Standardbeispiele der Quantenmechanik

Standardbeispiele der
Quantenmechanik
Visualisierung von Zuständen im
Potenzialkasten, harmonischen Oszillator, …
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 1
Grundlagen der Quantenmechanik
Der Zustand eines physikalischen Systems wird beschrieben durch
eine Zustandsfunktion ψ (r,t).
Jeder physikalischen Größe entspricht ein Operator, z. B.:
h ∂
h ∂
ψ = p xψ
ψ = Eψ
Impuls:
Energie:
i ∂x
i ∂t
Hat eine physikalische Größe den scharfen Wert a, dann ist ψ eine
Eigenfunktion des entsprechenden Operators A mit Eigenwert a
In allen anderen Fällen lässt sich ψ als Überlagerung (Summe)
von Eigenfunktionen ψk schreiben: ψ = Σ ck ψk
Eigenfunktionen sind orthogonal: ∫ψi*·ψk = 0, wenn i ≠ k
|ψ |2 = ψ*·ψ kann man als Dichteverteilung interpretieren
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 2
Schrödingergleichung
Zustandsfunktionen ψ sind Lösungen der Schrödingergleichung
1. zeitabhängige Schrödingergleichung:
h2  ∂2
∂2
∂2 
h ∂
 2 + 2 + 2  ⋅ψ + V ( x, y, z ) ⋅ψ =
−
⋅ψ
2m  ∂x
∂y
∂z 
i ∂t
p2/2m
Potenzial
Energie
(entspricht der klassischen Gleichung: Ekin + Epot = E )
2. zeitunabhängige Schrödingergl. (stationäre Zustände, E = const.):
h2  ∂2
∂2
∂2 
 2 + 2 + 2  ⋅ψ + V ( x, y, z ) ⋅ψ = E ⋅ψ
−
2m  ∂x
∂y
∂z 
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 3
Ziel
Visualisieren von |ψ |2 = ψ*·ψ für verschiedene Beispiele:
0 0 ≤ x ≤ a
- 1-dimensionales Kastenpotenzial: V ( x) = 
sonst
∞
- 2-dim. Kastenpotenzial:
 0 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b
V ( x, y ) = 
sonst
∞
- Variationen (Potenzialkasten mit Delta-Funktion, Potenzialstufe,
veränderlicher Breite,…)
- Vergleich mit harmonischem Oszillator
- Molekülschwingungen
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 4
1-dimensionaler Potenzialkasten
Schrödingergleichung:
0 0 ≤ x ≤ a
mit V ( x) = 
sonst
∞
h2 ∂2
−
⋅ψ + V ( x) ⋅ψ = E ⋅ψ
2
2m ∂x
aus Randbedingungen (ψ (0) = ψ (a) = 0) und Normierung
⇒ Eigenzustände:
⇒
iE
−
2
n
π

 ht
ψ n ( x) =
⋅ sin 
⋅ x⋅e
a
 a

|ψ | 2 = ψ*ψ ist zeitunabhängig (stationär)
⇒ Energieeigenwerte:
En =
π 2h 2
2ma 2
⋅ n2
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 5
1-dimensionaler Potenzialkasten
n=1
n = 23
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 6
Applet: Energien
2-dimensionaler Potenzialkasten
 0 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b
V ( x, y ) = 
sonst
∞
Eigenzustände:
2
 nπ 
 lπ 
ψ n ,l ( x, y ) =
⋅ sin 
⋅ x  ⋅ sin  ⋅ y 
ab
 a
 b 

Energieeigenwerte:
E n ,l
π 2h 2  n 2
l2 
=
⋅  2 + 2 
2m  a
b 
Im symmetrischen Potenzialkasten (a = b)
ist Ei,k = Ek,i (Entartung)
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 7
Applet: Zustände
2-dimensionaler Potenzialkasten
n = 1, l = 1
n = 2, l = 1
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 8
Überlagerte Zustände
ψ1 und ψ2 Lösungen der Schrödingergleichung
⇒ ψ = c1ψ1 + c2ψ2 ebenfalls Lösung
r
r − iEh1 t
mit ψ 1 (r , t ) = ϕ1 (r ) ⋅ e
und
(c12+c22 = 1 wg. Normierung)
r
r − iEh2 t
ψ 2 (r , t ) = ϕ 2 (r ) ⋅ e
r 2
r 2 2
r 2
r
r
2
folgt ψ (r , t ) = c1 ϕ1 (r ) + c2 ϕ 2 (r ) + 2c1c2ϕ1 (r )ϕ 2 (r ) sin(ω21t )
r
r
= ξ A (r ) + ξ B (r ) ⋅ sin(ω21t )
Schwingterm
E2 − E1
ω21 =
h
⇒ |ψ | 2 oszilliert, wenn E1 ≠ E2
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 9
Überlagerte Zustände
Video: 1-dim. Potenzialkasten Überlagerung 1↔2 (50%)
Video: 2-dim. Potenzialkasten Überlagerung 11↔21 (50%)
Video: 2-dim. Potenzialkasten Überlagerung 21↔12 (1,0/1,0)
Video: 2-dim. Potenzialkasten Überlagerung 21↔12 (1,0/0,9)
Video: 2-dim. Potenzialkasten Überlagerung 21↔12 (1,0/0,8)
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 10
Übergänge zwischen Zuständen
Übergang von Zustand ψ1 in Zustand ψ2 :
aus
ψ = c1 ψ1
+ c2 ψ2
wird ψ = c1(t) ψ1 + c2(t) ψ2
wobei
c1(t): 1 → 0
während
c2(t): 0 → 1
(c12 + c22 = 1)
In den folgenden Videos macht der Schwingterm ξ2(r)·sin(ω t)
während des Übergangs 6 Schwingungen.
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 11
Applet: Übergänge
Übergänge zwischen Zuständen
Video: 2-dim. Potenzialkasten Übergang 11 → 21
Video: Übergang 11 → 31
Video: Übergang 21 → 32
Video: Übergang 31 → 13
Video: Übergang 111 → 222
(3-dim. Potenzialkasten)
Schwingterm 11 → 31
21 (50%)
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 12
Applet: Deltapotenzial
Delta-Potenzial im Potenzialkasten
In der Mitte des Potenzialkastens wird ein Delta-Potenzial
veränderlicher Höhe eingefügt:
- gerade Lösungen (Nullstelle im Zentrum) bleiben unverändert
Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ2
- ungerade Lösungen: in der Mitte nimmt |ψ |2 mit wachsendem
Delta-Potenzial ab. (|ψ |2 verschwindet, für Delta-Potenzial → ∞)
Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ1
Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ3
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 13
Applet: Potenzialstufe
Potenzialstufe im Potenzialkasten
In der Mitte des Potenzialkastens wird eine Potenzial-Stufe
veränderlicher Breite und Höhe eingefügt:
- Potenzialstufe fester Breite wird erhöht: Dichtefunktion kann am
Anfang sogar ansteigen, wird aber schließlich nach außen gedrängt
Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenhöhe 0 → 50 bei QZ1
Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenhöhe 0 → 750 bei QZ3
- Potenzialstufe fester Höhe wird verbreitert: Dichtefunktion wird
nach außen gedrängt, schwappt aber schließlich nach innen
Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenbreite 0,1 → 0,95 bei QZ1
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 14
Applet: Verbreiterung
Verbreiterung des Potenzialkastens
Der Potenzialkasten kann schlagartig oder langsam (adiabatisch)
verbreitert werden:
- plötzliche Verbreiterung: System beginnt zu schwingen
Video: 2-dim. Potenzialkasten schlagartig 1,0 → 1,5 bei QZ11
Video: 2-dim. Potenzialkasten schlagartig 1,0 → 1,5 bei QZ31
- adiabatische Verbreiterung: Dichtefunktion „fließt auseinander“
Video: 2-dim. Potenzialkasten adiabatisch 1,0 → 1,5 bei QZ32
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 15
Vergleich mit harmonischem Oszillator
D 2 mω 2 2
V ( x) = x =
x
bzw.
2
2
mω A2 2 mω B2 2
V ( x, y ) =
x +
y
2
2
Eigenzustände:
iE
− t
2
Ψ n = α ⋅ H n ( β x ) ⋅ e −γ x ⋅ e h
(Hn: Hermite-Polynome)
Energieeigenwerte:
En = hω (n + 0,5)
bzw.
En ,l = hω A (n + 0,5) + hω B (l + 0,5)
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 16
Vergleich mit harmonischem Oszillator
n = 012
n = 3,
0, l = 1
0
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 17
Vergleich mit harmonischem Oszillator
Video: 2-dim. harmonischer Oszillator Übergang 00 → 11
Video: 2-dim. Potenzialkasten Übergang 11 → 22
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 18
Molekülschwingungen
N-atomiges Molekül in der Ebene: 2N Freiheitsgrade
davon 2N-3 Schwingungsfreiheitsgrade (2 Translation, 1 Rotation)
2-atomiges Molekül:
1 Normalschwingung
3-atomiges Molekül:
3 Normalschwingungen
linear
gewinkelt
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 19
Applet: Molekülschwingung
Molekülschwingungen
klassisch:
- Molekülschwingungen: Überlagerung der Normalschwingungen
(Normalschwingung: alle Kerne schwingen harmonisch mit
gleicher Frequenz und Phase)
quantenmechanisch:
- man erhält Kerndichtefunktionen (wegen Oszillatorpotenzial
wieder Hermite-Polynome)
- die klassischen Schwingungen entsprechen stationären
Kerndichtefunktionen
- nur bei Überlagerungen / Übergängen erhält man
quantenmechanisch Oszillationen
1. Normalschw.
2. Normalschw.
3. Normalschw.
Grundzustand→
3. Normalschw.
Standardbeispiele der Quantenmechanik Folie 20