Übung 1 - TU Chemnitz

Übung Mathematik IV (für Informatiker)
Sommersemester 2017
Vorlesung:
Prof. Dr. Bernd Hofmann ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/hofmann/teaching.php
Übung:
Dr. Jens Flemming ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/∼jgei/teach/stochinf/stochinf.php
Übung 1: Grundelemente aus Mengenlehre und Kombinatorik
1.1 Bilden Sie zu folgenden Ereignisräumen Ω und Teilmengen A und B die Mengen A, B,
A ∩ B, A ∪ B, A ∪ B, A ∩ B, B ∩ A.
(a) Ω = {1, 2, ..., 10}, A = {2, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
(b) Ω = [−1, 3], A = [0, 1), B = ( 21 , 2]
(c) Ω = R, A = {x ∈ R : |x − 1| < 3}, B = [0, ∞)
1.2 Seien A eine σ-Algebra, Ω die zugehörige Grundgesamtheit und A, B ∈ A. Vereinfachen
Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich.
(a) (A ∪ B) ∩ B
(b) B ∪ (B ∩ A)
(c) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ A
(d) B ∪ (A ∩ B)
1.3 (a) Wie viele verschiedene dreistellige natürliche Zahlen kann man aus den Ziffern 1, 2,
3, 4, 5 bilden?
(b) Welches Ergebnis erhält man bei (a), wenn jede Ziffer in der zu bildenden Zahl
höchstens einmal vorkommen darf?
1.4 Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es
(a) beim Lotto (6 aus 49),
(b) bei der Glücksspirale (7-stellige Zahl)?
1.5 Bei einem Autorennen nehmen 20 Wagen teil.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge des Zieleinlaufs?
(b) Wie viele Möglichkeiten sind es für das Podium?
1.6 (a) Wie viele verschiedene Würfe sind möglich beim gleichzeitigen Würfeln von drei
ununterscheidbaren Würfeln?
(b) Wie viele mögliche Abfolgen gibt es, wenn man mit einem Würfel dreimal hintereinander würfelt?
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1.7 Die Arbeit eines Kraftwerkes wird durch drei unabhängig voneinander arbeitende Kontrollsysteme überwacht, die jedoch auch einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es
bezeichne Si das Ereignis, dass das i-te System störungsfrei arbeitet (i ∈ {1, 2, 3}).
(a) Drücken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse S1 , S2 und S3 aus.
A := „Alle drei Systeme arbeiten störungsfrei“
B := „Kein System arbeitet störungsfrei“
C := „Mindestens ein System arbeitet störungsfrei“
D := „Genau ein System arbeitet störungsfrei“
E := „Höchstens zwei Systeme sind gestört“
(b) Wie viele Elementarereignisse umfasst der Ereignisraum?
(c) Welche der unter (a) genannten Ereignisse können als Elementarereignisse betrachtet
werden?
(d) Aus wie vielen Elementarereignissen bestehen die Ereignisse C und D?
1.8 Eine Fertigungsstraße besteht aus einer Maschine vom Typ I, vier Maschinen vom Typ II
und zwei Maschinen vom Typ III. Folgende Ereignisse werden betrachtet:
A := „Maschine vom Typ I intakt“,
Bk := „k-te Maschine vom Typ II in Takt“,
k ∈ {1, 2, 3, 4},
Cj := „j-te Maschine vom Typ III in Takt“,
j ∈ {1, 2}.
Die Fertigungsstraße ist arbeitsfähig, wenn von jedem Maschinentyp mindestens einer
intakt ist. Dieses Ereignis wird mit D bezeichnet.
Beschreiben Sie die Ereignisse D und D mit Hilfe der Ereignisse A, Bk , Cj .
1.9 Drei Betriebsteile werden auf Einhaltung eines bestimmten Kostenfaktors überprüft. Das
Ereignis A liegt vor, wenn mindestens ein Betriebsteil nicht den geforderten Kostenfaktor
einhält, das Ereignis B liegt vor, wenn alle drei Betriebsteile den geforderten Kostenfaktor
einhalten.
Was bedeuten dann die Ereignisse A ∪ B und A ∩ B?
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