GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK 2
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GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK 2 Aufgabensammlung Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik www.ime.jku.at Formel Überblick Maxwell Gleichungen: ~ ~ = J~ + ∂ D ∇×H ∂t ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∇·D =ρ ~ =0 ∇·B (1) (2) (3) (4) Materialverhalten: Lorentzkraft: ~ = µH ~ B ~ = εE ~ D ~ J~ = γ E (6) ~ + ~v × B) ~ F~ = q(E (8) Sätze aus der Vektoranalysis: Z Z 3 ~ x= ~ · ~nda ∇ · Ad A S VZ Z 3 ∇ψd x = ψ~nda V S Z Z 3 ~ ~ ∇ × Ad x = ~n × Ada Z V IS ~ · ~nda = ~ · dI~ (∇ × A) A S C Z I ~n × ∇ψ = ψdI~ S (5) (7) (Gaußscher Satz) (9) (10) (11) (Stokes’scher Satz) (12) (13) C 1 SI-System - Größen und Einheiten Basiseinheiten: Größe Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Lichtstärke Stoffmenge Symbol s m t I T Iv n Einheit [s] = 1 m [m] = 1 kg [t] = 1s [I] = 1 A [T ] = 1 K [Iv ] = 1 Cd [n] = 1 mol Name Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol Symbol F E P Q U R G C L Φ B Einheit [F ] = 1 N = 1 kgs2m 2 [E] = 1 J = 1 N m = 1 kgsm 2 2 [P ] = 1 W = 1 Js = 1 kgsm 3 [Q] = 1 C = 1 A s 2 [U] = 1 V = 1 kgA m s3 m2 V = 1 kg [R] = 1 Ω = 1 A A2 s3 A A2 s3 [G] = 1 S = 1 V = 1 kg m2 As C [C] = 1 F = 1 V = 1 V [L] = 1 H = 1 VAs = 1 Wb A [Φ] = 1 Wb = 1 V s [B] = 1 T = 1 Wb = 1 Akgs2 m2 Name Newton Joule Watt Coulomb Volt Ohm Siemens Farad Henry Weber Tesla Abgeleitete Einheiten: Größe Kraft Energie Leistung El. Ladung El. Spannung El. Widerstand El. Leitwert El. Kapazität Induktivität Magn. Fluss Magn. Flussdichte Dielektrizitätskonstante Permeabilitätskonstante ε0 µ0 [ε0 ] [µ0 ] = = F m H m = 1 VAms = 1 AVms ε0 = 8.854 · 10−12 VAms µ0 = 4π · 10−7 AVms Präfixe: 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta k M G T P E Z Y 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 2 Milli Mikro Nano Pico Femto Atto Zepto Yokto m µ n p f a z y 1 Elektrostatik 1.1 Aufgabe: Vektorrechnung ~ = (Ux , 0, 0)T , V~ = (Vx , Vy , Vz )T . Berechnen Sie U ~ × V~ und U ~ · V~ . U 1.2 Aufgabe: Nabla-Operator ∂/∂x ~ = ∂/∂y die folgenden AusBerechnen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ = ∇ ∂/∂z x drücke. ~r bezeichnet dabei den Vektor ~r = y , während r eine skalare Funktion z r = r (x, y, z) darstellt 1 a) ∇ |~r−~ r′ | b) ∇ · ~r c) ∇r d) ∇ ϕ(r) r 1.3 Aufgabe: Divergenz und Rotation ~ = divU ~ und ∇ × U ~ = rotU ~ für: Bestimmen Sie ∇ · U 3 3 2 2x y z ~ = 3xy 2 z 2 U x4 yz + 2 ~ ein Gradientenfeld? allgemein und speziell für den Punkt (1, 2, 2). Ist U 1.4 Aufgabe: Gradientenfeld Gegeben ist die skalare Funktion ϕ = x2 y + z 3 x + xyz − 4, bestimmen Sie das zugehörige ~ = ∇ϕ. Berechnen Sie zusätzlich rotU ~ =∇×U ~. Gradientenfeld U 1.5 Aufgabe ~ der Vektor des stationären elektrischen Feldes und ϕ das zugehörige elektrische Es sei E Potential. Welche der folgenden Ausdrücke sind gültig? ⇀ ~ e) rot rot E ~ a) div grad ϕ b) grad div E c) div ϕ d) div div E 3 1.6 Aufgabe: Kraft auf ein Elektron Ein freies Elektron (Masse me = 9, 11 · 10−31 kg) besitzt zum Zeitpunkt t0 die Geschwin~ = 100 V/m beschleunigt. In welche digkeit v = 0 und wird in einem elektrischen Feld E Richtung bewegt sich das Elektron, welche Geschwindigkeit erreicht es nach einer Strecke von 1 cm und wie lange braucht es dazu? 1.7 Aufgabe: Coulombsches Gesetz Für das elektrische Feld (im Vakuum) am Punkt ~x, das von einer Punktladung q am Ort ~x1 herrührt (siehe Abbildung) ergibt sich: ~ x) = q1 E(~ ~x − ~x1 4πε0 |~x − ~x1 |3 E P q1 x x1 0 Skizzieren Sie das elektrische Feld (Feldlinien und Feldstärke) in der Umgebung einer ~ = −∇ϕ). Welche Kraft Punktladung und geben Sie das zugehörige Potential ϕ an (E wirkt auf eine zweite Punktladung q2 in diesem Feld? 1.8 Aufgabe: Elektrisches Feld mehrerer Ladungen In einem Raum befinden sich drei nicht auf einer Geraden liegende Punktladungen Q1 > 0, Q2 < 0 und Q3 < 0. Geben Sie allgemein die von Q1 bzw. Q2 am Ort von Q3 verursachten ~ 13 und E ~ 23 und die daraus resultierende Feldstärke E ~ sowie die Kraft F~ auf Feldstärken E Q3 an. 1.9 Aufgabe: Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld Die positive Ladung Q1 = Q0 befindet sich am Ort x = 0 und die positive Ladung Q2 = 4Q0 am Ort x = d. Eine dritte Ladung Q3 ist in der Verbindungslinie der beiden Ladungen Q1 und Q2 so plaziert, dass sich das Gesamtsystem im Kräftegleichgewicht befindet. Bestimmen Sie den Ort x der Ladung Q3 , ihren Betrag und ihr Vorzeichen. 1.10 Aufgabe: Feld einer Punktladung Beweisen Sie I ~ s=0 Ed~ für das Feld einer Punktladung Q1 in einem homogenen Dielektrikum der Permittivität ε. 4 1.11 Aufgabe: Potential einer Punktladung Berechnen Sie das Potential im Abstand r von der Punktladung Q1 sowie die potentielle Energie einer Ladung Q im Abstand r von der Punktladung. Geben Sie mit diesen Ergebnissen die Beziehungen für die Spannung und die Differenz der potentiellen Energie der Ladung Q zwischen den Punkten A und B an. 1.12 Aufgabe: Elektrisches Feld einer Punktladung (Maxwell) Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung im Abstand r unter Verwendung der Maxwell-Gleichung für das statische E-Feld. 1.13 Aufgabe: Potential eines Hohlzylinders ~ und ϕ für einen sehr langen Hohlzylinder mit dem Radius r0 und der Berechnen Sie E Länge l, der eine gleichmäßig auf den Zylindermantel verteilte Ladung Q trägt. Hinweis: Der Einfluss der Zylinderstirnseiten sei vernachlässigbar. 1.14 Aufgabe: Kugelsymmetrie Berechnen Sie D, E und ϕ bei kugelsymmetrischer Raumladungsverteilung für a) ρ = ρ0 = konst. innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb b) ρ = cr innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb c) für eine Hohlkugel mit dem Radius rk , die die Ladung Q trägt. d) Überlegen Sie, ob ein Quader mit homogener Oberflächenladung im Inneren ein verschwindentes Feld aufweist. 1.15 Aufgabe: Superposition zweier Punktladungen ~ welche zwei PunktZu berechnen sind das Potential ϕ und die elektrische Feldstärke E, ladungen Q1 und Q2 verursachen, die sich an den Punkten (x1 , y1 , z1 ) und (x2 , y2 , z2 ) befinden. 1.16 Aufgabe: Spiegelungsprinzip Eine negative Punktladung befindet sich in einem Isolator in der Nähe eines ebenen massiven Leiters, dessen Gesamtladung Null sei (siehe Bild). Das Feldbild soll interpretiert und berechnet werden. Wie ist die Ladungsdichte an der Obfläche des massiven Leiters verteilt? 5 1.17 Aufgabe: Kapazitätsberechnung Berechnen Sie den Kapazitätsbelag (die Kapazität pro Leiterlänge) a) eines Koaxialleiters mit den Radien des Innenleiters ri und ra b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a). Welche Näherung ist hier zur Anwendung des Spiegelungsprinzips getroffen worden? 1.18 Aufgabe: Elektrostatisches Feld an Grenzflächen ~ und E ~ an der Grenzfläche zweier Dielektrika? Beschreiben und Wie verhalten sich D skizzieren Sie das daraus resultierende Brechungsgesetz. 1.19 Aufgabe: Plattenkondensator mit geschichtetem Medium ~ und die elektrische Feldstärke E ~ in einem geZeichnen Sie die elektrische Flussdichte D ladenen (Ladung Q) Plattenkondensator mit a) parallel und b) senkrecht geschichtetem Dielektrikum (ε1 > ε2 ) schematisch in Feldliniendarstellung. Der Kondensator hat die Plattenhöhe h = 10 cm, Plattenbreite b = 15 cm und Plattenabstand d = 1 cm. Die dielektrischen Schichten ε1 = 4 · ε0 und ε2 = 2.7 · ε0 sind bei x = 6.25 mm bzw. y = 5.3 cm getrennt. ~ D, ~ die Spannung U und die Kapazität C für beide Anordnungen für Berechnen Sie E, eine Gesamtladung Q = 18 nC. 1.20 Aufgabe: Energieberechnung Gegeben ist eine leitende Metallkugel mit dem Radius a, auf die die Gesamtladung Q aufgebracht ist. a) Wie ist die Ladung verteilt? Geben Sie die Ladungsdichte an. b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an. c) Überlegen Sie sich, warum die Anordnung als Kondensator beschrieben werden kann. Wieviel Engergie ist in ihm gespeichert? 6 1.21 Aufgabe: Energieberechnung Gegeben ist eine Gesamtladung Q, welche im Vakuum innerhalb einer Kugel mit dem Radius a gleichmäßig verteilt ist. a) Geben Sie die Raumladungsdichte innerhalb des kugelförmigen Bereiches an. b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an. c) Wieviel Engergie ist in der Anordnung gespeichert? 1.22 Aufgabe: Drehkondensator Gegeben ist der abgebildete Drehkondensator, welcher aus zwei parallelen halbrunden Leiterplatten (Radius R) des Abstandes d besteht. In Abhängigkeit des Drehwinkels kann die Kapazität verändert werden. Es soll eine homogene Feldverteilung zwischen den Platten angenommen werden. Außerhalb dieser sei das Feld vernachlässigbar. a) Bei welchem Winkel tritt die maximal erreichbare Kapazität auf, und wie groß ist sie? Wie groß ist in diesem Fall (bei bekannter Spannung U) die die Flächenladungsdichte auf den Platten? b) Berechnen Sie die Kapazität in Abhängigkeit des Drehwinkels α. c) Berechnen Sie die Spannung U(α) in Abhängigkeit des Drehwinkels. Nehmen Sie an, dass U(0) = U0 ist und die Gesamtladung beim Drehen konstant bleibt. 1.23 Aufgabe: Kraftwirkung im elektrischen Feld Wie groß ist die zwischen den Platten eines Plattenkondensators auftretende maximale Anziehungskraft je cm2 , wenn die Durchschlagsfeldstärke mit 30 kV/cm und ein homogenes Feld angenommen werden? 1.24 Aufgabe: Elektronenstrahlröhre Die Oszillographenröhre besteht aus einer Elektronenkanone (Glühkathode und longitudinales elektrisches Feld). Mit Hilfe der Spannung UB werden die Elektronen auf eine Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Diese treten dann in das durch die Spannung UD erzeugte elektrische Feld ein und werden abgelenkt. Auf dem Leuchtschirm entsteht im Auftreffpunkt P des Elektronenstrahles ein heller Lichtpunkt, dessen Koordinaten in Abhängigkeit von UD berechnet werden soll. Zur Vereinfachung soll ein homogenes elektrisches Feld im Bereich der Platten angenommen werden. Streufelder sind vernachlässigbar. 7 a) Stellen Sie im Bereich der Ablenkplatten die Bahnkoordinaten x(t) und y(t) in Abhängigkeit der Zeit t auf und stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung auf. b) Berechnen Sie den Austrittswinkel des Elektronenstrahls. c) Stellen Sie eine Gleichung y(x) für dı́e Elektronenbewegung nach dem Passieren der Ablenkplatten auf und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P . 1.25 Aufgabe: pn–Übergang In dieser Aufgabe wird die unten dargestellte Raumladungsverteilung ρ(x) betrachtet, wie sie auch (idealerweise) in der sogenannten Raumladungszone bei pn–Übergängen in Halbleitern (z.B. Diode) auftritt. In der Raumladungszone des negativ dotierten Bereichs von x1 bis x2 sei ρ(x) = ρ1 > 0 und in der Raumladungszone des positiv dotierten Bereichs von x2 bis x3 sei ρ(x) = ρ2 < 0. Je nach Dotierung sind die Bereiche unterschiedlich groß, jedenfalls ist aber die Gesamtladung der gesamten Raumsladungszone gleich 0. In den sogenannten Bahngebieten (x < x1 , x > x3 ) gilt E = 0. Berechnen Sie die Verläufe der elektrischen Feldstärke und des Potentials in Abhängigkeit von x. = ∂E = 0). Hinweis: Zur Berechnung kann eine 1D-Näherung verwendet werden (d.h. ∂E ∂y ∂z 8 n-dotiert p-dotiert x1 x2 x3 1.26 Aufgabe: Kugelkondensator mit geschichtetem Dielektrikum Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kugelkondensators mit geschichtetem Dielektrikum. Berechnen Sie die Verläufe der elektrischen Feldstärke, des Potentials in Abhängigkeit von r sowie die Kapazität des Kugelkondensators. 1.27 Aufgabe: Koaxialkabel Berechnen Sie den Verlauf der Feldstärke und des Potentials eines Koaxialkabels (Innenradius ri , Außenradius ra ). Geben Sie außerdem die Kapaziät an. 1.28 Aufgabe: Kraft auf Grenzflächen Gegeben sei der dargestellte Bandgenerator. Erzeugte Ladungen (durch mechanische Reibung) werden auf ein bewegtes, isolierendes Band aufgesprüht (Funkenstrecke), sitzen dort fest (Isolator), und werden dann mechanisch ins Innere der Kugel gebracht. Von dort werden sie mit einer Metallelektrode (Metallkamm) abgesaugt und auf die Oberfläche der Hohlkugel transportiert, wo sie sich verteilen. Die erzeugte Spannung wird abgegriffen und an einen Plattenkondensator angelegt, dessen Elektroden teilweise in Trafoöl eintauchen. Durch ständiges Drehen an der Kurbel des Bandgenerators bewegt sich das Öl im Bereich zwischen den Platten auf und ab. 9 a) Warum ist das so? b) Berechnen Sie die Steighöhe h in Abhängigkeit der am Kondensator auftretenden Spannung U. 10 2 2.1 Elektrisches Strömungsfeld Aufgabe: Geschichtetes Medium Gegeben ist ein Plattenkondensator (Abstand 2a) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, der vom Strom I durchflossen wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die Leitfähigkeiten κ1 und κ2 . Streufelder sind vernachlässigbar. Berechnen Sie in Abhängigkeit des Stromes die Verläufe entlang der x-Achse von E, J, ϕ mit ϕ(x = 2a) = 0 und den Widerstand R. 2.2 Aufgabe: Geschichtetes Medium Gegeben ist ein Plattenkondensator (Abstand d) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, an den eine Spannung U angelegt wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die Leitfähigkeiten κ1 und κ2 . Streufelder sind vernachlässigbar. Berechnen Sie in Abhängigkeit der angelegten Spannung U die Verläufe entlang der xAchse von E, J, ϕ mit ϕ(x = d) = 0 und den Widerstand R. 11 2.3 Aufgabe: Kugelerder Im Bild ist das Prinzip und der Potentialverlauf eines metallischen Halbkugelerders mit dem Radius rE = 2 m für einen Hochspannungsmast dargestellt. Bei einem Kurzschluß fließt ein Strom von 100 A ins Erdreich, dessen Leitfähigkeit 0.05 S/m sei. a) Berechnen Sie die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte und des Potentials im Erdreich und bestimmen Sie den Erdungswiderstand. b) Wie groß ist die auf einen Menschen bei einer Schrittweite von 1 m wirkende Spannung, die sogenannte Schrittspannung zwischen den Füßen? Welchen Maximalwert kann die Spannung annehmen? c) Auf welchen Wert darf sich die Leitfähigkeit ändern, damit die maximale Schrittspannung 65 V nicht übersteigt? 2.4 Aufgabe: Widerstandsberechnung Gegeben ist ein leitender Bügel, der die Form eines halbierten Hohlzylinders besitzt (Leitfähigkeit κ, Breite b, Innenradius ri , Außenradius ra ). An seinen quadratischen Kontaktflächen wird ein Strom I eingespeist.Die Kontaktflächen sind ideal leitfähig und somit Äquipotentialflächen. Überlegen Sie sich den Verlauf der Feldlinien und der Äquipotentialflächen. Berechnen Sie außerdem den Verlauf der Stromdichte und den Widerstand. k ri b ra I I U 12 2.5 Aufgabe: Leitersegment Im Bild ist ein Leitersegment mit dem Winkel α und der Höhe h dargestellt, welches konzentrisch um die z-Achse eines Zylinderkoordinatensystems (r, φ, z) angeordnet ist. Es besitzt im Bereich von a0 bis a1 die Leitfähigkeit κ1 und von a1 bis a2 die Leitfähigkeit κ2 . An die vordere und hintere Mantelfläche sind ideal leitende Elektroden angebracht, über die ein Strom I geführt wird. a) Zeichnen Sie die Feldlinien für das Strömungsfeld. b) Berechnen Sie die Vektoren der Stromdichte und der elektrischen Feldstärke für a0 < r < a1 und a1 < r < a2 . c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit des Stromes I die Spannung Ua12 zwischen den Elektroden und geben Sie anschließend den Widerstand der Anordnung an. 2.6 Aufgabe: Ableitbelag Berechnen Sie den Ableitbelag (den Leitwert pro Leiterlänge) a) eines Koaxialleiters mit den Radien Ri und Ra b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a) 2.7 Aufgabe: Halbkugelförmige Erder 13 Gegeben sind zwei metallische Halbkugeln, die in einem Material Leitfähigkeit κ eingebettet sind. Über den Halbkugeln sei κ = 0. Ein Strom I fließe in die linke Halbkugel hinein und aus der rechten wieder heraus. a) Zeichnen Sie die Feldlinien des Strömungsfeldes. b) Geben Sie den Potentialverlauf entlang der z-Achse an und berechnen Sie daraus den Widerstand der Anordnung. 2.8 Aufgabe: Verlustleistung Berechnen Sie die Verlustleistungsdichte in einem Kupferdraht (spezifischer Widerstand 0, 0175 Ωmm2 /m) bei einer Stromdichte von 10A/mm2 . 14 3 Magnetostatik 3.1 Aufgabe: Magnetfeld inner- und außerhalb eines Leiters Gegeben sein ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r0 , der von dem Gleichstrom I durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und außerhalb des Leiters. Da es sich um einen runden Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten verwendet (siehe Bild). Die Rotation in Zylinderkoordinaten lautet dann wie folgt: ∂Hφ 1 ∂Hz · − Hr r ∂φ ∂z ∂Hz ∂Hr ~ = rot Hφ = − rotH ∂z ∂r 1 ∂(r·Hφ ) 1 ∂Hr Hz · ∂r − r · ∂φ r Der Leiter sei so im Koordinatensystem positioniert, dass der Stromdichtevektor nur eine z-Komponente aufweist (siehe Bild). a) Geben Sie für den Fall des statischen Magnetfeldes die ersten beiden Maxwellgleichungen an. b) Welche der drei Komponenten des Vektors ist demzufolge für die Berechnung relevant, und welcher Summand verschwindet aufgrund des Ihnen bekannten Feldlinienverlaufs? c) Berechnen Sie nun die magnetische Feldstärke ~ i im Leiter 1. H ~ a außerhalb des Leiters 2. H durch Integration und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar. ~ i und rotH ~ a. d) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Berechnung von rotH 3.2 Aufgabe: Kraft zwischen zwei parallelen Leitern Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei parallelen Leitern mit rechteckförmigem Querschnitt (Sammelschienen) im Abstand d = 25cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom I = 25kA durchflossen werden? 15 3.3 Aufgabe: Infinitesimale Stromschleife Betrachten Sie eine kleine kreisförmige Stromschleife (Radius R) die den Strom I führt. So eine Schleife kann als einfaches Modell für das magnetische Moment sein wie es durch ”rotierende” Elektronen in einem Atom erzeugt wird. ~ (Integralausdruck) in einem Aufa) Berechnen Sie das resultierende Vektorpotenzial A punkt r. Tipp: Identifizieren Sie die Symmetrie des Problems und lösen Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit für einen einfachen Aufpunkt; das Resultat kann entsprechend der erkannten Symmetrie später verallgemeinert werden. b) Lösen Sie das Integral unter der Annahme, dass der Durchmesser R gegenüber dem Abstand r vernachlässigt werden kann. 3.4 Aufgabe: Gesetz von Biot-Savart Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: Beweisen Sie anhand der Abbildungen folgende Aussagen: a) H = i 2R b) H = R2 i 2(R2 +z 2 )3/2 3.5 im Mittelpunkt des Kreisstromes; auf der Achse des Kreisstromes. Aufgabe: Verhalten an Grenzflächen ~ und H-Linien ~ a) Zeichnen Sie die Ban einer ebenen Grenzfläche zweier Medien 1 und ~ und H-Linien ~ 2 unter der Voraussetzung, dass die Bim Medium 1 mit 60◦ zur Normalen auf die Grenzfläche treffen, und zwar für 1. µ2 < µ1 qualitativ 2. sowie für µ2 = µ21 quantitativ. ~ und H ~ aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei senkrecht auf b) Wie ändern sich B die Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum (µ1 = µ) und Luft (µ2 = µ0 ) stehenden Feldlinien? ~ und H ~ aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei parallel zur c) Wie ändern sich B Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum (µ1 = µ) und Luft (µ2 = µ0 ) verlaufenden Feldlinien? 16 3.6 Aufgabe: Magnetischer Fluss ~ und der magnetische Fluss Φ zusammen? a) Wie hängen die magnetische Flussdichte B ~ = 1 T. Bestimmen Sie b) Ein Elektromagnet erzeugt eine magnetische Flussdichte B den magnetischen Fluss Φ der auf einer Querschnittsfläche von A = 100cm2 erzeugt ~ die Fläche senkrecht durchdringt. wird, wenn B c) Berechnung des Magnetflusses in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie den von einem langen geraden mit dem Strom i durchflossenen Leiter in einer rechteckigen Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt. Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem! 3.7 Aufgabe a) Analysieren Sie den im Bild dargestellten Eisenkreis (gegeben ist I, w, A, lFe , lLuft und µr ; gesucht: Φ) 1. mit Hilfe der Feldbeschreibung 2. sowie durch eine Netzwerkberechnung. b) Berechnen Sie die äquivalente Luftspaltlänge lLuft eines Eisenschenkels der Länge lFe und der Permeabilität µFe 1. allgemein (Hinweis: Die äquivalente Luftspaltlänge wird definitionsgemäß aus der Bedingung gleichen magnetischen Widerstands bei gleicher Fläche unter der Voraussetzung eines homogenen Feldes ermittelt.) 2. und für B = 1T und H = 10A/cm. c) Für den magnetischen Kreis im Bild (Drehstromtransformator) gilt: Rm,1 = Rm,2 = 800 . 103 H−1 Rm,3 = 500 . 103 H−1 w1 = 700 i1 = i2 = 0.1 A w2 = w3 = 500 i3 = 0.2 A Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode. 17 3.8 Aufgabe a) Grafische Analyse eines Eisenkreises mit Luftspalt. Gesucht wird die Durchflutung θ = wi, die zur Erreichung einer bestimmten magnetischen Flußdichte B im Luftspalt erforderlich ist, unter Berücksichtigung des nichtlinearen Verhaltens des Eisens (µ 6= const.). Gegeben sind die Abmessungen des Eisenkreises sowie die B-H-Kurve des Eisens, siehe Bild (a). 18 b) Aufmagnetisierung eines Permanentmagneten Überlegen Sie sich ein Verfahren zur Aufmagnetisierung eines zunächst unmagnetischen Permanentmagnetkreises mit Luftspalt, für möglichst hohe Flußdichte!c) Optimierung eines Permanentmagneten Beweisen Sie für einen rechteckförmigen Magnetkreis, daß das Permanentmagnetvolumen Ae le bei vorgegebener Flußdichte BLuft im Luftspalt, vorgegebener Streuung (ΦLuft = sΦe ), vorgegebenem Luftspaltvolumen Ae le und vorgegebener Permanentmagnetkennlinie Be (He ) genau dann minimal ist, wenn das Produkt |Be He | einen Maximalwert erreicht (Betragsbildung, da Be He < 0)! Der magnetische Spannungsabfall im Weicheisen wird vernachlässigt. 3.9 Aufgabe a) Spannungsinduktion in einer teilweise bewegten Schleife. Vorgegeben sind Metallstäbe in einem homogenen Magnetfeld, wobei sich ein Stab infolge einer äußeren Kraft unter ständiger Kontaktgabe mit der Geschwindigkeit v bewegt. Der vom Stromkreis umfaßte Fluß ist Φ = BA mit der Fläche A(t) = lx(t). b) Induktionsgesetz, rotierender Stab und rotierende Scheibe im Magnetfeld Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden metallischen Stab (a) sowie mit einer rotierender metallischer ’Barlowscher’ Scheibe (b) im ruhenden Magnetfeld. Der Radius des Magnetfeldes wird mit r bezeichnet, der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden Teile wird garantiert. 19 3.10 Aufgabe:Reduzierung von Wirbelstromverlusten durch Lamellierung Weisen Sie durch eine grobe Näherungsrechnung für einen lamellierten quaderförmigen Eisenkern mit den Abmessungen lx , ly , lz nach, daß sich die infolge Wirbelstrombildung auftretende Maximalstromdichte Smax sowie die umgesetzte Verlustleistung P mit wachsender Anzahl n voneinender isolierter Bleche, d.h. absinkender Dicke d = lnx , verringern. Es gelten folgende vereinfachende Annahmen: Dünne Bleche mit d = lnx ≪ ly , d ≪ lz , ~ = −~ez B und örtlich konstant; die Wirbelstromverdrängung sei vernachlässigbar, ebenB so wie die Dicke der Isolationsschichten; der Ursprung des Koordinatensystems sei in der Mitte einer Lamelle. 3.11 Aufgabe: Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen Zu berechnen sind die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene Anordnung 20 3.12 Aufgabe a) Magnetisch verkoppelte Spulen. Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L1 = 10 mH und L2 = 20 mH sowie ein Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen ui1, ui2 für i1 = I1 + î sin ωt mit I1 = 10A, î = 5A, ω = 2π · 50Hz und i2 = 0 (leerlaufende Spule). b) Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen. Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r1 und r2 (r2 < r1 ), den Längen l1 = l2 = l und den Windungszahlen w1 und w2 für den Fall, daß sich Spule 2 koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L1 und L2 , die Koppelfaktoren k1 und k2 sowie die Gegeninduktivität M12 = M12 = M. c) Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i,uVerhalten und diskutieren Sie das Ergebnis. 3.13 Aufgabe: Vergleich der Energiedichte des magnetischen und elektrischen Feldes Die elektrische Energiedichte soll mit der Durchbruchsfeldstärke unter Normalbedingun) und die magnetische Energiedichte in einem Magneten mit gen in Luft (Ud,Luft = 29 kV cm Luftspalt bei einer Induktion B = 1.5T berechnet werden. Exkurs: Magnetische Energiedichte im ferromagnetischen Material. Die Energiedichte ist bei magnetischen Kreisen mit Luftspalt meist wegen der niedrigeren magnetischen Feldstärke H im ferromagnetischen Material wesentlich kleiner als im Luftspalt. Bild a zeigt eine Hysteresekurve (im I. Quadranten). Für HdB > 0 nimmt die gespeicherte Feldenergie Wm im Kernmaterial zu (Ausrichten bzw. Vergrößerung der Weißschen Bezirke in Feldrichtung). Für HdB < 0 nimmt Wm ab. Beim Durchfahren der B, H-Kurve wird infolge der Hysterese nur ein Teil der gespeicherten Feldenergie abgegeben. Die Differenz wird in Wärme umgesetzt. Sie ergibt sich bei ortskonstantem Feld aus dem Produkt der von der B, H-Kurve eingeschlossenen ”Hysteresefläche” AHyst und dem Volumen, d.h. aus Z Ws WHyst = V HdB = V AHyst , [AHyst ] = . cm3 21 Für die mittlere Verlustleistung bei der Frequenz f gilt PHyst = 3.14 WHyst = f WHyst . T Aufgabe: Magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels Berechnen Sie die magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels. Hinweis: Die magnetische Energie W setzt sich aus der des Innenleiters, des isolierenden Zwischenraumes und des Außenleiters zusammen. Damit ergibt sich 2W L= 2 i 3.15 mit W = 3 X Wj bzw. L = j=1 3 X Lj mit Lj = j=1 2Wj . i2 Aufgabe: Geschwindigkeits- bzw. Energiefilter mit gekreuztem elektrischem und magnetischem Feld a) Überlegen Sie sich, wie man aus einem Strahl von positiven Ladungsträgern unterschiedlicher Geschwindigkeit und gleicher Masse die Ladungsträger einer vorgegebenen Geschwindigkeit mit einem dazu senkrecht stehenden elektrischen und einem dazu senkrecht stehenden magnetischen Feld (jeweils homogen und zeitkonstant) herausfiltern kann. b) Wie ist die Spannung U am Ablenkkondensator (Plattenabstand d = 10 mm) für B = 0.1 T zu wählen, falls Protonen mit v = 0.1c herausgefiltert werden sollten? 3.16 Aufgabe: Elektronenbeschleuniger Betatron Die Grundidee des Betatrons besteht darin, mit Hilfe eines Elektromagneten Elektronen (oder andere geladene Elementarteilchen) im Vakuum durch ein zylindersymmetrisches Magnetfeld mit zeitlich linear wachsendem Fluß Φ auf einer n-fach durchlaufenen Kreisbahn bis zu Energien in der Größenordnung von etwa 10 bis 100 MeV zu beschleunigen. Zur tangentialen Beschleunigung dient die induzierte elektrische Feldstärke E. Die Kreis~ erzwungen. Das Betatron wird zur Erzeugung bahn wird durch die Lorentzkraft −e~v × B energiereicher Teilchen in der Elementarphysik, Technologie und Medizin angewendet. a) Geben Sie die grundsätzlichen elektrischen und mechanischen Gleichungen zur Dimensionierung an! b) Welchen Energiegewinn erfährt ein Elektron nach n Umläufen? 3.17 Aufgabe: Halleffekt in Halbleitern a) Berechnen Sie die Hallspannung für ein Hallelement entsprechend dem untenstehenden Bild unter Voraussetzung von P-Leitung. b) Geben Sie den Zusammenhang zwischen Hallkoeffizienten RH , Leitfähigkeit κ und Hallbeweglichkeit µpH an! 22 3.18 Aufgabe: Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im Bild gezeigt ist die Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei homogenem Feld in der Fläche A abzuleiten. 3.19 Aufgabe: Magnetspannplatte Mit welcher Kraft wird ein Werkstück mit einer wirksamen Auflagefläche von 600 cm2 durch eine Magnetspannplatte für B = 0.5 T gehalten? 3.20 Aufgabe: Induktive Oberflächenerwärmung Es ist die Eindringtiefe, die bei der Oberflächenhärtung einer Stahlwelle (Temperatur >1000◦C) mit einem Durchmesser von 20 mm und einer Leitfähigkeit κ = 5 · 106 S/m bei einer Frequenz von 50 Hz oder 5 bzw. 500 kHz auftritt, abzuschätzen. 23 4 Transiente Vorgänge in linearen Netzwerken 4.1 Aufgabe: Übertragungsverhalten einer RC-Schaltung Die Ausgangsspannung ua bei einer Sprungfunktion am Eingang ist zu ermitteln. 4.2 Aufgabe: RC-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle Berechnen Sie für die Schaltung im Bild a) die Kondensatorspannung u(t) sowie b) den Strom i(t) für t ≥ 0, falls u(−0) bekannt ist und die Spannungsquelle mit uq = û cos (ωt + ϕuq ) zum Zeitpunkt t = 0 zugeschaltet wird! 24 4.3 Aufgabe: Ausschalten einer induktiv belasteten Transistorstufe Beim Ausschalten eines Transistors (näherungsweise modellierbar durch einen Schalter) mit einem ue -Sprung wird der Strom durch ein Relais (modelliert durch eine Induktivität und einen ohmschen Widerstand, der den Widerstand des Kupferdrahtes representiert) unterbrochen. a) Begünden Sie anhand der Spannung ua (t), wieso der Transistor zerstört werden kann. b) Geben Sie eine möglichst einfache Schutzschaltung SB an, die das Auftreten einer zu hohen Spannung verhindert, und diskutieren Sie die Wirkungsweise! 4.4 Aufgabe: Analyse eines Parallelresonanzkreises Gegeben sei der Parallelresonanzkreis (siehe Bild). a) Beschreiben Sie die Schaltung für t ≥ 0 durch zwei Differentialgleichungen 1.Ordnung für die Zustandsgrößen u und iL bzw. durch eine 2.Ordnung für u, und geben Sie jeweils die Anfangswerte an! b) Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung des Dämpfungsfaktors c) Welche Lösung würde sich für t → ∞ beim praktisch nicht realisierbaren Fall R → ∞ einstellen, und welche Aussage ist über die auftretenden Energien möglich! 25 5 Wellenausbreitung 5.1 Aufgabe: Satellitenempfang Der Fernsehsatellit ASTRA sendet Fernsehsignale bei ca. 10 GHz zur Erde, welche im LNB der Satantenne in das Frequenzband 0,9 GHz bis 2 GHz umgesetzt wird. Der LNB sei mit einer 15 m langen Koaxialleitung (L’=315 nH/m, C’=56pF/m, ǫr =4) mit der Sat-Box verbunden. a) Zeichnen Sie das Modell für die Koaxialleitung und modellieren Sie den LNB mittels einer Wechselspannungsquelle mit Innenwiderstand RG , die Sat-Box durch eine allgemeine Lastimpedanz ZL . b) Berechnen Sie die Wellenimpedanz Z0 des Koaxkabels und die Ausbreitungsgeschwindigkeit vKoax für Signale im Koaxkabel. Geben Sie auch die Signallaufzeit τKoax an. c) Geben Sie die Wellenlänge λ und den Phasenkoeffizienten β für ein Fernsehsignal auf einer Trägerfrequenz von 1 GHz auf der Koaxleitung an. Berechnen Sie zum Vergleich die Koaxkabelwellenlänge eines 1 kHz-Signals. Wann muß eine ”wellenmäßige Betrachtung”der Signalausbreitung erfolgen? d) Geben Sie allgemein Stromverlauf I(x, t) sowie den Spannungsverlauf U(x, t) auf der Koaxleitungan, und berechnen Sie die Hochfrequenzleistung. 26
