Übung 5 - TU Dortmund

5. Übungsblatt zur Vorlesung Physik II
http://t1.physik.tu-dortmund.de/kierfeld/teaching/Physik2_10/
SS 2010
Abgabe bis 21.05.2010, 13:00
Prof. Dr. Shaukat Khan
Prof. Dr. Jan Kierfeld
(5 Punkte)
Aufgabe 1: Ladungsfluss
In zwei parallelen Zylindern (Radius r0 , Abstand r, wobei r0 r) fließen Ladungsträger konstanter Ladungsdichte λ mit konstanter Geschwindigkeit v parallel zur Zylinderachse.
a) Berechnen sie die elektrische und magnetische Kraft pro Länge, welche die beiden Ladungsverteilungen aufeinander ausüben!
b) Bei welcher Geschwindigkeit v sind die beiden Kräfte gleich?
Aufgabe 2: Rotierende Kugel mit Oberflächenladung
(5 Punkte)
In dieser Aufgabe soll eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
~ rotierende Kugel betrachtet werden, auf der
sich eine homogen verteilte Oberflächenladung befindet. Durch die Rotation entsteht eine Oberflächenstromdichte
auf der Kugel. Das daraus resultierende Magnetfeld soll aus dem Vektorpotential berechnet werden.
a) Die Kugel habe den Radius R, eine Ladungsdichte ρ = δ(r − R)σ und die Winkelgeschwindigkeit ω
~ . Stellen
~
Sie aus lokaler Geschwindigkeit und Ladungsdichte den Ausdruck für die Stromdichte j(~x) auf.
b) Ein möglicher Ausdruck für das Vektorpotential einer Stromverteilung lautet:
Z
~j(r~0 )
µ0
~
A(~r) =
dV 0 (1)
4π
0
~
~r − r ~ r) = const · ω
Schreiben Sie das Vektorpotential in Kugelkoordinaten in der Form: A(~
~ × F~ (~r), wobei F~ (~r) = F ~rr
ist, warum muss dies so sein?
Hinweis: Es ist von Vorteil, die Kugelkoordinaten so zu wählen, dass die z-Achse in Richtung des Betrachters ~r
liegt und die Substitution ξ = cosθ durchzuführen
c) Berechnen Sie das Vektorpotential und daraus das Magnetfeld. Dabei bietet es sich an, die Fälle |~r| < R und
|~r| > R zu unterscheiden.
d) Vergleichen Sie das resultierende Magnetfeld für |~r| > R mit dem Feld eines magnetischen Dipols. Welchem
magnetischen Dipolmoment entspricht es.
Aufgabe 3: Toroidalspule
(5 Punkte)
Um einen Ringkern von der Form eines Torus mit einem mittleren Radius von r=5 cm, einer kreisförmigen
Querschnittsfläche (Radius R=0,5 cm), sowie den magnetischen Eigenschaften von Luft werden 50 m isolierter
Draht zu einer ringförmigen Spule gewickelt.
a) Wie groß ist das magnetische Feld B bei Radien kleiner als r-R, zwischen r-R und r+R, sowie bei Radien
größer als r+R, wenn der Strom durch die Spule 1 A beträgt?
b) Wie ändert sich das Magnetfeld im Innern der Spule, wenn (i) der mittlere Radius des Torus verdoppelt
wird, (ii) der Radius des Querschnitts verdoppelt wird?
Physik II Übungsblatt 5
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Aufgabe 4: Zyklotron (e/m-Messung, Isotopenbestimmung)
(5 Punkte)
Ionen unbekannter Masse m und Ladung Q werden in einem Zyklotron auf die Endgeschwindigkeit v0 gebracht. Darin ist senkrecht zur Teilchenbahn ein konstantes Magnetfeld Bz angelegt. Die Ionen werden in
der Lücke zwischen den Elektroden durch eine Wechselspannung U beschleunigt, so dass sie bei jedem halben Umlauf eine zusätzliche kinetische Energie von 20 keV erhalten. Nach mehreren Umläufen verlassen die
Ionen den Beschleuniger und treten in einen langen Kondensator mit dem Plattenabstand d=4 mm ein. Dessen homogenem elektrischem Feld ist ein homogenes Magnetfeld der Stärke B=10 mT orthogonal überlagert.
a) Bei einer Kondensatorspannung von UK = 8000 V zwischen
den Platten beobachtet man, dass die Teilchen sich auf einer geraden Bahn bewegen und den Kondensator wieder
verlassen. Erklären sie diesen Befund! Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit? Muß man relativistisch rechnen?
b) Nach dem Verlassen des Kondensators trifft der Teilchenstrahl auf eine im Abstand L=1,6 m befindliche fotografische Platte. Die Ablenkung aufgrund des Magnetfeldes B
beträgt a=4,5 mm. Bestimmen sie Q/m, wobei Q ein vielfaches der Elementarladung ist und m die Ruhemasse der
Ionen. Um welches Ion handelt es sich? (Anmerkung: 1,6 m
4,5 mm)
c) Wie hoch war die Anzahl der Umläufe der Ionen im Zyklotron?
d) Wie lang ist die Umlaufzeit eines Teilchens der Energie E im Magnetfeld Bz des Zyklotrons? Betrachten
Sie hier nur den nicht relativistischen Fall (Ekin mp,0 c2 , ’klassisches Zyklotron’)
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