Vorbereitende Experimente zum Test der Riemannschen Hypothese

Vorbereitende Experimente zum Test
der Riemannschen Hypothese
in offenen Kreisbillards
Pedro José Oria Iriarte
Forschungsarbeit
Institut für Kernphysik
Technische Universität Darmstadt
Oktober 2006
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer experimentellen Untersuchung
des Zerfallsverhaltens eines kreisförmigen Mikrowellenbillards mit kleinen an der
Berandung platzierten Absorbern, die eine Öffnung des Systems simulieren. Es
wurden Messungen an einer quasi-zweidimensionalen Hohlraumkavität im normalund supraleitenden Zustand durchgeführt. Mikrowellen werden in die Kavität einbzw. ausgekoppelt. Der zeitliche Zerfall wird anhand von Fouriertransformationen
der in den Messungen aufgenommenen Spektren evaluiert. Obwohl die Kavität
ein elektromagnetisches System darstellt, ist sie äquivalent zu einem Quanten”
billard“ mit entsprechender Geometrie.
Es wurden offene Quantenbillards mit verschiedenen Öffnungen entlang der Berandung simuliert. Im Winkeln gemessen betrug die Größe der Öffnung 5o , 10o ,
15o und 20o . Im Fall von 5o und 15o wurden außerdem zwei gegenüberliegenden
Öffnungen untersucht. Die Messungen wurden im Quantenchaos-Labor am Institut für Kernphysik in Darmstadt bei 77 K und bei 4.2 K durchgeführt.
Ziel der durchgeführten Messungen ist es, einen von Bunimovich und Dettmann
vorhersagten Zusammenhang zwischen der Riemannschen Hypothese und dem
Langzeitverhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im klassischen Kreisbillard für das zugehörige Quantenbillard experimentell zu verifizieren.
Dafür wird der Zerfall des simulierten Quantensystems anhand der Betrachtung
der zeitlichen Entwicklung der elektromagnetischen Energie in den Mikrowellenkavitäten bestimmt. Ein Vergleich mit einer klassischen, numerischen Simulation
wird gezeigt. Experimentell wird eine Überlagerung von einem exponentiellen und
algebraischen Zerfall gefunden. Es konnte eine qualitative Übereinstimmung zu
weiteren numerischen Vorhersagen gefunden werden.
Das Einbringen von Absorptionsmaterial stört das System auf eine entscheidende Weise. In Abhängigkeit von ihrer räumlichen Verteilung koppeln einige
Moden sehr stark an das Absorptionsmaterial und können deswegen nicht in
den gemessenen Spektra identifiziert werden. Hingegen wird keine bedeutende
Veränderung anderer Moden detektiert. Verschiebungen der Kavitätsmoden werden in Abhängigkeit von der Größe des Absorptionsmaterials bezüglich der berechneten theoretischen Werte festgestellt. Statistische Eigenschaften der vermes-
senen Spektren werden ebenfalls ausgewertet. Schließlich wird unter supraleitenden Bedingungen eine gewisse Aufhebung der Entartung einiger Moden des simulierten Quantensystems beobachtet.
4
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
6
2.1
Billardsysteme und klassisches Chaos . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Zweidimensionale Resonatoren und Analogie zur Quantenmechanik
8
2.2.1
Quantenchaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Zweidimensionale Kavität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Dynamik und Wellenfunktionen des Kreisbillards . . . . . . . . .
12
2.3.1
Klassische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3.2
Aufenthaltswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.3
Quantenmechanisches Billard . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Absorptionsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.1
Dämpfung am Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.2
Eindringtiefe in die Kavitätswände . . . . . . . . . . . . .
21
2.4.3
Energieverlust und Qualitätsfaktor der Kavität . . . . . .
22
2.3
2.4
3 Experimentelle Methode
24
3.1
Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Verwendete Kavität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3
Auswahl des Absorptionsmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4
Experimentelle Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4 Ergebnisse und Auswertung
37
4.1
Supraleitende Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2
Entartete Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.1
39
Aufspaltung entarteter Niveaus . . . . . . . . . . . . . . .
i
4.2.2
Dämpfung am Absorber und Verschiebung der Dubletts . .
39
4.3
Auswertung der Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4
Spektrale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4.1
Verteilung benachbarter Eigenwerte . . . . . . . . . . . . .
45
4.4.2
Langreichweitige Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.5
Bahnlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.6
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Billard . . . . . . . . . . . . . .
50
4.7
Äquivalenz zur Riemannschen Hypothese . . . . . . . . . . . . . .
52
5 Schlussbemerkung und Ausblick
56
A Nicht identifizierte Resonanzen
59
Danksagung
67
ii
1
Einleitung
Vor ungefähr 100 Jahren beobachtete der französiche Mathematiker Henri Poincaré zum ersten Mal Bewegungen von Teilchen, die, obwohl sie nicht völlig zufällig
waren, keiner regulären Dynamik entsprachen [1, 2]. Kleine Modifikationen in den
Anfangsbedingungen der Bewegung führten zu enormen Abweichungen im Verlauf der Zeit. In den letzten fünfzig Jahren haben chaotische Systeme sowohl vom
theoretischen Standpunkt her [3, 4] als auch in der Praxis eine wichtige Bedeutung bekommen [5, 6]. Zuerst in der Theorie, aber später auch im Experiment,
spielen die sogenannte Billards eine entscheidende Rolle. Diese entsprechen Gebieten, in denen die Bewegung eines Teilchens nach den klassischen Newtonschen
Gesetzen stattfindet. Wenn das Teilchen auf die Umrandung des Systems trifft,
wird es gemäß den Regeln der Spiegelreflexion an den Wänden reflektiert.
Ein konzeptuell tieferes Verständnis der Auswirkung chaotischen Verhaltens auf
das korrespondierende Quantensystem wurde mit der Begründung des Gebietes Quantenchaos“, anfangs Quanten-Chaologie“ genannt, gewonnen [7]. Auf”
”
grund einer mathematischen Analogie zwischen der Helmholtz- und der zeitunabhängigen Schrödingergleichung lassen sich Quantenbillards durch Mikrowellenkavitäten simulieren[8]. Dies sind flache Resonatoren von der Ordnung einiger Dezimeter, in denen bei der Emission bzw. Empfang von Mikrowellen über Antennen
für bestimmte Frequenzen (Resonanzen) eine konstruktive Interferenz möglich ist.
Das Verhältnis zwischen der Ausgangs- und Eingangsleistung der Transmission
zwischen den Antennen in Abhängigkeit von der Frequenz liefert das Spektrum.
Die lokalen Maxima in diesem Spektrum korrespondieren zu den Resonanzen.
Theoretisch entsprechen diese Maxima Delta-Funktionen, die jedoch auf Grund
ohmscher Verluste in den Wänden und die Ankopplung an die Antennen eine
endliche Breite besitzen. Mikrowellenresonatoren sind Gegenstand aktueller Forschung, da die Dynamik ihrer klassischen Analoga je nach Umrandung regulär,
gemischt oder chaotisch gewählt werden kann und bekannt ist [9]. In den letzten
fünfzehn Jahren wurden Messungen unter supraleitenden Bedingungen durchgeführt, da in diesen Verluste an der Berandung der Kavität sehr klein sind, und
damit die Spektra eine hohe Auflösung besitzen [10, 11].
Es existieren zwei Arten von Billards. Geschlossene Billards entsprechen einem
1
Gebiet, das durch unendliche hohe Potentialwände von der Umgebung abgegrenzt
ist. Dementsprechend ist die Dynamik des Teilchens auf das Inneren des Systems
eingeschränkt. Im Gegensatz dazu spricht man von einem offenen Billard, wenn
das System durch eine Öffnung an die Außenwelt angekoppelt und somit durch
einen Materie- bzw. Energieaustausch charakterisiert ist [12–15].
2
Die vorliegende Arbeit untersucht ein Kreisbillard, an dessen Rand kleine
Stücke eines Mikrowellenabsorbers angebracht wurden. Einerseits stören sie das
System, da sie zu einer Veränderung der Randbedingungen führen, wodurch es zu
einer leichten Verschiebung der Resonanzen im Vergleich zum ungestörten System kommt [16, 17]. Andererseits simulieren sie sehr kleine Öffnungen, da sie im
Idealfall die auftreffende elektromagnetische Strahlung vollständig absorbieren.
Bei vier Messungen wurde ein Absorber an der Kavitätsumrandung angebracht.
Zwei Absorptionsmaterialstücke wurden in zwei Messungen gegenüberliegend betrachtet. Die Größen der Öffnungen entsprechen einem Kreisbogen von 5o , 10o ,
15o und 20o . Aufgrund der deutlichen Verbesserung der Identifikation der Resonanzen der Kavität wurden die Messungen in einem supraleitenden Zustand bei
4.2 K durchgeführt.
Die zeitliche Entwicklung des simulierten Quantensystems lässt sich aus der Fouriertransformation der Elemente der Streumatrix für die Transmission von der
Ein- zur Auskopplungsantenne bestimmen. Diese Fouriertransformierte liefert die
zeitliche Entwicklung der aus dem System ausgekoppelten Energie. Die Energie
ist proportional zum Betragsquadrat des elektrischen Feldes, und im simulierten Quantensystem ist die gerade die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen nach einer
gewissen Zeit an einem bestimmten Ort zu finden. Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung des zeitlichen Zerfalls des Systems durch das mit Absorptionsmaterial
simulierte Loch. Klassisch betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen länger als eine bestimmte Zeit im Billard bleibt (im Folgenden Aufenthaltswahrscheinlichkeit genannt) und wurde z.B. in [18] analytisch und numerisch
ausgewertet. Experimentell wurde diese auch für eine chaotische Geometrie in
[19] bestimmt. Zum Anderen haben L. Bunimovich und C. Dettmann in einer
kürzlich veröffentlichen Arbeit gezeigt [20], dass der Zerfall dieser Wahrscheinlichkeit im klassischen Kreisbillard in zweiter Ordnung für sehr lange Zeiten und
kleine Öffnungen eine Verbindung mit der sogenannten Riemannschen Hypothese
erlaubt. Die Riemannsche Hypothese gehört zu den ältesten ungelösten Problemen der Mathematik und ist mit der Primzahlenverteilung und den Nullstellen
der Riemannschen Zeta Funktion verbunden [21, 22]. Die Untersuchung der Konsequenzen eines klassisch Verhaltens für das Zerfallsverhalten des kreisförmigen
Quantenbillards war die ursprungliche Motivation für die vorliegende Arbeit.
3
Die Arbeit ist wie folgt strukturiert. Die theoretischen Grundlagen sowie einige
mathematischen Aspekte werden in Kapitel 2 behandelt. Die erwähnte Analogie zwischen Mikrowellen- und Quantenbillards wird abgeleitet. Das Zeitentwicklungsgesetz, das die Dynamik der Bewegung im Billard bestimmt, wird ebenfalls
beschrieben. Schließlich wird der Effekt des Absorptionmaterials auf die Resonanzen betrachtet. Man findet einen exponentiellen Abfall des elektrischen Feldes am
Absorber in Abhängigkeit vom Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante.
4
In Kapitel 3 geht es um die experimentellen Methoden, im Besonderen um
den Abkühlvorgang auf 4.2 K, die Temperatur von flüssigem Helium, bei der
die im Rahmen dieser Arbeit benutzten Kavitäten supraleitend sind. Zusätzlich
beschäftigt sich ein Abschnitt mit der Auswahl eines geeigneten Absorptionsmaterials für die Simulation von Öffnungen am System. Auch werden die Abmessungen
des Systems sowie der Aufbau des Kreisbillard-Systems ausführlich beschrieben.
Die Analyse der in den Messungen aufgenommenen Daten sowie die statistische
Auswertung befindet sich in Kapitel 4. Zuerst wird die Qualität der supraleitenden und der normalleitenden Messungen verglichen. Auch werden in diesem
Kapitel die durch den Effekt des Absorptionsmaterials verlorenen Resonanzen
sowie die Verschiebung der Resonanzen diskutiert. Eine deutliche Aufspaltung
der ersten entarteten Moden wurde beobachtet. Die spektralen Eigenschaften,
d.h. die Verteilung benachbarter Eigenwerte und die ∆3 Statistik weisen auf eine
reguläre Dynamik für das Kreissystem mit Absorbern hin. Eine andere wichtige Größe ist das sog. Längenspektrum, das eine Identifikation klassischer Bahnen im Quantensystem erlaubt. Als dritter relevanter Aspekt werden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Billard berechnet. Zusätzlich wird ein Vergleich
dieser mit einem klassischen System angegeben, das mit Hilfe einer klassischen Simulation realisiert wurde. Die experimentelle Aufenthaltswahrscheinlichkeit zeigt
eine Überlagerung exponentiellen und algebraischen Verhaltens für kurze Zeiten aber ein algebraisches für lange Zeiten. Für das simuliert klassische System
findet man eine algebraische Tendenz. Schließlich wird der Zusammenhang der
Riemannschen Hypothese und das betrachtete Mikrowellenbillard analysiert mit
Hilfe des Produkts von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit der Zeit und dem
Öffnungswinkel im Limes für sehr lange Zeiten und kleine Öffnungswinkel. Man
findet eine qualitative Übereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen.
In Kapitel 5 werden einige Schlüsse in Bezug auf die wichtigsten Ergebnisse dargelegt. Zum Schluss wird ebenfalls ein Ausblick mit den geplanten Messungen
gegeben.
5
2
2.1
Theoretische Grundlagen
Billardsysteme und klassisches Chaos
Ein Billard wird durch ein Gebiet G ⊂ RN mit Rand ∂G ⊂ RN −1 , der G von
seinem Komplement RN \ G trennt, definiert [23]. Ein Teilchen mit Masse m und
Impuls p~ = m~v bewegt sich reibungslos im Inneren des Systems entlang einer
Geraden, bis es die Berandung trifft. Das Teilchen wird dort ohne Änderung der
zum Rand tangentialen Komponente des Impulses und unter Umkehrung der
normalen Komponente reflektiert,
p~0 = p~ − 2(~p · n
b)b
n.
(2.1)
Hier bezeichnet n
b den Normalenvektor an den Rand ∂G im Kollisionspunkt. Der
Eingangswinkel ist gleich dem Ausgangswinkel (siehe Abbildung 2.1).
Ein so definiertes Billard stellt ein Hamiltonsystem mit einem 2N -dimensionalen
Phasenraum ~x = (q 1 , . . . , q N , p1 , . . . , pN ) und einem Potential V (q) = 0 für q ∈
G, V (q) = ∞ für q ∈ ∂G dar. Die Bewegung des Massenpunktes hängt nur von
der Form der Berandung des Billards ab. Je nach der Form des Billards erhält
man eins mit regulärer, chaotischer oder gemischter Dynamik.
Ein dynamisches System wird als regulär bezeichnet, wenn die Bahnen, denen
die Teilchen folgen, sich nach einer initialen Störung höchstens linear mit der
Zeit voneinander entfernen. Diese Dynamik findet man in einigen sehr bekannten
Systemen wie kreisförmigen oder rechteckigen Geometrien [24].
Chaotische Bewegung ist nicht vorhersagbar aufgrund einer extrem empfindlichen
Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen obwohl die Dynamik durch die bekannten Bewegungsgleichungen beschrieben wird. Ursprünglich benachbarte Trajektorien erfahren im Laufe der Zeit eine exponentielle Divergenz. Beispiele dafür
sind das Sinai Billard oder das Bunimovich Stadion [19].
6
Abbildung 2.1: Reflexion eines Teilchens am Rand des Billards.
Als dritte Charakterisierung muss man in der Klassifizierung die Systeme mit gemischter Dynamik einführen, deren Phasenraum reguläre Inseln in einem chaotischen Meer besitzt. Ovale und nicht-konzentrische Ringbillards (mit Kreisberandungen) sind Systeme, die reguläre und chaotische Bahnen enthalten [25]. In
Abb. 2.2 sind typische Bahnen mit regulärer, chaotischer und gemischter Dynamik gezeigt.
7
2.2
2.2.1
Zweidimensionale Resonatoren und Analogie zur Quantenmechanik
Quantenchaos
Quantenchaos ist ein interdisplizinäres Gebiet der modernen Physik, dessen Ursprung in den sog. semiklassischen Modellen zu finden ist [8]. Eine bedeutende
und sinnvolle Frage der Quantenmechanik ist, wie sich die Gesetze mikroskopisch
kleiner physikalischer Systeme auf die zugehörige klassische Mechanik übertragen
lassen. Im Rahmen der Quantenmechanik verliert das Konzept der exponentiellen
schnellen Entfernung benachbarter Trajektorien mit der Unschärferelation seinen
Sinn. Zwei große Schritte wurden in den letzten 50 Jahren gemacht. Einerseits
ist Gutzwiller mit der Periodic Orbit Theory“ eine semiklassische Quantisierung
”
Abbildung 2.2:
Darstellung einer regulären (oben), chaotischen (Mitte) und gemischten (unten) Dynamik mit einfachen Geometrien. Die schnelle Divergenz der anfangs benachbarten Bahnen im chaotischen
Fall ist deutlich beobachtbar.
8
R
Regular
em
M
KA
T
r
heo
P
Classical Systems
rin
Chaotic Systems
cip
le
Q
Quantum
Chaos
Poincaré
Abbildung 2.3:
Bo
hr
P
Quantum
Quantum Systems
Chaotische und reguläre Dynamik für ein Klassisch- bzw. Quantensystem. Die Bahnen der klassischen Systemen entsprechen einer chaotischen und regulären Bewegung. Die Sequenzen der Eigenwerte zeigen eine Niveauabstoßung für den chaotischen Fall
und eine Niveauhäufung für den regulären Fall.
gelungen [26] und andererseits haben Bohigas, Giannoni und Schmit einen universellen Zusammenhang zwischen den statistischen Eigenschaften der Spektren von
Quantensystemen mit chaotischer Dynamik des korrespondierenden klassischen
Systems und der Random Matrix Theory“ entdeckt [27]. Die Skizze in Abb.
”
2.3 offenbart zwei Beispiele von einem klassisch chaotischen und einem klassisch
regulären System und zwei Eigenwertsequenzen, die zu zwei Quantensystemen
entsprechen, deren zugehörige klassische Dynamik chaotisch und regulär ist.
2.2.2
Zweidimensionale Kavität
In der Quantenmechanik wird die Dynamik eines Billards durch die stationäre
Schrödinger Gleichung
p
k= =
~
2
(∆ + k )ψ(x, y) = 0
9
r
2mE
~
(2.2)
mit der Randbedingung
ψ|∂G = 0
(2.3)
beschrieben, wobei E die Energie eines freien Teilchens und ψ(x, y) die Wellenfunktion des Teilchens symbolisiert [28]. Ein zeitliche harmonische Abhängigkeit
der Lösung der Schrödinger Gleichung wurde hierbei angenommen. Als Lösung
der Gleichung (2.2) erhält man diskrete Eigenwerte kn und die korrespondierenden Eigenfunktionen ψn .
Es wird nun eine flache, zylindrische Mikrowellenkavität mit ideal reflektierenden
Wänden betrachtet. Die elektromagnetischen Schwingungen folgen der Helmholtz
Gleichung[29]. Diese lautet im Inneren des Resonators für das elektrische bzw.
~ bzw. B
~
magnetische Feld, E
~ r) = 0
(∆ + k 2 )E(~
bzw.
~ r) = 0,
(∆ + k 2 )B(~
(2.4)
wobei k = 2πf /c die Wellenzahl, f die Frequenz für die freie Ausbreitung der elektromagnetischen Strahlung und c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnen. Zusätzlich
gelten an der Oberfläche der Kavität die Randbedingungen
~ r)|∂G = 0
n
b · E(~
~ r)|∂G = 0.
b
t · B(~
(2.5)
Hier symbolisieren n
b und b
t den normierten Normal- bzw. Tangentialvektor an die
Resonatoroberfläche. Lösungen der Gleichung (2.2) stellen in zylindrischer Geometrie die sog. transversal magnetische Moden“ (TM) bzw. transversal elektri”
”
sche Moden“ (TE) dar, die äquivalent zu zwei unabhängigen Polarisationsrichtungen der elektromagnetischen Felder sind. Sei die z-Achse senkrecht zum Deckel
und Boden der zylindrischen Kavität. Dann erhält man als Lösung der Gleichung
(2.4) mit Bedingungen (2.5):
Ez (~r) = E(x, y) cos
nπz
,
d
10
n = 0, 1, 2, . . .
(2.6)
Bz (~r) = 0.
(2.7)
Setzt man diese Ausdrücke in die Helmholtzgleichungen (2.4) ein, erhält man für
das elektrische Feld die Gleichung
2 i
h
nπ
2
∆+k −
E(x, y) = 0
d
(2.8)
mit der Randbedingung E|∂G = 0. Unterhalb einer bestimmten Frequenz fc =
c/2d gibt es nur eine Lösung von Gl. (2.8) für n = 0 (erste TM-Mode). Dies
bedeutet, dass es keine Variation in z-Richtung des elektrischen Feldes gibt und
damit eine zweidimensionale Beschreibung des Systems möglich ist.
Somit lautet die skalare Helmholtzgleichung für eine quasizweidimensionale Kavität
(∆ + k 2 )E = 0
(2.9)
mit der Randbedingung E|∂G = 0 (vgl. Gleichung (2.2)). Frequenzen, die unter fc
liegen, garantieren eine Äquivalenz der Helmholtzgleichung und der Schrödinger
Gleichung eines quantenmechanischen Kastenproblems mit unendlicher Tiefe ist
[28]. Die in dieser Arbeit benutzte Kavität besitzt eine Höhe von 5 mm, was einer
maximalen Frequenz von 30 GHz entspricht. Unter dieser Bedingung bilden sich
nur für gewisse Frequenzen zweidimensionale stehende Wellen aus, d.h. nur für
diese bestimmten Frequenzen interferieren die Mikrowellen konstruktiv miteinander. Man nennt solche Resonanzen Kavitätsmoden, siehe Abschnitt 2.3.3.
11
2.3
2.3.1
Dynamik und Wellenfunktionen des Kreisbillards
Klassische Dynamik
Es ist gut bekannt, dass die Bewegung eines Teilchens im zweidimensionalen
Kreisbillard klassisch integrabel ist, d.h. die Anzahl der Freiheitsgrade ist gleich
der der Bewegungskonstanten [30]. Der Phasenraum ist 4-dimensional, aber wegen Energie- und Drehimpulserhaltung reduziert er sich auf 2 Dimensionen. Zwei
geeignete Koordinaten sind die Komponente α des Impulses, welche im Reflexionspunkt tangential zur Kreislinie ist und der Auftreffpunkt angegeben im Bogenmaß, β, bezüglich der positiven horizontalen Achse. Eine Skizze der Phasenraumkoordinaten ist in der Abbildung 2.4 dargestellt. Im Folgenden sei sowohl
die Masse als auch der Geschwindigkeitsbetrag des Teilchens auf eins skaliert. Der
Winkel β wird modulo 2π genommen.
Unter diesen Bedingungen kann eine Abbildung
(β, α) → (β + π − 2α, α)
(2.10)
definiert werden, wobei α die Werte aus dem Intervall (−π/2, π/2) und β Werte aus (−π, π] annehmen kann, welche die Bewegung eines klassischen Teilchens
im Kreisbillard anhand von nur zwei Größen beschreibt (siehe Abb. 2.4). In
Abhängigkeit von α kann so die dynamische Entwicklung eines Teilchens im Billard ausgedrückt werden. Dafür werden zwei ganze Zahlen eingeführt. Es sind zwei
Klassen von klassischen Bahnen zu erkennen, diejenigen, deren α mit einer rationalen Zahl i/j verbunden ist (periodische Bahnen) und diejenigen, deren α mit einer irrationalen Zahl verbunden ist (quasiperiodische Bahnen). Wenn α = 2πi/j,
wobei i der Zahl der Reflexionen am Rand des Billards und j der Zahl der Wiederholungen einer bestimmten Bahn um das Billard entspricht, mit i < j/2 und i, j
teilerfremde Zahlen sind, erreicht die Bahn nach i Reflexionen den selben Punkt
im Billard. Darüberhinaus finden die Reflexionen in regelmäßigen Abständen auf
der Kreislinie statt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das βk+1 − βk = 2π/j.
12
Diese periodischen Trajektorien formen eine Familie von neutral stabilen Bahnen,
die eine Anfangskonfiguration vom Maß Null haben, d.h. sie nehmen kein Volumen imPhasenraum
ein [30, 31]. Die Länge L einer periodischen Bahn beträgt
2iR sin π ji . Sternbahnen und Polygone sind typische geometrische Formen, die
den periodischen Bahnen entsprechen (vgl. Abb. 2.5). Wenn α hingegen ein irrationales Vielfaches von π ist, sind die Reflexionspunkte in β gleichmäßig verteilt,
d.h. es werden alle Punkte des Billardrandes irgendwann erreicht. Diese quasiperiodischen Bahnen sind für die vorliegende Arbeit entscheidend, da sie das
zeitliche Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System für lange Zeiten
bestimmen.
2.3.2
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Systems wurde in zahlreichen Arbeiten theoretisch untersucht [32–35]. Mit der im letzen Abschnitt gezeigten Abbildung ist
es möglich anzugeben, wie lange ein Teilchen in einem offenen Kreisbillard bleibt.
Die Zeit, die zwischen zwei aufeinander folgenden Kollisionen mit der Berandung
vergeht, ist 2R cos α. Es wird angenommen, dass die Teilchendichte im Billard
Abbildung 2.4:
Iterative Abbildung des Kreisbillards. Die Tangentialkomponente
des Impulses und das Bogenmaß werden durch α und β symbolisiert, und sie gelten als generalisierte Koordinaten. Die Öffnungen
am Billard werden durch bezeichnet. In diesem Fall = 20o .
13
anfangs gleichmäßig und auf eins normiert ist. An jeder Stelle des Randes beträgt sie somit R cos αdβdα/ (4π). In Abb. 2.4 sind die Öffnungen der Länge in der elektromagnetischen Kavität angedeutet. Hier werden zwei Fälle analysiert. Derjenige einer einzelnen Öffnung und derjenige, in dem zwei Öffnungen
gegenüber liegen (Abb. 2.4). Die Zahl der Kollisionen N , nach der ein Teilchen
den Kreis verlässt, ist eine Funktion der Anfangsbedingungen, N (αo , βo ), und die
Aufenthaltszeit in der Kavität ist durch T = 2R cos αN (β0 , α0 ) gegeben. In der
Nähe von Familien der periodischen Bahnen gibt es Regionen des Phasenraumes
mit Volumen > 0, in denen die Teilchen für sehr lange Zeiten im Billard bleiben.
Die korrespondierenden Bahnen im Billard sind die in Abschnitt 2.3.1 erwähnten
quasiperiodischen Bahnen und sie entsprechen
(η ).
α = 2πi/j + η
(2.11)
Die Dynamik solcher Bahnen ist β 0 → β 0 − 2η, wobei der Strich bedeutet, dass
der Wert modulo 2π/j genommen wird. Im zwei Loch Fall entkommen Teilchen,
Abbildung 2.5:
Beispiel einer periodischen Bahn des Systems. Die Geometrie entspricht dem einfachsten Stern. Die gesamte Länge der Trajektorie ist als Funktion der Zahl der Reflexionen i und die Zahl
der Umläufe um den Kreis j berechnenbar. Der Winkel α ist
gleich 2π ji und die Länge L = 2iR sin π ji . In diesem Fall ist
(i, j) = (5, 2).
14
wenn eine der zwei folgenden Situationen stattfindet: a) Die Bahnen treffen entweder oder + π für η > 0, was zu einer Rotation der periodischen Bahnen im
Uhrzeigersinn entspricht. b) Die Bahnen treffen entweder 0 oder π für η < 0, was
zu einer Rotation der periodischen Bahnen entgegen dem Uhrzeigersinn (siehe
Abb. 2.4). Startet ein Teilchen mit einer Anfangsbedingung
β00 ∈ ( +
[
ηt
ηt 2π
, π) (π + +
, )
cos α
cos α j
(2.12)
so wird es das System nach t/2 cos 2πi/j Kollisionen verlassen, wobei t die vergangene Zeit ist. Diese Bahnen beschreiben die zeitliche Entwicklung des Systems
für sehr lange Zeiten und erfahren eine infinitesimale Rotation, die klein genug
ist, um die Löcher zu treffen und somit das Kreisbillard zu verlassen (siehe Abb.
2.6). Dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen, bis zu einer bestimmten
Zeit t im System zu bleiben, durch
P∞
2π
1 X j[g( j − π − ) + g(π − )] 2 πi
= Pt→∞ (t) ∼
sin
,
4π i,j
t
j
(2.13)

 x2 x > 0
g(x) =
 0 x60
(2.14)
gegeben. Die Summe wird auf 0 ≤ i < j < 2π/ beschränkt, wobei i und
j teilerfremd sind und Summanden, die schneller als 1/t zerfallen, werden vernachlässigt. Sei P1 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Kreissystem mit
einer Öffnung und P2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Kreissystem mit
zwei Öffnungen . Bunimovich und Dettmann haben ausgehend von (2.13) gezeigt
[20], dass die Riemannsche Hypothese äquivalent zu
lim lim δ−1/2 [tP1 (t) − 2] = 0
(2.15)
lim lim δ−1/2 [tP1 (t) − 2tP2 (t)] = 0
(2.16)
→0 t→∞
und zu
→0 t→∞
15
für jedes beliebige δ ¿ 0 ist [20, 36]. Die Interpretation beider Limes ist dass,
die Konvergenzgeschwindigkeit von tP1 (t) − 2 und von tP1 (t) − 2tP2 (t) gegen
√
0 schneller als sein muss. Eine experimentelle und numerische Näherung zu
diesem Ausdruck befindet sich in Abschnitt 4.5.
Zahlreiche numerische Ergebnisse haben für klassische reguläre Systeme einen
algebraischen Zerfall der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ∝ t−γ gezeigt. Im Gegensatz hierzu ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei chaotischen Systemen
[18, 34, 37] größtenteils exponentiell. Theoretisch wird in [18] bewiesen, dass für
ein offenes klassisches Billard γ = 1 gilt. Darüberhinaus ist der Exponent unabhängig von der Größe der Öffnung. Wie in [19] dargelegt ist, findet man jedoch
keine universelle Übereinstimmung mit dem Zerfallsverhalten des analogen Quantensystems. Dieses zeigt eine Abhängigkeit von der Zahl der geöffneten Kanäle
und ist für lange Zeiten durch ein algebraisches Verhalten charakterisiert[35]. Eine
Übereinstimmung beider Tendenzen sollte sich jedoch im Limes sehr großer Frequenzen ergeben, um die Konsistenz der semiklassischen Modelle zu gewährleisten.
Eine ausführliche Betrachtung folgt in Abschnitt 4.6, dort werden experimentelle
Ergebnisse mit einer klassischen Simulation verglichen.
2.3.3
Quantenmechanisches Billard
Allgemein stellt das Kreisbillard ein analytisch lösbares System dar [28]. Die
Eigenwerte und Wellenfunktionen des Quantenbillards erhält man aus der Lösung
der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung (2.2) mit der Randbedingung (2.3).
Diese lautet in Polarkoordinaten
~2
−
2
∂2
1 ∂
1 ∂2
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
ψ(r, θ) = Eψ(r, θ).
(2.17)
Eine Separation der Variablen ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ) liefert eine Gleichung für die
azimutale
d2 Θ(m) (θ)
= −m2 Θ(m) (θ)
dθ2
16
(2.18)
Abbildung 2.6:
Quasiperiodische Bahn, die dem langsam rotierenden Fünfeck
entspricht. Solche Bahnen bleiben in der Nähe der korrespondierenden periodischen Bahn gefangen, bis sie ein Loch am Rand
nach einer großen Zahl von Kollisionen treffen. Sie bestimmen
das Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit für sehr lange
Zeiten.
und eine für die radiale Abhängigkeit,
d2 R(r) 1 dR(r) m2
+
− 2 R(r) = −k 2 R(r).
dr2
r dr
r
(2.19)
Die resultierende Gleichung für die radiale Komponente lässt sich mit ρ = kr als
d2 R(ρ) 1 dR(ρ)
m2
+
+ 1 − 2 R(ρ) = 0
dρ2
ρ dρ
ρ
(2.20)
schreiben. Sie war zum ersten Mal vom Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel
im 19ten Jahrhundert gelöst worden und hat zwei linear unabhängige Lösungen
für jeden |m|-Wert. Eine Familie von Lösungen muss verworfen werden, da sie für
ρ → 0 divergiert und somit keine für (2.14) physikalisch sinvolle Lösung darstellt.
Somit ist die allgemeine Lösung der Schrödinger Gleichung für das Kreissystem
ψm,n = A sin(mθ)Jm (km,n r) + B cos(mθ)Jm (km,n r),
17
(2.21)
wobei Jm die Besselfunktion m-ter Ordnung ist. Die z-komponente der Drehimpulsquantenzahl m ist eine beliebige ganze Zahl und n entspricht der Anzahl der
Nullstellen, also der radialen Knoten der Besselfunktionen. Die Größen A und
B symbolisieren zwei Integrationskonstanten. Die Energieniveaus Em,n = ~2 k 2 /2
werden durch die Randbedingung Jm (km,n R) = 0 bestimmt. Alle Eigenwerte mit
m 6= 0 besitzen eine doppelte Entartung, da negative und positive Werte von m
den selben Beitrag ergeben. Physikalisch entspricht dies der Äquivalenz zwischen
der Bewegung im und entgegen dem Uhrzeigersinn. Die m = 0 Eigenmoden sind
durch eine Invarianz unter Rotationen charakterisiert. Abbildung 2.7 zeigt einen
Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Eigenmoden mit m = 0 und
m 6= 0. Einige der niedrigsten Eigenwerte sind in Abb. 2.8 zu sehen. Diese sind
nach Werten der Drehimpulsquantenzahl m sortiert.
Abbildung 2.7:
Zwei Beispiele für Wellenfunktionen mit Quantenzahlen (m, n).
Links ist die Mode (0, 5) dargestellt, die durch eine sphärische
Symmetrie charakterisiert ist. Rechts ist die Mode (4, 4) gezeigt,
die eine doppelte Entartung besitzt.
18
Abbildung 2.8:
Energiespektrum gegen die Drehimpulsquantenzahl m für die niederenergetischten Niveaus des Kreisbillards.
2.4
Absorptionsmaterial
Öffnet man ein Mikrowellenbillard entlang seiner Umrandung, werden die Mikrowellen an den Rändern der Öffnung diffraktiv reflektiert [38]. Diese Reflexionen treten nicht im Einbringen von Absorptionsmaterial in die Kavität auf, so
dass dieses ein klassisches Loch simuliert, weil jeder ankommende Wellenzug abgedämpft wird. Gleichzeitig stört das Absorptionsmaterial das Kreisbillard, da
Dissipation der Mikrowellen stattfindet. Ziel dieses Abschnittes ist es, die Effekte
des Absorptionsmaterials auf die Resonanzen des Kreisbillard theoretisch zu verstehen. Ein genaues Verständnis des absorbierenden Verhaltens wird durch die
Bestimmung der Dielektrizitätskonstante erlangt.
Ein auf ein Material mit einer sehr hohen Leitfähigkeit treffendes Mikrowellenfeld
erfährt eine perfekte Reflexion an der Oberfläche. Diese Reflexion wird durch den
19
Skineffekt verursacht [39], welcher ein induziertes Stromfeld in den äussersten
Schichten des Metalls beschreibt. Im Gegensatz dazu propagieren Mikrowellen,
die auf eine nichtmetallische Oberfläche wie z.B. Absorptionsmaterial auftreffen, teilweise ins Innere des Materials. Die Wechselwirkung von diesem mit den
Mikrowellen bewirkt eine Nettopolarisation im Absorber. Für diese Polarisation
sind mehrere Effekte verantwortlich, z.B. elektrische, ionische oder molekulare
Mechanismen, die im Endeffekt eine Ladungsumverteilung in der Richtung des
angewendeten elektrischen Feldes verursachen [40]. Wenn man eine Antwort des
Materials proportional zum auftreffenden elektrischen Feld annimmt ist die Verschiebungsdichte
~ = r 0 E,
~
D
(2.22)
wobei r die relative Dielektrizitätskonstante bezeichnet. Dies ist eine komplexe
Größe mit einer starken Frequenz- und Temperaturabhängigkeit, die entscheidend
für die vorliegende Arbeit ist [41].
Um den Effekt der Dämpfung zu beschreiben, wird die in Gl. (2.4) beschriebene
Wellenzahl
2π √
√
k = ω µ0 =
r
λ0
(2.23)
ausgewertet. Hierbei ist µ0 die magnetische Permeabilität des Vakuums, ω = 2πf
die Kreisfrequenz und λ0 die Wellenlänge im Vakuum. Im Folgenden wird die
Dämpfung, die im System durch das Absorptionsmaterial und die Wände der
Kavität verursacht wird, betrachtet.
2.4.1
Dämpfung am Absorber
Der Real- und Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante hat die folgende physikalische Interpretation. Wenn ein elektrisches Feld vorhanden ist, beschreibt der reelle
Teil 0 die gespeicherte elektrische Feldenergie pro Volumeneinheit. Die imaginäre
Komponente wird als Verlustfaktor beschrieben. Die Dielektrizitätkonstante lässt
sich als
20
= 0 + i
σ
ω
(2.24)
schreiben [40]. Hierbei ist σ die Leitfähigkeit. In der Tat ist es so, dass für den
benutzten Absorber im Bereich der Mikrowellenstrahlung 0 eine oder zwei Ordnungen größer als
σ
ω
ist [vgl. Tabelle 3.2]. Die Wellenzahl k lässt sich in dieser
physikalischen Situation durch
r
2π
k∼
=
λ0
0
0
(2.25)
ausdrücken.
2.4.2
Eindringtiefe in die Kavitätswände
Die physikalische Situation kleiner Verluste am Rand ist im supraleitenden Resonator gegeben. In diesem Fall ist der leitende Strom viele Größenordnungen
größer als der durch die dielektrische Verschiebungsdichte erzeugte Strom [42].
Eine approximative Lösung für die Wellenzahl k ist in diesem Fall gerechtfertigt,
wenn man den Imaginärteil von Gl. (2.24) in Gl. (2.22) einsetzt. Dann ist die
Wellenzahl durch
k∼
=
r
ωµ0 σ
(1 − i)
2
(2.26)
gegeben. Diese letzte Relation ist nichts anderes als der erwähnte Skineffekt, da
die so genannte Eindringtiefe
r
δs =
2
ωµ0 σ
ist [39].
21
(2.27)
2.4.3
Energieverlust und Qualitätsfaktor der Kavität
Die Dissipation der Mikrowellen sowohl an den Wänden der Kavität als auch
im Absorptionsmaterial folgt gemäß dem letzten Abschnitt einem exponentiellen
Abfall
~ r, t) = E~0 e−ω0 t/2Q cos(ω0 t).
E(~
(2.28)
In diesem Ausdruck symbolisiert Q den sog. Qualitätsfaktor (auch Güte genannt),
ω0 ist die Frequenz der betrachteten Resonanz. Physikalisch entspricht Q dem
Verhältnis zwischen der gespeicherten Energie in der Kavität und der Verlustleistung.
Wenn man eine Fouriertransformation von Gl. (2.25) durchführt und das Betragsquadrat bildet, erhält man einen Ausdruck für das Leistungsspektrum im Inneren
der Kavität
|E(ω)|2 ∝
(ω − ω0
)2
1
,
+ (ω0 /2Q)2
(2.29)
der eine Lorentzkurve entspricht. Die Güte Q lässt sich auch als Quotient zwischen
der Resonanzfrequenz und ihrer Breite (definiert als das Frequenzintervall, bei
dem |E(ω)|2 seinen halben Wert erreicht, siehe Abbildung 2.9)
Q=
ω0
ω0
=
δω
Γ
(2.30)
schreiben, wobei Γ die Breite der Resonanz darstellt. Um Q auszuwerten, berechnet man die im zeitlichen Mittel im System gespeicherte Energie sowie die
Verlustleistung durch die Wände. Dies führt zu
Q=
d
1
,
κ 2 1 + ξ Cd
(2.31)
4A
mit C und A als Umfang und Fläche des Kreises [39]. Die Höhe des Resonators ist
22
d und ξ ist ein Faktor, der etwa eins entspricht. Treffen die Mikrowellen auf eine
q
leitende Wand, ist κ = δs = ωµ20 σ die Skintiefe , treffen sie auf einen Absorber,
so gilt κ =
λ0 √1
.
2π 0
Abbildung 2.9:
Lorentzkurve an der Stelle der Resonanz ω0 . Die Breite Γ wird definiert als das Frequenzintervall, bei dem das Betragsquadrat des
elektrischen Feldes seinen halben Wert in der Resonanz annimmt.
23
3
3.1
Experimentelle Methode
Messprinzip
Die Messungen beruhen auf der elektromagnetischen Anregung einer Kavität.
Dafür koppelt man Energie in Form von Mikrowellen anhand einer Antenne in
das System ein. Diese Antenne stellt einen Dipol mit einem Dipolmoment
µ = µ0 cos(ωt)
(3.1)
dar [43]. Das elektromagnetische Signal wird von einem vektoriellen Netzwerk
Analysator (VNA) in einem Bereich von 0.045 bis 20 GHz generiert. Dieses Signal
wird über Koaxialleitungen zu einer der Antennen geführt und so in das System
eingespeist. Gleichzeitig wird das empfangene Signal an einer anderen Antenne ausgekoppelt. Es wird das Verhältnis zwischen der Ausgangsleistung und der
Eingangsleistung sowie die Phasendifferenz zwischen beiden Signalen aufgenommen. Die konstruktive Interferenz der elektromagnetischen Wellen in der Kavität
übersetzt sich in Transmissionsmaxima im Frequenzspektrum (siehe Abschnitt
2.4.3).
3.2
Verwendete Kavität
Für die Experimente wurde ein Doppelkreisbillard benutzt. Es besteht aus 5 Kupferplatten von jeweils 5 mm Dicke, die wie in Abbildung 3.1 zusammengeführt
werden. Danach wurden die Platten verschraubt. Die Platten 1 und 5 dienen als
Deckel der beiden Billards. In die Deckel wurden jeweils 7 Löcher für die Antennen
gebohrt. Die Anordnung der Antennen ist in Abbildung 3.2 zu sehen, die Positionen der Antennen auf den Deckelplatten sind in Tabelle 3.1 angegebenen. In allen
Experimenten wurden jedoch nur 3 Antennen, nämlich die Nummer 1, 5 und 7
verwendet, um die selben Bedingungen in beiden Billards der Doppelkavität zu
24
ermöglichen. Die Antennen ragen nur 0.5 mm in die Kavitäten hinein. Dies bewirkt, dass die Antennen die Feldverteilung wenig stören. Schließlich wurde eine
dünne Bleischicht von etwa 40 µm mit einer Sprungtemperatur Tc ≈ 7.2 K auf
alle Kupferplatten aufgetragen. Auf diese Weise wird ein supraleitender Zustand
des Billards bei der Temperatur des flüssigen Heliums (4.2 K) gewährleistet. Dies
führt zu viel höheren Resonatorgüten im Vergleich zu den in Messungen im normalleitenden Zustand erreichten (siehe Abschnitte 2.4 und 4.1).
1
2
3
4
5
Abbildung 3.1:
Skizze des Aufbaus der Doppelkreiskavität. Die Platten 1 und 5
werden für die Ein- bzw. Auskopplung der Mikrowellen anhand
der sichtbaren Antennen benutzt und sind spiegelnsymmetrisch.
Die Platten 2 und 4 definieren die Kontur der Kreise und sind
völlig identisch. Die Platte 3 dient beiden Kavitäten als Boden.
Die Platten 2 und 4 definieren die Kontur der Billards, d.h. zwei Kreise von 24
cm Durchmesser. Platte 3 dient beiden Billards gleichzeitig als Boden. Entlang
der Konturen wurden Nuten ausgefräst, um einen guten elektrischen Kontakt
zwischen den verschiedenen Platten zu gewährleisten. Dafür wird Lötzinn in die
25
Nuten eingebracht. Mit dieser Konfiguration erreicht man im supraleitenden Zustand eine sehr gute Leitung der Oberflächenströme, was zu sehr schmalen Resonanzen führt und somit eine gute Identifizierung der Kavitätsmoden erlaubt [10].
Eine der wichtigsten Aufgaben bestand in der Auswahl des Absorptionsmaterials.
Ziel der Experimente mit Absorptionsmaterial an den Billardberandungen war,
Öffnungen in den Kreisbillards so gut wie möglich zu simulieren. Eine detaillierte
Erklärung dieses Auswahlprozesses ist in Abschnitt 3.3 gegeben. Gemäß [20] sollen Billards mit infinitesimal kleinen Öffnungen untersucht werden. Experimentell
werden daher möglichst kleine Stücke des Absorptionsmaterials verwendet. Insbesondere wurden Absorberstücke mit einer Länge von 10.5, 20.9, 31.4, 41.9 mm
benutzt, die Kreisbögen von 5o , 10o , 15o und 20o entsprechen. Für 5 und 15 Grad
wurden auch Experimente mit zwei Stücken durchgeführt, die gegenüberliegend
im Billard platziert wurden. (Siehe Abbildungen 2.4 und 3.3).
Abbildung 3.2:
Platzierung der Antennen im Kreisbillard. Die Mikrowellen wurden durch die Antennen 1, 5 und 7 in die Kavität ein- bzw. ausgekoppelt.
26
Abbildung 3.3:
Billard ohne Deckel. Zwei Absorbermaterialstücke von 15 Grad
sind gegenüberliegend an der Berandung platziert und simulieren
klassische Öffnungen (oben und unten in schwarz).
Tabelle 3.1: Position der Antenne bezüglich des Kreiszentrums.
Antenne Position (mm)
1
(15,15)
2
(-25,25)
3
(-25,-25)
4
(15,-35)
5
(45,-45)
6
(-20,73)
7
(-97,-32)
27
Vor jeder Messung wurden die Flächen und Wände beider Billards mit Aceton
poliert, danach die Absorptionsmaterialen an den richtigen Stellen aufgeklebt,
und schließlich jede der 40 M6-Schrauben mit einem Drehmoment von 16 Nm
verschraubt, um alle Kupferplatten mit den Absorbern zusammenzupressen. Für
jede der 6 Messungen wurde das Absorptionsmaterial genau an den selben Stellen
platziert. Das Aussehen des Doppelkreisbillards ohne Deckel und im verschraubten Zustand ist in den Abbildungen 3.3 bzw. 3.4 gezeigt.
3.3
Auswahl des Absorptionsmaterials
Es wurden sieben verschiedene Absorptionsmaterialen der Firma ARC getestet
[44]. Die Tests wurden für jeden Absorber sowohl bei Zimmertemperatur als auch
bei der des flüssigen Stickstoffs (77 K) durchgeführt. Der experimentelle Prozess
bestand aus direkten Transmissionsmessungen durch Absorber (siehe Abb. 3.5
unten) und Transmissionsmessungen nach einer Reflexion an einer Kupferplatte,
Abbildung 3.4:
Billard im verschraubten Zustand. Die drei aufmontierten Antennen, die Energie ins System bzw. aus diesem heraus transferieren,
sind ebenfalls zu sehen.
28
Abbildung 3.5:
Direkte Transmissionsmessung (unten) und Transmissionsmessung mit einer Reflexion an einer Kupferplatte (oben) eines Absorptionsmaterialmusters, von vorn gezeigt (links) und von oben
gezeigt (rechts). Der Messapparat ist der in Abschnitt 3.4 beschriebene Netzwerk Analysator. Zwei Kabel wurden für die
Emission und den Empfang der Mikrowellen im Bereich 0-20 GHz
benutzt. Messungen wurden für Abstände zwischen den Kabeln
d1 = 76 mm und d2 = 119 mm und bei Zimmertemperatur und 77
K realisiert. Zunächst wurde der Messaufbau ohne Absorptionsmaterial vermessen. Die Reflexion an einer Kupferplatte wurde
mit einer anderen Kupferplatte zwischen den Kabeln gemessen,
um eine direkte Transmission zu vermeiden. Die Transmission in
Luft wurde ebenfalls gemessen. Danach wurde jeder von den sieben getesteten Absorbern eingebracht.
an die der Absorber angebracht wurde, wie Abb. 3.5 oben zeigt. Letzte Situation
entspricht der im Experiment. Diese Skizze zeigt ebenfalls den Netzwerkanalysator und zwei Kabel, die an ihn angeschlossen wurden.
29
Für die Messungen bei 77 K wurden die Materialen zuerst etwa 10 Minuten lang in ein Bad mit flüssigem Stickstoff eingetaucht und anschließend an
die Kupferplatten gestellt. Da jede Messung nur 60 Sekunden dauerte, behalten die Materialen die Temperatur des flüssigen Stickstoffes während der Messung. Experimentelle Spektren der Transmissionsmessungen aller Absorber sind
in den Abbildungen 3.6 und 3.7 zum Vergleich dargestellt. Von einer ersten
Messreihe wurden zwei Absorber ausgewählt, das Urethan U D11091 und der mit
Kohlenstoff imprägniert Schaum LS10211. U D11091 besteht aus einem sehr flexiblen Urethangummi mit einem Ferritkern, besonders geeignet zur Modenunterdrückung in einer geschlossenen Kavität und für eine Oberflächenstromdämpfung.
H
Abbildung 3.6:
Spektren bis 20 GHz der Transmissionsmessungen bei Raumtemperatur für die Materialen DD10214, DD10017, LS10211 und
LS10055 der Firma ARC. Es ist jeweils die Transmission zwischen zwei Antennen ohne und mit Absorptionsmaterial dazwischen dargestellt. Der experimentelle Aufbau entspricht der im
unteren Teil der Abb. 3.5 beschriebenen Situation mit einem Abstand d von 76 mm.
30
H
Abbildung 3.7:
Spektren bis 20 GHz der Transmissionsmessungen für die Materialen U D11091, U D11554 und N D12142 der Firma ARC. Es ist
nochmals die Transmission zwischen zwei Antennen ohne und mit
Absorptionsmaterial dazwischen dargestellt. Die Messbedingungen entsprechen den von der Abb. 3.6.
Das Material hat eine Dicke von 5.08 ± 0.01 mm. Bei LS10211 handelt es sich um
einen verlustreichen Schaumstoff mit einer sehr niedrigen Dichte von 80 kg/m3 .
Nach einer zweiten Reihe von Transmissionsmessungen wie in Abb. 3.5 mit beiden
Materialen wurde das Urethan U D11091 ausgewählt. Das gesamte absorbierende
Verhalten war im Vergleich zu dem vom Schaum LS10211 besser bei niedrigen
Temperaturen (zumindest bei 77 K). Weitere Eigenschaften des ausgewählten
Materials sind sowohl in Abbildung 3.8 als auch in Tabelle 3.2 aufgelistet. Sehr
wichtig ist dabei die Abhängigkeit der Dämpfung von der Frequenz. Dafür werden der Realteil 0 und der Imaginärteil 00 der relativen Dielektrizitätskonstanten
sowie die Dämpfung pro Längeneinheit im Bereich von 1 GHz bis 10 GHz verglichen (siehe auch Abschnitt 2.4). Zu beachten ist der große Unterschied zwischen
dem Real- und Imaginärteil der relativen Diektrizitätskonstanten, was eine Behandlung des Systems wie in Abs. 2.4.1 erlaubt. Die Dämpfung von Mikrowellen
bei Reflexion an U D11091, sowie die Eindringtiefe in das Material, jeweils als
Funktion der Frequenz, sind in Abb. 3.8 gezeigt. Die Dämpfung am Absorber
31
ist in guter Übereinstimmung mit den gemessenen Werten. Alle Daten für die
Tabelle 3.2 und Abbildung 3.8 wurden von der Firma ARC importiert [44].
Tabelle 3.2:
Absorbierende Eigenschaften des Urethan U D11091 für die in den
Messungen relevanten Frequenzen [44].
Frequenz (GHz)
0
00
Dämpfung (dB/cm)
1
15.61 0.93
14.37
2
16.34 0.61
27.38
3
16.41 0.63
45.14
4
16.44 0.52
58.03
5
16.39 0.52
67.49
6
16.19 0.52
81.33
7
16.13 0.51
84.59
8
15.99 0.55
91.34
9
15.87 0.56
95.32
10
15.83 0.47
95.10
32
Abbildung 3.8:
Darstellung der Eindringtiefe und der Reflexionsdämpfung des
Urethan U D11091 als Funktion der in den Messungen relevanten Frequenzen. Das absorbierende Verhalten ist klar frequenzabhängig [44].
3.4
Experimentelle Vorbereitung
Es wurden Messreihen bei 4.2 K durchgeführt, im Folgenden Kaltmessungen genannt. Drei entsprechende Messungen bei 77 K, der Temperatur von flüssigem
Stickstoff, wurden ebenfalls durchgeführt. Eine Abbildung des experimentellen
Aufbaus findet sich in Abb. 3.9. Die Doppelkavität wurde in einer Kupferbox
im Inneren eines Kryostaten versenkt. Diese Kupferbox besitzt eine hohe thermische Leitfähigkeit und wurde zur Unterdrückung thermischer Fluktuationen
evakuiert. Dafür wurde eine Vakuumpumpe benutzt, mit der ein Druck in der
Größenordnung von 10−2 mbar erreicht wurde. Vor den Kaltmessungen wurden
die Kupferbox und das Billard auf 77 K vorgekühlt. Dieser Vorkühlungsprozess
dauerte ungefähr drei Tage, als Kühlmittel wurde hierfür flüssiger Stickstoff ein33
gesetzt. Ziel der Vorkühlung ist, dass die Kupferbox bei der Befüllung mit Helium
so kalt wie möglich ist, um nicht zu viel Helium durch Verdampfung zu verlieren.
Das Einfüllen von Helium ist der kritischste Moment im ganzen experimentellen Prozess. Dafür wurden eine Helium-Kanne, ein Heliumstand-Messgerät und
Abbildung 3.9:
Schema des Messaufbaus. Die Kupferbox befindet sich im Inneren
des Kyostaten und wird über flexible Kabel mit Mikrowellenschaltern verbunden, um verschiedene Antennenkombinationen messen zu können. Dann wird das Signal zum Analysator geführt
und in einem Computer gespeichert. Druck- und Temperatursensoren werden ebenfalls mit der Kupferbox verbunden.
34
ein Verbindungsschlauch genutzt (siehe Abb. 3.10). Durch Überdruck in der HeKanne wurde das flüssige Helium über den Schlauch in den Kryostat gedrückt.
Wenige Stunden nach der Befüllung mit flüssigen Helium wurde der supraleitende
Zustand des Billards durch thermisches Gleichgewicht erreicht. Unter diesen Bedingungen dauerte der supraleitende Zustand für jede der drei Messreihen etwa
80 Stunden. Das abgedampfte Helium wurde zunächst in einen 15 m3 fassenden Ballon geleitet, danach komprimiert und in Glasflaschen gespeichert. Die
Heliumanlage des Beschleunigers S-DALINAC vom Institut für Kernphysik in
Darmstadt wurde dafür mitbenutzt. Druck und Temperatur sowohl in der Kupferbox als auch im Kryostat wurden während der Messzeit anhand von Sensoren
kontrolliert.
In Abb. 3.9 ist auch zu sehen, wie die elektromagnetischen Kavitäten über sechs
Koaxialkabel durch zwei Röhren mit den Mikrowellenschaltern und von dort aus
mit dem Netzwerk Analysator HP 8510 C verbunden wurden. Die Mikrowellenschalter ermöglichten es, die drei Antennenkombinationen (zwischen den Antennen 1, 5 und 7) mit nur geringer zeitlicher Verzögerung zu messen. Der Netzwerkanalysator arbeitete im Bereich von 0.5 bis 20 GHz mit einer Auflösung von 20
kHz für alle Transmissionsmessungen. Das Zeitintervall, in dem Daten aufgenommen wurden, betrug an jedem Kreis ungefähr 17 Stunden. Die Daten wurden zu
einem Rechner übertragen und für die spätere Verarbeitung abgespeichert.
35
Abbildung 3.10:
Foto einiger in den Experimenten benutzten Elemente. Die große
Kanne (1) enthält etwa 250 Liter flüssiges Helium über den
Schlauch (2) wurde die Flüssigkeit in den Kryostat (3) gedrückt.
Auch der Kryostatdeckel ist zu sehen. Die kleinen Kabel (4)
wurden für die Transmission des elektromagnetischen Signals
benutzt. Sie verbinden die Kavitäten mit den Mikrowellenschaltern.
36
4
4.1
Ergebnisse und Auswertung
Supraleitende Messungen
In der bisherigen Messzeit wurden zwei Arten von Messungen durchgeführt. Kaltmessungen bieten aufgrund des Erreichens eines supraleitenden Zustandes eine
sehr hohe Güte im Vergleich zu Warmmessungen (siehe Abschnitt 2.4.3). Der
Qualitätsfaktor eines Spektrums hängt unter anderem von der Leitfähigkeit der
entstandenen Oberflächenströme ab. Ursprung dieser Ströme ist die Wechselwirkung zwischen den Mikrowellenstrahlen und den Elektronen der Bleiatome an der
Oberfläche der Resonatoren.
Ein Vergleich zwischen Warm- und Kaltmessungen ist in Abb 4.1 gezeigt. Die
Abbildung zeigt nur ein kleines Frequenzfenster des ausgemessenen Spektrums
des Systems mit einem Öffnungswinkel von 5o . Die Güte liegt in den normalleitenden Messungen bei etwa 103 und in den supraleitenden bei 105 .
Ein weiterer zu beobachtender Effekt ist die Verschiebung aller Resonanzen hin zu
höheren Frequenzen in Bezug auf deren Frequenzen im normalleitenden System.
Die geometrischen Maße des Billards ändern sich mit der Temperatur und müssen
korrigiert werden. Ein Ausdruck dafür bei so niedrigen Temperaturen wie die in
den Experimenten erreichten ist schwer zu geben, da der Ausdehnungskoeffizient
beim Übergang zum supraleitenden Zustand von der Übergangstemperatur, dem
kritischen magnetischen Feld und ihren Ableitungen abhängt [45]. Dieser Effekt
ist aber deutlich beobachtbar im Spektrum in Abbildung 4.1. Die Verschiebungen
liegen im Bereich von einigen MHz.
37
Abbildung 4.1:
Vergleich zwischen einem supraleitenden und normalleitenden
Spektrum, gemessen in dem Kreissystem mit 5o Absorptionsmaterial.
4.2
Entartete Niveaus
Als Entartung wird die physikalische Situation in einem Quantensystem bezeichnet, in der die Gesamtenergien zweier verschiedener Zustände gleich groß sind
[28]. Jeder Quantenzustand des Kreisbillards mit m 6= 0 ist doppelt entartet.
Drei Effekte im Bezug auf die entartete Niveaus werden deutlich beobachtet:
die Aufspaltung niederenergetischer entarteter Niveaus, die Dämpfung einer Resonanz des Dubletts am Absorber und die Verschiebung der Resonanzen eines
Dubletts. Die Abbildung 4.2 führt diese drei Effekte zusammen. Es sind die Moden (1,1) und (2,1) für die Kavitäten mit den 5o , 10o und 15o entsprechenden
Absorberkonfigurationen abgebildet und dabei für jedes Dublett zwei lokale Ma38
xima erkennbar, die sich mit zwei komplexen Breit Wigner Funktionen anpassen
lassen.
4.2.1
Aufspaltung entarteter Niveaus
Kleine Störungen der Kreissymmetrie, wie sie durch das Einbringen des Absorbers
verursacht werden, führen zu einer Aufhebung der Entartung. Die so entstandenen Dubletts lassen sich in supraleitenden Messungen, bei genügend hoher Frequenzauflösung, unterschneiden. Für die niederenergetischen Moden konnte diese
Aufspaltung im Experiment beobachtet werden. Zwei Beispiele sind im oberen
Teil der Abb. 4.2 gezeigt. Theoretisch ist die Erklärung für die Entartung im
oszillierenden Verhalten der Lösungen der Schrödingergleichung zu finden (siehe Abschnitt 2.3). Jeder Zustand mit m 6= 0 enthält zwei linear unabhängige
Lösungen, die sich nur in einer Phase unterscheiden (siehe Abschnitt 2.3.3 und
Abbildung 4.3).
4.2.2
Dämpfung am Absorber und Verschiebung der Dubletts
In Abbildung 4.2 ist eine große Dämpfung in der Amplitude der linken Mode des Dubletts ersichtlich. Eine Resonanz wird durch das Absorptionsmaterial gedämpft, wenn die zugehörige elektrische Feldstärke am Ort des Absorbers
nicht verschwindet. Deswegen ist die Breite des ersten aufgespaltenen Niveaus
stark gedämpft, während die Breite und Amplitude der rechten Resonanz des
Dubletts beim Vergleich der drei Konfigurationen praktisch nicht variiert. Wie
erwartet ist die Dämpfung grösser, je mehr Absorptionsmaterial vorhanden ist,
wie Abb. 4.2 hervorhebt.
Eine weitere experimentelle Beobachtung ist, dass das Maximum des kleineren
Peaks um so weiter zu kleineren Frequenzen hin verschoben wird, je größer
die Öffnungen sind. Anders ausgedrückt erfahren nur die durch die Absorber
gestörten Moden eine gewisse Verschiebung hin zu kleineren Frequenzen wobei
diese stark von der Größe der simulierten Öffnungen abhängt. Die Änderung
der Randbedingung an der Stelle des Absorbers bewirkt eine Modifikation der
39
Resonanzfrequenzen. Gemäß Gl. (2.5) muss das elektrische Feld an der Berandung der Kavität verschwinden. Mit dem Einbringen des Absorptionsmaterials
ist jedoch an dieser Stelle eine exponentielle Dämpfung des elektrischen Feldes
zu erwarten (siehe Abschnitt 2.4 und Abb. 4.4), d.h. das Feld wird nicht auf
Null gezwungen. Dies führt zu längeren Wellenlängen bzw. kleineren Frequenzen.
Abbildung 4.2:
Vergleich der ersten zwei aufgespaltenen Moden (1, 1) und (2, 1)
für die Kavitäten mit einem Absorber von 5o , 10o und 15o . Es
ist die Abdämpfung und Verschiebung des linken aufgespaltenen
Peaks des Dublettes in Abhängigkeit vom Absorptionsmaterial zu
beachten. Die Amplitude des rechten Peaks bleibt hingegen fast
invariant.
40
Abbildung 4.3:
Theoretische Feldverteilung der zwei linear unabhängigen Moden
mit |m| = 2. Beide unterscheiden sich in der Phase, so dass die
Feldverteilungen um 45o gegeneinander verschoben sind.
Diese Argumentation erklärt die beobachteten Verschiebungen in Abb. 4.2. Der
Abstand zwischen beiden Peaks eines Dubletts vergrößert sehr deutlich mit der
Größe der simulierten Öffnung. Das Absorptionsmaterial hat keinen Effekt mehr
auf den hohen Peak der aufgespaltenen Moden, da seine maximale Feldverteilung im Billard um 45o in Bezug auf ihre gestörten Partner verdreht ist (vgl.
Abb. 4.3). In Abb. 4.2 sieht man besonders gut, dass die Amplitude des rechten
Peaks der aufgespaltenen Moden praktisch unabhängig von der Anwesenheit des
Absorptionsmaterials ist.
4.3
Auswertung der Spektren
Im Jahr 1912 entwickelte Weyl eine Formel, die die Eigenmoden für die Wellengleichung in einem endlichen Gebiet mit einer Randbedingung beschreibt [46].
Diese Formel hängt von den Systemabmessungen ab. Sie gibt die gesamte Zahl
der Kavitätsmoden bis zu einer gewissen Frequenz an. Für ein zweidimensionales
System lässt sie sich als
41
Abbildung 4.4:
Elektrische Konfiguration einer m = 2 Mode im Kreisbillard mit
Absorber. Durch die exponentielle Dämpfung am Absorber wird
die Wellenlänge der Mode vergrößert. Die zweite Lösung für den
m = 2 Fall ist um 45o gedreht und wird durch den Absorber kaum
beeinflusst.
Nw (f ) =
πA 2 C
f − f + const.,
c2
2c
(4.1)
schreiben wobei A und C die Fläche und den Umfang des Systems bezeichnen.
Die Lichtgeschwindigkeit wird mit c bezeichnet [47]. Obwohl die Kaltmessungen bis zu einer maximalen Frequenz von 20 GHz realisiert wurden, konnte die
Identifizierung der Resonanzen nur bis 10 GHz durchgeführt werden. Durch das
Einbringen kleiner Absorber werden die Resonanzen stark verbreitert (siehe Abschnitt 2.4). Diese Verbreiterung zeigt eine starke Abhängigkeit von der Länge des
Absorptionsmaterialstückes. Daher konnte das Spektrum des Systems mit einem
Absorber oberhalb 20o Öffnung nicht mehr vermessen bzw. ausgewertet werden.
Für die Maße des Kreisbillard-Systems werden gemäß Gl. (4.1) etwa 145 Resonanzen bis 10 GHz erwartet. Im Anhang A sind diejenigen Resonanzen angegeben,
die theoretisch erwartet werden, in den gemessenen Spektren jedoch nicht identifiziert werden konnten. Für diese verlorenen Resonanzen gibt es zwei Ursachen.
42
Es gibt einerseits Moden, die so dicht beieinander liegen, dass eine experimentelle
Beobachtung nicht möglich ist. Zum Anderen gibt es Moden, die aufgrund einer
starken Ankopplung an das Absorptionsmaterial so stark verbreitert sind, dass
sie sich nicht mehr vom Untergrund der Messung unterscheiden lassen.
In der Liste der nicht identifizierten Moden (Anhang A) fehlen zwei Sequenzen von Moden besonders häufig, (0, n) mit beliebigen n und (m, 1) mit großen
m. Beide Familien besitzen in der Nähe der Berandung der Kavität ein stark
lokalisiertes Feld. Dies ist der Grund für die starke Ankopplung an den Absorber. Hingegen wurden Eigenmoden beobachtet, die minimal durch den Absorber
gestört wurden. Simulierte Feldverteilungen beider Fälle sind in Abb. 4.5 neben
den experimentellen Resonanzen gezeigt.
4.4
Spektrale Eigenschaften
Die Zufallsmatrixtheorie (kurz RMT, Random Matrix Theory) wurde in den 60er
Jahren entwickelt und beschäftigt sich mit der analytischen Beschreibung der
statistischen Eigenschaften von Ensembles von Zufallsmatrizen [26]. Die RMT
wurde eingeführt, um die Statistik der Energieniveaus von Kernspektren zu beschreiben. Später wurde sie auch auf mesoskopische Quantensysteme und Wellenphänomene angewendet [48]. Das statistische Verhalten von Systemen sowie
Korrelationen zwischen ihren Eigenwerten und Eigenzuständen können anhand
von Matrixensembles mit völlig unkorrelierten, zufälligen Elementen quantitativ
modelliert werden.
Im Rahmen dieser Theorie werden nun statistische Analysen der für die vorliegende Arbeit gemessenen Daten gezeigt. Ziel dieser Betrachtung ist eine Charakterisierung des betrachteten Systems als ein reguläres, ein chaotisches oder eines
mit gemischter Dynamik und eine Identifizierung der klassischen Trajektorien aus
dem Quantensspektrum anhand des sog. Bahnlängenspektrums. Wie in Abschnitt
2.3.1 erwähnt wurde, stellt das geschlossene Kreisbillard ein perfekt integrables
System dar. Man muss hier zwischen den gebundenen Zuständen und den Streuzuständen unterscheiden. Die gebundenen Zustände sind diejenigen, die nach Gl.
43
(4.1) in einem äquivalenten geschlossenen Kreisbillard zu finden sind. Hingegen
sind die Streuzustände diejenigen, die an die angebrachte Störung des Systems,
Abbildung 4.5:
Darstellung einiger experimenteller Resonanzen im Spektrum für
den Fall von einem Absorber und 10o neben den zugehörigen Feldverteilungen im simulierten geschlossenen Quantensystem. Die
Abdämpfung in den beiden oberen Fällen ist offensichtlich, da
die maximale Feldverteilung am Rand des Billards liegt. Hingegen ist die Mode (2,5) nur geringfügig von dem Absorber gestört,
hier liegt das Absorbermaterial wahrscheinlich auf einer Knotenlinie in der Feldverteilung und die korrespondierende Resonanz
ist deutlich erkennbar.
44
d.h. an das Absorptionsmaterial, angekoppelt sind [15]. Für das Auswerten der
statistischen Eigenschaften werden nur die gebundenen Zustände berücksichtigt.
Die Frage ist, ob sich das hier simulierte offene System ebenfalls wie ein reguläres
System verhält [49]. Für die Analyse ist es notwendig, die Anzahl der Resonanzen, sowie deren Abstand untereinander zu bestimmen. Die Zustandsdichte (auch
Niveaudichte genannt) erhält man durch Ableitung der Anzahl der Resonanzen
N (f ) nach der Frequenz
ρ(f ) =
X
δ(fn − f ),
(4.2)
fn <f
wobei n die gesamte Zahl der gefundenen Resonanzen beschreibt.
4.4.1
Verteilung benachbarter Eigenwerte
Um eine Bestimmung der kurzreichweitigen Korrelationen zwischen den Eigenfrequenzen durchzuführen, wird zuerst die sog. Verteilung benachbarter Eigenwerte
P (s) ausgewertet, die die relative Häufigkeit der Abstände (s = fn − fn−1 ) von
zwei benachbarten Eigenfrequenzen beschreibt. Der mittlere Abstand ist auf eins
skaliert. Die Abb. 4.6 zeigt experimentelle Ergebnisse für P (s) für die Kavitäten
mit 5o , 10o und 15o Absorptionsmaterial. Um eine Verfälschung der Statistik zu
vermeiden, wurde die Entartung abgezogen, d.h. an jeder Resonanzfrequenz mit
m 6= 0 wurden die Dubletts nur einmal gezählt. Es ist lange bekannt, dass die
NND der Eigenwertverteilung quantenmechanischer Billards, deren zugrundeliegendes klassisches System regulär ist, durch die Poissonsche Statistik P (s) = e−s
beschrieben wird [8]. In diesen Systemen sind die Eigenwerte also unkorreliert.
Die Verteilung benachbarter Eigenwerte in den betrachteten Fällen zeigt, dass
P (s) für s = 0 nicht verschwindet, was eine Charakteristik regulärer Systeme
darstellt. Es ist dabei zu betonen, dass ein großer Teil der Eigenwerte, besonders
in den Fällen mit 10o und 15o , nicht gefunden wurde, was zu großen statistischen
Fehlern führt [50].
45
Abbildung 4.6:
Verteilung benachbarter Eigenwerte für die drei Konfigurationen
mit einem Absorber. Daneben ist die Poissonsche Vorhersage gegeben, die der Verteilung eines regulären klassischen Systemes
entspricht. Bei 10o und 15o sind große statistische Fehler wegen
der hohen Zahl der in den Spektren nicht identifizierten Resonanzen vorhanden (siehe Anhang A).
4.4.2
Langreichweitige Korrelationen
Um Korrelationen zwischen nicht direkt benachbarten Eigenwerten zu untersuchen, wurde die sog. Dyson-Metha Statistik (auch Steifheit des Spektrums genannt) betrachtet [48]. Diese beschreibt die Fluktuationen der Zahl von Eigenfrequenzen in einem Intervall der Länge L
46
∆3 (L) =
D
1
min
a,b L
Z
L
2
df [(N (f − f0 ) − a − bf ))]2
E
(4.3)
−L
2
wobei a und b die Parameter einer angepassten geraden Linie auf dem Intervall
der Größe L sind. Die Mittelung dieses Ausdruckes findet über viele Intervalle
der Länge L mit Zentrum f0 statt. Da ρ(f ) für entfaltete Frequenzen gemäß Gl.
(4.1) eine Summe über Delta-Funktionen mit einem mittleren Abstand von eins
ist, stellt N (f ) eine Treppenfunktion mit einer mittleren Steigung von eins dar.
Theoretisch findet man für den reinen Poissonschen Fall eine universelle gerade
Abbildung 4.7:
∆3 -Statistik für die drei Konfigurationen mit einem Absorber.
Die gepunktete Linie entspricht dem Poissonschen Fall. Die Abweichungen in Bezug auf diese Linie für große Längen deuten auf
ein nicht mehr universelles Verhalten hin.
47
Linie wie in Abb. 4.7 zu sehen ist. In dieser Abbildung sind die experimentellen
Ergebnisse ebenfalls eingetragen. Es ist zu erkennen, dass die Messung ab einer
gewissen Grenzlänge deutliche Abweichung von der Poisson-Vorhersage zeigt, sie
weist auf ein nicht mehr universelles Verhalten hin.
4.5
Bahnlängen
Die semiklassische Formel von Gutzwiller drückt die Niveaudichte eines Quantenspektrums als eine Summe über klassische periodische Bahnen aus (vgl. Abschnitt
2.3) [26]. Das sog. Längenspektrum, die Fouriertransformierte des fluktuierenden
Anteils der Niveaudichte ist als
f luc
ρ̃
Z
fmax
(x) =
e
i2π
fx
c
[ρ(f ) − ρw (f )]df
(4.4)
fmin
definiert, wobei ρ(f ) in (4.4) eingeführt wurde und ρw (f ) die Ableitung der
Weyl Formel (Gl. (4.2)) ist. Das Integrationsintervall wird durch [fmin , fmax ] entspricht dem Frequenzintervall, in dem die Daten aufgenommen wurden. In den
gemessenen Spektren wurde diese Integration von 0.5 bis 10 GHz ausgeführt.
Darüberhinaus ist es notwendig, eine Reskalierung der Längenspektren durchzuführen, da der Betrag des fluktuierenden Anteils der Niveaudichte direkt proportional zur gesamten Zahl der Resonanzen ist. Experimentelle Ergebnisse für
die fünf analysierten Konfigurationen sind in Abb. 4.8 zum Vergleich dargestellt.
Die sehr gut erkennbaren Peaks entsprechen den Bahnlängen klassischer periodischer Bahnen. Einige der Bahnen werden im Längenspektrum für einen Absorber von 5o gezeigt. Die Größe der Peaks steigt mit dem Winkel der simulierten
Öffnungen an. Diese Tendenz stellt genau einen Gegensatz zur Erwartung: je mehr
Absorptionsmaterial im System anwesend sind, desto mehr periodische Bahnen
sollten aufgehoben werden. Eine physikalisch überzeugende Erklärung dafür wurde noch nicht gefunden.
48
Abbildung 4.8:
Bahnlängenspektren für die fünf analysierten Fälle und die jeweils in den Figuren angegebenen Absorberkonfigurationen. In
der oben linken Figur sind einige periodischen Bahnen, die den
Peaks in den Spektren entsprechen, angedeutet: (2,1) ist der
Durchmesser des Kreises, (5,2) der erste Stern und (7,3) das rotierte Siebeneck. Große Abweichungen in den Amplituden für die
verschiedenen Fälle sind deutlich zu erkennen. Eine Erklärung
hierfür ist noch zu finden.
49
4.6
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Billard
Experimentell lässt sich der zeitliche Zerfall eines Quantenzustandes aus der Fouriertransformation der Elemente der Streumatrix für die Transmission von der
Ein- zur Auskopplungsantenne ausdrücken. Die Streumatrix lässt sich als
1/2 1/2
iδa
Sab (ω) = e (δab − i
Γµa Γµb
ω − ωµ + 2i Γµ
)eiδb
(4.5)
schreiben. Die Positionen der Antennen werden durch a und b bezeichnen. Hierbei
stellt δa und δb eine beliebige Phase dar und Γµ = Γµa + Γµb ist die gesamte Breite
einer bestimmten Resonanz [9]. Die Breite der Dissipation am Rand der Kavität
wurde in dieser letzten Summe vernachlässigt. Die Fouriertransformierte von Gl.
(4.5) ist proportional zur zeitlichen Entwicklung der aus dem System ausgekoppelten Energie. Diese ist gleichzeitig proportional zum Produkt der elektrischen
Felder an den Stellen a und b und deshalb, entsprechend der in Abschnitt 2.2
erwähnten Analogie, zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen nach einer bestimmten
Zeit an einem gewissen Punkt zu finden
Z
Energie = |
Sab (ω)e−iωt dω|2 ∝ E(xa , ya , t) · E ∗ (xb , yb , t) = |ϕ(x, y, t)|2 . (4.6)
Hierbei stellt |ϕ(x, y, t)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte dar. Der zeitliche Zerfall
durch ein kleines Loch in einem Billiard wurde sowohl im klassischen als auch im
Quantenfall in den letzten Jahren berechnet [19, 33, 51]. In Abschnitt 2.3.2 wurde bereits erwähnt, dass die periodischen Bahnen für die zeitliche Entwicklung
nach langen Zeiten verantwortlich sind [52, 53]. Gemäß des letzten Abschnittes
ist nun zu verstehen, warum der Effekt solcher Bahnen eine so entscheidende Rolle bei quantenmechanischen und klassischen Systemen spielt. Die Abbildung 4.9
zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der fünf verschiedenen Absorptionsmaterial Konfigurationen. In diesem Fall entsprechen die Positionen der Antennen a
und b in der Abb. 3.2 den Nummern 5 und 7. Dabei sind die Zeiten in Radiuseinheiten ausgedrückt und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf eins für t = 0
50
Abbildung 4.9:
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System für die fünf Konfigurationen mit Absorptionsmaterial. Gleichzeitig sind klassische Simulationen gezeigt. Im klassischen Fall liegt ein algebraisches Zerfallsverhalten vor im Gegensatz zum Quantenfall, bei dem es zu
einer Überlagerung von einem exponentiellen und einem algebraischen Verhalten kommt.
normiert. Eine numerisch simulierte angepasste Kurve ist ebenfalls zum Vergleich
gezeigt. Dafür wird ein C-Programm benutzt und die Entwicklung von 106 klassischen Teilchen mit zufälligen Anfangsbedingungen und den Randbedingungen
51
des Kreisbillards verfolgt. Obwohl das klassische und quantenmechanische Verhalten für kleine Zeiten bzw. kleine Abstände unterschiedlich ist, sind asymptotisch
algebraische Tendenzen für sehr lange Zeiten zu erkennen.
4.7
Äquivalenz zur Riemannschen Hypothese
Es wird in [5] nachgewiesen dass, für lange Zeiten und kleine Öffnungen im klassischen Limes
t · P∞ = 1/
(4.7)
mit P∞ = limt→∞ P (t) sein muss (vgl. Abschnitt 2.3.2). Das Verhalten dieses
Limes wird vollständig beschrieben durch die Bahnfamilien, deren Anfangsbedingungen neben den neutralstabilen Bahnen liegen und mit irrationalen Zahlen verbunden sind (siehe Abschnitt 2.3.1). Der mathematische Nachweis dieses
Ausdruckes kann in der vorliegenden Arbeit nicht geführt werden, er ist in [36]
ausführlich erklärt und beruht auf der Theorie der Primzahlen. Experimentelle
Ergebnisse von t · P∞ sind in der Abbildung 4.10 und 4.11 gegeben. In Abb.
4.10 ist · t · P (t) als Funktion von · t für = 10o dargestellt. Die drei Kurven
entsprechen den möglichen Antennenkombinationen der Transmissionsmessungen (siehe Abschnitt 3.2). Es ist zu beachten, dass die Lage des Maximums von
der Antennenkombination abhängt. Ein gewisses Plateau bildet sich aber für alle
Kombinationen im Zeitbereich. Die Interpretation dieses Plateaus hat einen engen
Zusammenhang mit dem Limes (2.15). Konvergiert der Abstand vom · t · P (t)
zu seinem Grenzwert [tP∞ (t) − 2] schneller als 1/2 gegen 0, ist die Riemannsche Hypothese erfüllt. In der Abb. 4.11 sind die experimentellen Ergebnisse von
· t · P (t) für jede der gemessenen Konfigurationen mit einem Absorber aufgetragen. Die Zeiten, bei denen die Bildung des Plateaus stattfindet, sind je zu umso
höheren Frequenzen verschoben je größer die Öffnung des Systems ist. Nach den
Plateaus ist ebenfalls ein Abfall (vor Allem in den Konfigurationen mit 15o und
20o Absorptionsmaterial) zu erkennen. Dieser entspricht der Dissipation von Mikrowellen am Rand der supraleitenden Kavität (siehe Abschnitt 2.4.3). Im Fall
52
von 20o Absorptionsmaterial ist noch ein Aufstieg nach dem erwähnten Abfall
zu sehen, was zum Rauschen in den durchgeführten Messungen korrespondiert.
In der Abb. 4.12 sind die Ergebnisse der numerischen Simulation aufgetragen.
In diesem Fall wurde der exponentielle Zerfall an der Wand des Billards in der
Simulation hinzugefügt, was dem deutlichen Abfall für Zeiten oberhalb der des
Plateaus entspricht. Zum anderen liegen Höhe und Lage des Maximums der Graphiken bei einer niedrigeren Größenordnung als das · t · P (t), dass man aus den
Simulationen der klassischen Dynamik erhält. Eine Erklärung dieser Abweichung
ist noch zu finden.
Abbildung 4.10:
Experimentelle Ergebnisse von ·t·P (t) für die Konfiguration mit
10o Absorptionsmaterial. Die drei Kurven stellen die Transmissionsmessungen mit den Antennenkombinationen 1-7, 1-5 und
5-7 dar. Die Bildung eines Plateaus im selben Zeitbereich bei
ca. 103 ist erkennbar.
53
Abbildung 4.11:
Experimentelle Ergebnisse von · t · P (t) für die Konfigurationen
mit 5o , 10o , 15o und 20o Absorptionsmaterial. In diesem Fall
ist nur die Antennenkombination 5-7 abgebildet. Die Werte der
Abszisse, bei den die Bildung des Plateaus stattfindet, sind zu
umso höheren Frequenzen verschoben je größer die simulierte
Öffnung des Systems ist.
54
Abbildung 4.12:
Numerische gewonnene Ergebnisse von ·t·P (t) für das klassische
offene Kreisbillard in zweiter Ordnung für die Konfigurationen
mit 5o , 10o , 15o und 20o Absorptionsmaterial.
55
5
Schlussbemerkung und Ausblick
Die Betrachtung einer Doppelkreis-Mikrowellenkavität mit kleinen eingebrachten
Absorptionsmaterialien hat im Rahmen der vorliegenden Arbeit dazu beigetragen, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in der Kavität und einige
Aspekte in Bezug auf die Verschiebung der Kavitätsmoden qualitativ zu verstehen.
Ein Zusammenhang zwischen der Riemannschen Hypothese und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem offenen Kreisbillard, welchen Bunimovich und Dettmann theoretisch vorhergesagt haben [20], war die ursprüngliche
Motivation der durchgeführten Experimente. Theoretisch lässt sich das Produkt
des Öffnungswinkels mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P (t) im klassischen
Billard durch einen Grenzwert ausdrücken. Stimmt dieser mathematische Grenzwert für sehr lange Zeiten bzw. sehr kleine Öffnungen, ist die Riemannsche Hypothese erfüllt. Von rein experimentellen Standpunkt ausgesehen ist das natürlich
eine Idealisierung. Einerseits erlaubt die Frequenzauflösung, die in den Experimenten realisiert werden kann, keine beliebig langen zeitlichen Betrachtungen und andererseits stören die Absorber, die die Öffnungen ideal simulieren,
auf eine entscheidende Weise das System. Auf jeden Fall wurde eine qualitative Übereinstimmung zwischen numerischen und experimentellen Ergebnisse von
· t · P (t) als Funktion der Zeit gefunden. Neue Kaltmessungen mit noch kleineren
Öffnungsgrößen sowie eine präzise experimentelle Bestimmung der Eigenmoden
der ungestörten Kavität auch im supraleitenden Zustand sind geplant. Auf diese
Weise ist auch eine genauere Untersuchung der verschobenen Resonanzen möglich.
Eine andere Frage, die noch offen bleibt, ist die Suche nach einer Erklärung für
die großen Abweichungen in den Maximalamplituden der Längenspektren in den
fünf analysierten Fällen. Schließlich wird der Zerfall eines Quantensystems in
Abhängigkeit von den offenen Kanälen durch eine Funktion, die exponentielle
und algebraische Terme enthält, charakterisert [19]. Das Verhalten des analogen
klassischen Systems muss aber nicht unbedingt direkt auf das quantenmechanische übertragbar sein und dies wurde im Abschnitt 4.6 herausgefunden.
Andererseits hat die Realisierung supraleitender Messungen zusammen mit der
einhergehenden Verbesserung der Resonatorgüte es erlaubt, eine teilweise Auf56
hebung der Entartung der energieärmsten Niveaus zu beobachten. Eine der beiden aufgespaltenen Moden koppelt sehr stark an das Absorptionsmaterial. Dies
ermöglicht eine Verschiebung solcher Moden zu kleineren Frequenzen, was durch
eine exponentielle Abdämpfung der interferierenden stehenden Wellen an der Stelle des Absorptionsmaterial verursacht wird. Die genaue Abhängigkeit der Verschiebungen der Kavitätsresonanzen von der Größe des Absorptionsmaterials in
Abhängigkeit als Funktion der Frequenz sind zur Zeit nicht völlig verstanden aber
es scheint, dass die globale Tendenz der Resonanzverschiebung im Durchschnitt
größer wird je mehr Absorptionsmaterial im System ist. Für hohe Werte der
Drehimpulsquantenzahl verstärkt sich diese Tendenz weiter. Die Ursache dieses
Phänomens könnte sein, dass die geometrischen Parameter der Weyl Formel durch
das Anbringen des Absorptionsmaterials geändert werden. Darüber hinaus ist das
absorbierende Verhalten des Urethans frequenzabhängig, was zu einer Komplikation des Problems führt. Zum Anderen ist die Stärke der Dämpfung bestimmter
Moden, deren maximale Wahrscheinlichkeit am Rand des Billards liegt, durch
das Absorptionsmaterial ein sehr deutlicher Effekt. Die Dämpfung verstärkt sich
mit zunehmender Größe der Absorberstücke und ist besonders ausgeprägt für die
(0,n) und (m,1), mit m groß, Moden. Zusätzlich wird der Qualitätsfaktor aufgrund des Anbringens der Absorber reduziert.
57
58
A
Nicht identifizierte Resonanzen
In Tabellen A.1 und A.2 sind die Moden aufgelistet, die im Laufe der Analyse
der Spektren nicht identifiziert werden konnten. Es gibt zwei Ursachen für den
Modenverlust“ (siehe Abs. 4.3): für die Moden, die aufgrund eine nicht genügend
”
hohen Auflösung nicht identifiziert werden konnten, werden die beiden möglichen
Kandidaten aufgelistet (durch A in den Tabellen bezeichnet). Andererseits werden
Moden, die sehr stark an das Absorptionsmaterial koppeln, mit B bezeichnet. Die
letzte Zeile zeigt die gesamte Zahl der nicht identifizierten Resonanzen an.
59
Tabelle A.1:
Nicht identifizierte Moden in der Analyse der Spektren, die aus Messungen im Kreissystem mit nur einem Absorberstück mit 5,10 oder
15 Grad gewonnen wurden. Die mit A bezeichneten Moden konnten
aufgrund einer nicht genügend hohen Auflösung nicht unterschieden
werden. Die mit B bezeichneten Moden sind diejenigen, die sehr
stark an das Absorptionsmaterial koppeln. Besonders oft sind hierbei die Sequenzen (0, n) und (m, 1) für große m anzutreffen, die in
der Nähe des Rands des Billards eine große Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen.
A
B
5 Grad (1 Absorber)
10 Grad (1 Absorber)
15 Grad (1 Absorber)
(12,2) oder (9,3)
(4,2) oder (7,1)
(1,6) oder (11,2)
(18,1) oder (4,5)
(5,4) oder (14,1)
(12,2) oder (9,3)
(15,2) oder (2,7)
(1,6) oder (11,2)
(16,1) oder (2,6)
(19,1) oder (0,8)
(16,1) oder (2,6)
(9,4) oder (15,2)
(9,3) oder (4,5)
(17,1) oder (5,5)
(19,1) oder (0,8)
(18,1) oder (11,3)
(18,1) oder (11,3)
(15,2) oder (2,7)
(15,2) oder (2,7)
(0,6)
(0,2), (14,1)
(13,1)
(4,1), (15,1)
(0,7)
(11,1), (0,7)
(8,4)
(5,3), (7,4)
(0,8)
(12,1), (17,1)
(15,1)
(13,1), (8,4)
(4,3)
(0,6), (12,3)
(10,1)
(10,2)
27
38
(12,3)
Gesamt 10
60
Tabelle A.2:
Nicht identifizierte Moden in der Analyse der Spektren, die aus Messungen im Kreissystem mit zwei Absorberstücke mit 5 oder 15 Grad.
A
5 Grad (2 Absorber)
15 Grad (2 Absorber)
(12,2) oder (9,3)
(1,6) oder (11,2)
(12,2) oder (9,3)
(18,1) oder (11,3)
(15,2) oder (2,7)
(4,5) oder (9,3)
(2,7) oder (9,4)
(9,4) oder (15,2)
(9,3) oder (4,5)
(2,4) oder (7,2)
(15,2) oder (2,7)
(16,1) oder (2,6)
B
(0,5)
(0,2), (0,3)
(8,2)
(0,4), (4,1)
(8,3)
(4,2), (7,1)
(8,4)
(8,1), (10,1)
(0,8)
(0,2), (0,3)
(4,3), (11,3)
(13,1), (0,6)
(15,1), (0,7)
(17,1), (8,4)
(12,3), (12,1)
(4,4), (8,3)
(18,1), (6,5)
(10,3), (14,1)
(0,8), (19,1)
Gesamt 16
65
61
Literatur
[1] H. Poincaré: Les methodes nouvelles de la mechanique celeste (GauthierVillars, Paris, 1899).
[2] E. Zahar: Poincare’s Philosophy: From Conventionalism to Phenomenology
(Open Court Pub Co., New York, 2001).
[3] H. Bai-Lin: Chaos (World Scientific, Signapore, 1984).
[4] B. Simmons and B. Altshuler: Universalities in the spectra of disordered and
chaotic systems, Phys. Rev. B 48, 5422 (1993).
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Danksagung
Erstens bedanke ich mich bei Herrn Professor Dr. Dr. h.c. mult. A. Richter, dass
er mir eine so spannende Aufgabe übertragen hat sowie für die Aufnahme in
seine Forschungsgruppe. Ehrlich dankbar bin ich den Mitgliedern dieser Gruppe.
Frau Dr. Barbara Dietz-Pilatus für die guten Ratschläge und die theoretische
Perspektive, die sie zur Arbeit beigetragen hat. Besonders dankbar bin ich auch
Herrn Dipl.-Phys. Thomas Friedrich für die ausgezeichnete Betreuung, die Lehre der Abkühlungsmethode und die interessanten Diskussionen und Vorschläge
der Interpretation der experimentellen Ergebnisse. Für die unendliche Geduld
im Korrekturprozess der vorliegenden Arbeit bin ich Herrn Dipl.-Phys. Florian
Schäfer herzlich dankbar. Darüber hinaus hat er ein sehr leistungsfähiges Programm für die Analyse der Spektren entwickelt und, neben Herrn Majid Taheri
Gelevarzi, mir eine gute Einführung ins Programm gegeben. Damit ist die Arbeit
immer leichter gewesen. Stefan Bittner hat mir im Labor mit dem experimentellen
Aufbau und der Überwachung der Kaltmessungen geholfen. Für die Kooperation
und Hilfe bedanke ich mich ebenfalls bei Herrn Doktorand Maksim Miski-Oglu.
Ich danke der wissenschaftlichen Abteilung der Stiftung La Caixa“ in Zusam”
menarbeit mit dem Deutschen Akademischen Austauschdienst (DAAD) für das
Interesse und die Unterstüzung der jungen spanischen Forscher sowie für das Stipendium.
Dem ganzen Team aus der Mechanikwerkstatt des Instituts für Kernphysik in
Darmstadt danke ich für die Vorbereitung und Konstruktion der Mikrowellenkavitäten. Auch Herrn Freytag, der für eine pünktliche Auslieferung des flüssigen
Heliums immer gesorgt hat, und allen Mitarbeitern des S-DALINAC für die technische Unterstützung.
Schließlich würde ich auch gern meiner Familie und Frau Gisela Aranda Casas
für die Unterstützung meinen herzlichen Dank ausdrücken.
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