Vorbereitung Tutorium (1)

Beispiel 1: Lage- und Streuungsmaße
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Welche Lagemaße kennst du und was ist deren Zweck?
Welche Streuungsmaße kennst du und was ist deren Zweck?
Wovon hängt es ab, welche dieser Maßzahlen sinnvoll zur Beschreibung einer Stichprobe
verwendet werden können?
Verwende den folgenden Datensatz, um zu Übungszwecken die Lage- und
Streuungsmaße zu berechnen. Berechne auch die Schiefe. Urliste (n=12):
11, 12, 15, 10, 14, 13, 17, 15, 14, 15, 13, 16
Lösung
Anmerkung: Die Lösung der Aufgabe kann hier nicht vollständig angeführt werden, da die inhaltliche Nähe zur
Übung sehr groß ist. Es wird auf die im Netz verfügbaren Vorlesungsunterlagen1 verwiesen.
Lagemaße:
 arithmetisches Mittel
 Median
 Modalwert
 geometrisches Mittel
Streuungsmaße:
 Spannweite
 Standardabweichung
 Varianz
 Variationskoeffizient
 Quartilabstand
Berechnungen:
arithmetisches Mittel:
x

1 n
1
xi   x1  x 2  x3    x n  

n i 1
n
1
11  12  15  10  14  13  17  15  14  15  13  16  13.75
12
Median:
Liste ordnen; hier gerade Anzahl an Werten, daher den Mittelwert der beiden mittleren
Werte bilden (6. und 7. Messwert).
10, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17
(n=12)
14  14
~
x0.50 
 14
2
Modalwert:
häufigster Wert: Mod = 15
1
http://www.univie.ac.at/psychologie/method/lehre/index.html#top0
1
geometrisches Mittel:
x geom  n
n
x
i
 12 11  12  15  10  14  13  17  15  14  15  13  16  13.603
i 1
Spannweite:
Range = Max – Min = 17 – 10 = 7
Varianz:
2

 n  
  xi  

2

x1  x 2  x3  ...  x n  
1  n 2  i 1   1  2
2
2
2
2
s   xi 
 x  x 2  x3    x n  

 n  1
n  i 1
n
n







1  2
(11  12  15  10    16) 2 
2
2
2
2
(
11

12

15

10

...

16
)


  4.2045
12 
15

Standardabweichung:
s   s 2  2.0505
Variationskoeffizient:
v
s
 0.1491
x
Quartilabstand:
Unteres (q0.25) und oberes Quartil (q0.75) bestimmen:
10, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17
(n=12)
25% der Werte liegen unterhalb des unteren Quartils, es liegt daher zwischen den Werten
12 und 13. Wie beim Median wird der Mittelwert der beiden Werte verwendet2. Gleiches
gilt für das obere Quartil.
Nach der Formel (Vorlesungsunterlagen) wird das untere Quartil (0.25-Quantil)
berechnet nach:
l  0.25  n  0.25 12  3
Da sich als Ergebnis für l ein ganzzahliger Wert ergibt, gilt für das 0.25-Quantil:
(würde sich kein ganzzahliger Wert für l ergeben, würde für das entsprechende Quantil
der nächst größere Messwert verwendet (d.h. l würde aufgerundet werden)).
x(l )  x(l 1) x(3)  x( 4) 12  13
~
x0.25 


 12.5;
2
2
2
2
Streng genommen wäre jeder Wert aus dem Intervall ]12, 13] richtig.
2
Für das 0.75-Quantil (oberes Quartil) ergibt sich: l = 9. Da das Ergebnis wieder
ganzzahlig ist, muss der Mittelwert zwischen 9. und 10. Wert berechnet werden und es
ergibt sich:
~
x0.75  15
Für den Quartilabstand folgt:
qA  ~
x0.75  ~
x0.25  2.5
Schiefe:
g1 
1 n
xi  x 3

n i 1

3

1

  xi  x ) 2 
 n i 1

1
3
3
3
  x1  x    x 2  x      x n  x 
n
n







3
1

2
2
2 
   x1  x    x 2  x      x n  x  
n

1
3
3
3
 11  x   12  x     16  x 
 12
 -0.3098
3
1
2
2
2 
  11  x   12  x     16  x  
 12





Anmerkung: Es handelt sich streng genommen um einen Schätzer für die theoretische Schiefe. Dabei
können verschiedene Schätzverfahren zum Einsatz kommen. SPSS 15.0 oder Excel (Funktion
SCHIEFE) verwenden andere Schätzverfahren und kommen daher zu einem anderen Ergebnis
(g1 (Excel, SPSS) = -0.356).
3