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Grundlagen der Elektrotechnik
Prof. Dr.-Ing. J.-Uwe Varchmin
4 Gleichstromkreise
Moeller et.al.: Grundlagen der Elektrotechnik,
18. Auflage, Teubner Verlag 1996, Seite 22-114
Paul,R.:
Elektrotechnik 2,
Springer Verlag, 3. Auflage 1993
Pregla, R.: Grundlagen der Elektrotechnik, Teil 1
Hüthig Verlag 1980
Unbehauen,R.: Grundlagen der Elektrotechnik 1
Springer Verlag, 5. Auflage 1999
Wolff, I.:
Grundlagen der Elektrotechnik,
Verlagshaus Nellissen-Wolff 1997, Seite 353-414
emg
GET
1
4. Gleichstromnetzwerke
Elemente in Gleichstromkreisen sind
aktive und passive Zweipole.
+
UQ
-
Passive Zweipole sind
ohmsche Widerstände.
IQ
+
Aktive Zweipole sind
Spannungsquellen und Stromquellen.
I
emg Es gilt das
GET Ohmsche Gesetz: U = R • I
-
R
UR
2
Georg Simon Ohm
*16. März 1789, Erlangen
† 6. Juli 1854, München
R=
l
A
Ohm entdeckte 1826 den
Zusammenhang zwischen
den Materialeigenschaften
eines elektrischen Leiters
und dem Stromfluß durch
diesen Leiter in Abhängigkeit
von der elektrischen Spannung.
Das Ohmsche Gesetz lautet: U = R • I
emg
GET
3
Das Zählpfeilsystem für die Spannung U
und den Strom I ergibt sich aus den Zusammenhängen zwischen der elektrischen Feldstärke E
und der elektrischen Stromdichte S im
elektrischen Strömungsfeld eines Leiters.
E
S
I
emg
GET
+
E=S
UQ
4
Das Verbraucher-Zählpfeilsystem
für die Spannung U und den Strom I
Quelle
Verbraucher
IR
UQ
UR
+
RL
-
emg
GET
positiver Umlaufsinn
der Masche
5
4.1 Spannungs- und Stromquellen
Ideale und Reale Quellen:
Ohne zunächst auf die technischen Realisierungen
von Spannungs- und Stromquellen einzugehen,
wollen wir die Eigenschaften idealer Quellen
definieren und die Eigenschaften realer Quellen
damit beschreiben.
Diese Modelle ermöglichen uns die Beschreibung
und Berechnung realer Schaltungen.
emg
GET
6
Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel
für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle:
C
B
E
npn-Transistor
IB
B‘
B
C
RBB‘
UBE
emg
GET
E
UB‘E
B•IB
GCE
UCE
E
7
Merksatz
Eine ideale elektrische Spannungsquelle
hat eine eingeprägte, d.h. konstante und
insbesondere von der Größe des Stromes,
der durch die Quelle fließt, unabhängige
Quellenspannung zwischen ihren Klemmen.
Der Innenwiderstand einer idealen
Spannungsquelle ist gleich null!
emg
GET
8
ideale Quelle
UQ +
-
A
Last
IR
RL
B
Ideale Spannungsquelle
mit Lastdiagramm:
UR
Widerstandsgerade
RL = U Q / I
U
UQ = f(I) = const !
UQ
emg
GET
Strom I für
gegebene Last R
I
9
Reale Spannungsquellen:
Galvanische Elemente, Batterien, Akkumulatoren,
Thermoelemente, elektronische Spannungsquellen
Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch:
die Leerlaufspannung U0
den Kurzschlußstrom Ik
den Innenwiderstand Ri
beschrieben.
Eine reale Spannungsquelle wird durch eine Ersatzschaltung aus einer idealen Spannungsquelle mit
Innenwiderstand nachgebildet.
emg
GET
10
Messung im Leerlauf
A
reale Quelle
UQ +
Ri
V
UAB
B
emg
GET
Ohne Belastung wird
zwischen den Klemmen AB
die Leerlaufspannung U0
UAB = U0 = UQ
11
gemessen.
Messung im Kurzschluß
A
reale Quelle
UQ +
-
Ri
A
UAB
Ik
B Im Kurzschluß wird
emg
GET
zwischen den Klemmen AB
der Kurzschlußstrom Ik
Ik = UQ / Ri gemessen,
12
dabei ist UAB = 0.
Aus den beiden Messungen ergeben sich die Eigenschaften der realen Quelle:
Aus der Leerlaufmessung ergibt sich die innere
Quellenspannung:
UQ = U0
Aus der Kurzschlußmessung und der Leerlaufspannung berechnet sich der Innenwiderstand:
emg
GET
Ri = UQ / Ik
13
- MONO 1,5V +
Beispiel: Messung an einer 1,5 V Monozelle
emg
GET
14
1,50 V
- MONO 1,5V +
Leerlaufspannung einer
1,5 V Monozelle
emg
GET
15
3,00 A
- MONO 1,5V +
Kurzschlußstrom einer
1,5 V Monozelle
emg
GET
16
Ergebnis:
A
- MONO 1,5V +
reale Quelle
=
UQ
+
Ri
UAB
B
UQ = 1,5 V Ik = 3,0 A
emg
GET
Ri = UQ / Ik = 0,5 Ohm
17
Belastungsdiagramm
einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR):
A
reale Quelle
UQ +
Last
IR
Ri
RL
URL
UAB
B
Erforderliche Berechnungsgrundlagen:
emg
Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Sätze
GET
18
Ohmsches Gesetz: U = R I
1. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Ströme
in einem Knoten ist gleich null.
2. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Spannungen
in einer Masche ist gleich null.
emg
GET
I1
I4
I2
I3
UR1
I
R1
R2
UQ
UR2
19
Gustav Robert Kirchhoff
* 12. März 1824, Königsberg
† 17. Oktober 1887, Berlin
Kirchhoff um 1885
emg
GET
Deutscher Physiker, Professor
in Breslau, Heidelberg und Berlin.
Gemeinsam mit Robert Bunsen
entwickelte er die Spektralanalyse,
die zur Entdeckung der Elemente
Cäsium und Rubidium führte.
Er stellte die nach ihm benannten
Regeln der Stromverzweigung auf.
20
Experiment zum 1. Kirchhoffsches Gesetz
UQ = 10 V
emg
GET
+
Iges
R1= 10
R2= 5
IR1
IR2
-
21
Iges
R2= 5
R1= 10
+
IR1
UQ = 10 V
IR2
-
+
-
+1,00A
emg
GET
A
IR1 = +1,00 A
V
22
Iges
UQ = 10 V
+
-
R2= 5
IR1
R1= 10
IR2
+
-
+2,00A
emg
GET
A
IR2 = +2,00 A
V
23
Iges
UQ = 10 V
+
-
R2= 5
IR1
R1= 10
Iges
+
-
-3,00A
emg
GET
A
IR2
Iges = -3,00 A
V
24
UQ = 10 V
+
Iges
R1= 10
IR2
-
IR1 = +1,00 A
IR2 = +2,00 A
Iges = -3,00 A
emg
GET
R2= 5
IR1
1. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Ströme in
einem Knoten ist gleich null.
IR1 + IR2 - Iges = 0 oder
Iges = IR1 + IR2
25
UQ = 10 V
+
Iges
R1= 10
R2= 5
IR1
IR2
-
1. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Ströme in
einem Knoten ist gleich null.
emg
GET
Anders gesagt:
In einem Stromknoten ist die Summe
der zufließenden Ströme gleich
der Summe der abfließenden Ströme
26
Aus dem 1. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die
Stromteilerregel ableiten:
UQ = 10 V
IR1 = Iges
emg
GET
+
Iges
R1= 10
R2= 5
IR1
IR2
-
R2
R1 + R2
IR2 = Iges
Rges =
R1 R2
R1 + R2
R1
R1 + R2
27
2. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Spannungen
in einer Masche ist gleich null.
UR1
UQ
+
A
I
R1
R2
-
Masche
UR2
positiver
Umlaufsinn
B
emg
GET
UR1 + UR2 - UQ = 0
UQ = UR1 + UR2
28
Experiment zum 2. Kirchhoffsches Gesetz
UR1
I
10
R2
5
UQ +
R1
UR2
-
emg
GET
29
UR1
10
+
R1
R2
-
5
UQ = 15 V
UR2
I
+
-
I=
+1,00A
emg
GET
A
V
I=
UQ
R1 + R2
15 V
10 + 5
30
UR1
I
10
+
R1
R2
5
UQ = 15 V
UR2
-
+
-
+15,0V
emg
GET
A
UQ = 15,0V
V
31
UR1
I
10
+
R1
R2
5
UQ = 15 V
UR2
-
+
emg
GET
-
+10,0V
UR1 = 10,0V
A
UR1 = I R1
V
32
UR1
I
10
+
R1
R2
5
UQ = 15 V
UR2
-
+
emg
GET
-
+5,00V
UR2 = 5,00V
A
UR2 = I R2
V
33
UR1
I
10
+
R1
R2
5
UQ = 15 V
UR2
-
Berechnung der Summe aller Spannungen
im gewählten Umlaufsinn:
UR1 + UR2 -UQ = 0
10V + 5V -15V = 0
emg
GET
34
2. Kirchhoffsches Gesetz:
Die Summe aller Spannungen
in einer Masche ist gleich null.
UR1
UQ
+
A
I
R1
R2
-
Masche
UR2
positiver
Umlaufsinn
B
emg
GET
UR1 + UR2 - UQ = 0
UQ = UR1 + UR2
35
Aus dem 2. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die
Spannungsteilerregel ableiten:
R1
UQ +
-
UR1
UR1 = UQ
R1 + R2
I
A
R2
UR2
UR2 = UQ
emg
GET
R1
R2
R1 + R2
B
36
Belastungsdiagramm
einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR):
A
reale Quelle
UQ +
Last
IR
Ri
RL
URL
UAB
B
Der Strom IR berechnet sich aus dem
Ohmschen Gesetz:
UQ
emg
R
R i + RL
GET
I =
37
Belastungsdiagramm
einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR):
A
reale Quelle
UQ +
Last
IR
Ri
RL
URL
UAB
B
Die Spannung UAB berechnet sich aus der
Spannungsteilerregel:
RL
emg
AB
Q R i + RL
GET
U
=U
38
Belastungsdiagramm
einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR)
UAB
Leerlauf
U0=U
Q
DUAB
1V
Widerstandsgerade
UQ = f(I) = const !
DI
Arbeitspunkt
Ri = DUAB / DI
Ri = 0,5 
emg
GET
RL = DUAB / DI
DI
DUAB
UAB = f(IR) Kurzschluß
I = Ik
Strom I für
gegebene Last R
1A
2A
I
39
Belastungsdiagramm
einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR)
mit nichtlinearem Innenwiderstand
U
UQ
Leerlauf
Widerstandsgerade
UQ = f(I) = const !
UAB = f(IR)
RL = UAB / I
Arbeitspunkt
1V
Kurzschluß
emg
GET
Strom I für
gegebene Last R
1A
2A
I = Ik
I
40
Merksatz
Eine ideale elektrische Stromquelle liefert
einen eingeprägten, d.h. konstanten und
insbesondere von der Größe der Spannung,
die an ihren Klemmen auftritt, unabhängigen
Quellenstrom.
Der Innenwiderstand einer idealen
Stromquelle ist unendlich groß!
emg
GET
41
A
ideale Quelle
IQ
+
RL
-
B
Ideale Stromquelle mit
Lastdiagramm
Last
UR
Leitwertgerade
G L = IQ / U R
I
IQ = f(U) = const !
IQ
emg
GET
Spannung UR für
gegebene Last R
U
42
Reale Stromquellen lassen sich nur
unter Zuhilfenahme von
Spannungsquellen realisieren!
Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch
die Leerlaufspannung U0
den Kurzschlußstrom Ik
den Innenwiderstand Ri
beschrieben.
emg
GET
Eine reale Stromquelle wird durch eine
Ersatzschaltung aus einer idealen Stromquelle mit Innenwiderstand nachgebildet.
43
Messung im Leerlauf:
A
reale Quelle
IQ +
Ri
V
UAB
B
emg
GET
Ohne Belastung wird
zwischen den Klemmen AB
die Leerlaufspannung U0
UAB = U0 = IQ• Ri
44
gemessen.
Messung im Kurzschluß:
A
reale Quelle
IQ
+
Ri
A
UAB
-
Ik
B
emg
GET
Im Kurzschluß wird
zwischen den Klemmen AB
der Kurzschlußstrom Ik
Ik = IQ gemessen,
45
dabei ist UAB = 0.
Aus den beiden Messungen ergeben sich die
Eigenschaften der realen Quelle:
Im Leerlauf wird die
Leerlaufspannung U0 gemessen.
Im Kurzschluß wird der
Kurzschlußstrom Ik gemessen.
Aus der Kurzschlußmessung und der
Leerlaufspannung berechnet sich der
Innenwiderstand:
emg
GET
Ri = U0 / Ik
46
Aufgabe: Realisiert werden soll eine Stromquelle,
die einen Strom IQ = 1 mA durch Lastwiderstände
von von 0 bis 1 k treibt. Dabei soll sich der
Strom um weniger als 1% ändern.
ideale Quelle
IQ
Last
+
RL
-
emg
GET
A
UR
B
47
Wir können diese Aufgabe nur unter Zuhilfenahme
einer realen Spannungsquelle lösen, deren
Quellenspannung UQ und Innenwiderstand Ri wir
unter Berücksichtigung der Forderungen für die
Lastwiderstände berechnen müssen.
A
reale Quelle
UQ +
IR
Ri
RL
URL
UAB
-
emg
GET
Last
B
48
1. Fall: Kurzschluß RL = 0 
A
reale Quelle
UQ
+
Ri
UAB
-
IQ
B
emg
GET
Gleichung 1: UQ = IQ • Ri
49
2. Fall: Lastwiderstand RL = 1 k
A
reale Quelle
UQ +
Last
IQ
Ri
RL
URL
UAB
B
emg Gleichung 2: UQ = IQ • 0,99 • (Ri + RL)
GET
50
Da die Quellenspannung UQ konstant ist,
können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen:
IQ • 0,99 • (Ri + RL) = IQ • Ri
Daraus folgt die Bestimmungsgleichung
für den Innenwiderstand:
Ri = 0,99 • (Ri + RL)
Ri = 99 • RL
emg
GET
Mit RL = 1 k folgt für Ri = 99 k,
oder in der praktischen Realisierung
Ri = 100 k
51
Jetzt berechnen wir aus Gleichung 1 die
Quellenspannung UQ:
UQ = IQ • Ri
UQ = 1 mA • 100 k
UQ = 1 • 10-3 A • 100 • 103 
UQ = 100 V
emg
GET
52
Probe:
reale Quelle
100V +
A
Last
IQ
100 k
RL
URL
UAB
B
RL = 0:
IQ = 100V/100k = 1 mA
RL = 1 k: IQ = 100V/101k = 0,9909 mA
emg
GET
Bei einer Widerstandsänderung von
0...1000  ändert sich der Strom IQ
um weniger als 1%.
Die Schaltung kann daher als eine
Konstantstromquelle betrachtet werden.
53
Dimesionierte
Schaltung:
reale Spannungsquelle
100V
+
Last
A
IQ
100 k
RL
URL
UAB
B
Äquivalente
Ersatzschaltung
mit Stromquelle:
emg
GET
reale Stromquelle
+
IQ =
1 mA
Last
A
IRi IL
-
RL
URL
UAB
Ri=100 k
B
54
Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel
für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle:
C
B
E
npn-Transistor
IB
B‘
B
C
RBB‘
UBE
emg
GET
E
UB‘E
B•IB
GCE
UCE
E
55
Die Berechnung von elektrischen Netzwerken
kann sich vereinfachen, wenn
Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen
- oder umgekehrt - umgewandelt werden.
Bei der Umwandlung müssen die Eigenschaften
der Quelle bezüglich des Klemmenverhaltens
gleich bleiben. Das heißt:
Leerlaufspannung,
Kurzschlußstrom und
Innenwiderstand dürfen sich nicht verändern!
emg
GET
56
Umwandlung einer Spannungsquelle in eine
äquivalente Stromquelle:
reale Spannungsquelle
100V
+
100 k
Leerlaufspannung U0= UQ = 100 V
A Innenwiderstand Riu = 100 kOhm
Kurzschlußstrom Ik = UQ / RiU =1 mA
-
UAB
B
emg
GET
Blickrichtung in die Klemmen
zur Bestimmung des
Innenwiderstandes
Die äquivalente Stromquelle muß
Ideale Quelle zwischen den Klemmen A und B den
gleichen Innenwiderstand aufweisen:
Ri = 0!
RiI = RiU
57
Ersatzstromquelle A
+
IQ =
1 mA
-
RiI
Ri=100 k
Die äquivalente Stromquelle muß
zwischen den Klemmen A und B den
gleichen Innenwiderstand aufweisen:
RiI = RiU = Ri
UAB
B
Im Kurzschluß muß die Stromquelle
den gleichen Kurzschlußstrom Ik liefern,
dieser entspricht dem Quellenstrom IQ
IQ = UQ / RiU
emg
GET
Im Leerlauf liefert die Stromquelle die
Leerlaufspannung U0 = Ik • Ri ,
dies entspricht der Leerlaufspannung
der o.g. Spannungsquelle.
58
Umwandlung einer Stromquelle in eine
äquivalente Spannungsquelle :
A Kurzschlußstrom Ik = IQ =1 mA
Innenwiderstand RiI = 100 k
Leerlaufspannung U0= IQ • RiI = 100 V
reale Stromquelle
+
IQ =
1 mA
-
RiI
Ri=100 k
emg
GET
Ideale Quelle
Ri = unendlich!
UAB
B
Blickrichtung in die Klemmen
zur Bestimmung des
Innenwiderstandes
Die äquivalente Spannungsquelle muß
zwischen den Klemmen A und B den
gleichen Innenwiderstand aufweisen:
RiU = RiI
59
reale Spannungsquelle
100V
+
100 k
A Die äquivalente Spannungsquelle muß
zwischen den Klemmen A und B den
gleichen Innenwiderstand aufweisen:
RiI = RiU = Ri
-
UAB
B
Im Leerlauf muß die Spannungsquelle
die gleiche Leerlaufspannung U0 liefern,
diese entspricht der Quellenspannung UQ
UQ = IQ • RiI
emg
GET
Im Kurzschluß liefert die Spannungsquelle
den Kurzschlußstrom Ik = U0 / RiU ,
dies entspricht dem Quellenstrom IQ
der o.g. Stromquelle.
60
Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IR
Leerlauf:
UAB = UQ
reale Spannungsquelle
UQ
1,0
+
emg
GET
Ri
IR
RL
URL
UAB
-
UAB
UQ
0,5
Last
A
B
Arbeitspunkt
Ri = RL
Kurzschluß:
IR = Ik
IR
Ik
0,5
1,0
61
Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
UAB
B
UAB
emg
GET
UQ
=
RL / R i
1 + RL/Ri
62
Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL
UAB
UQ
=
RL / R i
Leerlauf: UAB = UQ
bei RL = unendlich
1 + RL/Ri
1,0
UAB
UQ
0,5
RL/Ri
0
0,5
1
2
3
4
6
UAB/UQ 0 0,333 0,5 0,667 0,75 0,8 0,857 0,889
Kurzschluß:
RL = 0
emg
GET
8
RL
Ri
1
2
4
6
8
63
Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IRL
Leerlauf:
UAB = U0
1,0
reale Stromquelle
IQ
+
0,5
emg
GET
IRi IRL
-
UAB
U0
Last
A
RL
URL
UAB
B
Arbeitspunkt
Ri = RL
Kurzschluß:
IRL = IQ
IRL
IQ
0,5
1,0
64
Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL
reale Stromquelle
IQ
Last
A
IRi IRL
+
-
RL
URL
UAB
B
An der Klemme A wird der Strom IQ geteilt in die
Teilströme IRi und IRL.
emg
GET
IRL
IQ
=
1
1+
RL
Ri
65
Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL
Kurzschluß:
RL = 0
1,0
IRL
IQ
IRL
IQ
=
RL
1 + Ri
RL/Ri 0
0,5
1
2
3
4
6
8
IRL/IQ 1 0,667 0,5 0,333 0,25 0,2 0,143 0,111
Leerlauf: IRL = 0
bei RL = unendlich
RL
Ri
0,5
emg
GET
1
1
2
4
6
8
66
Zusammenschaltung von
Spannungs- und Stromquellen
Behandlung in einer großen
Übung
emg
GET
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
Die elektrische Leistung, die eine
Spannungsquelle abgibt
berechnet sich aus dem Produkt
der Quellenspannung und des Stromes,
der aus der Quelle in den Verbraucher
fließt.
Die elektrische Leistung wird mit dem
Formelzeichen P beschrieben und in der
Einheit Watt (W) angegeben:
emg 1 Watt = 1Volt • 1 Ampere
GET
68
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
UAB
B
Aus der Spannungsquelle mit der Quellenspannung UQ
fließt den Strom IR durch die Verbraucher Ri und RL.
Die Quelle liefert die elektrische Leistung:
emg
GET
PQ = UQ • IR
PQ = Erzeugerleistung
69
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
An einem ohmschen Widerstand R,
der von einem Strom I durchflossen wird,
entsteht eine elektrische Spannung UR.
I
R
UR
Es gilt das Ohmsche Gesetz: UR = R • I
In dem ohmschen Widerstand R wird die
Verbraucherleistung PR in Wärme umgesetzt.
emg
GET
PR = UR • I = I² • R = UR² /R
70
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
reale Spannungsquelle
Erzeugerleistung
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
Nutzleistung
UAB
B
In diesem Grundstromkreis liefert die Quelle UQ
die Erzeugerleistung PQ.
Verbraucherleistung PV entsteht in
Widerständen Ri und RL..
emg Die Nutzleistung P wird zwischen den
a
GET Klemmen AB an den Widerstand RL abgegeben.
71
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
reale Spannungsquelle
Erzeugerleistung
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
Nutzleistung
UAB
B
Das Verhältnis von
emg
GET
Nutzleistung Pa zu Erzeugerleistung PQ
ist der Wikungsgrad h des Stromkreises:
h = Pa / PQ
72
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
reale Spannungsquelle
UQ
Ri
+
Last
A
IR
RL
URL
UAB
B
Leerlauf (RL =
):
Kurzschluß (RL = 0):
Klemmenspannung:
emg
GET Ausgangsstrom:
UAB = U0 =UQ
IR = Ik = UQ/Rii
UAB = UQ • RL/(Rii + RL)
IR = UQ • 1/(Rii + RL)
73
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
UAB
B
URL
Kurzschlußleistung:
Pk = UQ•Ik = UQ²/Ri
Erzeugerleistung = gesamte von der Quelle
UQ an Ri und RL gelieferte Leistung PQ :
PQ = UQ • IR
= UQ² • 1/(Ri + RL)
Ausgangsleistung = am Lastwiderstand RL
emg abgegebene Leistung Pa :
GET Pa = URL • IR = UQ² • RL /(Ri + RL)²
74
Wirkungsgrad des Grundstromkreises
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
UAB
B
Wikungsgrad h = PL / PQ = PL / (Pi + PL)
Pi = Ui • IR und PL = URL • IR
Ui = UQ • Ri /(Ri + RL )
emg URL = UQ • RL /(Ri + RL )
IR = UQ /(Ri + RL )
GET
h=
RL / Ri
1 + (RL / Ri )
75
Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
IR
RL
URL
UAB
B
PL = UQ² • RL /(Ri + RL)²
Zur Berechnung des Maximums von PL in Abhängigkeit
von RL, muß die Gleichung nach RL differenziert werden.
Man erhält als Differentialquotienten:
emg
GET
Ri - RL
dPL
= UQ²
dRL
(Ri + RL)³
76
Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax
Für das gesuchte Maximum muß der Differentialquotient
null werden:
Ri - RL
0 = UQ²
(Ri + RL)³
Daraus folgt für RL die Bedingung: RL = Ri
Wenn Ri und RL gleich groß sind, wird in beiden
Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt.
Man nennt diesen Fall: Leistungsanpassung.
Bei Leistungsanpassung wird im Lastwiderstand RL die
maximale Leistung umgesetzt:
emg
GET
PLmax = UQ² /4Ri = UQ² /4RL
77
Leistungsbilanz im Grundstromkreis
Alle Gleichungen im Überblick
mit der Normierung RL/Ri = x
reale Spannungsquelle
UQ
+
Last
A
Ri
URL/UQ = x/(1+x)
IR
RL
UAB
B
URL
IR/Ik = 1/(1+x)
PL/PQ = h = x/(1+x)
PL/PLmax = 4x/(1+x)²
emg
GET
Kurvendarstellung
Matlab
78
X
URL/UQ
0
0
0,25 0,2
0,333
0,5
0,75 0,438
0,5
1
0,666
2
0,75
3
0,8
4
0,833
5
0,857
6
0,875
7
0,888
8
0,9
emg 9
0,909
10
GET
IR/Ik
1
0,8
0,666
0,571
0,5
0,333
0,25
0,2
0,166
0,143
0,125
0,111
0,1
0,091
PL/PQ
0
0,2
0,333
0,438
0,5
0,666
0,75
0,8
0,833
0,857
0,875
0,888
0,9
0,909
PL/PLmax
0
0,64
0,888
0,979
1,0
0,888
0,75
0,64
0,555
0,489
0,438
0,395
0,36
0,331
79
Meßtechnik RL ->
Kurzschluß
Leistungsanpassung: h = 0,5
1,0
8
Energietechnik h -> 1, Ri -> 0
Leerlauf
URL/UQ
0,8
PL/PQ = h
0,6
PL/PLmax
0,4
0,2
IR/IK
1
emg
GET
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RL/Ri
80
Energietechnik: zur Erzielung eines hohen Wirkungsgrades
( h -> 1) muß der Innenwiderstand des Energieerzeugers
möglichst gering sein (Ri -> 0).
reale Spannungsquelle
UQ
+
-
Last
A
Ri
IR
RL
UAB
URL
B
emg
GET
81
Nachrichtentechnik:
zur Erzielung einer möglichst hohen Leistungsverstärkung
müssen Empfänger (Antenne) und Verbraucher
(Signalverstärker) bei Leistungsanpassung arbeiten.
h = 0,5 ; RL = Ri
reale Spannungsquelle
UQ
+
Ri
IR
RL
UAB
B
emg
GET
Last
A
URL
UA
Signalverstärker
bei Leistungsanpassung
Ri = RL
82
Meßtechnik: Durch die Messung darf die Meßgröße des
Meßobjekt nicht beeinflußt werden. Daher muß z.B. ein
Spannungsmeßgerät einen möglichst großen Innenwiderstand haben Ri -> .
Die Messung erfolgt bei Leerlauf der Quelle!
reale Spannungsquelle
UQ
+
Ri
IR
RL
UAB
-
Last
A
URL
B

emg
GET
Usp
V
Um
83
4.2 Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke
+
UQ
+
-
IQ
-
Die Netzwerkanalyse stellt Berechnungsverfahren bereit,
mit denen sich Spannungen, Ströme und Widerstände in
verzweigten elektrischen Netzwerken berechnen lassen.
emg
GET
84
Ein Netzwerk besteht aus:
+
UQ
+
-
IQ
Zweigen und Knoten
Die Netzwerkelemente in den Zweigen sind:
emg Widerstände, Spannungs- und Stromquellen
(später auch Wechselstromelemente).
GET
85
Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke
+
UQ
+
-
IQ
Eine häufige Aufgabe der Netzwerkanalyse
ist die Berechnung von Zweigspannungen und
emgZweigströmen bei bekannten Größen der Quellen
und Widerstände.
86
GET
UQ
+
+
-
-
IQ
Die wichtigsten Berechnungsverfahren
der Netzwerkanalyse sind:
Die Anwendung der Kirchhoffschen Sätze
Das Überlagerungsverfahren
Die Berechnung von Ersatzzweipolen
emg
GET
Das Maschenanalyseverfahren
Das Knotenpotentialverfahren
87
Vorbereitung einer Schaltung zur
Aufstellung der Analysegleichungen
UQ
emg
GET
+
+
-
-
IQ
Ein Netzwerk wird vollständig durch
m Maschengleichungen und
k-1 Knotengleichungen beschrieben.
Die Aufstellung des Gleichungssystems
wird nach folgenden Schritten vorgenommen:
88
1
2
3
+
UQ
+
-
IQ
0 = Bezugsknoten
1. Numerierung der k Knoten von 0 bis k-1
(da Leitungen widerstandslose Verbindungen
sind, stellen mehrere Abzweigungen an
emg
einer Leitung nur einen Knoten dar).
GET
89
+
UQ
+
-
IQ
2. Numerierung der Zweige von 1 bis z.
Für jeden Zweigstrom und jede Zweigspannung
wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen.
emg
GET
Zweignummer = Bauteilindex
90
R4
I4
1
R2
I1
I2
2
U4
3
R5
I5
U2
I3
R1
U5
I6
+
R3
R6
U3
+
U6 -
IQ6
UQ1
U1
emg
GET
0 = Bezugsknoten
91
3. Verknüpfung der Zweigspannungen und der
Zweigströme über das Ohmsche Gesetz.
Zweig 1:
U1 = -R1 • I1 +UQ1 Zweig 2:
U2 = R2 • I2
Zweig 3:
U3 = R3 • I3
Zweig 4:
U4 = R4 • I4
Zweig 5:
U5 = R5 • I5
Zweig 6:
U6 = R6 • I6
Aufstellung der Knotengleichungen:
Knoten 1: I1 - I2 - I4 = 0
Knoten 2: I2 - I3 - I5 = 0
emg
GET
Knoten 3: I4 + I5 + IQ6 - I6 = 0
92
4. Auswahl eines geeigneten Berechnungsverfahrens
und Eintragen der dafür zusätzlich erforderlichen
Größen (z.B. Maschenströme oder Knotenpotentiale).
5. Aufstellung und Lösung des Gleichungssystems.
emg
GET
93
Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse:
1. Anwendung der Kirchhoffschen Sätze
Zweig 1
UQ
I1
+
Ein einfaches Beispiel:
1 I3
R3
R1
UR1
Zweig 2
I2
R2
UR2
Masche 1
emg
GET
UR3
0
Zweig 3
1. Numerierung der Knoten
2. Numerierung der Zweige
Zweigspannungen und
Zweigströme eintragen
Masche 2 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme
= Bezugsknoten
UR1 = R1 • I1
UR2 = R2 • I2
UR3 = R3 • I3
Numerierung der Maschen
94
Ein Netzwerk wird vollständig durch seine z Zweige
beschrieben. Sind die Größen der Elemente in den
Zweigen bekannt (Widerstände und Quellen), dann
sind 2•z Größen - nämlich die Zweigspannungen und
die Zweigströme - unbekannt.
Über das Ohmsche Gesetz lassen sich
z Größen berechnen,
es verbleiben z Unbekannte,
wofür z voneinander unabhängige Gleichungen
aufzustellen sind.
Mit den Kirchhoffschen Regeln lassen sich
m Maschengleichungen und
emg k-1 Knotengleichungen aufstellen.
GET
95
Zwischen den Maschen m, Knoten k und Zweigen z
eines Netzwerkes gilt der Zusammenhang:
m = z - (k -1)
In einem Netzwerk mit k Knoten führt jede
Knotengleichung auf mindestens einen Zweig,
der vorher noch nicht berücksichtigt wurde.
Im Schaltungsbeispiel haben wir:
z = 3 Zweige und k = 2 Knoten.
Wir erkennen zwei Maschen, die durch den oben
beschriebenen Zusammenhang bestätigt werden:
emg m = 2 = 3 -(2-1)
GET
96
Aufstellung der Maschengleichungen:
Masche 1: UR1 + UR2 - UQ = 0
Masche 2: UR3 - UR2 = 0
Aufstellung der Knotengleichung:
Knoten 1: I1 - I2 - I3 = 0
Am Knoten 0 - dem Bezugsknoten - ergibt sich die
gleiche Stromsumme, daher eben nur k-1 Knotengleichungen.
Die Gleichungen enthalten 2•z = 6 Unbekannte:
UR1 UR2 UR3 und I1 I2 I3
emg
GET
97
Die unbekannten Spannungen UR1 ,UR2 ,UR3
werden durch die Widerstände und Ströme ersetzt,
damit erhält man drei Gleichungen für die drei
unbekannten Ströme:
Masche 1: I1 R1 + I2 R2 - UQ = 0
Masche 2: I3 R3 - I2 R2 = 0
Knoten 1: I1 - I2 -I3 = 0
Die Gleichungen werden in der Reihenfolge der
Indizes sortiert, die bekannten Quellen auf die
rechte Seite gebracht:
Masche 1: I1 R1 + I2 R2
= UQ
emg
GET
Masche 2:
- I2 R2 + I3 R3 = 0
Knoten 1: I1
- I2
- I3
=0
98
Dieses lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten
läßt sich nun nach verschiedenen Verfahren lösen,
z.B. als Matrizengleichung:
R1 R2 0
0 -R2 R3 •
1 -1 -1
I1
I2
I3
=
UQ
0
0
Spaltenmatrix der
Koeffizientenmatrix
Spaltenmatrix der
der Zweigwiderstände unbekannten Ströme bekannten Quellen
Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ = 10V
emg
GET
Matlab
99
R1 R2 0
0 -R2 R3 •
1 -1 -1
I1 =
I1
I2 =
I3
UQ
0
0
D I1 =
UQ R2 0
0 -R2 R3
0 -1 -1
Determinante [I1]
Determinante [K]
R1 R2 0
D K = 0 -R2 R3
1 -1 -1
(Kramersche Regel)
emg
GET
100
Allgemeine Lösung einer dreireihigen Determinante:
D=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
D = a11
D=
emg
GET
D=
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+ Lösungsschema
a22 a23
a21 a23
a21 a22
a32 a33 - a12 a31 a33 + a13 a31 a32
a11 ( a22 a33 - a23 a32)
- a12 ( a21 a33 - a23 a31)
+ a13 ( a21 a32 - a22 a31)
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31
101
Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ = 10V
5  10  0
Determinante [K] = 0 -10  10 
1 -1
-1
DK=
(5  •-10  •-1) + (10  •10  •1) + (0•0 •-1 )
- (5  • 10  •-1) - (10  •0 •-1 ) - (0• -10  •1)
DK= (50 2) + (100 2) + (0) - (-50 2) - (0 ) - (0)
DK= 50 2 + 100 2 + 50 2
emg
GET
= 200 2
102
10V 10 0
-10 10
Determinante [I1] = 0
0
-1
-1
D I1= (10V •-10 •-1) + (10 •10 •0) + (0 •0 •-1)
(10V •10 •-1) - (10 •0 -1) - (0 •-10 •0)
D I1= (100 V  ) + (0) + (0) -(-100V  ) - (0) - (0)
D I1= 200 V  = 200 V²/A
emg I1 =
GET
D I1
DK
200 V²/A
200 V² A²
=
=
2
200 (V/A)
200 V² A
= 1A
103
Lösung der Netzwerkanalyse:
I1
UQ
+
1
R1
UR1
I3
R3
I2
UR3
R2
UR2
-
I1 = 1A
Vorgaben:
UQ = 10 V
R1 = 5 
R2 = 10 
R3 = 10 
0 = Bezugsknoten
I2 = 0,5A I3 = 0,5A
(I2 und I3 berechnet wie I1)
emg
GET
UR1 = I1 •R1 = 5 V
UR2 = I2 •R2 = 5 V
UR3 = I3 •R3 = 5 V = UR2
104
Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse:
4.2.1 Das Überlagerungsverfahren
Die Berechnung von Strömen und Spannungen in einem
linearen Netzwerk mit mehreren Quellen (Spannungsund/oder Stromquellen) kann dadurch vereinfacht
werden, daß die Wirkung jeder Quelle für sich berechnet
wird.
Die Einzelwirkungen werden dann zur Gesamtwirkung überlagert.
Quellen deren Wirkung gerade nicht untersucht werden,
werden durch ihre Innenwiderstände ersetzt:
Ideale Spannungsquelle Ri = 0,
emg
ideale Stromquelle Ri =
GET
105
Beispiel:
1
I1
UQ1
I3
+
Gesucht sind:
die Zweigspannung U3
und der Zweigstrom I3!
I2
+
UQ2
1. Numerierung der Knoten
-
R3
2. Numerierung der Zweige
Zweigströme und Zweigspannungen eintragen
UR3
R2
R1
UR2
UR1
Masche 1
0
Masche 2
= Bezugsknoten
Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V
emg
GET
3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme
UR1 = R1 • I1
UR2 = R2 • I2
UR3 = R3 • I3
Numerierung der Maschen
4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens
106
4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens
1. Schritt:
Den Strom I31 als Wirkung von UQ1 berechnen,
dabei ist UQ2 = 0
1
I11
UQ1
I21
Die Quelle UQ2
wurde durch ihren
Innenwiderstand
Ri = 0 ersetzt!
I31
+
R3
UR31
R2
R1
UR21
UR11
Masche 1
emg
GET
0
Masche 2
= Bezugsknoten
107
1
I11
UQ1
+
I21
Masche 1:
UR31 + UR11 -UQ1 = 0
I31
-
Masche 2:
UR31 + UR21 = 0
R3
UR31
R1
Knotengleichung:
I11 + I21 - I31 = 0
R2
Mit
UR21
UR11
UR11 = I11R1
UR21 = I21R2
Masche 1
Masche 2
0 = Bezugsknoten
UR31 = I31R3
man erhält das lineare Gleichungssystem:
emg
GET
I11
+ I21 - I31
=0
I11R1
+ I31R3 = UQ1
I21R2 + I31R3 = 0
108
Das lineare Gleichungssystem:
I11
+ I21 - I31
=0
I11R1
+ I31R3 = UQ1
I21R2 + I31R3 = 0
1 1 -1
R1 0 R3 •
0 R2 R3
0
I11
I21 = UQ1
0
I31
Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V
emg
GET
Matlab
109
1 1 -1
R1 0 R3 •
0 R2 R3
I31 =
0
I11
I21 = UQ1
0
I31
Determinante [I31]
Determinante [K]
1 1 -1
D K = R1 0 R3
0 R2 R3
emg
GET
1 1 0
D I31 = R1 0 UQ1
0 R2 0
110
Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V
I31 =
emg
GET
DK=
1
1
-1
5 0
10 
0
10  10 
D I31=
1
1
0
5 0
10V
0
10 0
= - 200 2
= -100 V 
-100 V²/A
D I31
100 V² A²
=
=
2
DK
-200 (V/A)
200 V² A
= 0,5A
111
4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens
2. Schritt:
Den Strom I32 als Wirkung von UQ2 berechnen,
dabei ist UQ1 = 0
1
I12
I22
I32
+
UQ2
R3
UR32
R2
R1
UR22
UR12
emg
GET
Masche 1
Die Quelle UQ1
wurde durch ihren
Innenwiderstand
Ri = 0 ersetzt!
0
Masche 2
= Bezugsknoten
112
1
I12
Knotengleichung:
I12 + I22 - I32 = 0
I22
I32
+
UQ2 Masche 1:
UR12 + UR32 = 0
-
Masche 2:
UR32 + UR22 - UQ2 = 0
R3
UR32
R1
UR12
R2
Mit
UR12 = I12R1
Masche 1
Masche 2
UR22 = I22R2
0 = Bezugsknoten
UR32 = I32R3
erhält man das lineare Gleichungssystem:
I12
+ I22
- I32
=0
emg
I12R1
+ I32R3 = 0
GET
I22R2 + I32R3 = UQ2
UR22
113
Das lineare Gleichungssystem:
I12
+ I22
- I32
=0
I12R1
+ I32R3 = 0
I22R2 + I32R3 = UQ2
1 1 -1
R1 0 R3 •
0 R2 R3
0
I12
I22 = 0
UQ2
I32
Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V
emg
GET
Matlab
114
1 1 -1
R1 0 R3 •
0 R2 R3
I32 =
0
I12
I22 = 0
UQ2
I32
Determinante [I32]
Determinante [K]
1 1 -1
D K = R1 0 R3
0 R2 R3
emg
GET
1 1 0
D I32 = R1 0 0
0 R2 UQ2
115
Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V
I32 =
emg
GET
DK=
1
1
-1
5 0
10 
0
10  10 
D I32=
1
1
0
5 0
0
0 10 10V
-50 V²/A
D I32
50 V² A²
=
=
2
DK
-200 (V/A)
200 V² A
= - 200 2
=
-50 V 
= 0,25A
116
Überlagerung der Einzelwirkungen zur Gesamtwirkung:
1
I1
UQ1
I2
I3
+
+
UQ2
-
R3
UR3
R2
R1
UR2
UR1
Masche 1
0
Masche 2
= Bezugsknoten
I3 = I31 + I32 = 0,5 A + 0,25 A = 0,75 A
emg
GET
117
Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse:
4.2.2 Die Berechnung von Ersatzzweipolen
Wenn von einer beliebigen Schaltung aus linearen,
aktiven und passiven Zweipolen nur die elektrischen
Größen eines Zweiges von Interesse sind, dann wird
das Netzwerk - bis auf den zu untersuchenden Zweig in einen linearen aktiven Zweipol umgewandelt, an den
nur der zu untersuchende Zweig angeschlossen ist.
Möglich ist die Umwandlung des Netzwerkes in eine:
Ersatzspannungsquelle
emg
GET
Ersatzstromquelle
118
Beispiel: Gegeben ist das folgende Netzwerk
R1
UQ
R3
I5
+
A
R5
-
B Das Netzwerk bestehend aus:
U5
R2
Gesucht sind:
die Spannung U5
und der Strom I5
R4
der Spannungsquelle UQ
und den Widerständen R1 bis R4
kann in eine Spannungs- oder
Stromersatzquelle
umgerechnet werden.
Der Widerstand R5 bildet den
Lastwiderstand der Ersatzquelle.
emg
GET
119
Reale Schaltung
R1
I5
+
UQ
R3
A
B
R5
-
U5
R2
R4
Ersatzspannungsquelle
Last
A
UQers
+
I5
Riers
R5
emg
GET
U5
UAB
B
120
Reale Schaltung
R1
I5
+
UQ
R3
A
B
R5
-
U5
R2
R4
Ersatzstromquelle
IQers
Last
A
I5
+
R5
Riers
emg
GET
U5
UAB
B
121
R1
UQ
R3
I5
+
A
R5
-
U5
R2
B Allgemeine Vorgehensweise
zur Bestimmung einer
R4
Ersatzquelle bezüglich der
betrachteten Anschlüsse:
1. Leerlaufspannung mit einem geeigneten
Verfahren berechnen.
2. Innenwiderstand zwischen den betrachteten
Anschlüssen berechnen, dabei Quellen beachten.
emg 3. Probe mit Kurzschlußstrom.
GET
122
Berechnung einer
Ersatzspannungsquelle:
U1 R1
UQ
+
U3
R3
UQers
A
B
U2
R2
U4 R4
R1
U1 = UQ
R1 + R2
R3
U3 = UQ
R3 + R4
emg
GET
UQers = UQ
UQers ist die Leerlaufspannung
zwischen den Klemmen A und B
UQers = U3 - U1
Die Widerstände R1, R2 und
R3, R4 bilden je einen
Spannungsteiler, aus dem
sich U1 und U3 berechnen
lassen:
R3
R3 + R4
R1
R1 + R2
123
R1
UQ
R3
Innenwiderstand zwischen
den Klemmen A und B:
+
A
B
A
B
R2
R4
R2
R4
R1
R3
Die ideale Quelle UQ
wird durch Ri = 0 ersetzt!
Der Innenwiderstand Riers ergibt sich aus der
Reihenschaltung von R1//R2 + R3//R4:
emg
GET
Riers =
R1•R2
R1 + R2
R3•R4
R3 + R4
124
Lösung:
Ersatzspannungsquelle
UQers
+
Last
A
I5
Riers
R5
U5
UAB
B
UQers = UQ
Riers =
emg
GET
R3
R3 + R4
R1•R2
R1 + R2
UQers
I5 =
Riers + R5
R1
R1 + R2
R3•R4
R3 + R4
UQers
Ik = R
iers
U 5 = I5 • R 5
Matlab
125
Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung:
Messaufnehmer in Viertel-Brücke
Umess = UQ
U1 R1 ±ΔR U3
UQ
+
Umess
A
R3
B
U2
R2
U4 R4
R1±ΔR
R1 ±ΔR + R2
Schaltungstechnisch und rechnerisch
einfach, wenn alle Widerstände gleich
groß sind.
R±ΔR
R
Umess = UQ R + R
R ±ΔR + R
R±ΔR
2R ±ΔR
Umess = UQ
R
2R
Umess = UQ
2R2 ±ΔR R
2R2±ΔR2R
4R2 ±ΔR2R
Umess = -U1 + U3
emg
GET
R3
R3 + R4
Umess = UQ
- (±ΔR)
4R ±2ΔR
126
Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung:
Messaufnehmer in Viertel-Brücke
Umess = UQ
- (±ΔR)
4R ±2ΔR
Näherung
Umess = UQ
- (±ΔR)
·
4R
1
1±
Spannung in der Messdiagonale
als Funktion der Verstimmung bei R1
emg
GET
ΔR
2R
Korrekturfaktor
Umess = UQ · Näherung ·
Korrekturfaktor
127
Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung:
Messaufnehmer in Halb-Brücke
Umess = UQ
U1 R1 +ΔR U3
UQ
+
A
Umess
U2
R2 -ΔR U4
R3
R3 + R4
R1
R1 + R2
R3
Schaltungstechnisch und rechnerisch
einfach, wenn alle Widerstände gleich
B groß sind.
R
R+ΔR
Umess = UQ R + R
R +ΔR + R -ΔR
R4
Umess = UQ
R
2R
R+ΔR
2R
Umess = -U1 + U3
emg
GET
Umess = UQ
ΔR
2R
128
Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung:
Messaufnehmer in Voll-Brücke
Umess = UQ
U1 R1 +ΔR U3
UQ
+
A
Umess
U2
R2 -ΔR U4
emg
GET
R1
R1 + R2
R3 -ΔR
B
Schaltungstechnisch und rechnerisch
einfach, wenn alle Widerstände gleich
groß sind.
R4 +ΔR
Umess= UQ
Umess = -U1 + U3
R3
R3 + R4
Umess = UQ
Umess = UQ
R -ΔR
R-ΔR+ R+ΔR
R+ΔR
R+ΔR+R-ΔR
R-ΔR- R - ΔR
2R
ΔR
R
129
Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse:
4.2.3 Das Maschenanalyseverfahren
Der Vorteil des Maschenanalyseverfahrens
liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen
(für die Anzahl der Zweige) nur m Gleichungen
(für die Anzahl der Maschen) aufgestellt und
gelöst werden müssen.
Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des
linearen Gleichungssystems erheblich verringert.
emg
GET
130
Gegeben ist das Netzwerk mit den Quellen und Widerständen:
UQ3
R3
U3
I3
U2
3
U5
R5
R2
1
R1
emg
GET
U4
I1
UQ1
I5 I6
2
I2
U1
Gesucht sind:
die Spannungen U1 bis U6
und die Ströme I1 bis I6.
R4
U6
I4
0
Bezugsknoten
1. Schritt: Knoten numerieren
2. Schritt: Zweige numerieren
Zweigspannungen und
Zweigströme eintragen
R6
Unter Anwendung der
Kirchhoffschen Gesetze
sind:
k-1 Knotengleichungen und
m Maschengleichungen
aufzustellen:
k=4 z=6
m = z - (k-1) = 3
131
3. Schritt:
Verknüpfung der Zweigspannungen und ZweigUQ3
ströme über das Ohmsche Gesetz:
3
R3
U3
I3
U2
U5
R5
R2
1
U1
R1
emg
GET
U4
I1
UQ1
I5 I6
2
I2
R4
Uz1 = I1R1 - UQ1
U6
I4
0
Bezugsknoten
Uz3 = I3R3 + UQ3
R6
U1 = I1R1
U2 = I2R2
U3 = I3R3
U4 = I4R4
U5 = I5R5
U6 = I6R6
132
4. Schritt: Einführung von Maschenströmen
Betrachtung des Knotens 1: SI = 0 = I1 - I2 - I3
UQ3
R3
3
M2
I3
R5
R2
1
emg
GET
I1
M1
UQ1
I5 I6
2
M3
I2
R1
Sind z.B. I1 und I3 bekannt
(durch Messung), dann ist I2
durch die Knotengleichung
eindeutig bestimmt.
R4
I4
0
Bezugsknoten
R6
Man kann I1 und I3 als
unabhängig und I2 als von
I1 und I3 abhängig bezeichnen.
Es erscheint daher sinnvoll,
I2 in den Gleichungen nicht
mehr mitzuführen, sondern von
vornherein durch I1 und I3
darzustellen.
133
4. Schritt: Einführung von Maschenströmen
Betrachtung des Knotens 0: SI = 0 = - I1 - I4 - I6
UQ3
R3
3
M2
I3
R5
R2
1
emg
GET
I1
M1
UQ1
I5 I6
2
M3
I2
R1
Wird neben I1 und I3 auch I6 als
weiterer unabhängiger Strom
gewählt, dann ist I4 eindeutig
bestimmt.
R6
Die als unabhängig bezeichneten
Ströme I1 , I3 und I6 fließen in
den geschlossenen Stromschleifen der Maschen.
Strom über Knoten
R4
I4
0
Bezugsknoten
I1
I3
I6
0 1 2 0
1 3 2 1
0 3 2 0
IM1
IM2
IM3
134
UQ3
4. Schritt: Einführung von Maschenströmen
3
Zusammenhang zwischen
den Zweigströmen und den
Maschenströmen:
IM3
R3
U3
I3
IM2
U2
U5
R5
R2
1
2
I2
U1
R1
U4
I1
I5 I6
R4
U6
I4
R6
I1 = IM1
I2 = IM1 - IM2
I3 =
IM2
I4 = -IM1
- IM3
I5 =
-IM2 - IM3
I6 =
IM3
IM1
emg
GET
UQ1
0
Bezugsknoten
135
Aufstellung der Maschengleichungen:
Zweigspannungen
U1 U2 U3 U4 U5 U6
Masche 1: U1+ U2
Masche 2:
Masche 3:
-U2 +U3
-U4
Quellen
UQ
= UQ1
-U5
-U4 -U5 +U6
= -UQ3
=0
Spannungen durch Maschenströme ausdrücken:
U1 = I1R1 = IM1R1
U2 = I2R2 = IM1R2 - IM2R2
emg
U4 = I4R4 = -IM1R4 - IM3R4
GET
136
Bestimmungsgleichung für die Maschenströme:
Zweigspannungen
U1 U2 U3 U4 U5 U6
Quellen
UQ
Masche 1: IM1(R1 + R2 + R4) - IM2R2 + IM3R4
= UQ1
Masche 2: -IM1R2 + IM2(R2 + R3 + R5) +IM3R5 = -UQ3
Masche 3: IM1R4 + IM2R5 + IM3(R4 + R5 + R6) = 0
emg
GET
137
(R1 + R2 + R4)
-R2
-R2 +(R2 + R3 + R5)
R4
+R5
+R4
UQ1
+R5  IM2 = -UQ3
+(R4 + R5 + R6)
Koeffizientenmatrix
der Zweigwiderstände
IM1
IM3
0
Spaltenmatrix
Spaltenmatrix
der unbekannten der bekannten
Maschenströme Quellen
Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix
lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften
bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen:
emg
GET
138
1. Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv.
2. Jede Zeile der Widerstandsmatrix beschreibt eine Masche
und ihre Kopplung zu den anderen Maschen.
3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der
Widerstände in der Masche gebildet.
4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen
Widerstände, über die die Maschen miteinander gekoppelt
sind. Fließen die Maschenströme in gleicher Richtung durch
den/die Kopplungswiderstände, dann ist das Vorzeichen
des Matrixelementes positiv.
5. Die Quellenspannungen in der Spaltenmatrix der rechten
Seite des Gleichungssystems sind mit einem negativen
Vorzeichen einzusetzen, wenn der Zählpfeil der
emgSpannungsquelle in Richtung des Maschenstromes zeigt.
GET
139
Lösungsalgorithmus für das Maschenanalyseverfahren:
1. Jeder Masche wird ein unabhängiger Maschenstrom
zugeordnet. Die Richtung des Maschenstromes ist beliebig
wählbar, die angenommene Zählrichtung gilt als positiv.
Die Maschenwahl ist zweckmäßig so zu treffen,
daß durch den besonders interessierenden Zweig
nur ein Maschenstrom fließt.
2. Aufstellung der Beziehungen zwischen den
Maschen- und Zweigströmen.
3. Aufstellung der Maschengleichungen.
4. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Maschenströme.
5. Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme.
6. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen
emg nach Punkt 2.
Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 4.
140
GET
Vorteile des Maschenanalyseverfahrens gegenüber
der Netzwerkanalyse nur mit Kirchhoffschen Regeln:
An Stelle von z Gleichungen für die z Zweige eines
Netzwerkes werden nur m Gleichungen für die
Anzahl der m Maschen aufgestellt und gelöst.
So werden k-1 Gleichungen eingespart!
Wichtig:
Die Anzahl der Maschen muß richtig gewählt werden
m = z -(k-1)
emg
GET
141
UQ3
R3
M1
Falsche
Maschenwahl!
R5
R2
R1
emg
GET
R6
R4
UQ1
M2
142
Bei der Wahl von zu wenigen Maschen
m < z -(k - 1)
erhält man ein Gleichungssystem, das zwar lösbar ist,
dessen Ergebnisse aber physikalisch falsch sind!
Bei der Wahl von zu vielen Maschen
m > z -(k - 1)
erhält man ein Gleichungssystem, das u.U. nicht mehr
linear ist und unbestimmt sein kann!
emg
GET
143
(R1 + R2 + R4)
-R2
-R2 +(R2 + R3 + R5)
R4
+R5
+R4
+R5  IM2 = -UQ3
+(R4 + R5 + R6)
Koeffizientenmatrix
der Zweigwiderstände
UQ1
IM1
0
IM3
Spaltenmatrix
Spaltenmatrix
der unbekannten der bekannten
Maschenströme Quellen
Lösung mit folgenden Zahlenwerten:
R1, R3, R4, R5, = 1kΩ, R2 = 10 kΩ, R6 = 5kΩ
UQ1 = 10V, UQ3 = 20 V
UQ3
R3
emg
GET
Matlab
R5
R2
R1
UQ1
R6
R4
144
Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse:
4.2.4
Das Knotenpotentialverfahren
Der Vorteil des Knotenpotentialverfahrens liegt darin,
daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der
Zweige) nur k-1 Knotengleichungen aufgestellt und
gelöst werden müssen.
Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des
linearen Gleichungssystems erheblich verringert.
emg
GET
145
R4
R5
R2
R3
R1
In einer Schaltung läßt
sich jedem Knotenpunkt
ein Potential
- das Knotenpotential zuordnen.
R6
IQ6
UQ1
0
emg
GET
= Bezugsknoten
Dafür wird ein Knoten als Bezugsknoten ausgewählt,
dem ein willkürlich festgelegtes Bezugspotential 146
zugeordnet wird.
R4
R5
R2
R3
R1
R6
IQ6
UQ1
0
emg
GET
= Bezugsknoten: Bezugspotential
In der Praxis wird das Bezugspotential j0
meistens zu j0 = 0 Volt gewählt.
j0 = 0 Volt
147
Die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten des Netzwerkes
und dem Bezugsknoten ist die Differenz der Potentiale beider
Knoten. Diese Potentialdifferenz wird als Knotenspannung
bezeichnet.
R4
U10 = j1 - j0
2 j2
1 j1
U20
U10
U20 = j2 - j0
R5
R2
R1
3 j3
R3
R6
U30
U30 = j3 - j0
IQ6
UQ1
emg
GET
0
= Bezugsknoten : Bezugspotential
148
j0 = 0 Volt
Anwendung des Knotenpotentialverfahrens:
R4
j
2 2
1 j1
R5
R2
R3
R1
emg
GET
3 j3
Gesucht sind:
die Ströme I1 bis I6
und die Spannungen
U1 bis U6
R6
IQ6
UQ1
0 j0
1. Schritt:
Numerierung der Knoten von 0 bis k-1.
Der Bezugsknoten, dem das Bezugspotential
'0 Volt' zugeordnet wird, sollte die Knoten- 149
nummer 0 erhalten.
R4
I4
1
U4
I2 2
R5
R2
I1
R3
R1
UZ1
2. Schritt:
emg
GET
U5 I6
U2
U1
UQ1
3
I5
I3
R6
U3
IQ6
U6
0 j0
Numerierung der Zweige von 1 bis z.
Für jede Zweigspannung und jeden Zweigstrom
wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen150
(Index = Zweignummer).
R4
1
2
U20
U10
UQ1
3
R5
R2
R1
U10 = j1 - j0
U20 = j2 - j0
U30 = j3 - j0
R3
U30
R6
IQ6
0 j0
3. Schritt: Eintragen der Knotenspannungen. Von jedem Knoten
wird ein Spannungspfeil zum Bezugsknoten eingetragen.
Knotenspannungen erhalten im Gegensatz zu
emg Die
den Zweigspannungen einen Doppelindex
151
GET (1. Index = Ausgangsknoten, 2.Index = Bezugsknoten).
4. Schritt: Zweigspannungen durch Knotenspannungen
ausdrücken.
U1 = U10
U2 = U10 - U20
U3 = U20
U4 = U10 - U30
U5 = U20 - U30
U6 = U30
emg
GET
152
5. Schritt: Zweigströme durch Knotenspannungen und
Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken.
Damit ist UQ1 in eine Stromquelle umgewandelt worden
I1 = U1 /R1 - UQ1 /R1
= G1 U1 - IQ1
= G1 U10 - IQ1
I2 = U2 /R2
= G2 U2
= G2 (U10 - U20)
I3 = U3 /R3
= G3 U3
= G3 U20
I4 = U4 /R4
= G4 U4
= G4 (U10 - U30)
I5 = U5 /R5
= G5 U5
= G5 (U20 - U30)
I6 = G6 U6 + IQ6
emg
GET
= G6 U30 + IQ6
153
6. Schritt: Aufstellung der k-1 Knotengleichungen
und Lösung des linearen Gleichungssystems.
(G1 + G2 + G4)
-G2
-G2 +(G2 + G3 + G5)
-G4
-G5
-G4
IQ1
-G5  U20 = 0
+(G4 + G5 + G6)
Koeffizientenmatrix
der Zweigleitwerte
U10
U30
Spaltenmatrix
der bekannten
Quellen
-IQ6
Spaltenmatrix
der unbekannten
Knotenspannungen
Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix
lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften
bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen:
emg
GET
154
1.
Die Leitwertmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv,
alle anderen Elemente sind negativ.
2.
Jede Zeile der Leitwertmatrix beschreibt die Schaltungsstruktur in der Umgebungs eines Knotens.
3.
Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der
Leitwerte gebildet, die mit einem Pol am zugehörigen
Knoten liegen.
emg
GET
155
4.
Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen
Leitwerte, die vom betrachteten Knoten zum jeweiligen
Nachbarknoten führen.
5.
Die Summe der Elemente einer Zeile ist Null, wenn kein
Zweig vom betrachteten Knoten zum Bezugsknoten führt.
Besteht ein Zweig zum Bezugsknoten, so ist sein Leitwert
gleich dieser Summe.
6.
Die Elemente der Spaltenmatrix auf der rechten Seite des
Gleichungssystems werden von den Quellenströmen
gebildet. Fließt in den betrachteten Knoten ein Strom
hinein, so wird er positiv gezählt. Ein aus dem Knoten
herausfließender Strom erhält ein negatives Vorzeichen.
emg
GET
156
Lösungsalgorithmus für das Knotenpotentialverfahren
1.
Wählen eines Bezugsknotens, dem das Bezugspotential
zugeordnet wird.
2.
Festlegung der Knotenspannungen.
3.
Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken.
4.
Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände
bzw. Leitwerte ausdrücken.
5.
Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des
Gleichungssystems für die Knotenspannungen.
6.
Berechnung der Zweigsspannungen nach Punkt 3.
Berechnung der Zweigströme nach Punkt 4.
emg
GET
157
4.2.5
Gesteuerte Quellen
Gesteuerte Spannungs- und Stromquellen werden in aktiven
Netzwerken eingesetzt, um Eingangskreise und Ausgangskreise
für eine einfachere Berechnung zu trennen.
Beispiel:
Schaltungssymbol und
Ersatzschaltung eines Transistors
C
B
E
Basis
RBB‘
IB
emg
GET
Collector
UBE
Emitter
UB‘E
BIB
GCE
UCE
158
Collector
Basis
RBB‘
IB
UBE
UB‘E
BIB
GCE
UCE
Emitter
Dieses Beispiel eines stromverstärkenden Transistors
entspricht einer stromgesteuerten Stromquelle.
emg
GET
159
Allgemeine Darstellung eines Vierpols
I1
U1
I2
Vierpol
U2
Es wird eine positive Zählpfeilrichtung für den Strom
angenommen, die auf der Eingangs- und auf der
Ausgangsseite in den Vierpol hinein zeigt.
Dies muß nicht mit den real fließenden Strömen
übereinstimmen!
emg
GET
160
Stromgesteuerte Stromquelle
I1
I2
R1
vI1
G2
U1
U2
v = Stromverstärkung
emg
GET
161
Spannungsgesteuerte Spannungsquelle
I2
I1
R2
R1 vU
1
U1
U2
v = Spannungsverstärkung
emg
GET
162
Spannungsgesteuerte Stromquelle
I1
I2
R1 SU
1
G2
U1
U2
S = Steilheit mit der Dimension [mA/v]
Beispiel: S = 10 mA/V
emg
GET
pro Volt Steuerspannung U1 fließt in der
Stromquelle ein Strom von 10 mA
163
Stromgesteuerte Spannungsquelle
I2
I1
R2
R1
U1
zI1
U2
z = Steuerfaktor mit der Dimension [V/mA]
emg
GET
Beispiel: z = 1V/mA
pro mA Steuerstrom I1 entsteht in der
Spannungsquelle eine Spannung von 1V
164
Beispiel für eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle
Der ideale Operationsverstärker
Der Operationsverstärker
mit Beschaltung als invertierender Verstärker
emg
GET
165
Der ideale Operationsverstärker
+15V
+
Ud
Ua = vUd
Verstärkung v
-
Up
emg
GET
Un
-15V
0V (GND)
Ua
166
Der ideale Operationsverstärker
Differenzeingangswiderstand Rd
+15V
Ausgangswiderstand
der Quelle Ria
+
Ua = vUd
Ud
Up
emg
GET
Un
-15V
0V (GND)
Ua
167
Der Operationsverstärker
mit Beschaltung als invertierender Verstärker
I2
R2
I1
I-
R1
-
Ud
+
Ua
Ue
emg
GET
Un
Up
0V (GND)
168
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