Versuch 21 - Michael Reinisch

Versuch 21
Datum:
Ort:
Fach:
Gruppe:
14. Mai 1998
Protokollant:
Inhalt:
Michael Reinisch
Institut für Angewandte Physik
Physikalisches Anfängerpraktikum Teil II Elektrizitätslehre
Manon BETTINELLI
Matr.-Nr. 1569184
Michael REINISCH
Matr.-Nr. 1552900
1. Aufgabenstellung
2. Versuchsbeschreibung
 Erstellung der Eichkurve des Galvanometers
 Berechnung der ballistischen Konstanten und des Stroms durch das Galvanometer
 Überprüfung der ballistischen Bedingungen
3. Versuchsaufbau
4. Versuchsdurchführung
5. Versuchsergebnis
6. Fehlerbetrachtung
7. Folgerungen
 Verifizierung mit Differentialgleichungen
1. Aufgabenstellung
Bestimmung der Kapazität mehrerer Kondensatoren; Ermittlung der ballistischen Konstante des benutzten
Galvanometers.
2. Versuchsbeschreibung
2.1. Erstellung der Eichkurve des Galvanometers
Aus der Kapazität C und der Spannung U = 3 V, auf die der Kondensator aufgeladen wurde, können wir
Q=C*U
berechnen. (Weiter siehe Versuchsdurchführung)
2.2. Berechnung der ballistischen Konstanten und des Stroms durch das Galvanometer
Zur Erstellung der Eichkurve haben wir bisher nur benutzt: am  Q. Der genaue Zusammenhang lautet aber:
am = (r / Kb) * Q
mit

r = Abstand Drehspiegel / Skala

Kb = ballistische Konstante
=> Kb = (r * Q) / am
mit

am := f(Q) = p*Q
1

p = Steigung der linearen Regressionsgeraden
=> Kb = r /p
Der Strom IK im Falle eines Kurzschlusses (Galvanometer direkt an der Spannungsquelle) berechnet sich wie folgt:
IK = U / RG

U = angelegte Spannung

RG = Innenwiderstand Galvanometer
Mit Schutzwiderstand R2:
I = U / (R2 + RG)
2.3. Überprüfung der ballistischen Bedingung
Für die Entladung eines Kondensators über einen Widerstand gilt:
I(t) = I0 * e- (t
/ )

mit I0 = U0 / R

=R*C
Hierbei gibt die Zeitkonstante  die Zeit an, die der Entladestrom braucht um auf den e-ten Teil abzusinken. Da die
völlige Entladung theoretisch unendlich lange dauert, definieren wir ’ := 3 *  , was in den meisten Fällen ausreichend
ist (da der Strom dann schon genügend klein ist). Man bezeichnet das Meßverfahren als „ballistisch“, wenn folgende
Bedingung erfüllt ist:
’ << 

mit  = Schwingungsdauer des Galvanometers
3. Versuchsaufbau
5V
=
R2
R1
G
S2
V
S1
C
4. Versuchsdurchführung
Wir bauen die Schaltung nach dem Schaltbild (siehe Versuchsaufbau) mit R 2 = 56 k auf. Dann lesen wir den
Zeigerausschlag am für Kondensatoren von 0,1 F bis 1 F ab. Danach berechnen wir Q und tragen am in
Abhängigkeit von Q auf. (siehe Blatt 3b)
Wir benutzen nun die aufgebaute Schaltung mit unbekannten Kondensatoren und bestimmen mit Hilfe der Eichkurve
die Kapazität.
2
5. Versuchsergebnis
Eichkurve
0,18
0,173
0,16
0,159
0,141
0,14
0,122
am [m]
0,12
0,104
0,1
0,088
0,08
0,071
0,06
0,049
0,04
0,032
0,02
0,018
0
0
0
0,0000001
0,0000002
0,0000003
0,0000004
0,0000005
0,0000006
0,0000007
0,0000008
0,0000009
C [F]
Eichkurve 2
0,18
0,173
0,16
0,159
0,141
0,14
0,122
0,12
0,104
am [m]
0,1
0,088
0,08
0,071
0,06
0,049
0,04
0,032
0,02
0,018
0
0
0
0,0000005
0,000001
0,0000015
0,000002
0,0000025
0,000003
Q [C]
Nr.
a [m]
C [F]
C1
1,57E-01
9,10E-07
C2
6,10E-02
3,60E-07
C3
1,02E-01
5,90E-07
C4
1,02E-01
5,90E-07
Q [C]
am [mm]
Kb
3,00E-07
1,80E+01
4,50E-09
6,00E-07
3,20E+01
5,06E-09
9,00E-07
4,90E+01
4,96E-09
1,20E-06
7,10E+01
4,56E-09
3
0,000001
1,50E-06
8,80E+01
4,60E-09
1,80E-06
1,04E+02
4,67E-09
2,10E-06
1,22E+02
4,65E-09
2,40E-06
1,41E+02
4,60E-09
2,70E-06
1,59E+02
4,58E-09
3,00E-06
1,73E+02
4,68E-09
<Kb> =
4,69E-09
Wenn man Kb mit der Steigung (p= 57,67) berechnet, erhält man: 4,68e-9.
Für der Strom IK erhält man:
IK = 3 V / 25  = 0,12 A
und mit Schutzwiderstand R2:
I = 3 V / (56 k + 25 ) = 0,54e-6 A.
Für C = 1F und R2 erhalten wir:
 = R2 * C = 56 k * 1F = 0,056 s
und ’
= 0,168 s.
Leider haben wir die Schwingungsdauer  nicht gemessen, und können sie daher nicht vergleichen.
6. Fehlerbetrachtung
Wenn man C durch die oben benutzte Methode bestimmt, können folgende Fehler auftreten:

Ablesefehler des Erstausschlages am und Fehler durch das Galvanometer (z.B. durch
mechanische Abnutzung oder Temperaturschwankungen)

Fehler durch Spannungsschwankungen U (Ungenauigkeit des Voltmeters)

Ungenauigkeiten der Eichkurve (Abweichung der Eichkondensatoren  1%)
wobei der Ablesefehler ausschlaggebend ist, weil die Anderen gegen ihn vernachlässigbar klein sind.
Für Kb ergibt sich eine maximale relative Meßunsicherheit von:
Kb / Kb = |C| / C + |U0| / U0 + |r| / r + |am| / am .
7. Folgerungen
7.1. Verifizierung der Differentialgleichung
Die Schwingungsgleichung J*(d2/dt)+*(d/dt)+D0*=G*I(t) entspricht einer inhomogenen linearen
Differentialgleichung 2. Grades der Form:
a2 * y’’ + a1 * y’ + a0 * y = c * s(t) mit

a2 = J

a1 = 
4

a0 = D0

y=

c=G

s(x) = I(t) = I0 * e- ( t /  )
Dann ist die Lösung der homogenen DGl.

yh = e  * t

yh’ =  * e  * t

yh’’ = 2 * e  * t
a2 * y’’ + a1 * y’ + a0 * y = 0 mit dem Ansatz:
yh(t) = A * e ((- a1 + sqrt(a12 + 4 * a2 * a0)) / 2 * a2) * t + B * e ((- a1 - sqrt(a12 + 4 * a2 * a0)) / 2 * a2) * t
=> h(t) = (A * e ((sqrt(2 + 4 * J * D0)) / 2 * J) * t + B * e (- (sqrt(2 + 4 * J * D0)) / 2 * J) * t ) * e
- ( / 2 * J) * t
Eine spezielle Lösung erhält man mit dem Ansatz:

yp = a * e  * t

yp’ =  * a * e  * t

yp’’ = 2 * a * e  * t
a2 * 2 * a * e  * t + a1 *  * a * e  * t + a0 * a * e  * t = c * s(t) = C * e  * t
wobei C = G * I0
=> J * (-1 / )2 * a * e (-1 / ) * t +  * (-1 / ) * a * e (-1 / ) * t + D0 * a * e (-1 / ) * t = G * I0 *
e (-1 / ) * t
=> a = G * I0 / (J / 2 -  /  + D0)
yp(t) = a * e  * t und y(t) = yh(t) + yp(t)
=> (t) = (A * e ((sqrt(2 + 4 * J * D0)) / 2 * J) * t + B * e (- (sqrt(2 + 4 * J * D0)) / 2 * J) * t ) * e
(J / 2 -  /  + D0)) * e (-1 / ) * t
- ( / 2 * J) * t
+ (G * I0 /
Wenn man die im Skript angegebene Lösung (9a) Umformt (Einsetzen von (9b) und (9c) und Anwenden EULERsche
Relation) erhält man:
(t) = A * e
2
((sqrt( + 4 * J * D )) / 2 * J) * t
0
*e
- ( / 2 * J) * t
dies entspricht der homogenen Lösung yh ohne der speziellen yp .
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