Schaltungstechnik 1

4
ei
*
2. Netzwerktheorie
Schaltungstechnik 1
• Implizite Darstellung: fF (u, i) = 0
• Parameterdarstellung: u = uF (λ) i = iF (λ)
• Explizite Darstellung: i = gF (u)
u = rF (i)
2.1. Kirchhoff-Gesetze
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Konzentriertheitshypothese: d << λ mit
d = Größe der Schaltung, Wellenlänge λ = cT
Wichtiger Hinweis
Diese Formelsammlung ist noch in der Entwicklung und nicht
Prüfungstauglich !
Allerdings würden wir uns über Unterstützung freuen das zu ändern.
Wer Lust hat kann uns über das Kontaktformular auf www.latex4ei.de
erreichen.
1. Grundlagen
2
1.1. Sinus, Cosinus
sin (x) + cos (x) = 1
x
0
π/6
π/4
π/3
ϕ
0◦
30◦
45◦
sin
0
cos
1
1
√
2
1
√
2
tan
0
1
2
√
3
2
√
3
3
60◦
√
3
2
1
2
1
√
3
11
π
2
1π
2
90◦
180◦
270◦
360◦
1
0
−1
0
0
−1
0
1
±∞
0
∓∞
0
π
Leitwertdarstellung
Stromgesetz KCL
Spannungsgesetz KVL
Kirchoff’s Current Law
Kirchoff’s Voltage Law
2π
Verbraucherpfeilsystem: Spannung und Strom sind assoziiert. Positive Leistung bedeutet Leistungsaufnahme oder Verbrauch von Leistung. Negative
Leistung bedeutet Leistungsabgabe oder Erzeugung von Leistung.
Das Gegenteil wäre das Erzeugersystem. In den meisten Fachgebieten wird
im Verbrauchersystem gerechnet.
1.2. Begriffserklärung, Glossar
Zählpfeile: Zeigen die gemeinsame(assoziierte) Zählrichtung von Stromfluss und Spannungsabfall zwischen zwei Knoten an, unabhängig von
den tatsächlichen Richtungen (Vorzeichen).
Masse (Signale) ⊥: Gemeinsamer el. Bezugspunkt mit Potential 0V
Erdung (Fehlstrom): Schutz vor Kurzschluss, führt nur im Fehlerfall
Strom.
Kurzschluss (KS): ideal leitender Draht. uKS = 0, iKS = beliebig
Leerlauf (LL): ideal isolierende Luft. uLL = beliebig, iLL = 0
Tor: Ein Tor bilden zwei Anschlüsse bei denen der Stromzufluss des einen
Anschluss gleich dem Stromabfluss des anderen Anschluss entspricht.
iin = iout
Arbeitspunnkt (AP): Betriebspunkt bei dem alle Kleinsignalquellen Null
sind.
Leerlauf
Widerstandsdarstellung
• Umpolung: F entsteht durch Punktspiegelung von F am Unsprung:
(u, i) = (−u, −i) ∈ F
• Dualität: (u, i) ∈ F ⇔ (Rd i, Ru ) ∈ F d
Kurzschluss
d
Knotenregel
X
ik (t) = 0
Maschenregel
X
um (t) = 0
Knoten
Masche
• Parallelschaltung von Widerstandsgeraden: G = G1 + G2
rausfließende Ströme positiv
Maxwell: div j = 0
(n − 1) Gleichungen
2
3. Resistive Eintore
2.5. Resistive Eintore
Spannungen in Umlaufrichtung positiv
Maxwell: rot E = 0
b − (n − 1) Gleichungen


α11
...
α1b


.


Knoteninzidenzmatrix: A0 =  .
 n Knoten
 .

e
αn1
...
αnb
Spaltensummen von A0 sind immer = 0
⇒ Zeile des Bezugsknotens streichen ⇒
Ai = 0 (reduzierte Knoteninzidenzmatrix)
e
0 0
0
M = A > mit u = M uk ⇒ KVL in Matrixform: u − A> uk = 0
e
e
f
f
R R
1 = 1
1
⇒ R
+ R
⇒ R = R1 k R2 = R 1+R2
R1
2
1
2
• Serienschaltung von Widerstandsgeraden: genauso wie Parallelschaltung nur R statt G
• Arbeitspunkt ermitteln:
1. Schaltungs aufteilen in Quelle Q und Last L
2. Parameterdarstellung ⇒ Kennlinien zeichnen
3. Lösung: Schnittpunkte der Kennlinien! ⇒ ist die Funktion im
AP stetig und diffbar, kann man sie dort linearisieren
Eigenschaften von F :
F
F
F
F
F
ungepolt
aktiv
verlustfrei
quellenfrei
streng linear
Kennlinie punktsymm. zum Ursprung
mind. 1 Pkt. in II. od. IV. Quadr.
nur auf Koordinatenachsen
enthält den Ursprung
(ku, ki) ∈ F
(u1 + u2 , i1 + i2 ) ∈ F
u
i
u=0
i = beliebig
u, sl, v
u
i
Nullator
Norator
u=0 i=0
u, sl, v, dual zu sich selbst
u
i
u = beliebig
i = beliebig
u
u, sl, a, dual zu sich selbst
i
Widerstand
u=R·i
i=G·u
G
u
1
G= R
R
i
Spannungsq.
u = U0
i = beliebig
2.2. Schaltung und Netzwerkgraph
Der gerichtete Netzwerkgraph stellt die Verbindungsstruktur einer Schaltung durch n Knoten (node) und b Verbindungskanten (branch) mit Richtungspfeilen dar.
Jedes Bauelement mit zwei Anschlüssen entspricht einer Verbindungskante. Ein Knoten ist dort, wo ein oder mehr Anschlüsse von Bauteilen durch
ideal leitenden Draht miteinander verbunden sind. Verbundene Anschlüsse
entsprechen einem Kurzschluss, nicht verbundene Anschlüsse einem Leerlauf!
Um die Betriebspunkte einer Schaltung zu bestimmen sind 2b linear unabhängige Gleichungen nötig. Man erhält diese 2b Gleichungen aus den
Beschreibungen der Bauelemente und den Kirchoff Gleichungen.
i
u = beliebig
i=0
u, sl, v
u
Stromquelle
I0
u = beliebig
i = I0
ideale Diode
reale Diode
2.3. Eintorverschaltungen
U0
i
u
i
u=0
i=0
falls i > 0
falls u < 0
u
i
uD = uT · ln ID + 1
S
u iD = IS · exp UD − 1
i
u
T
Serienschaltung
P
u=
ui
q = const.
P
R=
Ri
1 = P 1
C
C
i
Z =
P
Zi
1
R
Parallelschaltung
i = const.
P
ΦM =
ΦM,i
P
M =
Mi
P
L=
Li
u = const.
P
q=
qi
1 = P 1
R
Ri
P
C =
Ci
P
i=
ii
ΦM = const.
1 = P 1
M
Mi
1 = P 1
L
L
1
Y
1
Z
Y =
=
P 1
Yi
= R1 + R1
1
2
⇒
=
i
P 1
Zi
P
Yi
Photodiode
uD
i = IS
i
!
e UT − 1
− iL
IL
u
4. Resistive Zweitore
Ein Zweitor besteht aus zwei Eintoren.
R ·R
R = R1 k R2 = R 1+R2
1
2
2.4. Linearisierung
Großsignal
i = IAP + ∆i
u = UAP + ∆u
Kleinsignal
∆i = i − IAP
∆u = u − UAP
∂g (u) i
∆i ≈ G · ∆u
G ist die Jakobimatrix ∂u
j
e
e
∆u ≈ R · ∆u
e
Großsignal: i ≈ IAP + G(UAP ) · (u − UAP )
UAP
Implizite Liniarisierung: ∆f (∆u, ∆i) = M ∆u + N ∆i
 ∂f
 ∂f f ∂f f
∂f1 
1
1
1
∂u
∂u2
∂i2
 N :=  ∂i1

M :=  ∂f 1
∂f2
∂f2
∂f2
2
f
f
∂u1
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∂u2
∂i1
∂i2
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1
4.1. Beschreibungsformen von Zweitoren
Beschreibung
nicht linear
Implizit
fF (u, i) = 0
Parametrisch
Explizit
Widerstandbeschreibung
Leitwertbeschreibung
Hybridbeschreibung
Inver. Hybridbeschreibung
Kettenbeschreibung
Inver. Kettenbeschreibung
linear
#
h
i u
=0
MN ·
i
f e
#
" #
u
U
= e ·λ
i
I
e
u = uF (λ)
i = iF (λ)
nicht linear
#
#
u1
r (i , i )
= 1 1 2
u2
r2 (i1 , i2 )
#
#
i1
g (u , u )
= 1 1 2
i2
g2 (u1 , u2 )
#
#
u1
h (i , u )
= 1 1 2
i2
h2 (i1 , u2 )
#
#
i1
h0 (u , i )
= 01 1 2
u2
h2 (u1 , i2 )
#
#
u1
a (u , −i2 )
= 1 2
i1
a2 (u2 , −i2 )
#
#
u2
a0 (u1 , −i1 )
= 1
0
i2
a2 (u1 , −i1 )
4.3.3 "Negativ-Immitanz-Konverter
#
−k
0
A=
1
0
k
4.4. NIK allgemein (Polung beachten)
I
II
i
R0
#
=
=
=
=
=
=
#
U0
i
+R 1
e i2
U0
#
#
I0
u
+G 1
e u2
I0
#
i
H· 1
f u2
#
u
H0 · 1
g i2
#
u2
A·
e −i2
#
u1
A0 ·
f −i1
4.2. Verschaltung von Zweitoren
R1
RL
u
Bild
II
III
B
Usat
u
u
Rin = i 1 = ü2 RL
1
Eigenschaften: verlustlos(ideal)
4.3.2 Gyrator
Der Gyrator wandelt das an Tor 1 geschaltete Bauteil in das duale Bauteil
an Tor 2 um.
ube = UT ln
i
+1
b
IS
−R0
R1
uin
Fin = F d A =
0
1
R2
R1
0
#
Eigenschaften: streng linear, verlustlos für R1 = R2
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uout =
Differenzierer
C
uout
uin
R1
E
R
1 + R0 uin
uout = u
1
Integrierer
Addierer
R
R
C
uout
uin
uout
.
7.1. Idealer Operationsverstärker
i=0
uout
+Usat
i=beliebig
ud
i1=0
Bedingung
0 ∈ F ; enthält den Ursprung
(ku, ki) ∈ F
(u1 + u2 , i1 + i2 ) ∈ F
Kennlinie punktsymm. zum Ursprung
F (u, i) = F (−u, −i)
i2=beliebig
ESB II
streng linearer Bereich
ud = 0
|uout | ≤ |Usat |
ud<0
Usat
uout
i1=0
ud=0
i2=beliebig
uout
i1=0
i2=beliebig
Leistung: P (t) = uT · i = u1 i1 + . . . + un in
Passiv:
∀F (u, i) : P (t) ≥ 0
Kennlinie nur I. oder III. Quadrant
Aktiv:
∃F (u, i) : P (t) < 0
Kennlinie im II. oder IV. Quadrant
Verlustlos:
∀F (u, i) : P (t) = 0
Kennlinie nur auf Koordinatenachsen
Merke: Alle Mehrtore die nur aus passiven Bauelementen(R,C,L,...)
bestehen, sind selbst passiv! inkremental passiv:
letztendlich passiv: ∃U, I > 0 ∀(u, i) ∈ F : (|u| > U ∨ |i| > I ⇒
ui > 0)
Alle realen Bauteile sind letztendlich passiv, da sonst unendlich viel
Energie entstehen würde.
ud>0
Usat
uout
uout = −
uin dt
t0
NIK
R
uout
uin
uout
uin
u
in
uout = −UT ln R·I
S
uout = −R · IS exp
RL
uin
UT
u = −R
8. Allgemeine Analyseverfahren
8.1. Die Tableau-Gleichung
... beschreibt ein Netzwerk

A
 e
teilverhalten. T =  0
e
e
M
f
vollständig
bezüglich Verschaltung und Bau
0
e
B
e
N
f
8.2. Knotenspannungsanalyse
Yk
e
Knotenleitwertsmatrix
ESB III
t´1
Exponenzierer
R
ud
{Usat
ESB I
Sättigungsbereich
ud < 0
uout = −Usat
Logarithmierer
III
II
I
uout
1
uout = − RC
uout = −RC · uin
·
uk
Spannungsvektor
=
iq
Stromquellenvektor
Vorgehen:
1. Nicht lineare Elemente linearisieren
2. Nicht spannungsgesteuerte Elemente (dual)wandeln
3. Aufstellen der Leitwertsmatrix Y k
e
4. Bestimmung des Stromquellenvektors
i
q
9. Digitale Logik
9.1. CMOS Logik
Komplementäre Logik durch pMos und nMos Transistoren auf einem
Substrat.
NOT (2 Trans.)
NAND (4 Trans.)
NOR (4 Trans.)
VDD
A
A
Z
VDD
A
Y
B
VDD
B
B
Y
A
GND
"
uin
Spannung
Der Operationsverstärker ist ein elektronischer Verstärker.
5.4. Leistungsbetrachtung
4.3.1 "Übertrager
# (z.B. Transformator
ü
0
A=
1
0
ü
uout
uin
Sättigungsbereich
ud > 0
Ein Bauelement ist von einer Größe gesteuert, wenn die jeweilige explizite
uout = +Usat
Beschreibung existiert.
Stromgesteuert:
u = R(i)
Spannungsgestuert:
i = G(i)
Ladungsgesteuert:
u = C −1 (q)
Flussgesteuert:
i = L−1 (Φ)
4.3. Liste von Zweitoren
R0
7. Operationsverstärker (OpAmp)
5. Eigenschaften von Ein- und Mehrtoren
Ein Mehrtor F (u, i) ist ...
Resistiv: Gedächtnislos; nur von u und i abhängig
Zeitvariant: Betriebsraum kann sich ändern
Reziprok:
Rezeprozität, Matrix transponierbar(r12=r21). Stärker: Symmetrie:
r11=r22 Merke: Alle Mehrtore die nur aus R, L, C bestehen sind reziprok!
R0
uin
ic = βib
5.3. Steuerung
Kette Inv: a0ges = a0F 2 · a0F 1
linear: A0ges = A02 · A01
e
e
e
uce
B
T
Ein Mehrtor heißt zeitvariant, wenn sich sein Betriebsraum mit der Zeit
ändern kann, ansonsten ist es Zeitinvariant.
Kette: ages = aF 1 · aF 2
linear: Ages = A1 · A2
e
e
e
ube
u ib = IS exp Ube − 1
5.2. Zeitvarianz
linear: H 0ges = H 01 + H 02
f
f
f
E
ib
uout =
Linear: (ku, ki) ∈ F
(u1 + u2 , i1 + i2 ) ∈ F (Kennlinie gerade)
Streng Linear: linear + quellenfrei, (Gerade durch Ursprung)
Hybrid Inv.: h0ges = hF 1 + h0F 2
uce
R1
Nichtinvert. Verstärker
C
R0
5.1. Liniarität
Hybrid: hges = hF 1 + hF 2
linear: H ges = H 1 + H 2
f
f
f
C
ib
ube
ic
i
R +R
R
u = − R0 RL · i
−Usat < LR 1 u < Usat
1
L
positive Sättigung ud > 0 ⇔ uout = Usat
u = R0 i + Usat
Nur für Eintore:
ungepolt
Serie: rges = rF 1 + rF 2
linear: Rges = R1 + R2
e
e
e
III
negative Sättigung ud < 0 ⇔ uout = −Usat
u = R0 i − Usat
linearer Bereich ud = 0
F quellenfrei
F streng linear
Parallel: gges = gF 1 + gF 2
linear: Gges = G1 + G2
e
e
e
Umrechnung:
–Usat –R
R0
I
Eigenschaft
Es gibt sechs mögliche Verschaltungen.
Verschaltung
ic
u
Rin = i 1 = −k2 R −k2 R : negativer Widerstand(et voilà xD)
1
Eigenschaften: streng linear, aktiv
linear
Invertierender Verstärker
6.1. Emitterschaltung
A
GND
B
GND
6. Transistoren
Ein Transfer Resistor ist ein elektronisch gesteuerter Widerstand zum
verstärken bzw. schalten von Strömen. Eigenschaften: passiv,
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2
4
Merke: Ist das Mädchen brav, bleibt der Bauch konkav, hat das Mädchen
Sex, wird der Bauch konvex.
ei
*
Schaltungstechnik 2
* kann Spuren von Katzen enthalten
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10.3. Schaltungen ersten Grades
Zustandsgleichung:
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Wer Lust hat kann uns über das Kontaktformular auf www.latex4ei.de
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10. Allgemeines
... beschreiben die Wirkungsweise von elektronischen Bauelementen.
x(t)
τ
+
x0
x∞
τ
x
0.37
τ > 0 : System stabil
τ < 0 : System instabil
Lösung:
10.1. Die vier zentralen Größen u, i, q, Φ
Größe
.
x(t) = −
x
t0 t0+
t
t − t0
x(t) = x∞ + (x0 − x∞ ) exp −
τ
Mit Parameter aus ESB: C: x∞ = U0 (t), L: x∞ = I0 (t)
10.3.1 Helmholz / Thévenin ESB
Definition
Spannung
Stromfluss
Ladung
Magn. Fluss
R
Potentialdifferenz. Richtung: Von hohem zu niedrigen Potential.
Bewegte Ladung. Richtung: Bewegungsrichtung positiver Ladung.
Grundeigenschaft von Materie. Es gibt positive und negative Ladung.
Grundeigenschaften von elektr. magn. Feldern.
U0
u
i
q
Φ
i
.
iC = −i
[i] = A
[q] = As = C
u(t) = Φ(t)
´
Φ = Φ(t0 ) + tt u(τ )dτ
0
[u] = V
[Φ] = V s = W b
0
.
10.1.2 Arten von Bauelementen
Art
Symbol
iR
iC
iL
Induktivität
iM
.
iC = C · uC
uC (t∞ ) = U0
Zeitkonstante: τ = R · C
10.3.2 Mayer / Norton ESB
iL
i
Beschr.
linear
Beispiel
fR (u, i)
u = U0 + R · i
fC (u, q)
q = Q0 + C · u
PN-Diode
I0
Kondensator
fL (i, Φ)
Φ = Φ0 + L · i
Spule
fM (q, Φ)
Φ = Φ0 + M · q
Memristor
uL = −u
uR
Resistivität
Kapazität
uC
u
10.1.1 Allgemeine Zusammenhänge u, i, q, Φ
Ladung und Strom beschreiben den Zustand der Materie.
Spannung und magn. Fluss beschreiben den Zustand des elekt. magn.
Feldes.
i(t) = q(t)
´
q(t) = q(t0 ) + tt i(τ )dτ
ic
uC
uL
uM
Memristivität
10.2. Komplexe Wechselstromrechnung
.
uL = L · iL
iL (t∞ ) = I0
Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger Erx̂
regung x(t) = x̂ · cos(ωt + ϕ) Effektivwert X = √
2
u
G
L
uL
.
uL = L · iL
Zeitkonstante: τ = G · L
10.4. Dynamischer Pfad
d
Differentialoperator: dt = iω
Reeles Zeitsignal:
x(t) = x̂ · cos(ωt + ϕx )
Effektiver Zeiger:
Scheitel Zeiger:
X = Xw + iXb = X exp(iϕx )
√
X̂ = 2X = X̂ exp(iϕx )
Kompl. Zeitsignal:
x(t) = X̂ · eiωt = x̂ · ei(ωt+ϕx )
Phase:
ϕx := arg X = arctan X b
w
X
Z(jω) = R(jω) + jX(jω)
Impedanz
Resistanz
i>0⇒
i<0⇒
i=0⇒
.
u < 0 ⇒ u fällt
.
u > 0 ⇒ u steigt
.
u = 0 ⇒ GGP
∆t = t1 − t0 = τ ln
U =Z·I
Konduktanz
I =Y ·U
x(t0 ): Startwert,
u>0⇒
u<0⇒
u=0⇒
.
i < 0 ⇒ i fällt
.
i > 0 ⇒ i steigt
.
i = 0 ⇒ GGP
x(t0 ) − x∞
x(t1 ) − x∞
x(t1 ): Zielwert,
i
!
t1
t
t0
u
x∞ : (gedachter) GGP
Suszeptanz
Kondensator
Spule
Memristor
Z =
R
1
jωC
jωL
M
Y =
1
G= R
jωC
−π
2
1
jωL
π
2
1
M
0
ϕu −ϕi
iL stetig, uL springt
.
1 · u(t)
i(t) = − L
Zeitdauer auf linearen Pfaden:
Widerstand
∆ϕ =
induktiv
uC stetig, iC springt
.
1 · i(t)
u(t) = − C
Reaktanz
Y (jω) = G(jω) + jB(jω)
Admittanz
kapazitiv
10.5. Übertragungsfunktion
?
Merke: Am Kondensator, eilt der Strom vor, bei Induktivitäten, wird er
sich verspäten
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3
11. Lösen von homogenen DGLs 2. Ordnung
λ1 = λ2 ∈ R
.
λ1 < λ2 λ1 6= λ2 ∈ R
⇒ q ,,schneller”
2
Matrix Λ
x(t) = x0,1 · exp(λ1 t) · q + x0,2 · exp(λ2 t) · q
1
Eigenwerte
Matrix Λ
x=0
λ1
0
0
λ2
x=0
Name
"
λ
0
Portrait
#
0
λ
λ<0
stabil
instabil
q1
λ>0
"
λ
0
instabil
#
1
λ
λ<0
0
0
0
λ2
#
λ1 = 0, λ2 < 0
q1
λ>0
Kamm
instabil
−β
α
#
α < 0, β 6= 0
stabil
Strudel
instabil
Strudel
qr
qj
0
β
Knoten 3
qr
qj
q1
−β
0
#
α = 0, β 6= 0
Zeitverlauf immer von q
instabil
Knoten 3
q1
j
nach q
r
stabil
bzw. von q
Wirbel
r
nach −q
qr
j
q1
Kamm
Lösung für inhomogene DGL(v 6= 0) mit singulärer Matrix A (nicht entkoppelbar):
e
q2
"
#
0
0
λ1 = 0, λ2 < 0
instabil
Kamm
0
λ2
q1
q2
q2
λ1 = 0, λ2 > 0
Portrait
q2
Knoten 2
stabil
Name
q1
q2
"
x=0
α > 0, β 6= 0
Knoten 1
stabil
i
j
j
Eigenwerte
q1
q2
q1
q2
0 < λ1 , 0 < λ2
r
Matrix Λ
"
Knoten 2
q
qj
Knoten 1
instabil
n oi
h
Im q
= qr
1
i
h
= x0,1 · eαt · cos(βt)q − sin(βt) · q +
r
ji
h
+ x0,2 · eαt · sin(βt)q + cos(βt) · q
q2
Sattelpunkt
stabil
x(t)
"
α
β
q2
λ2 < 0, λ1 < 0
λ1 = λ2 = α + βj ∈ C
Portrait
#
λ1 < 0 < λ2
!#
Hauptvektor
q2
q2
"
Eigenwerte
2
Name
h
n o
0
Q = Re q
1
e
∗
"
#
"
!
i
h
−a12
−a12
Eigenq 0 = a −a
=
Q0 = q 0
a
−a
11
22
11
22 − 1
1
2
vektor
e
2
2
#
h
i
x0,1
x(t) = 1 + (A − λ1) · t · exp(λt) ·
x0,2
e
e
e
Gegeben: Homogene Differnetialgleichungen der Form x = Ax
e
mit Anfangswerten x0,1 und x0,2
"
0
0
#
0
0
"
0
0
#
1
0
λ=0
stabil
Ruheebene
q1
q2
"
0
0
q2
q1
λ=0
instabil
Ruhegerade
#
1
0
λ=0
instabil
Knoten
q1
q1
12. Zweitormatrizen
In →
R
e
"
r11
R
e
r21
"
G
e
1
det R
"
H
f
1
r22
"
H0
f
1
r11
1
r21
A0
e
1
r12
r22
r11
1
r22
1
"
1
det G
−r12
#
"
r11
g21
#
−r12
"
1
g11
#
det R
e
#
det R
e
r22
#
det R
e
r11
−g12
g22
g11
#
1
h11
g22
−g12
#
1
g12
−g22
− det G
e
"
−g11
− det G
e
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−1
−g22
#
"
1
h011
1
#
h11
h12
h22
"
−h21
e
#
1
h21
−h12
h22
"
− det H
f
−h22
#
"
1
h12
1
h22
#
"
h11
−h11
−1
h11
det H
f
det H
f
h022
−h021
#
1
h021
#
1
h012
h011
h012
h021
h022
"
− det H 0
−h011
"
− det H 0
f
−h011
#
"
1
a21
0
−h012
"
e
1
det H
−h012
det H 0
f
−h021
1
det H 0
A0
e
A
e
1
−h021
1
h022
det H
f
#
h21
"
−g11
1
h12
−h12
1
−h21
"
−g21
"
det H
f
−h21
"
#
det G
e
"
#
det G g12
1
e
g22
−g21
1
1
g21
"
1
h22
g11
g12
1
H0
f
H
f
−g21
e
det R r12
e
−r21
1
−r21
"
#
r22
1
"
A
e
r12
−r21
e
G
e
#
1
a12
1
−h012
h011
−1
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1
a22
1
a11
−h022
#
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det A
e
a22
1
"
a22
#
#
a11
a12
det A
e
a21
−1
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a21
1
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1
a021
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e
a11
a11
a12
a21
a22
#
1
det A
e
a011
1
a012
−1
− det A
e
a022
a012
1
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1
a011
−1
#
1
det A
e
"
a22
#
1
a022
1
det A0
a21
a11
#
#
det A a012
e
"
#
0
a22 a012
#
a12
#
− det A a021
e
"
#
0
a21
−1
e
−h022
#
a011
"
#
− det A
e
a12
a022
"
#
"
a021
a011
a012
a021
a022
von LaTeX4EI - Mail: [email protected]
a011
#
Stand: 9. Februar 2016 um 17:35 Uhr
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