P. Reiter

Kernphysik I
• Bemerkung: Relativistische Elektronstreuung
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
• Elektrisches Quadrupolmoment
• Magnetisches Dipolmoment
Wiederholung: MAMI Spektrometer
Ladungsdichte Formfaktor
Fourier-Trans. Experiment
Ladungsdichte
[x 1019 Coulomb/cm3]
Zusammenfassung: Ladungsdichte
Radiale Distanz [fm]
Elektronstreuung am Kern
Feynman-Diagramm
v
Virtuelles Photon überträgt Impuls q
v v v
v
v
q = p − p′ für p = p′
v
v
2
q = p sin θ / 2
Die Wellenlänge des virtuellen Photons
v
v
D = h q = h 2 p sin θ / 2
bestimmt die räumliche Auflösung
Relativistische Kinematik der Elektronstreuung
Kinematik der elastischen Elektronstreuung am Kern
Viererimpuls und Rückstoß
Viererimpulserhaltung
Rückstoßenergie
Elastische Elektron-Nukleon-Streuung
Größe des Nukleons bestimmt die Energie des Elektronenstrahls
Experimentell: einige hundert MeV bis zu einigen GeV
Masse des Nukleons: ca. 938MeV
=> Rückstoß des Targets kann nicht mehr unberücksichtigt bleiben
⎛ dσ ⎞
⎛ dσ ⎞
=⎜
⎜
⎟
⎟
d
d
Ω
Ω
⎝
⎠ Mott ⎝
⎠
*
E'
⋅
E
Mott
=> Benutzung des Viererimpulsübertrags:
−4 EE '
2 θ
⋅
q = ( p − p ') ≈
sin
2
c2
2
2
Um nur mit positiven Größen zu arbeiten, definiert man:
Q 2 = −q 2
Erinnerung: Spin und Parität
Der Kern ist ein abgeschlossenes System und hat somit einen definierten
Kernspin mit der Quantenzahl =J für den Kernspin.
J = J ( J + 1)h
mJ = − J ,−( J − 1),...., J − 1, J
Kernspin ist die Summe der Gesamtdrehimpulse der individuellen
Nukleonen : j
v
J = ∑ ji
(jj - Kopplung)
i
Der Gesamtdrehimpuls eines Nukleons ist die Summe des intrinsischen
Spins und des Bahndrehimpulses :
v v v
j =l +s
- intrinsischer Spin des Protons oder Neutrons : s = 1/ 2h
- der Bahndrehimpuls eines Nukleons ist immer geradzahlig
Daraus folgt:
gerade Massenzahl A: J = ganzzahlig
ungerade Massenzahl A: J = halbzahlig
Alle Kerne mit geradem Z und geradem N haben J = 0
Erinnerung: Spin und Parität
In einem symmetrischen Potential V(r)=V(-r) haben die Wellenfunktionen
eine definierte Parität.
v
v
Ψ(r ) = +Ψ( − r )
v
v
Ψ(r ) = −Ψ( − r )
positive Parität
negative Parität
Sphärische Polarkoordinaten
(-x,-y,-z)
Ψ nlml (r, π − ϑ , π + ϕ) = ( −1)l Ψ nlml (r,ϑ ,ϕ)
v 2
v 2
[Ψ(r )] = [Ψ( − r )]
Gilt für alle Kernwellenfunktionen
Nomenklatur für Kernzustände:
Spin und Parität
0+ (Spin:0 Parität: gerade)
5/2- (Spin:5/2 Parität: ungerade)
Elektromagnetische Momente
Statische elektromagnetische Eigenschaften der Kerne werden durch ihre
elektromagnetischen Momente charakterisiert. Diese enthalten die Information
über die Verteilung der Ladung und der magnetischen Momente im Kern.
Die zwei wichtigsten Momente sind:
Elektrisches Quadrupolmoment Q
Magnetisches Dipolmoment μ
Elektrische Momente
Sie sind von der Ladungsverteilung im Inneren des Kernes abhängig und
Sind ein Maß für die Kernform d.h. den Konturen konstanter Ladungsdichte.
Die Kernform wird durch eine Multipolentwicklung des äusseren elektrischen
Feldes parametrisiert.
Elektrische - Momente
Reihenentwicklung des Potentials für große Abstände r (r´/r < 1):
Elektrische - Momente
QM Beschreibung:
Definition der z-Achse:
Ladung
Elektrischer
Dipol
Elektrischer
Quadrupol
Wellenfunktionen des Kernes haben definierte Parität.
Das elektrische Dipolmoment des Kernes ist null.
Quadrupolmoment
1
v
Q = ∫ Ψ ∗ ( 3 z 2 − r 2 ) Ψd 3 r
e
1
v v
Q = ∫ ( 3 z 2 − r 2 ) ρ ( r ) d 3r
e
1
v v
∝ ∫ r 2 (3 cos2 θ − 1) ρ ( r )d 3r
e
1 2 0
v v
∝ ∫ r Y2 (θ , φ ) ρ ( r )d 3r
e
Q: Quadrupolmoment des Kernes
• Dimension des Quadrupolmomentes ist Fläche.
Einheit barn (b)
• Für kugelsymmetrische Kerne verschwindet das
Quadrupolmoment Q.
• Prolater (zigarrenförmiger) Kern: Q > 0
Oblater (linsenförmiger) Kern: Q < 0
• In inhomogenen elektrischen Feld verschieben sich
die Energieniveaus eines deformierten Kernes.
• Das Integral verschwindet für J = 0 oder J =1/2
(Eigenschaft von Kugelfunktionen, Wigner Eckart
Theorem) Kernzustände mit Spin 0 oder 1/2
haben kein elektrisches Quadrupolmoment.
prolat
oblat
Quadrupolmomente
Einfaches Modell für die Beschreibung einer Kernform:
Homogen geladenes Rotationsellipsoid (um die z-Achse)
der Ladung Ze mit den Halbachsen b in z-Richtung und
a senkrecht dazu.
Das klassische Quadrupolmoment ergibt sich zu:
Q=
2
4
⎛ ΔR ⎞ 4
2
Z (b2 − a 2 ) = ZR 2 ⎜
⎟ ≡ ZR ⋅ δ
5
5
⎝ R ⎠ 5
Die Abweichung ΔR = (b-a) von der Kugelgestalt mit mittlerem Radius R = (a+b)/2
wird üblicherweise durch den Deformationsparamter δ beschrieben.
Quadrupolmomente
4
Q ≡ ZR 2 ⋅ δ
5
Deformationsparameter ist
proportional zu:
Q
δ∝
ZR 2
Elektromagnetische Momente
Intrinsisches und spekroskopisches Quadrupolmoment
Unterschied zwischen dem Quadrupolmoment Qlab im Laborsystem (dem
spektroskopischen Quadrupolmoment) und dem intrinsischen Quadrupolmoment Qintr.
Qlab bezieht sich auf die z-Achse (Quantisierungsachse) im Laborsystem,
Qintr bezeiht sich auf die 3-Achse im intrinsischen System
Beide Achsen können um Winkel β verdreht sein.
Beziehung zwischen Labor- und
intrinsischem System:
Quantenmechanische Beziehung
Magnetisches Moment
1) Kreisstrom erzeugt
magnetisches
Diploment
Leiterschleife:
2) Magnetischer Dipol
in Magnetfeld
hat potentielle Energie
3) Kreisendes
Teilchen erzeugt
Magnetfeld
B
Strom I
S
Fläche A
N
Magnetisches
Dipolmoment
μ= IA
senkrecht auf A
v
μ=
1 v v v
3
′
′
[
]
r
×
j
(
r
)
d
r′
∫
2
Drehimpuls L
Magnetisches Moment des Elektrons
Drehimpuls l
r
Umlaufzeit T
π r2
• Bohrsches Magneton:
magnetisches Moment eines Elektrons mit Bahndrehimpuls l=1ħ
• QM Operator des
magnetischen Dipolmoments:
v
e
∗
3
′
′
Ψ
⋅
⋅
Ψ
μ=
(
r
)
L
(
r
)
d
r′
∫
2m
v
Magnetisches Moment des Elektrons
Magnetisches Moment des Elektrons
für einen Kreisstrom wäre g=1
g: g-Faktor des Elektrons
gs=2,0023
Spin ½ Teilchen: Dirac Theorie (relativistische QM) g=2
Abweichungen (g-2) wird erklärt durch QED:
Wechselwirkung mit Strahlungsfeld
Magnetisches Moment des Kernes
Magnetisch es Moment eines Kernes
r
r
r
I
μ I = const ⋅ I = g kμ k
h
Einheit des magnetisch en Momentes : Kernmagne ton
eh
μk =
= 3.152 ⋅ 10 −14 [MeV T ]
2m p
Analog zum Bohrschen Magneton
m
Kernmagnet on ist um Verhältnis e ~ 1 1836 kleiner.
mp
Für Kern g - Faktor könnte man 2 für das Proton (wie Elektron)
erwarten, und null für das Neutron. Aber Exper iment zeigt :
gs = 5,5858
gl = 1
für das Proton
g s = −3,8261
gl = 0
für das Neutron
Magnetisches Moment des Kernes
Operatore für die magnetischen Momente :
eh sˆ
eh lˆ
μˆ s = g s
μˆ l = gl
2mN h
2mN h
Das totale magnetische Moment eines Nukleons mit totalem Drehimpuls ˆj
setzt sich aus den magnetischen Momenten des Spins und des Bahndreh impulses zusammen :
1
h
Um das magnetische Moment µ zu bestimmen, muss man μˆ j auf den totalen
μˆ j = µK ( g s sˆ + gl lˆ)
Drehimpuls ˆj projizieren. Quantenmechanisch korrekt ist das magnetische
Moment µˆ über den Erwartungswert der z - Komponente des Operators μˆ j
definiert :
μˆ = g j µK ˆj =
μˆ j ⋅ ˆj ˆj
j
⋅
j
- zeigt in Richtung von j
- Betrag ist gleich Projektion von µj auf j
g-Faktoren des Kernes
Für den g - Faktor g j gilt :
gj =
g l ( l̂ ⋅ ˆj) + gs (ŝ ⋅ ˆj)
j
2
mit j( j + 1) = ˆj2 = l̂ 2 + 2 l̂ ⋅ ŝ + ŝ 2
l̂ 2 = l(l + 1) ŝ 2 = ( ˆj - l̂ ) 2 bzw. l̂ 2 = ( ˆj - ŝ)
ŝ 2 = s(s + 1) = 3 4
g l {j( j + 1) + l(l + 1) − 3 4}+ g s {j( j + 1) − l(l + 1) − 3 4}
2 j( j + 1)
(
gs − gl )
g j = gl ±
für j = l ± 1 2
2l + 1
gj =
Einfache Beziehung für den g-Faktor von Einteilchenzuständen.
Weitere Details im Zusammenhang mit Zuständen im Schalenmodell.