Von Moment zu Moment

Kern- und Teilchenphysik
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
• Magnetisches Moment der Nukleonen
• Wiederholung Hyperfeinstruktur
Folien und Übungsblätter:
http://www.ikp.uni-koeln.de/groups/reiter/lehre.html
Einführung: Magnetisches Moment
1) Kreisstrom erzeugt
magnetisches
Diploment
Leiterschleife:
2) Magnetischer Dipol
in Magnetfeld besitzt
potentielle Energie
B
3) Kreisendes
Teilchen erzeugt
Magnetfeld
Drehimpuls L
Strom I
Fläche A
Magnetisches
Dipolmoment
µ= IA
senkrecht auf A
1 v v v
µ = ∫ [r′ × j ( r ′)] d 3r ′
2
v
e
µB =
h
2me
Bohrsches Magneton:
Magnetisches Moment des Elektrons
• Bohrsches Magneton:
magnetisches Moment eines Elektrons mit Bahndrehimpuls l=1ħ
e
µB =
h = 0,579 ⋅10 − 4 [eV/T]
2me
Fermionen haben auch
“Eigendrehimpuls”.
für einen Kreisstrom wäre g=1
g: g-Faktor des Elektrons
gs = 2,0023
Spin ½ Teilchen: Dirac Theorie (relativistische QM) g=2
Abweichungen von g=2 ergibt sich innerhalb der QED:
Wechselwirkung mit Strahlungsfeld
Magnetisches Moment der Nukleonen
r
r
r
I
Magnetisches Moment eines Kernes : µ I = const ⋅ I = g k µ k
h
Einheit des magnetischen Momentes : Kernmagneton
µk =
eh
= 3.152 ⋅10−14
2m p
[MeV T ]
Analog zum Bohrschen Magneton
me
Kernmagneton ist um Verhältnis der Massen
~ 1 1836 deutlich kleiner.
mp
Für g - Faktor der Nukleonen könnte man 2 für das Proton (wie Elektron)
erwarten und null für das Neutron. Aber das Experiment zeigt :
g s = 5,5858
gl = 1
für das Proton
g s = −3,8261
gl = 0
für das Neutron
Magnetisches Moment des Kernes
Magnetisches Moment des Kernes
r
r
r
I
eh
µ I = const ⋅ I = g k µ k
µk =
= 3.152 ⋅10−14
h
2m p
g s = 5,5858
gl = 1
für das Proton
g s = −3,8261
gl = 0
für das Neutron
magnetische Momente der Spins :
µ p = 2,79µ K (Proton)
µ n = -1,91µ K (Neutron)
Die anomalen magnetischen Momente der Nukleonen sind
ein klarer Hinweis auf die Substruktur der Nukleonen.
[MeV T ]
Magnetisches Moment des Kernes
Operatoren für die magnetisch en Momente :
eh sˆ
eh lˆ
µˆ s = g s
µˆ l = g l
2m N h
2m N h
Das totale magnetisch e Moment eines Nukleons mit totalem Drehimpuls ˆj
setzt sich aus den magnetisch en Momenten des Spins und des Bahndreh impulses zusammen :
1
µˆ j = µ K ( g s sˆ + g l lˆ)
h
Um das magnetisch e Moment µ zu bestimmen, muss man µˆ j auf den totalen
Drehimpuls ˆj projizieren. Das magnetisch e Moment µˆ ist der Erwartungs wert
der z - Komponente des Operators µˆ j
µˆ = g j µ K ˆj =
µˆ j ⋅ ˆj ˆj
j
⋅
j
- zeigt in Richtung von j
- Betrag ist gleich der Projektion von µj auf j
g-Faktoren des Kernes
Für den g - Faktor g j gilt :
gj =
g l (lˆ ⋅ ˆj ) + g s ( sˆ ⋅ ˆj )
j
2
mit j ( j + 1) = ˆj 2 = lˆ 2 + 2lˆ ⋅ sˆ + sˆ 2
lˆ 2 = l (l + 1) sˆ 2 = ( ˆj - lˆ )2 bzw. lˆ 2 = ( ˆj - sˆ )2
sˆ 2 = s ( s + 1) = 3 4
g l { j ( j + 1) + l (l + 1) − 3 4}+ g s { j ( j + 1) − l (l + 1) − 3 4}
2 j ( j + 1)
(
g s − gl )
g j = gl ±
für j = l ± 1 2
2l + 1
gj =
Erinnerung: Hyperfeinstruktur
Aufgrund der Kopplung der Drehimpulse des Kerns und der Hüllenelektronen kommt es zu einer Aufspaltung der Energien der atomaren
Zustände. Dabei wird ein Gesamtdrehimpuls F eingeführt, zu dem der
Kernspin J und der Drehimpuls I der Elektronen koppeln:
F=I+J
Der Gesamtdrehimpuls F kann Werte mit ganzzahligem Abstand zwischen
|I - J| und (I + J) annehmen.
Feinstruktur
Gesamtdrehimpuls
des Atoms
F
Elektronendrehimpuls
I
J
Kernspin
Hyperfeinstruktur
Bahndrehimpuls
der Elektronen
LI
Elektronendrehimpuls
I
Elektronenspin
sI
Erinnerung: Hyperfeinstruktur bei Wasserstoff
l=1, j=3/2
2p3/2
2p3/2
2s1/2
2p1/2,2s1/2
2p1/2
n=2, l=0,1
l=0, j=s
l=1, j=1/2
n=1
l=0
l=0
j=s
F=1
1s1/2
5.8 10-6eV
F=0
∆EHFS=10-6eV
∆En=10eV
∆EFS=10-4eV
∆Erel=10-4eV
Schrödinger
gleichung
ohne
Spin
Feinstruktur
LS
Relativistische
Effekte
∆ELamb
=4 10-6eV
Lambshift
QED
Hyperfein
struktur
(Kern)
Hyperfeinstruktur
Magnetische Hyperfeinwechselwirkung
magnetisches
zuKerns
I:
Das
magnetischeKernmoment
Moment µJ des
spürt ein Magnetfeld BI dass durch die
Hüllenelektronen am Ort des Kerns erzeugt wird.
magnetische Wechselwirkungsenergie
v
∆∆EEM==−- µvµI ·⋅ B
BJ
J
I
Kern
B Feld durch
Atomhülle
mit Spin und Drehimpuls
Wechselwirkung ist
wegen µJ (Kernmasse)
typisch 103 kleiner als FS.
Mit µJ = gJ µK J und BI ~ I
Magnetische Hyperfeinwechselwirkung
A v v
∆E = 2 I ⋅ J
h
Faktor A = gJ µK BI(0)/I enthält atomare und
nukleare Eigenschaften inklusive des g-Faktors.
∆EM = A
2
[F ( F + 1) − J ( J + 1) − I ( I + 1)]
Hyperfeinstruktur des Wasserstoff-Grundzustand
mF
v r ∂Bz r
F = µ⋅
ez
∂z
mI
v r ∂Bz r
ez
F = µ⋅
∂z
Messung von magnetischen Momenten
Kerne mit magnetischem Moment erfahren in homogenem B-Feld (C) Larmorpräzission.
Präzissionsfrequenz
Wechselwirkungsenergie
Zweites oszillierendes B-Feld (Frequenz ω) senkrecht zu B
Drehmoment=
Maximale Energieabsorption und Spinflip bei Larmorfrequenz
Elektromagnetische Momente
Rabi Atomstrahlversuch:
A, B1
C, B2
B, B3
Experiment mit 1H oder 7Li, elektronische Konfiguration der Hülle, l=0
Elektromagnetische Momente
Rabi-Atomstrahlversuch
• In Magnetfeld (C) findet durch den Zeeman-Effekt eine energetische Aufspaltung
der magnetischen Unterzustände und eine Präzession des magnetischen Momentes
um das homogene Magnetfeld statt.
• Einstrahlung einer elektromagnetischen Hochfrequenz im Bereich des Magneten (C)
Induziert bei der richtigen Frequenz, der Larmorfrequenz, Übergänge zwischen den
magnetischen Unterzuständen. Damit ändert man die z-Komponente des
magnetischen Momentes.
• Die Atome im Magneten (B) erfahren veränderte Kraft und werden nicht mehr auf
den Detektor fokussiert.
• Beim Durchfahren der eingestrahlten Frequenz oder des Magnetfeldes C erhält
man ein Minimum der durchgelassenen Atome am Detektor bei der Larmorfrequenz
des jeweiligen HF-Übergangs. Daraus wird das magnetische Moment bestimmt.
Hyperfeinstruktur des Wasserstoff-Grundzustand
F =1
A
4
n =1
l =0
j = 1/ 2
3A
4
∆E = 6 × 10−6 eV
λ = 21 cm
ν = 1420 MHz
F =0
Hyperfeinaufspaltung des Wasserstoffgrundzustandes:
- Astronomie
Hyperfeinstruktur-Anwendung
Bildgebendes Verfahren in der Medizin
Magnetic Resonance Imaging (MRI)
Nuclear Magnetic Resonance Imaging (NMRI)
Magnetic Resonance Tomography (MRT)
Nuclear Magnetic Resonance (NMR)