Fortgeschrittenenpraktikum für Bachelorstudenten der Physik

Fortgeschrittenenpraktikum für Bachelorstudenten der Physik
Versuch T14
Stern-Gerlach
17. Februar 2014
Voraussetzungen
• Spin von Elektronen
• Bewegung von Atomen in Magnetfeldern
Versuchsziel
• Aufnahme der Verteilung der Teilchenstromdichte in der Detektionsebene ohne Magnetfeld und bei
verschiedenen Magnetfeldstärken
• Untersuchung der Lage der Maxima für die Teilchenstromdichte in Abhängigkeit von der lnhomogenität des Magnetfeldes
• Bestimmung des Bohrschen Magnetons µB
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Magnetisches Moment und Kraftwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zweidrahtfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Teilchenbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Einfluss von Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen und Strahlprofil .
2.5 Idealfall, Methode A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Echter Strahlquerschnitt, Methode B . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Strahlquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Asymptotisches Verhalten für große Felder . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
5
7
8
8
8
3 Versuchsdurchführung
3.1 Aufbau des Schaltkreises .
3.2 Vakuumsystem . . . . . .
3.3 Aufheizen des Ofens . . .
3.4 Der Detektor . . . . . . .
3.5 Aufnahme der Messreihen
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10
10
11
12
12
13
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4 Auswertung
13
A Mathematische Hintergründe
A.1 Zweidrahtfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Echter Strahlquerschnitt, Methode B . . . . . . . .
A.2.1 Strahlquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Asymptotisches Verhalten für große Felder .
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14
14
15
15
16
B Abbildungen
B.1 Eichkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
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Literatur
[1]
Böhm, M.: Höhere Experimentalphysik, Bd 272
[2]
Mayer-Kuckuk, T.: Atomphysik, Bo 137
[3]
Bergmann, Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 4, Teil 1, Bd 15
[4]
Haken, H., Wolf, H. C.: Atom- und Quantenphysik, Bo 164
[5]
T. Hebbeker: Vorlesungsskript zur Experimentalphysik IV, Kapitel 8
[6]
Phywe, Versuchsanleitung Stern-Gerlach experiment“ LEP 5.1.11-00
”
Alte Versuchsanleitung der RWTH
[7]
[8]
Petertill, M.: Wandtafel Operating of the Stern-Gerlach Apparatus“ im Praktikumsraum
”
2
1
Einführung
Otto Stern und Walther Gerlach haben 1922 erstmals an Hand von elektrisch neutralen Silberatomen
(Elektronenkonfiguration: [Kr]4d10 5s1 ) die Richtungsquantelung des magnetischen Moments von Atomen
(welches klassisch durch den Bahndrehimpuls des um den Kern kreisenden 5s-Elektrons entsteht) in einem
inhomogenen Magnetfeld beobachtet. Damit lieferte das Experiment neben der Möglichkeit zur direkten
Messung des magnetischen Moments von Atomen einen Hinweis auf die ab 1925 entwickelte Theorie
der Quantenmechanik. In der modernen Quantenmechanik (mit der Fermi-Statistik und dem 1925 durch
Samuel Goudsmit und Georg Uhlenbeck postulierten Elektronenspin) beweist der Stern-Gerlach-Versuch
die Quantisierung des Elektronenspins und ermöglicht die direkte Messung des Bohrschen Magnetons
µB . Es handelt sich beim Stern-Gerlach-Versuch also um ein grundlegendes Experiment, durch welches
die Natur der Quantenmechanik gezeigt werden kann. Später wurde der Versuch durch Benutzung von
Wasserstoffatomen wiederholt, in unserem Experiment verwenden wir Kaliumatome.
2
Theoretische Grundlagen
In diesem Teil sollen zunächst die theoretischen Grundlagen des Stern-Gerlach-Versuches aufgearbeitet
werden, welche nötig sind, um die physikalischen Gegebenheiten nachvollziehen zu können. Die Herleitungen befinden sich im Anhang der Versuchsbeschreibung und an gegebener Stelle wird darauf hingewiesen.
Weiter sollen verschiedene Teile zu Übungszwecken selbst erarbeitet werden. Dazu sind die Literaturhinweise hilfreich, insbesondere [7] und [8], auf welchen diese Versuchsanleitung zu Teilen basiert.
2.1
Magnetisches Moment und Kraftwirkung
Wie bereits in der Einführung erklärt, ist es notwendig die Auswirkung eines inhomogenen Magnetfeldes
auf das durch den Spin eines einzelnen Elektrons in der Hülle des Kaliumatoms induzierten magnetischen
Momentes zu bestimmt.
Es ergibt sich der Ausdruck
∂B
∂B
= −ms gs · µB ·
(1)
∂z
∂z
für die Kraft Fz , mit der z-Achse als gewählte Quantisierungsachse, in Abhängigkeit des magnetischen
Momentes µz in z-Richtung, sowie der Änderung des Magnetfeldes. Dabei sind ms die Spinquantenzahl
von Elektronen, gs ≈ 2, 00232 der Landé-Faktor für Elektronen und µB das Bohrsche Magneton. Die
Herleitung sei Ihnen zur Vorbereitung und Übung selbst überlassen.
Fz = µz ·
2.2
Zweidrahtfeld
Zur Erzeugung des inhomogenen Magnetfeldes dienen die in Abbildung 1 gezeigten Polschuhe. Durch ihre
spezielle Form bilden sie ein Feld, wie es von zwei parallelen Drähten mit dem Abstand 2a und entgegengesetzter Stromrichtung erzeugt wird. Dabei entspricht a dem Radius des konvexen Polschuhs. Dieses
Zweidrahtfeld ist für die Aufspaltung des Atomstrahls√besonders geeignet, da bei sachgerechter Justierung des Atomstrahls in einem Abstand von ungefähr 2a zu den fiktiven Drähten (Siehe Anhang A.1)
ein über den Strahlquerschnitt nahezu konstanter Feldgradient ∂B
∂z erreicht werden kann. In der Praxis
kann der Feldgradient nicht direkt gemessen werden, sondern wird über die Messung der magnetischen
Induktion B ermittelt. Hierfür kann der folgende Zusammenhang ausgenutzt werden (Herleitung siehe
Anhang A.1):
∂B
B
= 0,9661 · .
(2)
∂z
a
Die magnetische Induktion B wird über eine, für jeden Versuchsaufbau spezifische, Eichkurve (Anhang
B.1) aus dem angelegten Spulenstrom bestimmt.
3
Abbildung 1: Polschuhe zur Erzeugung eines Zweidrahtfelds
2.3
Teilchenbahn
Hier soll die Bahn eines einzelnen Teilchens der Masse m berechnet werden. Verschiedene Teilchenbahnen
sind in Abbildung 2 dargestellt. Die Ausbreitungsrichtung der Teilchen ist in x-Richtung, das Magnetfeld
wirkt in z-Richtung. Darin ist das Teilchen im Auftreffort u(2) schneller als das, welches in u(1) angelangt
(∆u > ∆z). Das Teilchen in u(3) unterscheidet sich durch die Spinorientierung relativ zu den anderen
beiden.
Abbildung 2: Teilchenbahn
Das Teilchen durchlaufe zunächst das Magnetfeld der Länge L, wofür es die Zeit ∆t =
Ablenkung ∆z, die das Teilchen dabei in z-Richtung erfährt ist gegeben durch
∆z
=
=
2
1
2 z̈ (∆t)
2
1 Fz
2 · m · (∆t)
L
v
benötigt. Die
.
Dabei wird wegen ∆z L die Näherung ~v ≈ v~x benutzt. Die Geschwindigkeit ż in z-Richtung ist
beim Verlassen des Magnetfeldes über den Impuls mż = Fz · ∆t des Teilchens gegeben. Mit dieser Geschwindigkeit bewegt es sich bis zum Detektor an der Position x = l gleichförmig, geradlinig weiter. Die
4
Gesamtzeit tges , die vom Eintreten in das Magnetfeld bis zum Erreichen des Detektors benötigt wird, ist
also tges = vl . Damit lässt sich nun der Auftreffort u des Teilchens in Abhängigkeit seiner Geschwindigkeit
und der Feldinhomogenität berechnen:
u = z + ∆z + ż · (tges − ∆t)
L·l
L
∂B
= z+
1−
µz
mv 2
2l
∂z
L
L·l
∂B
1−
= z−
ms gs · µB
.
mv 2
2l
∂z
(3)
Schnellere Teilchen werden also weniger abgelenkt, da sie dem Magnetfeld kürzer ausgesetzt sind.
2.4
Einfluss von Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen und Strahlprofil
Für viele Teilchen wollen wir nun die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeiten im Ofen finden, um
anschließend damit auf die Ortsabhängigkeit der Teilchenstromdichte in der Detektorebene schließen zu
können.
Wenn die Kalium-Atome verdampft werden, bildet sich im Ofen ein Gas, das sich bei der Temperatur
T im thermischen Gleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die Kalium-Atome überall im Ofen der
Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung genügen und die Teilchendichte n überall im Ofen gleich ist.
Für die Teilchenzahl dN mit einer Geschwindigkeit zwischen v und v + dv gilt also
mv 2
dN ∼ e− 2kT v 2 dv.
Auch die Teilchen im Atomstrahl, welcher aus dem Ofen austritt unterliegen dieser thermischen Proportionalität, allerdings muss diese noch mit einer geometrischen Proportionalität kombiniert werden, welche
unter der Annahme einer geradlinig gleichförmigen Bewegung der Atome folgende Form hat
dN ∼ v dv.
Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: Aufgrund des Blendensystems müssen sich die Kalium-Atome
beim Verlassen des Ofens parallel zur Strahlrichtung bewegen, um in den Strahl zu gelangen. Betrachtet
man die Atome einer bestimmten Geschwindigkeit v, die den Ofen in einem genügend kleinen Zeitintervall
∆t verlassen, so können diese nur aus einem Volumen der Länge v · ∆t vor der Öffnung stammen (vgl.
Abbildung 3). Die Größe dieses Volumens ist direkt proportional zu Teilchengeschwindigkeit v. Da die
Teilchendichte n im gesamten Ofen gleich ist, skaliert im Strahl also auch die Anzahl der Atome einer
bestimmten Geschwindigkeit v mit selbiger (zusätzlich zur Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung).
Abbildung 3: Zur Herleitung der geometrischen Proportionalität in der Geschwindigkeitsverteilung
Damit ergibt sich also insgesamt
mv 2
dN ∼ e− 2kT v 3 dv.
5
Da wir aber an der Teilchenanzahl in Abhängigkeit des Auftreffpunkts u interessiert sind, muss dv durch
du substituiert werden. Weil sich der Auftreffpunkts nach Gleichung (3) für gleiche Teilchen mit gleicher
Geschwindigkeit und gleichem z außschließlich durch ms unterscheidet, gilt
L·l
L
∂B 1−
ms gs · µB
|u − z| = −
mv 2
2l
∂z L·l
L
∂B
=
1−
|ms |gs · µB
mv 2
2l
∂z
L
L·l
∂B
1−
=
gs · µB
.
(4)
2mv 2
2l
∂z
Dabei ist die Inhomogenität des Magnetfelds
s
v=
∂B
∂z
in diesem Versuch per Definition positiv. Somit folgt
1−
L
2l
L·l
2m
gs · µB
∂B 1
∂z |u − z|
und daraus
s
dv
3
L·l
u−z
L
∂B
1
1−
gs · µB
· −
|u − z|− 2 ·
du
2m
2l
∂z
2
|u − z|
s
L
u−z
1 L·l
∂B 1
1−
gs · µB
·
du
= −
2 2m
2l
∂z |u − z| |u − z|2
v
= −
du
2(u − z)
=
(5)
bzw. da nur positive Lösungen für dv in Frage kommen
dv =
v
du
2|u − z|
(6)
sowie
v 3 dv
v4
du
2|u − z|
1 L·l
1−
2 2m
1 L·l
1−
8
m
=
=
=
2
1
∂B 1
du
∂z |u − z|
|u − z|
2
L
∂B
1
gs · µB
du.
2l
∂z
|u − z|3
L
2l
gs · µB
(7)
Unter Berücksichtigung der Normierung ergibt sich also insgesamt für die Teilchenanzahl in Abhängigkeit
des Auftreffpunkts:
b
a · e− |u−z|
dN =
du,
(8)
|u − z|3
mit den Abkürzungen
1
8
a =
2
R∞
−∞
1
8
L·l
m
2
L
1 − 2l
gs µB ∂B
∂z
2 − b
L
1
1 − 2l
gs µB ∂B
e |u−z| |u−z|
3 du
∂z
1
=
2
R∞
b
− |u−z|
e
−∞
b =
L·l
m
L·l
4kT
L
1−
2l
(9)
1
|u−z|3 du
gs · µB
6
∂B
.
∂z
(10)
Dabei ist der Faktor 2 vor dem Integral der Tatsache geschuldet, dass beide Flugrichtungen (in den Ofen
hinein und aus dem Ofen heraus) aus Symmetriegründen gleichwahrscheinlich sind.
Des Weiteren hat auch die endliche Ausdehnung bzw. das Profil des Teilchenstrahls einen Einfluss. Es
gilt
dN ∼ Φm (z)dz.
Dabei beschreibt Φm (z) die Zahl der Teilchen, die zwischen z und z + dz in das Magnetfeld einfliegen,
wobei der Index m = ± 21 die Orientierung des magnetischen Moments bezeichnet. Damit ändert sich die
gesuchte Verteilungsfunktion zu
b
a · e− |u−z|
2
dudz
(11)
d N = Φm (z)
|u − z|3
2.5
Idealfall, Methode A
Mit Hilfe der vorangegangenen Überlegungen ist es nun möglich, die Teilchenstromdichte I(u) in Abhängigkeit
vom Auftreffort u in der Detektorebene anzugeben. Um alle Teilchen des Strahls zu berücksichtigen, muss
über z integriert und über alle möglichen Spin-Orientierungen summiert werden:


ZD
X
1 
I(u) =
d2 N 
du
m
−D

= 
X
m

= 
ZD
−D
D
XZ
m

d2 N 
du

b
a · e− |u−z| 
dz .
Φm (z)
|u − z|3
(12)
−D
Da das Teilchenzahlprofil für beide Orientierungen ms = ± 12 gleichwertig ist, wird
Φ+ 12 (z) ≡ Φ− 21 (z) :=
I0 (z)
2
definiert. Dann folgt
ZD
I(u) = a
b
I0 (z)e− |u−z|
dz
.
|u − z|3
(13)
−D
Wir wollen nun die Näherung eines infinitesimalen Strahlenkastens betrachten. Hierfür gilt
I0 (z) = 2DI0 δ(z).
Dabei ist δ(z) die Dirac-Funktion, für die (falls x0 innerhalb der Integrationsgrenzen liegt) gilt
Z
f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ).
Einsetzen liefert somit
1
.
(14)
u3
Nun sollen die Maxima der Intensitäten bestimmt werden, dazu wird Gleichung (14) abgeleitet und gleich
Null gesetzt:
b
I(u) = 2aDI0 e− |u|
b
b − 3|u| − |u|
dI(u)
!
= 2aDI0
e
= 0,
5
du
u L
L · l 1 − 2l
b
∂B
(0)
⇒ u0 = ± = ±
gs · µB
.
(15)
3
12kT
∂z
Es ist also sofort erkennbar, dass die Lage der Maxima, u0 , linear mit der Feldinhomogenität zunimmt,
d.h.
∂B
(0)
u0 = const. ·
.
(16)
∂z
Diese Methode wird im Auswertungsteil als Methode A bezeichnet.
7
2.6
2.6.1
Echter Strahlquerschnitt, Methode B
Strahlquerschnitt
Um an eine bessere Anpassung der Theorie an das Experiment zu gelangen, werden wir nun die Breite
2D des Strahlquerschnitts als endlich ansehen. Das Strahlprofil soll dabei wie in Abbildung 4 gezeigt
durch zwei steile, gerade Flanken und einen parabelförmigen Scheitel beschrieben werden, d.h.


für − D ≤ z ≤ −p
D + z
1
1 z2
I0 (z) = i0 · D − 2 p − 2 p für − p ≤ z ≤ p


D−z
für p ≤ z ≤ D


für − D ≤ z ≤ −p
1
dI0 (z)
z
= i0 · − p für − p ≤ z ≤ p

dz

−1 für p ≤ z ≤ D


für − D ≤ z ≤ −p
0
d2 I0 (z)
1
=
i
·
für − p ≤ z ≤ p
−
0
p

dz 2

0
für p ≤ z ≤ D
(17)
Abbildung 4: Mathematischer Ansatz für die Teilchenstromdichte bei verschwindendem Magnetfeld
Der Parameter p wird dabei durch den Übergang von der Parabel zu den Geraden festgelegt.
2.6.2
Asymptotisches Verhalten für große Felder
Legt man nun genügend große Magnetfelder an, so ist es möglich, durch eine Taylorentwicklung der für
den realen Strahlquerschnitt in Anhang A.2 hergeleiteten Lösungsfunktionen eine Bestimmungsgleichung
für u0 herzuleiten (Nullsetzen von Gleichung (22)).
D4 − 15 p4
1
b
b
1 b2
b
0 = D2 − p2
−3 +
5
−
1
+
−
15
3
u0
u20
u0
12 u20 u0
Dabei handelt es sich beim ersten Summanden um die Lösung erster Ordnung, während der zweite
Summand einen Korrekturterm höherer Ordnung repräsentiert. Unter Vernachlässigung der Korrektur
8
höherer Ordnung erhält man die bereits bekannte Lösung für u00 = 3b . Da es sich beim zweiten Summanden
um einen Korrekturterm höherer Ordnung handelt, ist es möglich u0 durch u00 zu ersetzen, da die damit
verbundenen Abweichungen von noch höherer Ordnung sind. Dadurch erhält man folgende Näherung:
D4 − 51 p4
b
1 2
2
−3 +
0 =
D − p
3
u0
u20
⇒b
=
3u0 −
D4 − 15 p4 1
C
1 2 u = 3u0 − u .
2
D − 3p 0
0
(18)
Über den Korrekturterm − uC0 wird die unterschiedlich starke Krafteinwirkung an verschiedenen Positionen im Strahlquerschnitt berücksichtigt. Im Auswertungsteil wird das Bohrsche Magneton µB zusätzlich
zu Methode A ebenfalls durch Methode B bestimmt.
Aufgabe Leiten sie mit Hilfe von Gleichung (10) und (18) einen Ausdruck her, in welchem µB und nur
der Messung zugängliche Größen auftreten. Welcher Zusammenhang besteht?
9
3
Versuchsdurchführung
Abbildung 5: Aufbau der Versuchsapparatur
3.1
Aufbau des Schaltkreises
Es muss unbedingt darauf geachtet werden, dass zwischen Spannungsquelle und
Detektor der Anpassungstrafo angeschlossen wird, um eine Beschädigung
des Detektors zu vermeiden.
Die Betriebsspannungen entnehmen Sie Tabelle 1, die für die Auswertung benötigten Abmessungen
können der Tabelle 2 entnommen werden. Die Spannungsquelle für die Magnetspulen soll zunächst ausgeschaltet bleiben.
Gerät
Ofen
Detektor
Betriebsart
Aufheizen (ca. 10 min)
Dauerbetrieb
Normalbetrieb
Flashen (max. 45 s)
Magnet
Einstellung
max 1 A"
ca. 0,5 A"
4,2 A∼
Umax (ca. 18 V∼ )
max 1,2 A∼
Tabelle 1: Einstellungen
Länge Polschuhe
Radius konvexer Polschuh
Anfang Magnetfeld bis Detektor
L = 7 · 10−2 m
a = 2,5 · 10−3 m
l = 0,455 m
Tabelle 2: Abmessungen der Apparatur
10
Abbildung 6: Schaltkreise für: (a) Ofen; (b) magnetischen Analysator; (c) Detektor
3.2
Vakuumsystem
Der komplette Versuchsaufbau ist in einem Ultrahochvakuumsystem untergebracht, da der Versuch bei
normalem Umgebungsdruck, auf Grund der Interaktionen der Kaliumatome mit den Gasatomen der
Luft, nicht möglich wäre. Versichern Sie sich zunächst mit Hilfe des Kaltkathodenvakuummeters, ob
der benötigte Druck von p ≈ 4 · 10−6 mbar unterschritten wurde. Beim Heizen des Ofens und beim
Flashen des Detektors (siehe Abschnitt 3.4) kann sich das Vakuum kurzzeitig verschlechtern (bis zu 2
Größenordnungen), sollte sich dann aber innerhalb weniger Minuten wieder erholen. Erholte es sich nicht,
melden Sie das dem Versuchsbetreuer! Sollte der Druck zu irgendeinem Zeitpunkt über 10−4 mbar
steigen, so schalten Sie sofort den Detektor ab und melden sich beim Versuchsbetreuer.
Wird der Detektor nicht abgeschaltet, so kann er innerhalb von wenigen Minuten durchbrennen!
Abbildung 7: Schematischer Aufbau des Vakuumpumpensystems
11
3.3
Aufheizen des Ofens
Kalium verdampft bereits ab einer Temperatur von knapp 70 ◦ C. Um ausreichende Intensitäten zu erreichen müssen jedoch höhere Temperaturen im Ofen erreicht werden, 180 ◦ C sollten dabei auf keinen Fall
überschritten werden. Zeichnen Sie während des Aufheizvorgangs bei maximal angelegtem Magnetfeld
(dementsprechend flache Peaks) grob den Detektorstrom und die Ofentemperatur auf (z.B. ab 100 ◦ C alle
10 ◦ C eine kurze Messreihe), und entscheiden Sie, bei welcher Temperatur die Peaks noch ausreichend
vom Untergrund zu unterscheiden sind.
Für die Auswertung wird die genaue Temperatur benötigt. Notieren Sie sich diesen Wert und achten Sie
darauf, dass er während des gesamten Experimentes konstant bleibt.
Anschließend kann das Magnetfeld langsam heruntergefahren werden, gleichzeitig sollte das Feld mehrfach
umgepolt werden, um die Remanenz zu minimieren. Die Eisenkerne in den Spulen können anschließend
für die Messung bei B = 0 herausgedreht werden und müssen für die späteren Messungen mit Magnetfeld
vorsichtig wieder herein gedreht werden.
3.4
Der Detektor
Abbildung 8: Skizze des Langmuir-Taylor-Detektors
Im Experiment wird ein Langmuir-Taylor-Detektor verwendet, der zur Detektion elektrisch neutraler
Atome dient. Er besteht aus einem Wolframdraht, der auf eine Temperatur von T = 800 ◦ C erhitzt wird
und von einem Nickelzylinder mit Eintrittsfenster für den Kaliumatomstrahl umgeben ist. An den Draht
wird mittels des Anpassungstrafos, der über einen Stelltrafo betrieben wird, eine Spannung von etwa
50 V angelegt. Ohne diese Vorspannung würde er wegen seiner Glühentladung einen Strom liefern, der
exponentiell mit der Temperatur des Glühdrahtes anwächst. Der Zylinder ist geerdet. Treffen Kaliumatome auf den glühenden Draht, so werden sie ionisiert (Ionisierungsenergie geringer als Austrittsarbeit für
Elektronen im Wolfram) und aufgrund der Potentialdifferenz zwischen Draht und Zylinder zum Zylinder
hin beschleunigt. Der resultierende Ionenstrom ist in der Größenordnung ∼ pA. Er wird verstärkt und
ist der Anzahl der auftreffenden Kaliumatome proportional, sofern der Wolframdraht auf der richtigen
Temperatur ist. Bei zu niedrigem Heizstrom können nicht alle Atome ionisiert werden. Wird die Temperatur erhöht, ist einerseits auch gegen die Vorspannung ein mit der Temperatur anwachsender Strom
von der Glühentladung zu messen, andererseits dampfen Verunreinigungen anfangs ab und liefern ein
zusätzliches Signal, da sie nach dem Abdampfen teilweise ionisiert sind. Wegen dieser Verunreinigungen
soll der Detektor zu Anfang der Messung ausgeheizt werden (“flashen”), um das Rauschen zu reduzieren.
12
Ein weiteres Problem entsteht durch die gering Größe der zu messenden Ströme: Wenn man das Koaxialkabel berührt oder bewegt, über das der Detektor ausgelesen wird, so können kurzzeitig Ströme induziert
werden, die das eigentliche Messignal weit übersteigen. Daher sollte dieses Kabel möglichst nicht berührt
werden und man sollte zwischen dem Verändern der Detektorposition und dem Ablesen der Messwerte
kurz warten.
3.5
Aufnahme der Messreihen
Es soll nun bei konstanter Ofentemperatur der Detektorstrom in der Detektionsebene aufgenommen
werden bei verschwindendem Magnetfeld und bei Magnetfeldstärken bis zu 1,2 A (es sollte dabei in kleinen
Schritten gemessen werden, da für die Auswertung eine genaue Bestimmung der Lage der Maxima bei
eingeschaltetem Magnetfeld und der Strahlparameter p und D bei B = 0 erfolgt). Dabei sollte darauf
geachtet werden, die Messungen so durchzuführen, dass der Spulenstrom nur vergrößert wird, um so
durch magnetische Remanenz entstehende Effekte gering zu halten.
Es ist darauf zu achten, dass der Arbeitsbereich des Verstärkers gegebenenfalls angepasst werden muss.
Die Detektorposition wird durch Drehen der Millimeterschraube verändert. Pro Umdrehung wird der
Detektor um 1,8 mm bewegt.
4
Auswertung
Ziel der Auswertung ist es, die zwei zuvor angesprochenen Theorien zu überprüfen. Gehen Sie dazu wie
folgt vor:
• Tragen Sie die beim Aufheizen aufgenommenen Stromwerte gegen die Temperatur auf. Diskutieren
Sie, bei welcher Temperatur das Experiment sinnvollerweise durchgeführt werden sollte.
• Tragen Sie für verschiedene Spulenströme den Detektorstrom (∼ Teilchenstromdichte) gegen die
Auslenkung des Detektors auf.
• Bestimmen Sie das magnetische Moment µB
(0)
– zum einen ausgehend von der Theorie eines beliebig schmalen Strahlkastens (indem Sie u0
gegen 3b auftragen, vgl. Gleichung (15))
– zum anderen mit Hilfe der in Abschnitt 2.6.2 hergeleiteten Gleichung (18) für einen realen
(0)
Strahlkasten (indem Sie u0 − C(0) gegen 3b auftragen, dazu muss das reale Strahlprofil para3u0
metrisiert werden wie in Abbildung 4 gezeigt.).
(0)
• Dazu müssen in beiden Fällen die Lagen u0
bestimmt werden.
der Maxima für verschiedene Feldinhomogenitäten
• Die Umrechnung des Spulenstroms auf die Feldinhomogenitäten entnehmen Sie dazu Anhang B.1.
Vergessen Sie nicht sich zu notieren, welchen Aufbau Sie verwendet haben!!!
• Diskutieren Sie die Unterschiede in Ihren Ergebnissen und erläutern Sie, wie sinnvoll es ist, eine
mathematisch präzisere Theorie zu verwenden. Diskutieren Sie alle weiteren Einflüsse auf Ihre
Messung.
13
A
A.1
Mathematische Hintergründe
Zweidrahtfeld
Die magnetische Induktion zweier antiparalleler Ströme mit dem Abstand 2a ergibt sich durch Addition
ihrer einzelnen Komponenten
~
~ i = Ii × r~i .
B
2π · ri2
Mit I~1 = −I~2 = I~ folgt also
µ0 Ia
.
πr1 r2
Damit der Atomstrahl eine weitgehend konstante Kraft erfährt, muss er den magnetischen Analysator an
einer Stelle nahezu konstanter Feldinhomogenität durchqueren. Es soll daher nun herausgefunden werden,
in welchem Abstand von den Drähten (Ebene der Drähte z = −z0 ) das Feld eine möglichst konstante
Inhomogenität aufweist, also ∂B
∂z = const. Diese Ebene wird zu z = 0 gewählt.
B(~r) =
Abbildung 9: Festlegung eines Koordinatensystems
Der Abbildung 9 kann man die folgenden Zusammenhänge für die Abstände r1 und r2 entnehmen:
r12 = (a − y)2 + (z + z0 )2
r22 = (a + y)2 + (z + z0 )2
Damit ergibt sich durch Einsetzen in obige Gleichung für B
i− 21
2
µ0 · I · a h 2
2
4
B(y, z) =
· a − y 2 + 2 (z + z0 ) a2 + y 2 + (z + z0 )
π
(19)
und durch Differentiation dieser nach z folgt die Feldinhomogenität
∂B
2 · µ0 · I · a · (z + z0 )
=−
·h
∂z
π
a2 + y 2 + (z + z0 )2
(a2
−
2
y2 )
2
+ 2 (z + z0 )
(a2
+
y2 )
+ (z + z0 )
4
i 23 .
Bei z = 0 soll die Abhängigkeit der Inhomogenität von y verschwinden. Um diese Ebene zu finden, wird
∂B
2
∂z an der Stelle y = 0 um y bis zur ersten Ordnung entwickelt. Die Näherung ergibt


2
2
∂B
2µ0 I · a · (z + z0 )
2a − (z + z0 ) 
2
.
(y, z) ≈ − 2 · 1 + 2y · 2
∂z
2
a2 + (z + z0 )
π a2 + (z + z0 )
14
√
Die Abhängigkeit von y verschwindet also für z0 = 2a. Das ist der Abstand des Atomstrahls zu den
fiktiven Drähten.
Für die Berechnung des magnetischen Moments ist es wichtig, die Feldinhomogenität zu kennen. Diese
kann nicht direkt gemessen werden. Jedoch kann sie unter der Annahme eines linearen Zusammenhangs
zwischen B und ∂B
∂z für kleine Ablenkungen
az aus der magnetischen Feldstärke berechnet werden. Es soll
nun der Proportionalitätsfaktor = ∂B
∂z · B in der Umgebung von y = 0 gefunden werden. Dazu wird
wie oben (y, z) an der Stelle y = 0 bis zur ersten Ordnung um y 2 entwickelt
(y, z) ≈
2
3a2 − (z + z0 )
2
.
·
1
+
·
y
2
2 2
a2 + (z + z0 )
a2 + (z + z0 )
2a (z + z0 )
Das Blendensystem des Apparates ist so gestaltet, dass der Atomstrahl eine Breite von etwa 43 a in yRichtung besitzt. Im Bereich dieses Strahlenkastens ändert sich (y, 0) geringfügig mit
y, daher wird zur
Berechnung der Inhomogenität der Mittelwert aus dem höchstmöglichen Wert 32 a, 0 ≈ 0,9894 und dem
niedrigsten Wert (0, 0) ≈ 0,9428 gebildet. Es ergibt sich also für den Umrechnungsfaktor ≈ 0,9661.
A.2
A.2.1
Echter Strahlquerschnitt, Methode B
Strahlquerschnitt
Gehen wir nun von dem in Abschnitt 2.6 beschriebenen Modell des Strahlquerschnitts aus. Betrachtet man
die Gleichungen (17), so erkennt man, dass I0 (z) als zwei mal differenzierbar angesetzt wird. Die darauf
basierende Bestimmung der Teilchenstromdichte I(u) hängt von der Inhomogenität des magnetischen
Feldes ab, also von b (Gleichung (10)). Die Maxima von I(u) befinden sich an den Positionen u0 (b),
welche sich nun mehr oder weniger von den Positionen u00 = ± 3b unterscheiden, also von der Näherung
für einen infinitesimalen Strahlkasten.
Um die Funktion u0 (b) zu bestimmen gehen wir aus von
dI
(u0 ) = 0.
du
Dabei kann nun die Ableitung nach u in das Integral gezogen werden, wie man an folgender Rechnung
erkennt
b
+D
−
R
dI
d
e |u−z|
=
a
I
(z)
0
du
du
|u−z|3 dz
=
a
−D
+D
R
−D
−
b
|u−z|
∂ e
I0 (z) ∂u
|u−z|3 dz.
∂
∂
Wie man leicht ausprobieren kann, lässt das Ersetzen von ∂u
durch − ∂z
den Integranden dabei unverändert.
b
Z+D
∂ e− |u−z|
dI
= −a
I0 (z)
dz.
du
∂z |u − z|3
−D
Durch partielle Integration (zur Erinnerung:
Rb
f (x) · g 0 (x)dx = (f (x) · g(x))|ba −
a
Rb
f 0 (x) · g(x)dx) ist es
a
nun möglich, die Differentiation zu I0 zu verschieben. Überprüfen Sie, dass hier der erste Summand aus
der partiellen Integration verschwindet.
dI
=a
du
Z+D
b
dI0 (z) e− |u−z|
dz.
dz |u − z|3
−D
Einsetzten von Gleichung (17) liefert
 −p +p

b
Z+D − |u−z|
Z
Z
e
dI
z
= ai0
−
−
dz.

 |u − z|3
du
p
+D
−p
+p
15
Beide auftretende Integrale sind analytisch lösbar (z.B. mit Maple), woraus sich
ai0
dI
= 2 · F (u)
du
pb
mit der Lösungsfunktion
b
b
F (u) = −|u + p|e− |u+p| + |u − p|e− |u−p| + p
b
b
b + |u + D| − |u+D|
b + |u − D| − |u−D|
+p
e
e
u+D
u−D
ergibt. Es folgt sofort die Bestimmungsgleichung für die Positionen der Maxima
F (u0 ) = 0.
Man kann nun erkennen, dass es sich bei F (u0 ) um eine Punktsymmetrie handelt, die Lösungsfunktion
u0 (b), welche die Lage der Maxima angibt ist folglich spiegelsymmetrisch. Durch diese Vereinfachung
können wir uns also lediglich auf die Bestimmung der positiven Werte beschränken.
A.2.2
Asymptotisches Verhalten für große Felder
Wenn die Feldinhomogenität genügend groß wird, so nähert sich u0 der Lösung, die durch den infinitesimal
schmalen Strahlkasten gegeben ist. Geht man nun davon aus, dass
u0 u0 b b
, , ,
1
p D p D
(20)
gilt, dann beschreiben die folgenden Berechnungen nun einen präziseren Verlauf der Funktion u0 (b) für
große Felder.
Mit Hilfe der eben genannten Näherung kann F (u) als Taylorreihe entwickelt werden, wozu wir folgende
Funktion benötigen:
b
f (u) = u · e− u .
(21)
Die relevanten Ableitungen lauten
f (3) (u)
=
b2
u4
f (5) (u)
=
12 ub 6 5
b
u−
2
b
3 e− u
b
u
−1 +
1 b2
12 u2
b
u
− 15
b
b− u .
Bis zur sechsten Ableitung sind nur die dritte und fünfte Ableitung von Interesse, da hierbei als einziges
die Koeffizienten übrig bleiben. Somit ergibt sich für F (u) bei Abbruch nach dem sechsten Glied:
1
p
1
F (u) = p D2 − p2 · f (3) (u) +
D4 − p4 · f (5) (u) + . . . .
(22)
3
12
5
Daraus erhalten wir, ein weiteres Mal durch Nullsetzen, die Bestimmungsgleichung für u0
D4 − 51 p4
1
b
1 b2
b
b
0 = D2 − p2
−3 +
5
−
1
+
−
15
.
3
u0
u20
u0
12 u20 u0
Der weitere Weg zur Bestimmung von u0 wird im Theorieteil, Abschnitt 2.6.2, erläutert.
16
(23)
B
B.1
Abbildungen
Eichkurven
Abbildung 10: Eichkurve für den Magneten Nr. 52 (Versuchsaufbau A)
17
Abbildung 11: Eichkurve für den Magneten Nr. 77 (Versuchsaufbau B)
18