Rechteckgenerator mit Schmitt-Trigger

Rechteckgenerator mit Schmitt-Trigger
1
Rechteckgenerator mit Schmitt-Trigger
Eine Anwendung des Schmitt-Triggers als Multivibrator stellt der Rechteckgenerator nach Bild 1 dar:
u2
R2
Usat+
R1
0
uV
t
u2
Bild 1:
Rechteckgenerator mit invertierendem
Schmitt-Trigger.
RT
-U satCT
t1
t2
T
Die Schaltung arbeitet mit uV, R1 und R2 als invertierender Schmitt-Trigger. Die Ausgangsspannung u2
wird über die Zeitkonstante RT/CT zurückgeführt. Sie definiert die Oszillatorfrequenz.
Mit uV≠0 und Vorgabe der Hysterese für den Schmitt-Trigger kann ein weitgehend beliebiges
T
Tastverhältnis V =
realisiert werden. In der Standardliteratur wird meist nur die Vereinfachung für
t1
t1=t2 und symmetrischer Speisung betrachtet. Für die Praxis ist es aber wünschenswert, wenn eine
Dimensionierung mit unsymmetrischer Speisung und wahlfreiem Tastverhältnis erfolgen kann.
Zusammengefasst lauten die Dimensionierungsgleichungen bei beliebigem t1,T, uSAT+, uSAT-:
⎛ 2T − 2t1 − kT 2t1 + kT ⎞
⋅
T = τ ln ⎜
⎟
⎝ 2T − 2t1 + kT 2t1 − kT ⎠
T
τ = RT CT =
⎛ 2T − 2t1 − kT 2t1 + kT ⎞
⋅
ln ⎜
⎟
⎝ 2T − 2t1 + kT 2t1 − kT ⎠
R1 =
uV =
(1)
Bedingung: k <
2 t1
T
kR2
R2 = Wahl
1− k
( R1 + R2 ) ( uSAT + ( 2t1 + kT ) + uSAT − ( 2T − 2t1 − kT ) ) − uSAT + 2R1T
R2T
Für den vereinfachten Fall mit uSAT+ =-uSAT- =uSAT, t1=t2 und uH =
R1 = R2 = Wahl
(2)
(3)
(4)
uSAT
gilt:
2
T = τ ln ( 9 )
τ = RT CT =
T
ln ( 9 )
Ausgabe: 29.9.2002, Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen
(5)
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Begründung der Dimensionierungsformeln
Für den invertierenden Eingang am Schmitt-Trigger gilt nach [KRU02-1] für den Umschaltpunkt uT+:
uT + =
uV R2 + uSAT + R1
R1 + R2
(6)
Der Spannungsverlauf am invertierenden Eingang des Schmitt-Triggers wird durch die Lade/Entladekurve am Kondensator CT bestimmt:
u
u2(t)
usat+
t1
t2
R2
T
R1
uV
u2
RT
uT+ 0
t
uH
uTCT
uM
uC(t)
uC
usat-
Bild 2:
Schaltbild und Spannungsverläufe am Rechteckgenerator mit Schmitt-Trigger.
Am Kondensator erscheint der Mittelwert uM der Ausgangsspannung u2. Er wird für ein beliebiges
Tastverhältnis V und Periodendauer T:
T
V
u
t + uSAT − t2 uSAT + t1 + uSAT − (T − t1 )
uM = SAT + 1
=
t1 + t 2
T
T = t1 + t 2
t1 =
(7)
Für die Aufladung des Kondensators im Zeitabschnitt t1 gilt:
− t1
uM +
−t
uH
u
⎛
⎞ 1
= uSAT + + ( uT − − uSAT + ) e RT CT = uSAT + + ⎜ uM − H − uSAT + ⎟ e τ
2
2
⎝
⎠
(8)
Die algebraische Umformung ergibt die benötigte Ladezeit t1 um von uT- den Wert uT+ zu erreichen:
⎛ 2t ( u
− uSAT − ) + uH ( t1 + t2 ) ⎞
t1 = τ ln ⎜⎜ 2 SAT +
⎟⎟
⎝ 2t2 ( uSAT + − uSAT − ) − uH ( t1 + t2 ) ⎠
(9)
Analog findet man die Entladezeit t2:
⎛ 2t ( u
− uSAT − ) + uH ( t1 + t2 ) ⎞
t2 = τ ln ⎜⎜ 1 SAT +
⎟⎟
⎝ 2t1 ( uSAT + − uSAT − ) − uH ( t1 + t2 ) ⎠
Ausgabe: 29.9.2002, Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen
(10)
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3
Die gesamte Periode setzt sich aus der Summe t1+t2 und der Umschaltzeit tu des Schmitt-Triggers
zusammen. Bei kleinen Frequenzen und schnellen Operationsverstärkern kann tU vernachlässigt
werden, weil tU << T. Die Umschaltzeit kann aus der Slew-Rate des OpAmp und einem zusätzlichen
Faktor für die Zeitverzögerung durch die Sättigung der Stufen abgeschätzt werden.
Für ein beliebiges Tastverhältnis V muss die Hysteresespannung uH frei wählbar sein. Dies wird mit
dem Faktor k erreicht:
uH = k ( uSAT + − uSAT − )
(11)
Die gesamte Periodendauer T wird ohne Berücksichtigung der Umschaltzeit mit (9) und (10):
⎛ 2(T − t1 ) ( uSAT + − uSAT − ) + k ( uSAT + − uSAT − )T ⎞
⎛ 2t1 ( uSAT + − uSAT − ) + k ( uSAT + − uSAT − )T ⎞
T = t1 + t2 = τ ln ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ + τ ln ⎜⎜ 2t ( u
2(
T
t
)
u
u
k
u
u
T
−
−
−
−
(
)
(
)
1
SAT +
SAT −
SAT +
SAT −
⎝
⎠
⎝ 1 SAT + − uSAT − ) − k ( uSAT + − uSAT − )T ⎠
⎛ 2T − 2t1 + kT 2t1 + kT ⎞
T = τ ln ⎜
⋅
⎟
⎝ 2T − 2t1 − kT 2t1 − kT ⎠
k ∈ (0,1)
(12)
Soll ein beliebiges Tastverhältnis V realisiert werden, darf der Logarithmus in (12) nicht negativ
werden. Dies ist erfüllt, wenn der Faktor k der Forderung genügt:
k<
2t1
T
(13)
Zweckmässigerweise geht man bei k nicht an die obere Grenze, da sonst RT klein und R1 sehr gross
wird. Andererseits sollte k nicht zu klein gewählt werden, weil sonst uH klein wird. Dies würde sich
ungünstig auf die Genauigkeit der Schaltpunkte auswirken. Eine vernünftige Wahl erscheint für viele
Fälle k=t1 /T.
Der Faktor k ergibt sich nach [KRU02-1] direkt aus der Hysteresespannung uH des invertierenden
Schmitt-Triggers und ist eine wählbare Grösse im gesamten Bereich uSAT- ... uSAT+.
uH =
R1 ( uSAT + − uSAT − )
R1 + R2
= k ( uSAT + − uSAT − )
(14)
Bei Vorgabe von R2 wird daher der Widerstand R1 aus (14):
R1 =
(15)
kR2
1− k
Die Zeitkonstante ergibt durch einfache Umformung von (12):
τ = RT CT =
T
⎛ 2T − 2t1 + kT 2t1 + kT ⎞
⋅
ln ⎜
⎟
⎝ 2T − 2t1 − kT 2t1 − kT ⎠
k ∈ (0,1)
(16)
Diese Formel erlaubt eine präzise Dimensionierung der Periodendauer. Bei höheren Frequenzen wird
die Umschaltzeit des Schmitt-Triggers als parasitäre Zeit die Periodendauer erhöhen. Sie bewegt sich
bei normalen OpAmp in der Grössenordnung von einigen us für eine Slew-Rate≈10V/us.
Die Frequenz des Generators ist daher immer etwas tiefer als dimensioniert. Vgl. hierzu auch Beispiel 2
und Beispiel 3.
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Ein besonders einfacher Spezialfall der Dimensionierung findet man für (16), wenn
uH =
uSAT + − uSAT −
2
und
t1 = t2 . Dies verkörpert einen Rechteckgenerator mit symmetrischer Ausgangsspannung und
Tastverhältnis V=2:
uH =
τ = RT CT
uSAT + − uSAT −
2
t1 = t 2
=
T
T
=
ln ( 9 ) 2 ln ( 3 )
(17)
Die Offsetspannung uV wird über den Mittelwert der Kondensatorspannung und einem Umschaltpunkt,
z. B. uT+ , bestimmt:
uV R2 + uSAT + R1
u
t + uSAT − (T − t1 ) k
u
= uM + H = SAT + 1
+ ( uSAT + − uSAT − )
R1 + R2
T
2
2
uT + =
(18)
Die Umformung nach uV wird:
uV =
(R1 + R2 ) ⎡⎣uSAT + ( 2t1 + kT ) + uSAT − ( 2T − 2t1 − kT ) ⎤⎦ − uSAT + 2 R1T
(19)
2 R2T
Der Spezialfall für uSAT + = −uSAT − und t1 = t2 ergibt in (19) , wie zu erwarten, ein uV=0V.
Beispiele
Beispiel 1: 100Hz-Rechteckgenerator mit Tastverhältnis V=2.
Mit einem OpAmp 741 soll ein Rechteckgenerator mit f=100Hz realisiert werden. Die Speisung beträgt
uCC±=uSAT±=±12V. Die Hysterese ist mit uH=uCC zu wählen.
Lösung:
Bei 100Hz ist die Aussteuerbarkeit des Operationsverstärkers bei einer Slew-Rate 0.7V/us auch bei
Sättigung sichergestellt. Durch die Vorgabe uH=uCC und V=2 sind die Bedingungen zur
Dimensionierung mit (17) erfüllt:
uH =
R1 ( uCC + − uCC − )
R1 + R2
=
T = RT ⋅ CT ⋅ ln ( 9 )
RT =
2uCC R1 R1 = R2
= uCC
R1 + R2
CT = 100 nF
R1 = R2 = 10kΩ
(Wahl)
(Wahl)
1
T
=
= 45.511kΩ
CT ⋅ ln ( 9 ) 100 ⋅ 100 ⋅ 10 −9 ⋅ ln ( 9 )
u2
10k
10k
+12V
+12V
t
0
-12V
100n
45.51k
u2
-12V
10ms
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Bild 3:
Realisation des Rechteckgenerators nach Beispiel 1.
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Beispiel 2: 1kHz-Rechteckgenerator mit Tastverhältnis 2 und unsymmetrischer Speisung.
Mit einem OpAmp LF411 soll ein Rechteckgenerator mit den Vorgaben realisiert werden:
f = 1kHz
V =2
Wählbare Widerstände: 47kΩ
uCC + = 12V
uCC − = −6V
CT = 47 nF
uSAT + = 11.3V uSAT − = −5.3V
Lösung:
Aus der Definition des Tastverhältnis wird t1 bestimmt. Der Faktor k wird aus der Forderung in (13) mit
k=0.5 gewählt. Durch diese Wahl werden mit (15) R1 und R2 gleich gross. R2 wird nach Vorgabe mit
47kΩ gewählt:
V=
T
=2
t1
t1 =
T 1ms
=
= 0.5ms
2
V
t1 2 ⋅ 0.5ms
(Wahl : k = 0.5)
=
=1
1ms
T
kR2 0.5 ⋅ 47 K
R1 =
=
= 47kΩ
1− k
1 − 0.5
k<2
Der Kondensator CT ist mit 47nF vorgegeben und wird mit Umstellung von (12):
τ
T
0.001
=
⎛ 2T − 2t1 + kT 2t1 + kT ⎞
⎛ 2 ⋅ 0.001 − 2 ⋅ 0.0005 + 0.5 ⋅ 0.001 2 ⋅ 0.0005 + 0.5 ⋅ 0.001 ⎞
CT ln ⎜
⋅
⎟ 47 n ⋅ ln ⎜ 2 ⋅ 0.001 − 2 ⋅ 0.0005 − 0.5 ⋅ 0.001 ⋅ 2 ⋅ 0.0005 − 0.5 ⋅ 0.001 ⎟
⎝
⎠
⎝ 2T − 2t1 − kT 2t1 − kT ⎠
0.001
0.001
=
=
= 9.683kΩ
⎛ 0.0015 0.0015 ⎞ 47 n ⋅ ln ( 9 )
47 n ⋅ ln ⎜
⋅
⎟
⎝ 0.0005 0.0005 ⎠
RT =
CT
=
Wegen der unsymmetrischen Speisung wird uV≠0V. Mit (19) findet man uV:
uV =
=
(R1 + R2 ) ⎡⎣uSAT + ( 2t1 + kT ) + uSAT − ( 2T − 2t1 − kT )⎤⎦ − uSAT + 2 R1T
2 R2T
(47 K + 47 K ) ⎡⎣11.3 ( 2 ⋅ 0.0005 + 0.5 ⋅ 0.001) − 5.3 ( 2 ⋅ 0.001 − 2 ⋅ 0.0005 − 0.5 ⋅ 0.001)⎤⎦ − 11.3 ⋅ 2 ⋅ 47K ⋅ 0.001
2 ⋅ 47 K ⋅ 0.001
= 3V
Eine Simulation zeigt die Funktionsfähigkeit der Dimensionierung. Die minimale Abweichung der
Periodendauer von 0.8% begründet sich durch die Umschaltzeit des Schmitt-Triggers:
Bild 4:
Realisation und Simulation des Rechteckgenerators nach Beispiel 2.
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Beispiel 3: 1kHz-Rechteckgenerator mit Berücksichtigung der Umschaltzeit tU.
Mit einem OpAmp LF411 soll ein Rechteckgenerator mit den Vorgaben realisiert werden:
f = 1kHz
uCC + = 12V
V =2
uCC − = −6V
Wählbare Widerstände: 47kΩ
CT = 47 nF
uSAT + = 11.3V
uSAT − = −5.3V
tU = 4us
Lösung:
Die Rechnung erfolgt analog Beispiel 2, nur dass bei der Berechnung von RT die Umschaltzeit einfliesst:
⎛ 2T − 2T1 + kT 2T1 + kT ⎞
T = t1 + t2 + 2tU = τ ln ⎜
k ∈ (0,1)
⋅
⎟ + 2tU
⎝ 2T − 2T1 − kT 2T1 − kT ⎠
T
0.001
τ
RT =
=
=
CT
⎛ 2T − 2T1 + kT 2T1 + kT ⎞
⎛ 2 ⋅ 0.001 − 2 ⋅ 0.0005 + 0.5 ⋅ 0.001 2 ⋅ 0.0005 + 0.5 ⋅ 0.001 ⎞
CT ln ⎜
⋅
⎟ − 2tU 47 n ⋅ ln ⎜ 2 ⋅ 0.001 − 2 ⋅ 0.0005 − 0.5 ⋅ 0.001 ⋅ 2 ⋅ 0.0005 − 0.5 ⋅ 0.001 ⎟ + 2 ⋅ 4u
⎝
⎠
⎝ 2T − 2T1 − kT 2T1 − kT ⎠
=
0.001
0.001
=
= 9.60592kΩ
47 n ⋅ ln ( 9 ) + 8 ⋅ 10 −6
⎛ 0.0015 0.0015 ⎞
⋅
47 n ⋅ ln ⎜
⎟ + 8u
⎝ 0.0005 0.0005 ⎠
Wir erhalten das Resultat:
Bild 5:
Realisation und Simulation des Rechteckgenerators mit Berücksichtigung der Umschaltzeit tU nach Beispiel 3.
Es ist aber
fragwürdig, ob dieser Zusatzaufwand den Nutzen rechtfertigt. In der Praxis werden sowohl RT wie auch
CT mit Normwerten eingesetzt. Zudem weisen die Bauteile Toleranzen auf und eine mehr oder weniger
ausgeprägte Temperaturabhängigkeit/Alterung.
Beispiel 4: 50Hz-Rechteckgenerator mit Tastverhältnis V=2 für Single-Supply Speisung.
Mit einem LinCMOS OpAmp TLC271 im Low-Bias Mode soll ein Rechteckgenerator mit den
Vorgaben realisiert werden:
f = 50 Hz
V =2
uCC = 7V
CT = 1nF
uSAT + = 5.4V
uSAT − = 2 mV
Lösung:
Gemäss Datenblatt hat der TLC271 im Low-Bias Mode eine Slew-Rate von 0.04V/us bei einer Last >
1MΩ und einer typischen Stromaufnahme von 10uA. Aus einer Probesimulation werden die
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Ausgangsspannungen mit uSAT+=5.3V und uSAT-=2mV bestimmt.
Man erkennt, dass das Umschalten mit Sicherheit noch gewährleistet ist. Für die Umschaltzeit gilt
tu<<T, aber die Periodendauer T wird bereits spürbar beeinflusst. Aus der Forderung im Low-Bias
Mode werden die wählbaren Widerstände mit 4.7MΩ gewählt.
Wie bei Beispiel 2 wird der Faktor k wird aus der Forderung in (13) mit k=0.5 gewählt. Wegen der
geforderten gesamten Last > 1MΩ nach Datenblatt wird R2 mit 4.7MΩ gewählt. Mit der Vorgabe V=2
werden R1 und R2 :
t1 2 ⋅ 0.5ms
=
=1
T
1ms
kR2
= 4.7 M Ω
R1 =
1− k
k<2
(Wahl : k = 0.5)
Der Kondensator CT ist mit 1nF vorgegeben und RT wird mit (16):
RT =
T
0.02
=
= 9.10239M Ω
CT 1 ⋅ 10 −9 ⋅ ln ( 9 )
Wegen der unsymmetrischen Speisung wird uV≠0V. Mit (19) findet man:
uV =
=
(R1 + R2 ) ⎡⎣uSAT + ( 2t1 + kT ) + uSAT − ( 2T − 2t1 − kT ) ⎤⎦ − uSAT + 2R1T
2 R2T
(4.7M + 4.7M ) ⎣⎡ 5.3 ( 2 ⋅ 0.001 + 0.5 ⋅ 0.002 ) + 0.015 ( 2 ⋅ 0.002 − 2 ⋅ 0.001 − 0.5 ⋅ 0.002 )⎤⎦ − uSAT + 2 ⋅ 4.7M ⋅ 0.001
2 ⋅ 4.7M ⋅ 0.002
= 2.7575V
Die Quelle uV wird mit einem Spannungsteiler aus der Speisespannung uCC gewonnen:
R3 =
uCC ⋅ R1 7 ⋅ 220 K
=
= 11.93M Ω
uV
2.757
R4 =
uCC ⋅ R1
7 ⋅ 220 K
=
= 7.755M Ω
−
uCC uV 7 − 2.757
Eine Simulation zeigt den Verlauf der Kondensator- und Ausgangsspannung. Deutlich erkennt man
eine Abweichung 19.161ms-20ms0=-839us (ca. -4.2%) von der erwarteten Periodendauer. Da aber eine
negative Abweichung vorliegt, ist sie nicht durch die Umschaltzeit erklärbar.
Bild 6:
Realisation und Simulation des Low-Power Rechteckgenerators nach Beispiel 4 mit Korrektur der Periodendauer.
Die gemessene Differenz kann nun in eine korrigierte Dimensionierung einfliessen, indem ∆t = −839us
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direkt von der zu realisierenden Periodendauer abgezogen wird. Damit wird für T=20.839ms der neue
Wert RT:
RT = 9.484M Ω
Alle anderen Werte bleiben unverändert. Eine neue Simulation zeigt nun die erwartete Periodendauer
von 20ms:
Bild 7:
Realisation und Simulation des Low-Power Rechteckgenerators nach Beispiel 4.
Beispiel 5: 500Hz-Rechteckgenerator mit Tastverhältnis V=10 für Single-Supply Speisung.
Mit einem Bipolar-OpAmp LM741 soll ein Rechteckgenerator mit den Vorgaben realisiert werden:
f = 500 Hz
V = 10
uCC = 12V
CT = 100 nF
Wählbare Widerstände: 10kΩ
uSAT + = 11.81V uSAT − = 0.18V
Lösung:
Wie bei Beispiel 2 der Faktor k wird aus der Forderung in (13) mit k=0.1 gewählt. Die Widerstände R1
und R2 werden analog den vorherigen Beispielen:
T 0.002
=
= 200us
10
V
t
2 ⋅ 0.0002
k<2 1 =
= 0.2
0.002
T
R2 = 10kΩ
t1 =
R1 =
(Wahl : k = 0.1)
(Vorgabe)
kR2 0.1 ⋅ 10 K
=
= 1.111kΩ
1− k
1 − 0.1
Der Kondensator CT ist mit 100nF vorgegeben. RT und uV werden mit (16) und (19):
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RT =
uV =
=
9
T
0.002
=
= 16.53kΩ
⎛ 2T − 2t1 + kT 2t1 + kT ⎞
⎛ 2 ⋅ 0.002 − 2 ⋅ 0.0002 + 0.1 ⋅ 0.002 2 ⋅ 0.0002 + 0.1 ⋅ 0.002 ⎞
−9
100
10
ln
⋅
⋅
⋅
CT ln ⎜
⋅
⎜
⎟
⎟
⎝ 2 ⋅ 0.002 − 2 ⋅ 0.0002 − 0.1 ⋅ 0.002 2 ⋅ 0.0002 − 0.1 ⋅ 0.002 ⎠
⎝ 2T − 2t1 − kT 2t1 − kT ⎠
(R1 + R2 ) ⎡⎣uSAT + ( 2t1 + kT ) + uSAT − ( 2T − 2t1 − kT ) ⎤⎦ − uSAT + 2 R1T
2 R2T
(10 KM + 1.111K ) ⎡⎣11.8 ( 2 ⋅ 0.001 + 0.1 ⋅ 0.002 ) + 0.015 ( 2 ⋅ 0.002 − 2 ⋅ 0.0002 − 0.1 ⋅ 0.002 ) ⎤⎦ − uSAT + 2 ⋅ 1.111K ⋅ 0.002
2 ⋅ 10 K ⋅ 0.002
= 0.844V
Man erkennt in der Lösung für uV bereits, dass aufgrund des kleinen Wertes für uV diese Schaltung nicht
problemlos mit jedem OpAmp realisierbar ist. Ein grösseres uV könnte durch Verkleinern von k, z. B.
auf k=0.05, erreicht werden.
Die Offsetspannung uV wird mit einem Spannungsteiler aus uCC realisiert:
R3 =
uCC ⋅ R1 12 ⋅ 10 K
=
= 15.79kΩ
0.844
uV
R4 =
uCC ⋅ R1
12 ⋅ 220 K
=
= 1.195kΩ
uCC − uV 12 − 0.844
Die Simulation zeigt den Verlauf der Kondensator- und Ausgangsspannung. Die Abweichung von der
Periodendauer ist minim und mit den erkennbaren Umschaltzeiten des Schmitt-Triggers zu erklären.
Bild 8:
Realisation und Simulation des Single-Supply Rechteckgenerators mit Tastverhältnis V=10 nach Beispiel 5.
Literatur
[KRU02-1]
Gerhard Krucker, 9.2002, Paper zur Analyse und Dimensionierung des Schmitt-Triggers
mit Operationsverstärkern. http://www.krucker.ch/DiverseDok/Schmitt%20Trigger.pdf
Redigierte Version vom 29.9.2002, G. Krucker.
Ausgabe: 29.9.2002, Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen