theorie der Phasenübergänge
beschrieben werden.
Magnetische Curie-Konstante:
Für x 1 ist BJ (x) ≈ J+1
3J x (vgl. Lösung der Aufgabe 3, Übung 11).
Mit dieser Näherung folgt für die Steigung der Brillouin-Funktion aus Gl. (1)
dMsp
dx |x=0
J+1
J
= ngJ µB J dB
dx |x=0 = ngJ µB 3 .
Andererseits folgt aus Gl. (2)
dMsp
kB T
dx |x=0 = gJ µB Jγµ0 .
Eine spontane Magnetisierung, also einen ferromagnetischen Zustand erhalten wir nur, wenn der
Anstieg von (2) kleiner als der Anstieg von (1) ist, also für
kB T
J+1
gJ µB Jγµ0 < ngJ µB 3 ,
g 2 J(J+1)µ2
oder wenn gilt T < TC mit TC ≡ nγµ0 J 3kB B ≡ γCmg .
Cmg ist die magnetische Curie-Konstante, ihre Einheit ist K(elvin). Sie ist durch die Konzentration und das effektive magnetische Moment der magnetischen Dipole bestimmt. Je höher γ,
C
also je stärker das Molekularfeld, desto höher ist auch TC . Über γ = CTmg
kann γ experimentell
bestimmt werden.
Beispiel (experimentelle Werte für Nickel):
Mit TC = 629 K, Cmg = 0.588 K, Msp,sat = 0.510 A/m ergibt sich das Molekularfeld µ0 γMsp,sat =
686 T. Das Ergebnis vermittelt eine Vorstellung von der Stärke der Austauschwechselwirkung.
Curie-Weiss-Gesetz:
Die Magnetisierung im paramagnetischen Bereich ist
nµ g 2 J(J+1)µ2
M = µ10 0 J3kB T B (Bext + γµ0 M ) = µ10 C
T (Bext + γµ0 M ) .
Auflösung nach M ergibt mit γ = TTC
C
M = µ10 T −T
Bext
C
C
M
.
⇒ χmg ≡ H = T −T
C
Das ist das (magnetische) Curie-Weiss-Gesetz. Es wird für T TC experimentell gut bestätigt.
Allerdings ergibt die Extrapolation der Curie-Geraden zu χ → 0 nicht TC , sondern die paramagnetische Curie-Temperatur Θ, die stets größer als TC ist (siehe R. Gross, A. Marx, Abb. 12.21).
Das muß man so verstehen, daß im paramagnetischen Bereich, insbesondere in der Nähe von TC
die Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten weiter besteht, aber die thermische
Energie keinen ferromagnetischen Ordnungszustand mehr erlaubt.