Addition - Topteach.ch

¤Info
Kleines Computer-Lexikon
(wird von LETRA98 benutzt)
Rechnen/Algebra Sekundarstufe I
© by J. Widmer, ATEUS 98
Zweck:
 Nachschlagen von unbekannten Begriffen
 Repetition und Prüfungsvorbereitung
 Vernetzen des Lernstoffes durch "Surfen" im Lexikon
¤Addition
Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "+"
Terme der Addition:
3
+
1.Summand
4
plus
auch der Term
=
2.Summand
7
gleich Summe
3+4 heisst Summe
Addition ganzer Zahlen
ausführlich:
vereinfacht:
(+5)+(+3)=+8
5+3=8
(+8)+(-5)=+3
8-5=3
(-2)+(-5)=-7
-2-5=-7
(+3)+(-7)=-4
3-7=-4
Merkregeln:
+(+a) => +a
-(-a) => +a
+(-a) => -a
-(+a) => -a
Addition von Brüchen
Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig gemacht werden.
4
5
28
25
53
18
— + — = —— + —— = —— = 1 ——
5
7
35
35
35
23
¤arithmetisches Mittel
auch "Durchschnitt" (z.B. Noten)
Das arithmet. Mittel aus n Zahlen ist der Quotient aus
der Summe dieser Zahlen, dividiert durch n.
¤Assoziativgesetz
auch Zusammenfassungsgesetz; es gilt für die
Addition:
(a+b)+c = a+(b+c)
und für die
Multiplikation:
(a·b)·c = a·(b·c)
¤aufzählende Form
eine Mengendarstellung, bei der die Elemente aufgezählt werden.
Beispiel:
A={3,6,9}
A ist die Menge mit den Elementen 3,6 und 9
¤ausklammern
Verwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt
Anwendung der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze)
Beispiel:
4a ausklammern
12ab + 8a - 4ac = 4a(3b + 2 - c)
¤ausmultiplizieren
Verwandeln eines Produktes in eine Summe bzw. Differenz
Anwenden der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze)
Beispiel:
Klammer mit 3a ausmultiplizieren
3a(2c + c - 1) = 6ac + 3ac - 3a
¤Aussage
Sprachliche Gebilde, für die es sinnvoll ist zu fragen, ob sie
wahr oder falsch sind, heissen Aussagen.
Beispiele:
Bern ist die Hauptstadt der Schweiz.
Der Igel ist ein Nagetier.
3+7=11
(wahre Aussage)
(falsche Aussage)
(falsche Aussage)
Keine Aussagen sind:
Wie geht es Dir?
5+x=12
Hole Wasser!
¤Aussageform
Sprachliche Gebilde mit Leerstellen oder Platzhaltern, welche
aus einer Aussage entstanden sind, heissen Aussageformen.
Beispiele:
3 + x = 10
... ist Haupstadt von Spanien.
45 < y < 90
¤Basis
5
a
=a·a·a·a·a
Potenz
mit Basis a und Exponent 5
¤beschreibende Form
eine Form der Mengendarstellung, bei der die Elemente beschrieben
werden.
Beispiel:
M = {x/ 23 < x < 50}
IN
"M ist die Menge aller x aus IN, für die gilt:
x liegt zwischen 23 und 50."
¤Bewegungsaufgaben
In diesen Aufgaben kommen die Grössen
Weg (s) , Zeit (t) und Geschwindigkeit (v) vor.
Es gilt:
s
v = —
t
<=>
s = v·t
<=>
s
t = —
v
Bei zwei bewegten Körpern wird der Bewegungsvorgang am besten
zuerst im s-t-Diagramm aufgezeichnet.
¤Beziehungen
zwischen Zahlen
Teiler:
8 ist Teiler von 24
<=>
Vielfache:
24 ist Vielfaches von 8
24 ist durch 8 teilbar
<=>
8 ist in 24 enthalten
zwischen Mengen
Gleiche Mengen:
Zwei Mengen A und B heissen gleich, wenn jedes Element von A auch
zu B gehört und umgekehrt.
In Zeichen:
A = B
Teilmengen:
Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element
von A auch zu B gehört.
In Zeichen:
A  B
Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A  A
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
{}  A
¤Binärsystem
siehe Zweiersystem
¤Bruttogewicht
"Rohgewicht", Gewicht mit Verpackung
In der Prozentrechnung gilt:
(Beispiel)
Bruttogweicht
—>
100%
Tara
—>
20%
———————————————————————————
Nettogewicht
—>
80%
¤Bruttorechnungsbetrag
In der Warenkalkulation gilt:
(Beispiel)
Für den Abzug des Rabatts:
Bruttorechnungsbetrag
—> 100%
Rabatt
—>
20%
———————————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag
—>
80%
("Rohbetrag")
(Mengenvergünstigung)
Für den Abzug des Skonto:
Nettorechnungsbetrag
—> 100%
Skonto
—>
2%
——————————————————————————————————
Warenpreis
—>
98%
("Reinbetrag")
(Vergünstigung für
prompte Bezahlung)
¤Dezimalbruch
Bei der Division zweier natürlicher Zahlen unterscheiden wir
die folgenden drei Fälle:
1.
20 : 4 = 5
Die Division geht auf, der Rest ist 0
2.
21 : 8 = 2,625
Es entsteht ein abbrechender Dezimalbruch
————————————
3.
10 : 7 = 1,428571428571...
Es ensteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch
———————————————————————————————
(mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch)
¤Differenz
"Unterschied" zweier Zahlen; Resultat einer Subtraktion
Die Terme heissen:
20
9
=
11
Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
Beachte: auch der Term
20-9
heisst Differenz
¤direkt proportional
Beispiel für eine direkte Proportion:
Weg in km
Zeit in h
—————————
—————————
30
—>
4
150
—>
20
"... je grösser der Weg ... desto grösser die Zeit ..."
Der Weg ist (direkt) proportional zur Zeit (bei gleichförmiger Bewegung)
Es gelten die
Proportionen:
4 : 30 =
30 : 4 =
30 : 150
150 : 30
ihr Kreuzprodukt ist immer:
20 : 150
150 : 20
= 4 : 20
= 20 : 4
30·20 = 150·4
¤Distributivgesetze
Verteilungsgesetze der Multiplikation
bezüglich der Addition und Subtraktion:
a(b+c)=ab+ac
und
a(b-c)=ab-ac
¤Dividend
Terme der Division:
8
:
4
=
2
Dividend durch Divisor gleich Quotient
¤Division
Verknüpfung (Operation) durch ":"
Terme der Division:
8
:
4
=
2
Dividend durch Divisor gleich Quotient
Auch der Term
8 : 4 bzw.
8
—
4
heisst Quotient
Division ganzer Zahlen
ausführlich:
vereinfacht:
(+12):(+3)=+4
12:3=4
(-15):(+3)=-5
(-15):3=-5
(+24):(-8)=-3
24:(-8)=-3
(-20):(-5)=+4
(-20):(-5)=4
Merkregeln:
+ durch + => +
- durch - => +
+ durch - => - durch + => -
Division von Brüchen
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten
Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
3
7
3
8
3·8
24
— : — = — · — = ——— = ——
5
8
5
7
5·7
35
a
e
a
f
af
— : — = — · — = ——
b
f
b
e
be
¤Divisor
Terme der Division:
8
:
4
=
2
Dividend durch Divisor gleich Quotient
¤Dualsystem
siehe Zweiersystem
¤Durchschnitt
Durchschnitt von Zahlen: siehe arithmetisches Mittel
Durchschnitt von Mengen: eine Mengenverknüpfung
Unter dem Durchschnitt zweier Mengen A und B versteht man die
Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
D = A  B
In Zeichen:
Beispiele:
A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...}
B = {5,10,15,20,25,...}
D = A  B = {15,30,45,60,...}
Beachte:
A  A = A
A  {} = {}
{}  {} = {}
¤Element
In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem
Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente
dieser Menge.
¤elementefremd
Zwei Mengen heissen elementefremd,
wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist.
¤Erweitern
Erweitern heisst:
Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizieren
Ziel des Erweiterns ist meistens das Gleichnamigmachen zur
Addition bzw. Subtraktion von Bruchzahlen.
¤Exponent
5
a
=a·a·a·a·a
Potenz
mit Basis a und Exponent 5
¤Faktor
Terme der Multiplikation:
3
1. Faktor
·
mal
4
2. Faktor
=
gleich
Beachte:
auch 3·4 ist ein Produkt
12
Produkt
¤Flächenmasse
Die Flächeneinheiten:
2
1 km = 100 ha
= 10'000 a
2
= 1'000'000 m
2
1 ha = 100 a
= 10'000 m
2
1 a
= 100 m
2
1 m
2
2
2
= 10'000 cm = 1'000'000 mm
2
= 10'000 mm
= 100 dm
2
2
1 dm = 100 cm
2
2
1 cm = 100 mm
Merke für die Umwandlungszahlen bei Flächeneinheiten:
"grosse Einheit" —> "kleine Einheit"
2
km
—>
·100
ha
—>
·100
a
—>
·100
2
m
—>
·100
"kleine Einheit" —> "grosse Einheit"
2
mm
2
—> cm
:100
·0,01
2
—> dm
—>
:100
:100
·0,01
·0,01
2
m
—>
:100
·0,01
mal Umrechnungszahl
2
dm
—>
·100
2
cm
—>
·100
durch Umwandlungszahl
a
—>
:100
·0,01
ha
2
—> km
:100
·0,01
1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen
bei Flächeneinheiten:
2
Aufgabe: Wieviele m sind in 23,56 ha enthalten?
Lösung:
2
ha
—>
·100
a
—>
·100
2
ha —> m
·10'000
—————————
m
Es sind 23,56·10'000 =
2
235'600 m
——————————
2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl
bei Flächeneinheiten:
2
Aufgabe: Wieviele a sind in 3'345 dm enthalten?
Lösung:
2
a
—>
:100
m
2
—>
:100
dm
2
mm
2
a —> dm
:10'000
—————————
Es sind 3'345 : 10'000 a = 0,3345 a
————————
¤ganze Zahlen
———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,
+
den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z  {0}  Z
( = Vereinigung)
Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
¤Gefälle
Unter dem Gefälle bzw. der Steigung versteht man
den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz.
Beispiel:
Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km
einen Höhenunterschied von 300 m.
12000 m —> 100%
300 m — > x
300·100
x = ——————— % = 2,5 %
12000
Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 %
¤Geschwindigkeit
Weg
Geschwindigkeit = —————
Zeit
s
v = —
t
Die (durchschnittliche) Geschwindigkeit ist der pro Zeiteinheit
zurückgelegte Weg.
Umrechnung:
km
1 ——
h
m
1 —
s
=
1000 m
——————
3600 s
18
= ——
5
km
——
h
5
——
18
=
m
—
s
km
= 3,6 ——
h
Merke:
1 m/s = 3,6 km/h
¤Gewichtsmasse
Die Gewichtseinheiten:
1 t = 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
Selten gebraucht:
1 q = 100 kg
(Zentner, früher Doppelzentner)
Zum Merken:
t
—>
·1000
kg
—>
·1000
g
—>
·1000
mg
mg
—>
:1000
g
—>
:1000
kg
—>
:1000
t
¤Gewinn
Beispiel:
Selbstkosten —> 100%
Gewinn
—>
30%
——————————————————————
Verkaufspreis
130%
¤ggT
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen ist das Produkt der
gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.
Beispiel:
ggT(308,420) = ?
308 = 2·2·7·11
420 = 2·2·3·5·7
= 2·2
·7·11
= 2·2·3·5·7
ggT(308,420) = 2·2·7 = 28
Merke für das Bruchrechnen:
Der ggT aus Zähler und Nenner ist die grösstmögliche Kürzungszahl.
¤Gleichnamigmachen
... heisst: Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen
Zahl multiplizieren.
... ist nötig bei der Addition und Subtraktion ungleichnamiger
Brüche.
kleinster gemeinsamer Nenner: ggT
¤Gleichung
Sind T1
und T2
Terme, so heisst
T1
Lösungsbeispiel:
8x + 10 = 6(x+4)
8x + 10 = 6x + 24
2x + 10 =
24
2x
=
14
x = 7
L = {7}
¤Grösse
| -6x
| -10
| :2
Endgleichung
Lösungsmenge
= T2
Gleichung
Eine Grösse (12 km) besteht aus Masszahl (12)
und Massbenennung (km)
Beispiele:
m
3
4m , 5— , 4,56 m
s
¤Grundwert
Im Beispiel ...
3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.
... ist der Grundwert 400 Fr. (das Ganze)
in der Prozentrechnung gilt:
Grundwert
—> 100%
Prozentwert —> p
(p Prozentsatz)
Beispiele für Grundwerte:
Kapital, Bruttorechnungsbetrag (Rabatt), Nettorechnungsbetrag (Skonto)
Selbstkosten, Bruttogewicht, Horizontaldistanz
¤Hohlmasse
Die Volumeneinheiten (Hohlmasse):
3
1 m
3
= 1000 dm
3
3
1 dm = 1000 cm
3
3
1 cm = 1000 mm
1hl =
1 l =
1 dl=
1 cl=
3
= 1'000'000 cm
3
= 1'000'000 mm
100 l
10 dl = 100 cl = 1000 ml
10 cl = 100 ml
10 ml
Beachte besonders:
3
3
1 l = 1 dm
1000 l = 1 m
3
1 ml = 1 cm
Merke für die Umwandlungszahlen bei Volumeneinheiten:
"grosse Einheit" —> "kleine Einheit"
mal Umrechnungszahl
3
3
3
—> hl —>
l=dm
—> dl —> cl —> ml=cm
—>
·10
·100
·10
·10
·10
·1000
——————·1000——————> —————————·1000—————————>
m
"kleine Einheit" —> "grosse Einheit"
3
mm
3
mm
durch Umwandlungszahl
3
3
3
—> ml=cm
—> cl —> dl —> l=dm
—> hl —> m
:1000
:10
:10
:10
:100
:10
——————————:1000——————————> ——————:1000—————>
1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen
bei Volumeneinheiten:
3
Aufgabe: 3,4 m = ? l
Lösung:
3
m
—>
·1000
3
dm = l
(1 Kubikdezimeter =
1 Liter)
(1 Kubikmeter
= 1000 Liter)
Es sind 3,4 ·1000 l = 3'400 l
2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl
bei Volumeneinheiten:
3
Aufgabe: 34'000 cm = ? hl
Lösung:
3
cm = ml —>
:1000
3
dm
= l
—> hl
:100
Empfehlung: schrittweise vorgehen
3
34'000 cm
= 34'000 : 1000 l = 34 l = 34 : 100 hl = 0,34 hl
¤indirekt proportional
Beispiel für eine indirekte Proportion:
Geschwindigkeit in km/h
Zeit in h
———————————————————————
—————————
45
—>
4
60
—>
3
" ...je grösser die Geschwindigkeit, desto kleiner die Zeit ..."
Die Geschwindigkeit ist indirekt (umgekehrt) proportional zur Zeit.
Es gilt die Proportion:
45 : 60 =
3 : 4
und die Produktengleichung:
45·4 = 60·3
(umgekehrtes
Verhältnis)
¤Kapital
Ein Geldbetrag: Guthaben, Darlehen, Hypothek, Schuld
Zinsrechnung:
K Kapital in Fr.; z Zins in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;
Jahreszinsformel:
K·p
z = ———
<=>
100
z·100
K = —————
p
Marchzinsformel:
K·p·t
z = ———————
<=>
100·360
z·100·360
K = —————————
p·t
¤Kehrwert
a
b
der Kehrwert von — ist —
b
a
1
der Kehrwert von a ist —
a
1
der Kehrwert von —
b
ist b
Durch eine Bruchzahl wird dividiert, indem man mit ihrem
Kehrwert multipliziert:
2
4
2
5
5
— : — = — · — = —
3
5
3
4
6
¤kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist das Produkt
der höchsten Potenzen der in ihren Zerlegungen vorkommenden
Primfaktoren.
Beispiel:
kgV(756,1200) = ?
3
756 = 2·2·3·3·3·7 = 2
3
·
3
·
7
4
1200 = 2·2·2·2·3·5·5 = 2
4
kgV(756,1200) = 2
2
·
3
3
· 3
·
5
2
·
5
·
7
= 75600
¤Klammern
Klammern zeigen an, was zuerst gerechnet werden muss.
z.B.:
15(23+12)-3(9-7) = 15·35 - 3·2 = ...
Klammern wegschaffen:
1. Klammern auflösen
a + (b + c - d) = a + b + c - d
a - (b + c - d) = a - b - c + d
2. Klammern ausmultiplizieren
3a(2b - c + 4) = 3a·2b - 3a·c + 3a·4 = 6ab - 3ac + 12a
¤Kommutativgesetz
auch Vertauschungsgesetz
der Addition:
a+b = b+a
der Multiplikation:
a·b=b·a
¤Kreuzprodukt
Eine Gleichungsumformung:
Quotientengleichung:
a
c
— = —
oder a:b=c:d
b
d
<=>
Produktengleichung:
(Kreuzprodukt)
a·d = b·c
Anwendung: "Dreisatz"-Aufgaben
125 g —> 28 Fr.
380 g —> x
125
28
——— = ——
380
x
<=>
380·28
x = —————— = 85,12 [Fr.]
125
Algebra/Geometrie:
Ueber das Kreuzprodukt lässt sich die vierte Proportionale (x)
berechnen:
ac
a : x = b : c <=> bx = ac <=> x = ——
b
¤Kubikzahl
Ist a eine natürliche Zahl, so ist
3
a·a·a = a Kubikzahl
Beispiele: 1, 8, 27, 64 (=4·4·4) , 125, ...
¤Kürzen
... heisst:
Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividieren.
Grösstmögliche Kürzungszahl: ggT aus Zähler und Nenner
¤Kursumrechnung
Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50
(in der Schweiz):
Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf)
Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf)
Beispiele:
Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs:
100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf)
300 DM —>
x
x = 268,50 Fr.
Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs:
100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf)
860 Dm —>
y
y = 758,52 Fr.
¤Längenmasse
Die Längeneinheiten:
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm
1 m
= 100 cm = 1000 mm
= 100 mm
= 0,001 km
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,1 dm
1 mm = 0,1 cm
= 0,01 m
= 0,01 dm = 0,001 m
Merke für die Umwandlungszahlen bei Längeneinheiten:
"grosse Einheit" —> "kleine Einheit"
km
—>
·1000
m
—>
·10
dm
—>
·10
mal Umwandlungszahl
cm
"kleine Einheit" —> "grosse Einheit"
mm
—>
:10
oder ·0,1
cm
—>
:10
·0,1
dm
—>
:10
·0,1
—>
·10
mm
durch Umwandlungszahl
m
—>
:1000
·0,001
km
1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen
bei Längeneinheiten:
Aufgabe: Wieviele cm sind in 45,3 km enthalten?
Lösung:
km
—>
m
—>
dm
—>
cm
km —> cm
·1000
·10
·10
·100'000
—————————
Es sind 45,3·100'000 cm = 4'530'000 cm
————————————
2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl
bei Längeneinheiten:
Aufgabe: Wieviele dm sind in 358 mm enthalten?
Lösung:
mm
—>
:10
cm
—>
:10
dm
mm —> dm
:100
—————————
Es sind 358 : 100 dm = 3,58 dm
———————
¤Marchzins
Zins für t Tage
z
t
K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;
Marchzinsformel:
K·p·t
z = ———————
t 100·360
¤Massumrechnung
Beispiele für Massumrechnungen findest Du unter den
Stichwörtern:
Flächenmasse
Geschwindigkeit
Gewichtsmasse
Hohlmasse
Längenmasse
Zeitmasse
¤Menge
In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem
Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente
dieser Menge.
¤Mengendiagramm
Darstellung von Mengen mit Mengenbild(ern)
Menge: geschlossene ovale Linie, innerhalb die Elemente
¤Minuend
Term der Subtraktion:
12
3
=
9
Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
¤Multiplikation
Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "·"
Terme der Multiplikation:
3
1. Faktor
·
mal
4
2. Faktor
=
gleich
12
Produkt
auch der Term 3·4 ist ein Produkt
Multiplikation ganzer Zahlen
ausführlich:
vereinfacht:
(+5)·(+3)=+15
5·3=15
(-8)·(+5)=-40
(-8)·5=-40
(+3)·(-7)=-21
3·(-7)=-21
(-2)·(-5)=+10
(-2)·(-5)=10
Merkregeln:
+ mal +
=> +
- mal => +
+ mal - mal +
=> => -
Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man je
die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert.
3
4
3·4
12
— · — = ——— = ——
5
7
5·7
35
¤natürliche Zahlen
sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden: {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Sie heissen auch positive Zahlen und gehören zu den
ganzen Zahlen.
¤negative Zahlen
———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,
+
den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z  {0}  Z
( = Vereinigung)
Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
¤Nettogewicht
"Reingewicht", Gewicht ohne Verpackung
In der Prozentrechnung gilt:
(Beispiel)
Bruttogweicht
—>
100%
Tara
—>
20%
———————————————————————————
Nettogewicht
—>
80%
¤Nettorechnungsbetrag
In der Warenkalkulation gilt:
(Beispiel)
Für den Abzug des Rabatts:
Bruttorechnungsbetrag
—> 100%
Rabatt
—>
20%
———————————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag
—>
80%
("Rohbetrag")
(Mengenvergünstigung)
Für den Abzug des Skonto:
Nettorechnungsbetrag
—> 100%
Skonto
—>
2%
——————————————————————————————————
Warenpreis
—>
98%
("Reinbetrag")
(Vergünstigung für
prompte Bezahlung)
¤Operation
Verknüpfung zweier ...
... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung
¤Periode
Bei der Division ...
10 : 7 = 1,428571428571...
... ensteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch
mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch
_
1/3 =0,3333... =0,3
(lies: "Null Komma Periode 3")
¤Platzhalter
auch Variable, Stellvertreter für eine Zahl in der Algebra
z.B.: a, b, c, ..., x, y, z, A, B , C ,...
¤positive Zahlen
———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen,
+
den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z  {0}  Z
( = Vereinigung)
Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist gleich der Menge der
natürlichen Zahlen.
Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
¤Potenz
5
a
=a·a·a·a·a
Potenz
mit Basis a und Exponent 5
¤Primfaktor
Ist ein Teiler einer natürlichen Zahl prim, so heisst er Primfaktor.
Primfaktorzerlegung von 270 = 2·3·3·3·5
¤Primzahl
Eine natürliche Zahl mit genau 2 Teilern heisst Primzahl:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
¤Produkt
3
1. Faktor
·
mal
4
2. Faktor
=
gleich
Beachte:
auch 3·4 ist ein Produkt
12
Produkt
¤Promille
"Tausendstel"
Beispiel:
3 0/00 von 5000 Fr. = 3/1000 von 5000 Fr. = 3·5 Fr. = 15 Fr.
¤Proportion
auch Verhältnisgleichung, Quotientengleichung
siehe auch direkt proportional, Kreuzprodukt
Beispiel:
30 : 4 = 120 : 16
<=> (Kreuzprodukt) 30·16=4·120
"30:4" und "120:6" sind Verhältnisse
¤Prozent
"Hundertstel"
Beispiel:
3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.
¤Prozentsatz
Im Beispiel ...
3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.
... ist der Prozentsatz 3 %
¤Prozentwert
Im Beispiel ...
3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr.
... ist der Prozentwert 12 Fr.
¤Quadratzahl
Ist a eine natürliche Zahl, so ist a·a bzw. a² eine Quadratzahl
Beispiele f. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25 (=5·5), 36, 49, ...
¤Quotient
Terme der Division:
8
:
4
=
2
Dividend durch Divisor gleich Quotient
Auch der Term
8 : 4 bzw.
8
—
4
heisst Quotient
¤Rabatt
In der Warenkalkulation gilt:
(Beispiel)
Für den Abzug des Rabatts:
Bruttorechnungsbetrag
—> 100%
Rabatt
—>
20%
———————————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag
—>
80%
Für den Abzug des Skonto:
("Rohbetrag")
(Mengenvergünstigung)
Nettorechnungsbetrag
—> 100%
Skonto
—>
2%
——————————————————————————————————
Warenpreis
—>
98%
("Reinbetrag")
(Vergünstigung für
prompte Bezahlung)
¤Rest
Rest der Division 13 : 5:
13 : 5 = 2 Rest 3
<=>
5·2+3=13
Zahlen mit 7er-Rest 2 haben bei der Division durch 7 den Rest 2:
2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, ...
Beisp.:
37 : 7 = 5 Rest 2
¤Selbstkosten
Beispiel:
Selbstkosten —> 100%
Gewinn
—>
30%
——————————————————————
Verkaufspreis
130%
¤Skonto
In der Warenkalkulation gilt:
(Beispiel)
Für den Abzug des Rabatts:
Bruttorechnungsbetrag
—> 100%
Rabatt
—>
20%
———————————————————————————————————
Nettorechnungsbetrag
—>
80%
("Rohbetrag")
(Mengenvergünstigung)
Für den Abzug des Skonto:
Nettorechnungsbetrag
—> 100%
Skonto
—>
2%
——————————————————————————————————
Warenpreis
—>
98%
("Reinbetrag")
(Vergünstigung für
prompte Bezahlung)
¤Steigung
Unter der Steigung bzw. dem Gefälle versteht man
den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz.
Beispiel:
Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km
einen Höhenunterschied von 300 m.
12000 m —> 100%
300 m — > x
(Kreuzprodukt)
30000
x = ————— % = 2,5 %
12000
Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 %
¤Subtrahend
Terme der Subtraktion:
12
3
=
9
Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
¤Subtraktion
Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "-"
Terme der Subtraktion:
12
3
=
9
Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
auch der Term 12 - 3 heisst Differenz
Subtraktion ganzer
ausführlich:
(+5)-(+3)=+2
(+5)-(-3)=+8
(-5)-(+3)=-8
(-5)-(-3)=-2
Zahlen
vereinfacht:
5-3=2
5+3=8
-5-3=-8
-5+3=-2
Merkregeln:
+(+a) => +a
-(-a) => +a
+(-a) => -a
-(+a) => -a
Subtraktion von Brüchen
Brüche müssen vor dem Subtrahieren gleichnamig gemacht werden.
4
5
28
25
3
— - — = —— - —— = ——
5
7
35
35
35
¤Summand
Terme der Addition:
3
1.Summand
+
plus
4
2.Summand
¤Summe
Terme der Addition:
=
7
gleich Summe
3
+
1.Summand
plus
auch der Term
4
=
2.Summand
7
gleich Summe
3+4 heisst Summe
¤Tara
Gewicht der Verpackung
In der Prozentrechnung gilt:
(Beispiel)
Bruttogweicht
—>
100%
Tara
—>
20%
———————————————————————————
Nettogewicht
—>
80%
¤Teilbarkeit
natürliche Zahlen sind teilbar durch
-
2,
3,
4,
5,
6,
7
8,
9,
wenn ihre Endziffer gerade ist
wenn ihre Ziffersumme durch 3 teilbar ist
wenn ihr Hunderterrest durch 4 teilbar ist
wenn ihre Endziffer 0 oder 5 ist
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar sind
(probieren)
wenn ihr tausenderrest duch 8 teilbar ist
wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist
¤Teiler
Beispiel: 3 ist Teiler von 12 (12 ist Vielfaches von 3)
alle Teiler von 40:
1 40
2 20
4 10
5
8
—————
8
5
Menge der Teiler von 40:
T
= {1,2,4,5,8,10,20,40}
40
¤teilerfremd
Zwei natürliche Zahlen heissen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist.
Beispiele:
5 und 7,
12 und 35
¤Teilmenge
Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element
von A auch zu B gehört.
In Zeichen:
A  B
Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A  A
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
{}  A
¤Term
Definition:
1. Jede Zahl und jeder Platzhalter (Variable) für eine Zahl
heisst ein Term.
2. Jede Summe, Differenz, jedes Produkt, jeder Quotient und jede
Potenz zweier Terme ist wieder ein Term.
Beispiele für Terme:
2
2, 4, c, 0, x, 2+3, a-3c, 4a(3c+2e-1), (a+b)
Keine Terme sind die folgenden Gebilde:
3x = 12
3x < 45
3+4=7
9-4=8
(Gleichung, Aussageform)
(Aussageform, Ungleichung)
(Gleichung, wahre Aussage, Termumformung)
(falsche Aussage)
¤Variable
auch Platzhalter, Stellvertreter für eine Zahl
In der Gleichung ax - b = c heisst x auch Lösungsvariable, falls
sie nach x aufgelöst wird.
¤Vereinigung
Vereinigung von Mengen: eine Mengenverknüpfung
Unter der Vereinigung zweier Mengen A und B versteht man die
Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören. (oder zu beiden
Mengen; "oder" im nicht ausschliessenden Sinn)
In Zeichen:
D = A  B
Beispiele:
A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...}
B = {5,10,15,20,25,...}
D = A  B = {3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,...}
Beachte:
A  A = A
A  {} = A
{}  {} = {}
¤Verhältnis
Das Verhältnis zweier Zahlen ist ihr Quotient:
Beispiel:
" 12 zu 16 "
12
—> ——
16
=
12 : 16 = 3 : 4
Das Verhältnis zweier Grössen ist der Quotient ihrer Masszahlen.
"25 m zu 20 m" —> 25 : 20 = 5 : 4 = 1 : 0,8 = 1,25 : 1
¤Verkaufspreis
Beispiel:
Selbstkosten —> 100%
Gewinn
—>
30%
——————————————————————
Verkaufspreis
130%
¤Verknüpfung
auch Operation
Verknüpfung zweier ...
... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung
¤Verlust
Beispiel:
Selbstkosten —> 100%
Verlust
—>
30%
——————————————————————
Verkaufspreis
70%
¤Vertauschungsgesetz
auch Kommutativgesetz
der Addition:
a+b = b+a
der Multiplikation:
a·b=b·a
¤Verteilungsgesetze
Verteilungsgesetze der Multiplikation (auch Distributivgesetze)
bezüglich der Addition und Subtraktion:
a(b+c)=ab+ac
und
a(b-c)=ab-ac
¤Verteilungsrechnung
1. Beispiel:
Eine Strecke von 90 cm soll im Verhältnis 3 : 4 : 11 geteilt
werden.
1.Teil: 3x
2.Teil: 4x
3.Teil: 11x
Gleichung: 18x=90
—> 3·5 m = 15 m
—> 4·5 m = 20 m
—> 11·5 m = 55 m
<=>
x=5
2. Beispiel:
Anna und Paul sollen 340 Fr. so teilen, dass Anna 20 Fr.
mehr kriegt als Paul.
Anteil Anna: x+20
Anteil Paul: x
—> 180 Fr.
—> 160 Fr.
Gleichung: 2x+20=340 <=> x=160
3. Beispiel:
Peter und Fritz sollen 308 Fr. so teilen dass Fritz 20% mehr
kriegt als Peter.
Anteil von Peter: 100% von x = x
Anteil von Fritz: 120% von x =1,2x
—> 140 Fr.
—> 168 Fr.
Gleichung: 2,2x=308
<=> x=140
¤Vielfache
Beispiel: 12 ist Vielfaches von 3 (3 ist Teiler von 12)
Die Menge der Vielfachen von 4:
V
= {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
4
¤Volumina
siehe Hohlmasse
¤Währungsumrechnung
Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50
(in der Schweiz):
Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf)
Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf)
Beispiele:
Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs:
100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf)
300 DM —>
x
x = 268,50 Fr.
Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs:
100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf)
860 Dm —>
y
¤Zahlengerade
y = 758,52 Fr.
———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Sie dient der Veranschaulichung der negativen und positiven Zahlen,
welche zusammen mit der Zahl 0 die Menge der ganzen Zahlen bilden.
s.a. ganze Zahlen, positive Zahlen, negative Zahlen
¤Zehnerpotenz
Eine Potenz mit der Basis 10:
0
10 = 1 ;
1
10 = 10 ;
2
10 = 100 ;
3
6
10 = 1000 ; 10 = 1 Mio.
¤Zeitmasse
Die Zeiteinheiten:
1 d
= 24 h
1 h
= 60 min = 3600 sec (oder s)
1 min = 60 s
1 sec = 1000 msec (oder ms)
d
—>
·24
msec
h
—>
·60
—>
:1000
sec
min
—>
·60
—>
:60
min
sec —>
·1000
—>
:60
h
msec
—>
:24
d
1. Aufgabenbeispiel zur Umrechnung von Zeiteinheiten:
Aufgabe: Wieviele h, min und sec sind 38'000 sec ?
Lösung:
38'000 : 3600 = 10 Rest 2000
2000 :
60 = 33 Rest 20
Es sind 10 h
33 min
—> 10 h
—> 33 min
20 sec
2. Aufgabenbeispiel für die Umrechnung von Zeiteinheiten:
Aufgabe:
3,6 h = ? min
Lösung:
3 h =
3 · 60 min = 180 min
0,6 h = 0,6 · 60 min =
36 min
Es sind 216 min
¤Zins
z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;
Jahreszinsformel:
K·p
z = ———
100
Marchzinsformel:
K·p·t
z = ———————
100·360
¤Zinssatz
z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d;
Jahreszinsformel:
K·p
z = ———
<=>
100
Marchzinsformel:
K·p·t
z = ———————
100·360
z·100
p = —————
K
<=>
z·100·360
p = —————————
K·t
¤Zuordnung
Beispiel für die Zuordnung zweier Grössen:
"... 23 kg kosten 245 Fr. ..."
Gewicht in kg
23
Betrag in Fr.
—————————>
usw.
245
Wird z.B. zur Darstellung von Dreisatzaufgaben verwendet.
¤Zusammenfassungsgesetz
auch Assoziativgesetz; es gilt für die
Addition:
(a+b)+c = a+(b+c)
und für die
Multiplikation:
(a·b)·c = a·(b·c)
¤Zweiersystem
Stellenwertsystem mit 2er-Bündelung;
Basis=2
Es kennt nur die Ziffern 0 und 1
Die Zahlen heissen auch Dualzahlen oder Binärzahlen.
Beispiel: die Zahl 101011 auf dem "Rechenbrett" dargestellt:
———————————————————————————
5
4
3
2
1
0
... 2
2
2
2
2
2
———————————————————————————
32 16
8
4
2
1
———————————————————————————
1
0
1
0
1
1
hat den dezimalen Wert:
32+8+2+1=43