Musterlösung

SS 17
3. Übungszettel zu Kern- und Teilchenphysik
für Lehramtsstudierende
Musterlösung für Aufgabe 9
9) Beantworten Sie folgende Fragen (diese beziehen sich direkt auf die Vorlesungsunterlagen!)
a. Welche anschauliche Bedeutung hat der Parameter d0 in der Gleichung für den
minimalen Abstand d (“distance of closest approach“) bei Rutherfordstreuung?
zZe2
Gleichungen: d  12 d0 1  1/ sin 2  , d 0 
2
 4 0  Ekin
1. Gleichung: für  = 180: d = d0 (d.h. minimaler Abstand bei Rückstreuung)
2. Gleichung: d0 = Abstand wenn kinetische Energie = potenzielle Energie
b. Wie leitet man aus der bekannten Gleichung für den differenziellen
Wirkungsquerschnitt bei Rutherfordstreuung folgende nichtrelativistische
Gleichung für die Streuung von Elektronen (noch ohne Spin) her?
2
d  1 zZe2 
1
und Kosinussatz: q2 = pi2 + pf2 – 2pi pf cos


4
d   4 0 4 Ekin  sin  / 2 
Ohne Kernrückstoß gilt pi = pf, damit q2 = 2p2(1 – cos) = 4p2 sin2 (/2)
weiters q2 = 8m Ekin sin2 (/2), also [4Ekin sin2 (/2)]2 = q4/4m2 ,
In natürlichen Einheiten: e2/40 = 
d
2 1

  2me Z  4
d
q
c. Unter Berücksichtigung des Spins der Elektronen ergibt sich für  = 1 für den
differentiellen Wirkungsquerschnitt bei Rückwärtsstreuung ( = 180) der Wert 0.
Begründen Sie dies rechnerisch (Einsetzen in die Formel) und physikalisch.

 d 
 d 

  1   2 sin 2   0 für  = 180 und   1.

 

2
 d   Mott  d   Rutherford 
Aussage in der Vorlesung (2. Woche, Grafik auf Folie 18):
„Bei Rückwärtsstreung von longitudinal polarisierte Elektronen bei zentralem
Stoß (l = 0) müsste ihr Spin umklappen (= Spin-Flip).“
Das gäbe aber ein Problem mit der Drehimpulserhaltung und findet daher nicht
statt. Auch kann man sich fragen, warum der Spin des Elektrons überhaupt
umklappen sollte. In einem naiven klassischen Bild bleibt der Spin einfach gleich:
das Elektron bewegt sich einfach mit demselben Drehimpuls von Kern weg (mit
dem es auf den Kern zugeflogen ist).
Zwei Punkte sind hier zu beachten:
1. Im Gegensatz zum -Teilchen fliegt das Elektron klassisch um den Kern
herum, ist also nie bei einem bestimmten (minimalen) Abstand in Ruhe.
2. Es gibt eine Erhaltungsgröße, die aus der Lösung der Diracgleichung in der
relativistischen Quantenmechanik folgt,
nämlich die Projektion des Spins auf die Bewegungsrichtung.
Diese Größe wird auch Helizität h (= Schraubensinn) genannt, wenn man auf den
Spin normiert: (h = +1 für Rechtsschraube, h = 1 für Linksschraube ).
Siehe auch Literaturempfehlung (3) auf der home page, Kap. 5.3
„Der Mott-Wirkungsquerschnitt“:
Hier also die Antwort:
d. Berechnen Sie die Kernladungsdichte von Blei in e/fm3 unter der Annahme einer
homogen geladenen Kugel (R = R0 A1/3, mit R0 aus der Vorlesung). Vgl. Folie 22.
 = Q/V = Ze/(4 R03A/3) = 82/(41.23208/3) = 0.054 e/fm3
= 82*e/(4*pi*(1.2fm)^3*208/3)->e/1fm^3
e. Welche Formel und welchen numerischen Wert erhält man für den Faktor aC des
Coulombterms in der Massenformel wenn man die letzten 2 Zeilen auf Folie 33
(2. Woche) miteinander vergleicht?
EC 
3 1 Z 2e2 3  c  Z 2
Z2


a
C
5 4 0 R
5 R0 A1/3
A1/3
 aC 
3  c 3 197 MeV
 
 0.72 MeV
5 R0
5 137  1.2
f. Was versteht man unter dem Fermi-Impuls pF bei einem Kern?
Wie groß ist die Anzahl n der Teilchenzustände im Phasenraum, wenn man
annimmt, dass ein Teilchenzustand das Phasenraum-Volumen h3 einnimmt und
das Volumen des Orts-Impulsphasenraums durch das Produkt von V und dem
Volumen einer Kugel mit Radius pF gegeben ist?
Zeigen Sie, dass man damit die Formel oben rechts auf Folie 40 erhält.
Der Fermi-Impuls ist der maximale Impuls der Nukleonen im Impulsphasenraum
(im Rahmen des Fermigasmodells).
Anzahl der Zustände: n = V  4/3  pF3 / h3
(= Produkt zweier Kugelvolumina / Volumen eines Einteilchenzustandes)
Mit dem Nukleon-Spinfaktor 2 und h = 2h:
n = 2V  4/3  pF3 / 83h3 = 2VpF3/62h3
Für n setzt man nun die Anzahl N bzw. Z von Neutronen und Protonen ein.
Für Kerne mit Z = N = A/2,
sowie V = 4/3 R03A ergibt sich damit für den Fermi-Impuls jeder Nukleonenart
pF = (9/8)1/3  h/R0  250 MeV/c
(mit R0 = 1.2 fm)
Das eigentliche Ziel ist die Fermi-Energie (für die Abschätzung der Tiefe des
Potentialtopfs), die man nun ganz einfach mittels EF = pF2/2m berechnen kann.
[Die in der VO gezeigte Ableitung über die Zustandsdichte ist unnötig.]