Spin(7)

Atome im Magnetfeld
Magnetisches Moment
Spin des Elektrons (Stern-GerlachVersuch)
Spin-Bahn-Kopplung
Die Feinstruktur
Der Zeeman-Effekt
1
Magnetisches Moment
Klassisches magnetisches Dipolmoment:
Kreisstrom:
I
q
e
ev
 
t
T
2πr
I
Ir 2
evr
   Fläche 

c
c
2c
Drehimpuls:
  pr  mvr  vr   m

Magnetisches    e 
Dipolmoment:
2mc
Magnetisches
Dipolmoment:
2
Magnetisches Moment
Potentialenergie des magnetischen Dipols im
Magnetfeld:
 
Vmag     B
Das Drehmoment des magnetischen Dipols im
Magnetfeld:
  
  B
Die Folge: eine Präzession der Drehimpulsvektors

mc 
  2

e
mit der Kreisfrequenz 
   sin   t
d
    sin   B sin 
dt
B
eB



2mc
3
Magneton

Vmag





  const     g   M : g   1         M

Potentialenergie des magnetischen Dipols im Magnetfeld:
Magnetisches Dipolmoment:

 
 
   B   const    B


Für g = 1: klassisches magnetisches Dipolmoment.
Abweichung von g = 1: Unterschied des quantenmechanischen Dipolmomentes von der klassischen
Theorie.
Magneton: Das magnetische Moment einer klassisch mit Drehimpuls  = ħ rotierenden Ladung
M 
e
2mc
Bohrsches Magneton

B 
e
 0,579 10  4 eV/T
2m0 c
Kernmagneton

B 
e
 3,152 10 8 eV/T
2 mP c
4

Stern-Gerlach-Versuch





  const     g   M : g   1         M


Potential des magnetischen Dipols im
magnetischen Feld
Vmag
 
   B

M 
e
2mc
Aus diesem Potential resultierende
Kraft
Fz  
Vmag
z
 z
B
z
(Silberatome)
Die z-Komponente des Drehimpulses ist gequantelt
5
Der Spin des Elektrons
Ergebnis des Stern-Gerlach-Versuches: z besitzt zwei diskrete Werte
Sollte der Bahndrehimpuls  der Grund für die Aufspaltung der Bahnen der
Ag-Atome im Stern-Gerlach-Vesuch sein, müssten sich 2+1 z-Komponenten
des magnetischen Drehimpulses ergeben.
Zwei diskrete Werte ergeben sich für 2s+1 mit s = ½.
z
sz   

s 2   2 12  12  1

s   34
1
2
ms   12

3
4
ms   12
Analog zum Bahndrehimpuls:
2
    1 2

     1
6
Spin-Bahn-Kopplung
  
s  j
… resultierender Drehimpuls (Gesamtdrehimpuls)
2
j   2 j  j  1
m j   j ,  j  1,,  j  1, j
j    12
Konsequenzen:
 Die Feinstruktur
 Der Zeeman-Effekt
7
Die Feinstruktur
8
Der Zeeman-Effekt
Aufspaltung der Spektrallinien im Magnetfeld (P. Zeeman, 1896)
Änderung der Zentrifugalkraft (Lorentz-Kraft):
m 2 r  m 2 r 
ev
e r
B
B
c
c
 2   2 e
m
 B

c
Geringe Änderung der Frequenz
        ,      
 2   2    2   2




 2   2  2

 2  2




  
eB
2mc
9
Der Zeeman-Effekt
Änderung der Frequenz
  
eB
E  E2
 1
2mc

10
Identische und nichtidentische Teilchen
Ensemble identischer Teilchen (Bosonen
und Fermionen)
Verteilungsfunktionen
Bose-Einstein (Bosonen)
Fermi-Dirac (Fermionen)
Maxwell-Boltzmann (nichtidentische Teilchen)
Pauli-Prinzip
11
Statistisches Ensemble identischer
Teilchen
Bosonen
 Wellenfunktion  ist
symmetrisch
 Spin: 0, 1, …
 Beispiele: Photon, Phonon, Meson, 4He
 Amplituden addieren sich
gleichphasig
 Besetzen bevorzugt die
gleichen Quantenzahlen
Fermionen
 Wellenfunktion  ist
asymmetrisch  Pauli-Prinzip
 Spin: ½, 3/2, …
 Beispiele: Elektron, Proton,
Neutron, Myon, 3He
 Amplituden addieren sich
entgegengesetzt (-1)
 Können gleiche
Quantenzahlen nicht besetzen
12
Zusammenfassung der Streueffekte
(a) Coulomb-Streuung zweier Elektronen
(b) Photon-Elektron-Streuung (Compton-Effekt)
(c) allgemeines Prinzip der Wechselwirkungen
13
Elementarteilchen
Gluonen sind die Austauschteilchen der starken Wechselwirkung, die zwischen Quarks
ausgetauscht werden. Sie sind elektrisch neutral und werden als masselos angenommen.
Die von den Gluonen vermittelte Anziehung zwischen den Quarks, und daraus folgend
zwischen Protonen und Neutronen, ist für die Stabilität der Atomkerne verantwortlich (die
Protonen würden sich ansonsten aufgrund ihrer gleichen elektrischen Ladung abstoßen).
Quark Flavors
Name Symbol Generation
Up
u
1
Down
d
1
Strange
s
2
Charm
c
2
Bottom (Beauty) b
3
Top (Truth) t
3
El. Ladung
+2/3
–1/3
–1/3
+2/3
–1/3
+2/3
Masse (MeV/c²)
1,5–4,0
4–8
80–130
1150–1350
4100–4400
174300 ± 5100
Nach heutigem Erkenntnisstand der Teilchenphysik sind Mesonen Teilchen, die aus
jeweils einem Quark und einem Antiquark (dem Antiteilchen eines Quarks) aufgebaut
sind. Mesonen unterliegen damit der starken Wechselwirkung.
14
Fermionen
Bose-Einstein-Statistik
Fermi-Dirac-Statistik
1
1
1
F
10
 E  E0 
0
e
10
10
10
Besetzungswahrscheinlichkeit
Besetzungswahrscheinlichkeit
10
Bosonen
1
k BT
-1
-2
-3
0
1
2
3
Energie (a.u.)
4
5
1
F
0.8
 E  E0 
e
k BT
1
0.6
0.4
0.2
0
-5
-2.5
0
Energie (a.u.)
2.5
5
Besetzungswahrscheinlichkeiten im thermodynamischen Gleichgewicht
bei der Energie E
15
Pauli-Prinzip
Zwei Fermionen des gleichen Systems können nicht in allen ihren
Quantenzahlen übereinstimmen.
Die Wellenfunktion des Systems mit N Teilchen muss antisymmetrisch sein.
Dies garantiert die Slater-Determinante:
 A N  
 1 1   1 N 
1  2 1   2 N 
N!

 N 1   N N 
Slater-Determinante für zwei Teilchen:
1  1 1  1 2
1
 1 1 2 2  1 2 2 1
 A 1,2 






1

2
2 2
2
2
Falls sich zwei Teilchen im gleichen Zustand befinden, sind die
entsprechenden Spalten in der Slater-Determinante gleich und
 A N   0
16
Nichtidentische Teilchen
Maxwell-Boltzmann-Statistik
10
Besetzungswahrscheinlichkeit
1
F
0
 E  E0 
e
e

 E  E0 
k BT
k BT
-1
10
Klassischer Grenzfall
für E >> kT
-2
10
-3
10
0
1
2
3
Energie (a.u.)
4
5
17
Das Schalenmodell der Elektronenhülle
… für Atome mit mehreren Elektronen
Bahndrehimpulse und
Besetzungszahlen
s
p
d
f
g
 = 0
1
2
3
4
5
7
9
(2+1) =
1
3
2(2+1) =
2
6 10 14 18
18
Elektronenkonfigurationen der
Grundzustände für die leichtesten Atome
Hundsche Regel
Im Grundzustand koppeln die
Elektronenspins so, dass
immer der größtmögliche Wert
des resultierenden Spins
entsteht.
Die Bindungsenergie ist in
diesem Zustand am höchsten,
da die Coulombsche
Abstoßung der Elektronen die
schwächste ist.
19
Periodensystem der Elemente
Darstellung nach Niels Bohr
20
Exotische Atome
21