Skript Teil 6

6. Magnetismus
µ o = 4 10
Vakuum: B = µ o H
Material: B = µ o H + M
= µ o H (1 +
7
Vs
Am
)
i. a. ein Tensor
Magnetisierung M
Dichte magnetischer Momente m
M =m·
Def . : Bo = µo H
N
V
(äußeres
Magnetfeld )
Magnetische Suszeptibilität !
M =
H
< 0 diamagnetisches Verhalten
> 0 paramagnetisches Verhalten
=
I. a. tritt beides auf:
d
p
:
:
d
+
p
Lenz’sche Regel, Kreisstrom erzeugt Gegenfeld.
(Sonderfall Supraleiter: idealer Diamagnetismus
Kap. 9)
Existierende Bahn- und Spinmomente richten sich im Feld aus.
Magnetisches Dipolmoment infolge des Bahndrehimpulses
m=
1 e
2m
ri x p i =
i
m = µB L
µB =
eh
= 5.7884 10
2m
1 e
hL
2m
atomares Moment
5
eV
= 9.274 10
T
24
J
T
Bohrsches Magneton
1
Magnetisches Dipolmoment infolge des Elektronen-Spins
m = µB go
si = µ B g o S
i
elektronischer g-Faktor
Atome mit abgeschlossenen Schalen
go = 2,0023
L = S = 0, d. h.
p
=0
Nicht-abgeschlossene Schalen für Übergangsmetalle und Seltene Erden im
Festkörper !p 0.
6.1 Diamagnetismus
durch induzierte „Kreisströme“ (! < 0 wegen „Lenz’scher Regel“)
(Umlauf der quasifreien Elektronen im Metall auf Landau-Röhren, Folie 6.
s. a. Kap. 5.4 de Haas-van Alphen Effekt)
Bei freien Atomen und Molekülen durch feldinduzierte Änderung
der Elektronenbahnen (Larmorpräzession)
Bo = rot A
div A = 0
A=
mit
Zusatzbedingung (spez. Eichung)
1
r x Bo
2
B = (0,0, Boz )
Energie eines magnetischen Moments im B-Feld
U =
m
Exp. Ergebnis
d
<< 1
B o = mBoz
d
=
0,35
e2
µ o nZ a ra2
6m
( 10-4 unabhängig von T)
2
6.2 Paramagnetismus
durch Ausrichtung lokaler Momente
Bahndrehpuls + Spin = Gesamtdrehimpuls J
Drehimpulskomponente in z-Richtung
mj = 1
J4
,...,
+3
J
24
2 J +1
Beitrag zum magnetischen Moment:
g: Landé-Faktor:
mmj =
Möglichkeiten
gµ B m j
reiner Elektronenspin g = 2
„
Bahndrehimpuls g = 1
g =1+
Allgemein
J ( J + 1) + S (S + 1) L(L + 1)
2 J ( J + 1)
Energie im äußeren Feld
U = m Boz = gµ B m j Boz
U = gµ B J
mj
Boz
J
Atomares magnetisches Gesamtmoment
U mj = m Boz
m = gµ B J
mj
J
Mittleres thermisches Moment resultiert aus Wechselspiel der
Einstellenergie im Feld Umj und der thermischen Energie kT:
Um j
kT
=
mj
mBoz m j
= :a
kT J
J
m = m BJ (
)
Brillouin-Funktion;
für J = ± ½
BJ (
) = tanh (1)
(Folie 9)
3
Kleine Felder, hohe Temperatur:
p
=n
m
Boz
=
Q
0
C
T
C: Curie-Konstante
2
n µ eff
C =
µ o 3k B
Meff:
wieder ist
C"1K
M =
C
B
T
effektive Anzahl Bohrscher Magnetonen
p
<< 1 (bei Raumtemperatur)
Hohe Felder, niedrige Temperatur:
Sättigung der Magnetisierung im
äußeren Feld. Alle Momente parallel
(Folien 9,10)
(Nicht-ferromagnetische) Materie reagiert viel schwächer auf
magnetische Felder im Vergleich zu elektrischen Feldern
( elektrisch " 1).
Paramagnetismus freier Elektronen (Pauli Spin-Paramagnetismus)
#E =
Bo
1
g o µ B Bo
2
1
#E = + g o µ B Bo
2
Es resultiert ein überzähliges magnetisches Moment durch
Verschiebung der spinabhängigen Zustandsdichten (Folie 7):
1/2D(E)
und
1/2D(E)
M =
m 1
= D(E F )g o µ B Bo
V
2
=
1
goµB
2
1 2 2
g o µ B D(E F )Bo $ µ B2 D(E F )Bo
4
magnetische Suszeptibilität (Pauli Spin-Suszeptibilität):
p
=
dM
dBo
µ o = µ o µ B2 D(E F ) = :
Pauli
4
Beispiele:
Folie 10: 3d- Ionen im Kristallfeld; reiner Spinmagnetismus durch Auslöschung der
Bahndrehimpulse; 3d-Schale ist die äußerste und spürt das starke lokale elektrische
Feld (=Kristallfeld): L S -Kopplung zu J wird aufgehoben und
2L + 1 Unterniveaus spalten auf Bahnbewegung „gelöscht“
(Unterniveaus s. Folie 11)
Folie 12: 4f-Schale liegt tief innerhalb des Ions, nämlich unter der 5s- und 5pSchale; „quasifreie“ 4f-Ionen, Gesamtwert von J voll wirksam.
Kühlung durch adiabatische Entmagnetisierung eines paramagnetischen Salzes
( T < 10-3 K, mit Kernentmagnetisierung < 10-6 K)
Erste Methode zum Erreichen von mK (Debye)
Heutige Alternativmethoden:
He-4He-Entmischungskryostat: in fl. 4He gelöste 3He-Atome „verdampfen“ und
kühlen dadurch;
Laserkühlung von Gasen
3
„Spiel mit der Entropie“:
1) Entropie eines Systems magnetischer Momente durch Anlegen von B verringert
(bei festgehaltener Temperatur)
2) Bei adiabatischer Entmagnetisierung (B
0) bleibt Gesamtentropie konstant
Folie 13 links (günstig): Spinentropie > Gitterentropie (d. h. gut vorkühlen)
B 0 Aus System der Gitterschwingungen „fließt“ Entropie ins Spinsystem und
verringert Entropie des Gitters: T fällt
rechts (ungünst.): vorher zu warm
Folie 14: Aufbau, thermische Kopplung/Entkopplung durch Kontaktgas/Vakuum
Folie 15: Pfade, Inneres Feld 100G (10 mT), ext. Feld 500 Gauß
(Begrenzung durch „Nullfeldaufspaltung“ der Energieniveaus durch inneres
elektrisches und magnetisches Feld)
Spinentropie: %s = NkB Vn (2 S + 1), im Feld: %s = NkB (Vn (2 cosh Q) – Q tanh Q)
mB
=
kT
Folie 16: Spin ½ System
µ B B / kT1 " 1 = (b);
(a) (b) isotherme Magnetisierung in B = 1 T
µ B B / kT2 " 1 T2 = 10 mK im inneren Feld B# = 10 mT
dann B 0
5
10-6 NkB (N = Zahl der Atome)
Gitterentropie
Magnetische Momente der Kerne um
me
$ 10
M proton
T2 = T1
3
Bin
Bo
kleiner als magnetische
Momente der Elektronen
Kern
para
" 10
6
El .
para
Kernentmagnetisierung: 5 Tesla
T1 = 10 mK
T2 " 10 -7 K
Folie 17: Kernentmagnetisierung von Cu, Bin viel kleiner als bei Paramagneten
6.3 Ferromagnetismus (gehalten von H.J. Elmers)
6.3.1 Molekularfeld-Modell
Thermischer Mittelwert eines magnetischen Moments im äußeren Feld H (nur zKomponente)
H = Hz
mo = mz
____________________________________________________________
Zeit
Fluktuation der Richtung wegen endlicher Temperatur
Energie
Em = - mo · H
Em = + mo · H
für
für
thermischer Mittelwert
mT =
mo e
e
+
mo H
kT
m H
+ o
kT
mT = mo tanh
mo e
+e
mo H
kT
mo H
kT
mo H
kT
=
dZ
kT
dH
Z
(wie Folie 9)
Ein Moment im Inneren eines Ferromagneten „spürt“ ein magn. Feld,
das durch alle übrigen Momente verursacht wird.
µo H A = '
mT
= 'nmT
Vo
Ersetze äußeres Feld H durch H + HA
mit Atomvolumen Vo
(HA nennt man Austauschfeld)
6
- m (H + H A ) *
mT = mo tanh , o
)
kT
+
(
- m H + 'nmT mo / µ o *
mT = mo tanh , o
)
kT
+
(
Sei H = 0:
- 'nmo2
mT
= tanh ,
mo
+ µ o kT
mT *
)
mo (
mT
= tanh ( x );
mo
µ kT
mT
= o 2
mo
'nmo
x
Spontane Ordnung für T < Tc (Tc Z Curie-Temperatur)
6.3.2 Austausch-Wechselwirkung
Näherung: freie Elektronen
1
.i r j = .i ( j ) =
Wellenfunktion
Wechselwirkende Elektronen
V
e
ik i r j
Paarwellenfunktion
/ ij ri , r j
Spins parallel ausgerichtet:
Ortswellenfunktion muss antisymmetrisch sein
(Pauli-Prinzip)
/ ij ri , r j = / ij r j , ri
/ ij =
1 1
2V
(e
/ ij 2 d 3 ri d 3 r j =
Pij:
ik i ri
e
[
1
1
V2
ik j r j
e
(
ik i r j
cos k i
e
kj
ik j ri
)
) (r
i
]
r j ) , d 3 ri d 3 r j = Pij d 3 ri d 3 r j
Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen mit gleichem Spin
am gleichen Ort zu finden, verschwindet für beliebige ki, kj !
7
Elektronendichte: 2 = en + en , die das Aufelektron mit Spin
________________
en
en
2 =
1 cos(k i k j ) r +
2
2
[
merkt:
]
Es entsteht das „Austauschloch“:
Coulomb-Anziehung der Atomrümpfe wird von Elektronen derselben SpinSorte weniger stark abgeschirmt
Energieabsenkung um
I
n
n
#E = I
n
n
#E
E = Eo
~
Eo
n
I
=
n
E = Eo
I
=
I: Integral der Austauschkorrelation
1
I R,
2
n
1
~
= Eo + I R
n
2
R =
n
n
n
~
E o = Eo
1 n
n
I
2
n
Frage: Kann durch R ] 0 Energie gewonnen werden ?
Besetzungswahrscheinlichkeit wird durch Fermi-Statistik bestimmt:
1
f (E ) = ( E E ) / kT
F
e
+1
R =
=
1
N
1
N
k
[ f (k )
f (k )] =
1
k
e
1 ~ 1
E
IR E F
2
kT
1
1
+1
kT
e
~ 1
E + IR E F
2
+1
8
mit
f x
R4
1
N
k
#x
2
#x
"
2
f x+
3f (k )
~ IR;
3E
f ' (x )#x
3f
~ <0
3E
1. Lösung: R = 0 (nicht ferromagnetisch);
2. Lösung R ] 0 (ferromagne tisch) möglich, wenn
14
T
1
N
0:
k
3f (k )
~ I
3E
1
N
k
V 1
3f
~ =
3E
(2 )3 N
=
=
V
(2 )
3
3f
3
~ d k
3E
5
(
1
~
6 E
5
N
)
EF d 3k
1V
D (E F )
2 N
Def.: Zustandsdichte pro Atom und Spinsorte
1V
~
D (E F ) =
D (E F )
2 N
ID(E F ) 8 1 7 Auftreten von Ferromagnetismus
„Stoner-Kriterium“
9