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Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. J.-Uwe Varchmin 4 Gleichstromkreise Moeller et.al.: Grundlagen der Elektrotechnik, 18. Auflage, Teubner Verlag 1996, Seite 22-114 Paul,R.: Elektrotechnik 2, Springer Verlag, 3. Auflage 1993 Pregla, R.: Grundlagen der Elektrotechnik, Teil 1 Hüthig Verlag 1980 Unbehauen,R.: Grundlagen der Elektrotechnik 1 Springer Verlag, 5. Auflage 1999 Wolff, I.: Grundlagen der Elektrotechnik, Verlagshaus Nellissen-Wolff 1997, Seite 353-414 emg GET 1 4. Gleichstromnetzwerke Elemente in Gleichstromkreisen sind aktive und passive Zweipole. + UQ - Passive Zweipole sind ohmsche Widerstände. IQ + Aktive Zweipole sind Spannungsquellen und Stromquellen. I emg Es gilt das GET Ohmsche Gesetz: U = R • I - R UR 2 Georg Simon Ohm *16. März 1789, Erlangen † 6. Juli 1854, München R= l A Ohm entdeckte 1826 den Zusammenhang zwischen den Materialeigenschaften eines elektrischen Leiters und dem Stromfluß durch diesen Leiter in Abhängigkeit von der elektrischen Spannung. Das Ohmsche Gesetz lautet: U = R • I emg GET 3 Das Zählpfeilsystem für die Spannung U und den Strom I ergibt sich aus den Zusammenhängen zwischen der elektrischen Feldstärke E und der elektrischen Stromdichte S im elektrischen Strömungsfeld eines Leiters. E S I emg GET + E=S UQ 4 Das Verbraucher-Zählpfeilsystem für die Spannung U und den Strom I Quelle Verbraucher IR UQ UR + RL - emg GET positiver Umlaufsinn der Masche 5 4.1 Spannungs- und Stromquellen Ideale und Reale Quellen: Ohne zunächst auf die technischen Realisierungen von Spannungs- und Stromquellen einzugehen, wollen wir die Eigenschaften idealer Quellen definieren und die Eigenschaften realer Quellen damit beschreiben. Diese Modelle ermöglichen uns die Beschreibung und Berechnung realer Schaltungen. emg GET 6 Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle: C B E npn-Transistor IB B‘ B C RBB‘ UBE emg GET E UB‘E B•IB GCE UCE E 7 Merksatz Eine ideale elektrische Spannungsquelle hat eine eingeprägte, d.h. konstante und insbesondere von der Größe des Stromes, der durch die Quelle fließt, unabhängige Quellenspannung zwischen ihren Klemmen. Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist gleich null! emg GET 8 ideale Quelle UQ + - A Last IR RL B Ideale Spannungsquelle mit Lastdiagramm: UR Widerstandsgerade RL = U Q / I U UQ = f(I) = const ! UQ emg GET Strom I für gegebene Last R I 9 Reale Spannungsquellen: Galvanische Elemente, Batterien, Akkumulatoren, Thermoelemente, elektronische Spannungsquellen Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch: die Leerlaufspannung U0 den Kurzschlußstrom Ik den Innenwiderstand Ri beschrieben. Eine reale Spannungsquelle wird durch eine Ersatzschaltung aus einer idealen Spannungsquelle mit Innenwiderstand nachgebildet. emg GET 10 Messung im Leerlauf A reale Quelle UQ + Ri V UAB B emg GET Ohne Belastung wird zwischen den Klemmen AB die Leerlaufspannung U0 UAB = U0 = UQ 11 gemessen. Messung im Kurzschluß A reale Quelle UQ + - Ri A UAB Ik B Im Kurzschluß wird emg GET zwischen den Klemmen AB der Kurzschlußstrom Ik Ik = UQ / Ri gemessen, 12 dabei ist UAB = 0. Aus den beiden Messungen ergeben sich die Eigenschaften der realen Quelle: Aus der Leerlaufmessung ergibt sich die innere Quellenspannung: UQ = U0 Aus der Kurzschlußmessung und der Leerlaufspannung berechnet sich der Innenwiderstand: emg GET Ri = UQ / Ik 13 - MONO 1,5V + Beispiel: Messung an einer 1,5 V Monozelle emg GET 14 1,50 V - MONO 1,5V + Leerlaufspannung einer 1,5 V Monozelle emg GET 15 3,00 A - MONO 1,5V + Kurzschlußstrom einer 1,5 V Monozelle emg GET 16 Ergebnis: A - MONO 1,5V + reale Quelle = UQ + Ri UAB B UQ = 1,5 V Ik = 3,0 A emg GET Ri = UQ / Ik = 0,5 Ohm 17 Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL URL UAB B Erforderliche Berechnungsgrundlagen: emg Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Sätze GET 18 Ohmsches Gesetz: U = R I 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. 2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. emg GET I1 I4 I2 I3 UR1 I R1 R2 UQ UR2 19 Gustav Robert Kirchhoff * 12. März 1824, Königsberg † 17. Oktober 1887, Berlin Kirchhoff um 1885 emg GET Deutscher Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg und Berlin. Gemeinsam mit Robert Bunsen entwickelte er die Spektralanalyse, die zur Entdeckung der Elemente Cäsium und Rubidium führte. Er stellte die nach ihm benannten Regeln der Stromverzweigung auf. 20 Experiment zum 1. Kirchhoffsches Gesetz UQ = 10 V emg GET + Iges R1= 10 R2= 5 IR1 IR2 - 21 Iges R2= 5 R1= 10 + IR1 UQ = 10 V IR2 - + - +1,00A emg GET A IR1 = +1,00 A V 22 Iges UQ = 10 V + - R2= 5 IR1 R1= 10 IR2 + - +2,00A emg GET A IR2 = +2,00 A V 23 Iges UQ = 10 V + - R2= 5 IR1 R1= 10 Iges + - -3,00A emg GET A IR2 Iges = -3,00 A V 24 UQ = 10 V + Iges R1= 10 IR2 - IR1 = +1,00 A IR2 = +2,00 A Iges = -3,00 A emg GET R2= 5 IR1 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. IR1 + IR2 - Iges = 0 oder Iges = IR1 + IR2 25 UQ = 10 V + Iges R1= 10 R2= 5 IR1 IR2 - 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. emg GET Anders gesagt: In einem Stromknoten ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme 26 Aus dem 1. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die Stromteilerregel ableiten: UQ = 10 V IR1 = Iges emg GET + Iges R1= 10 R2= 5 IR1 IR2 - R2 R1 + R2 IR2 = Iges Rges = R1 R2 R1 + R2 R1 R1 + R2 27 2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. UR1 UQ + A I R1 R2 - Masche UR2 positiver Umlaufsinn B emg GET UR1 + UR2 - UQ = 0 UQ = UR1 + UR2 28 Experiment zum 2. Kirchhoffsches Gesetz UR1 I 10 R2 5 UQ + R1 UR2 - emg GET 29 UR1 10 + R1 R2 - 5 UQ = 15 V UR2 I + - I= +1,00A emg GET A V I= UQ R1 + R2 15 V 10 + 5 30 UR1 I 10 + R1 R2 5 UQ = 15 V UR2 - + - +15,0V emg GET A UQ = 15,0V V 31 UR1 I 10 + R1 R2 5 UQ = 15 V UR2 - + emg GET - +10,0V UR1 = 10,0V A UR1 = I R1 V 32 UR1 I 10 + R1 R2 5 UQ = 15 V UR2 - + emg GET - +5,00V UR2 = 5,00V A UR2 = I R2 V 33 UR1 I 10 + R1 R2 5 UQ = 15 V UR2 - Berechnung der Summe aller Spannungen im gewählten Umlaufsinn: UR1 + UR2 -UQ = 0 10V + 5V -15V = 0 emg GET 34 2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. UR1 UQ + A I R1 R2 - Masche UR2 positiver Umlaufsinn B emg GET UR1 + UR2 - UQ = 0 UQ = UR1 + UR2 35 Aus dem 2. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die Spannungsteilerregel ableiten: R1 UQ + - UR1 UR1 = UQ R1 + R2 I A R2 UR2 UR2 = UQ emg GET R1 R2 R1 + R2 B 36 Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL URL UAB B Der Strom IR berechnet sich aus dem Ohmschen Gesetz: UQ emg R R i + RL GET I = 37 Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL URL UAB B Die Spannung UAB berechnet sich aus der Spannungsteilerregel: RL emg AB Q R i + RL GET U =U 38 Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR) UAB Leerlauf U0=U Q DUAB 1V Widerstandsgerade UQ = f(I) = const ! DI Arbeitspunkt Ri = DUAB / DI Ri = 0,5 emg GET RL = DUAB / DI DI DUAB UAB = f(IR) Kurzschluß I = Ik Strom I für gegebene Last R 1A 2A I 39 Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR) mit nichtlinearem Innenwiderstand U UQ Leerlauf Widerstandsgerade UQ = f(I) = const ! UAB = f(IR) RL = UAB / I Arbeitspunkt 1V Kurzschluß emg GET Strom I für gegebene Last R 1A 2A I = Ik I 40 Merksatz Eine ideale elektrische Stromquelle liefert einen eingeprägten, d.h. konstanten und insbesondere von der Größe der Spannung, die an ihren Klemmen auftritt, unabhängigen Quellenstrom. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß! emg GET 41 A ideale Quelle IQ + RL - B Ideale Stromquelle mit Lastdiagramm Last UR Leitwertgerade G L = IQ / U R I IQ = f(U) = const ! IQ emg GET Spannung UR für gegebene Last R U 42 Reale Stromquellen lassen sich nur unter Zuhilfenahme von Spannungsquellen realisieren! Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch die Leerlaufspannung U0 den Kurzschlußstrom Ik den Innenwiderstand Ri beschrieben. emg GET Eine reale Stromquelle wird durch eine Ersatzschaltung aus einer idealen Stromquelle mit Innenwiderstand nachgebildet. 43 Messung im Leerlauf: A reale Quelle IQ + Ri V UAB B emg GET Ohne Belastung wird zwischen den Klemmen AB die Leerlaufspannung U0 UAB = U0 = IQ• Ri 44 gemessen. Messung im Kurzschluß: A reale Quelle IQ + Ri A UAB - Ik B emg GET Im Kurzschluß wird zwischen den Klemmen AB der Kurzschlußstrom Ik Ik = IQ gemessen, 45 dabei ist UAB = 0. Aus den beiden Messungen ergeben sich die Eigenschaften der realen Quelle: Im Leerlauf wird die Leerlaufspannung U0 gemessen. Im Kurzschluß wird der Kurzschlußstrom Ik gemessen. Aus der Kurzschlußmessung und der Leerlaufspannung berechnet sich der Innenwiderstand: emg GET Ri = U0 / Ik 46 Aufgabe: Realisiert werden soll eine Stromquelle, die einen Strom IQ = 1 mA durch Lastwiderstände von von 0 bis 1 k treibt. Dabei soll sich der Strom um weniger als 1% ändern. ideale Quelle IQ Last + RL - emg GET A UR B 47 Wir können diese Aufgabe nur unter Zuhilfenahme einer realen Spannungsquelle lösen, deren Quellenspannung UQ und Innenwiderstand Ri wir unter Berücksichtigung der Forderungen für die Lastwiderstände berechnen müssen. A reale Quelle UQ + IR Ri RL URL UAB - emg GET Last B 48 1. Fall: Kurzschluß RL = 0 A reale Quelle UQ + Ri UAB - IQ B emg GET Gleichung 1: UQ = IQ • Ri 49 2. Fall: Lastwiderstand RL = 1 k A reale Quelle UQ + Last IQ Ri RL URL UAB B emg Gleichung 2: UQ = IQ • 0,99 • (Ri + RL) GET 50 Da die Quellenspannung UQ konstant ist, können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen: IQ • 0,99 • (Ri + RL) = IQ • Ri Daraus folgt die Bestimmungsgleichung für den Innenwiderstand: Ri = 0,99 • (Ri + RL) Ri = 99 • RL emg GET Mit RL = 1 k folgt für Ri = 99 k, oder in der praktischen Realisierung Ri = 100 k 51 Jetzt berechnen wir aus Gleichung 1 die Quellenspannung UQ: UQ = IQ • Ri UQ = 1 mA • 100 k UQ = 1 • 10-3 A • 100 • 103 UQ = 100 V emg GET 52 Probe: reale Quelle 100V + A Last IQ 100 k RL URL UAB B RL = 0: IQ = 100V/100k = 1 mA RL = 1 k: IQ = 100V/101k = 0,9909 mA emg GET Bei einer Widerstandsänderung von 0...1000 ändert sich der Strom IQ um weniger als 1%. Die Schaltung kann daher als eine Konstantstromquelle betrachtet werden. 53 Dimesionierte Schaltung: reale Spannungsquelle 100V + Last A IQ 100 k RL URL UAB B Äquivalente Ersatzschaltung mit Stromquelle: emg GET reale Stromquelle + IQ = 1 mA Last A IRi IL - RL URL UAB Ri=100 k B 54 Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle: C B E npn-Transistor IB B‘ B C RBB‘ UBE emg GET E UB‘E B•IB GCE UCE E 55 Die Berechnung von elektrischen Netzwerken kann sich vereinfachen, wenn Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen - oder umgekehrt - umgewandelt werden. Bei der Umwandlung müssen die Eigenschaften der Quelle bezüglich des Klemmenverhaltens gleich bleiben. Das heißt: Leerlaufspannung, Kurzschlußstrom und Innenwiderstand dürfen sich nicht verändern! emg GET 56 Umwandlung einer Spannungsquelle in eine äquivalente Stromquelle: reale Spannungsquelle 100V + 100 k Leerlaufspannung U0= UQ = 100 V A Innenwiderstand Riu = 100 kOhm Kurzschlußstrom Ik = UQ / RiU =1 mA - UAB B emg GET Blickrichtung in die Klemmen zur Bestimmung des Innenwiderstandes Die äquivalente Stromquelle muß Ideale Quelle zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: Ri = 0! RiI = RiU 57 Ersatzstromquelle A + IQ = 1 mA - RiI Ri=100 k Die äquivalente Stromquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: RiI = RiU = Ri UAB B Im Kurzschluß muß die Stromquelle den gleichen Kurzschlußstrom Ik liefern, dieser entspricht dem Quellenstrom IQ IQ = UQ / RiU emg GET Im Leerlauf liefert die Stromquelle die Leerlaufspannung U0 = Ik • Ri , dies entspricht der Leerlaufspannung der o.g. Spannungsquelle. 58 Umwandlung einer Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle : A Kurzschlußstrom Ik = IQ =1 mA Innenwiderstand RiI = 100 k Leerlaufspannung U0= IQ • RiI = 100 V reale Stromquelle + IQ = 1 mA - RiI Ri=100 k emg GET Ideale Quelle Ri = unendlich! UAB B Blickrichtung in die Klemmen zur Bestimmung des Innenwiderstandes Die äquivalente Spannungsquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: RiU = RiI 59 reale Spannungsquelle 100V + 100 k A Die äquivalente Spannungsquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: RiI = RiU = Ri - UAB B Im Leerlauf muß die Spannungsquelle die gleiche Leerlaufspannung U0 liefern, diese entspricht der Quellenspannung UQ UQ = IQ • RiI emg GET Im Kurzschluß liefert die Spannungsquelle den Kurzschlußstrom Ik = U0 / RiU , dies entspricht dem Quellenstrom IQ der o.g. Stromquelle. 60 Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IR Leerlauf: UAB = UQ reale Spannungsquelle UQ 1,0 + emg GET Ri IR RL URL UAB - UAB UQ 0,5 Last A B Arbeitspunkt Ri = RL Kurzschluß: IR = Ik IR Ik 0,5 1,0 61 Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri IR RL URL UAB B UAB emg GET UQ = RL / R i 1 + RL/Ri 62 Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL UAB UQ = RL / R i Leerlauf: UAB = UQ bei RL = unendlich 1 + RL/Ri 1,0 UAB UQ 0,5 RL/Ri 0 0,5 1 2 3 4 6 UAB/UQ 0 0,333 0,5 0,667 0,75 0,8 0,857 0,889 Kurzschluß: RL = 0 emg GET 8 RL Ri 1 2 4 6 8 63 Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IRL Leerlauf: UAB = U0 1,0 reale Stromquelle IQ + 0,5 emg GET IRi IRL - UAB U0 Last A RL URL UAB B Arbeitspunkt Ri = RL Kurzschluß: IRL = IQ IRL IQ 0,5 1,0 64 Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL reale Stromquelle IQ Last A IRi IRL + - RL URL UAB B An der Klemme A wird der Strom IQ geteilt in die Teilströme IRi und IRL. emg GET IRL IQ = 1 1+ RL Ri 65 Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL Kurzschluß: RL = 0 1,0 IRL IQ IRL IQ = RL 1 + Ri RL/Ri 0 0,5 1 2 3 4 6 8 IRL/IQ 1 0,667 0,5 0,333 0,25 0,2 0,143 0,111 Leerlauf: IRL = 0 bei RL = unendlich RL Ri 0,5 emg GET 1 1 2 4 6 8 66 Zusammenschaltung von Spannungs- und Stromquellen Behandlung in einer großen Übung emg GET Leistungsbilanz im Grundstromkreis Die elektrische Leistung, die eine Spannungsquelle abgibt berechnet sich aus dem Produkt der Quellenspannung und des Stromes, der aus der Quelle in den Verbraucher fließt. Die elektrische Leistung wird mit dem Formelzeichen P beschrieben und in der Einheit Watt (W) angegeben: emg 1 Watt = 1Volt • 1 Ampere GET 68 Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri IR RL URL UAB B Aus der Spannungsquelle mit der Quellenspannung UQ fließt den Strom IR durch die Verbraucher Ri und RL. Die Quelle liefert die elektrische Leistung: emg GET PQ = UQ • IR PQ = Erzeugerleistung 69 Leistungsbilanz im Grundstromkreis An einem ohmschen Widerstand R, der von einem Strom I durchflossen wird, entsteht eine elektrische Spannung UR. I R UR Es gilt das Ohmsche Gesetz: UR = R • I In dem ohmschen Widerstand R wird die Verbraucherleistung PR in Wärme umgesetzt. emg GET PR = UR • I = I² • R = UR² /R 70 Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle Erzeugerleistung UQ + Last A Ri IR RL URL Nutzleistung UAB B In diesem Grundstromkreis liefert die Quelle UQ die Erzeugerleistung PQ. Verbraucherleistung PV entsteht in Widerständen Ri und RL.. emg Die Nutzleistung P wird zwischen den a GET Klemmen AB an den Widerstand RL abgegeben. 71 Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle Erzeugerleistung UQ + Last A Ri IR RL URL Nutzleistung UAB B Das Verhältnis von emg GET Nutzleistung Pa zu Erzeugerleistung PQ ist der Wikungsgrad h des Stromkreises: h = Pa / PQ 72 Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ Ri + Last A IR RL URL UAB B Leerlauf (RL = ): Kurzschluß (RL = 0): Klemmenspannung: emg GET Ausgangsstrom: UAB = U0 =UQ IR = Ik = UQ/Rii UAB = UQ • RL/(Rii + RL) IR = UQ • 1/(Rii + RL) 73 Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri IR RL UAB B URL Kurzschlußleistung: Pk = UQ•Ik = UQ²/Ri Erzeugerleistung = gesamte von der Quelle UQ an Ri und RL gelieferte Leistung PQ : PQ = UQ • IR = UQ² • 1/(Ri + RL) Ausgangsleistung = am Lastwiderstand RL emg abgegebene Leistung Pa : GET Pa = URL • IR = UQ² • RL /(Ri + RL)² 74 Wirkungsgrad des Grundstromkreises reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri IR RL URL UAB B Wikungsgrad h = PL / PQ = PL / (Pi + PL) Pi = Ui • IR und PL = URL • IR Ui = UQ • Ri /(Ri + RL ) emg URL = UQ • RL /(Ri + RL ) IR = UQ /(Ri + RL ) GET h= RL / Ri 1 + (RL / Ri ) 75 Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri IR RL URL UAB B PL = UQ² • RL /(Ri + RL)² Zur Berechnung des Maximums von PL in Abhängigkeit von RL, muß die Gleichung nach RL differenziert werden. Man erhält als Differentialquotienten: emg GET Ri - RL dPL = UQ² dRL (Ri + RL)³ 76 Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax Für das gesuchte Maximum muß der Differentialquotient null werden: Ri - RL 0 = UQ² (Ri + RL)³ Daraus folgt für RL die Bedingung: RL = Ri Wenn Ri und RL gleich groß sind, wird in beiden Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt. Man nennt diesen Fall: Leistungsanpassung. Bei Leistungsanpassung wird im Lastwiderstand RL die maximale Leistung umgesetzt: emg GET PLmax = UQ² /4Ri = UQ² /4RL 77 Leistungsbilanz im Grundstromkreis Alle Gleichungen im Überblick mit der Normierung RL/Ri = x reale Spannungsquelle UQ + Last A Ri URL/UQ = x/(1+x) IR RL UAB B URL IR/Ik = 1/(1+x) PL/PQ = h = x/(1+x) PL/PLmax = 4x/(1+x)² emg GET Kurvendarstellung Matlab 78 X URL/UQ 0 0 0,25 0,2 0,333 0,5 0,75 0,438 0,5 1 0,666 2 0,75 3 0,8 4 0,833 5 0,857 6 0,875 7 0,888 8 0,9 emg 9 0,909 10 GET IR/Ik 1 0,8 0,666 0,571 0,5 0,333 0,25 0,2 0,166 0,143 0,125 0,111 0,1 0,091 PL/PQ 0 0,2 0,333 0,438 0,5 0,666 0,75 0,8 0,833 0,857 0,875 0,888 0,9 0,909 PL/PLmax 0 0,64 0,888 0,979 1,0 0,888 0,75 0,64 0,555 0,489 0,438 0,395 0,36 0,331 79 Meßtechnik RL -> Kurzschluß Leistungsanpassung: h = 0,5 1,0 8 Energietechnik h -> 1, Ri -> 0 Leerlauf URL/UQ 0,8 PL/PQ = h 0,6 PL/PLmax 0,4 0,2 IR/IK 1 emg GET 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RL/Ri 80 Energietechnik: zur Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ( h -> 1) muß der Innenwiderstand des Energieerzeugers möglichst gering sein (Ri -> 0). reale Spannungsquelle UQ + - Last A Ri IR RL UAB URL B emg GET 81 Nachrichtentechnik: zur Erzielung einer möglichst hohen Leistungsverstärkung müssen Empfänger (Antenne) und Verbraucher (Signalverstärker) bei Leistungsanpassung arbeiten. h = 0,5 ; RL = Ri reale Spannungsquelle UQ + Ri IR RL UAB B emg GET Last A URL UA Signalverstärker bei Leistungsanpassung Ri = RL 82 Meßtechnik: Durch die Messung darf die Meßgröße des Meßobjekt nicht beeinflußt werden. Daher muß z.B. ein Spannungsmeßgerät einen möglichst großen Innenwiderstand haben Ri -> . Die Messung erfolgt bei Leerlauf der Quelle! reale Spannungsquelle UQ + Ri IR RL UAB - Last A URL B emg GET Usp V Um 83 4.2 Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke + UQ + - IQ - Die Netzwerkanalyse stellt Berechnungsverfahren bereit, mit denen sich Spannungen, Ströme und Widerstände in verzweigten elektrischen Netzwerken berechnen lassen. emg GET 84 Ein Netzwerk besteht aus: + UQ + - IQ Zweigen und Knoten Die Netzwerkelemente in den Zweigen sind: emg Widerstände, Spannungs- und Stromquellen (später auch Wechselstromelemente). GET 85 Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke + UQ + - IQ Eine häufige Aufgabe der Netzwerkanalyse ist die Berechnung von Zweigspannungen und emgZweigströmen bei bekannten Größen der Quellen und Widerstände. 86 GET UQ + + - - IQ Die wichtigsten Berechnungsverfahren der Netzwerkanalyse sind: Die Anwendung der Kirchhoffschen Sätze Das Überlagerungsverfahren Die Berechnung von Ersatzzweipolen emg GET Das Maschenanalyseverfahren Das Knotenpotentialverfahren 87 Vorbereitung einer Schaltung zur Aufstellung der Analysegleichungen UQ emg GET + + - - IQ Ein Netzwerk wird vollständig durch m Maschengleichungen und k-1 Knotengleichungen beschrieben. Die Aufstellung des Gleichungssystems wird nach folgenden Schritten vorgenommen: 88 1 2 3 + UQ + - IQ 0 = Bezugsknoten 1. Numerierung der k Knoten von 0 bis k-1 (da Leitungen widerstandslose Verbindungen sind, stellen mehrere Abzweigungen an emg einer Leitung nur einen Knoten dar). GET 89 + UQ + - IQ 2. Numerierung der Zweige von 1 bis z. Für jeden Zweigstrom und jede Zweigspannung wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen. emg GET Zweignummer = Bauteilindex 90 R4 I4 1 R2 I1 I2 2 U4 3 R5 I5 U2 I3 R1 U5 I6 + R3 R6 U3 + U6 - IQ6 UQ1 U1 emg GET 0 = Bezugsknoten 91 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Zweigströme über das Ohmsche Gesetz. Zweig 1: U1 = -R1 • I1 +UQ1 Zweig 2: U2 = R2 • I2 Zweig 3: U3 = R3 • I3 Zweig 4: U4 = R4 • I4 Zweig 5: U5 = R5 • I5 Zweig 6: U6 = R6 • I6 Aufstellung der Knotengleichungen: Knoten 1: I1 - I2 - I4 = 0 Knoten 2: I2 - I3 - I5 = 0 emg GET Knoten 3: I4 + I5 + IQ6 - I6 = 0 92 4. Auswahl eines geeigneten Berechnungsverfahrens und Eintragen der dafür zusätzlich erforderlichen Größen (z.B. Maschenströme oder Knotenpotentiale). 5. Aufstellung und Lösung des Gleichungssystems. emg GET 93 Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 1. Anwendung der Kirchhoffschen Sätze Zweig 1 UQ I1 + Ein einfaches Beispiel: 1 I3 R3 R1 UR1 Zweig 2 I2 R2 UR2 Masche 1 emg GET UR3 0 Zweig 3 1. Numerierung der Knoten 2. Numerierung der Zweige Zweigspannungen und Zweigströme eintragen Masche 2 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme = Bezugsknoten UR1 = R1 • I1 UR2 = R2 • I2 UR3 = R3 • I3 Numerierung der Maschen 94 Ein Netzwerk wird vollständig durch seine z Zweige beschrieben. Sind die Größen der Elemente in den Zweigen bekannt (Widerstände und Quellen), dann sind 2•z Größen - nämlich die Zweigspannungen und die Zweigströme - unbekannt. Über das Ohmsche Gesetz lassen sich z Größen berechnen, es verbleiben z Unbekannte, wofür z voneinander unabhängige Gleichungen aufzustellen sind. Mit den Kirchhoffschen Regeln lassen sich m Maschengleichungen und emg k-1 Knotengleichungen aufstellen. GET 95 Zwischen den Maschen m, Knoten k und Zweigen z eines Netzwerkes gilt der Zusammenhang: m = z - (k -1) In einem Netzwerk mit k Knoten führt jede Knotengleichung auf mindestens einen Zweig, der vorher noch nicht berücksichtigt wurde. Im Schaltungsbeispiel haben wir: z = 3 Zweige und k = 2 Knoten. Wir erkennen zwei Maschen, die durch den oben beschriebenen Zusammenhang bestätigt werden: emg m = 2 = 3 -(2-1) GET 96 Aufstellung der Maschengleichungen: Masche 1: UR1 + UR2 - UQ = 0 Masche 2: UR3 - UR2 = 0 Aufstellung der Knotengleichung: Knoten 1: I1 - I2 - I3 = 0 Am Knoten 0 - dem Bezugsknoten - ergibt sich die gleiche Stromsumme, daher eben nur k-1 Knotengleichungen. Die Gleichungen enthalten 2•z = 6 Unbekannte: UR1 UR2 UR3 und I1 I2 I3 emg GET 97 Die unbekannten Spannungen UR1 ,UR2 ,UR3 werden durch die Widerstände und Ströme ersetzt, damit erhält man drei Gleichungen für die drei unbekannten Ströme: Masche 1: I1 R1 + I2 R2 - UQ = 0 Masche 2: I3 R3 - I2 R2 = 0 Knoten 1: I1 - I2 -I3 = 0 Die Gleichungen werden in der Reihenfolge der Indizes sortiert, die bekannten Quellen auf die rechte Seite gebracht: Masche 1: I1 R1 + I2 R2 = UQ emg GET Masche 2: - I2 R2 + I3 R3 = 0 Knoten 1: I1 - I2 - I3 =0 98 Dieses lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten läßt sich nun nach verschiedenen Verfahren lösen, z.B. als Matrizengleichung: R1 R2 0 0 -R2 R3 • 1 -1 -1 I1 I2 I3 = UQ 0 0 Spaltenmatrix der Koeffizientenmatrix Spaltenmatrix der der Zweigwiderstände unbekannten Ströme bekannten Quellen Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ = 10V emg GET Matlab 99 R1 R2 0 0 -R2 R3 • 1 -1 -1 I1 = I1 I2 = I3 UQ 0 0 D I1 = UQ R2 0 0 -R2 R3 0 -1 -1 Determinante [I1] Determinante [K] R1 R2 0 D K = 0 -R2 R3 1 -1 -1 (Kramersche Regel) emg GET 100 Allgemeine Lösung einer dreireihigen Determinante: D= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D = a11 D= emg GET D= a11 a12 a21 a22 a31 a32 + Lösungsschema a22 a23 a21 a23 a21 a22 a32 a33 - a12 a31 a33 + a13 a31 a32 a11 ( a22 a33 - a23 a32) - a12 ( a21 a33 - a23 a31) + a13 ( a21 a32 - a22 a31) a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 101 Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ = 10V 5 10 0 Determinante [K] = 0 -10 10 1 -1 -1 DK= (5 •-10 •-1) + (10 •10 •1) + (0•0 •-1 ) - (5 • 10 •-1) - (10 •0 •-1 ) - (0• -10 •1) DK= (50 2) + (100 2) + (0) - (-50 2) - (0 ) - (0) DK= 50 2 + 100 2 + 50 2 emg GET = 200 2 102 10V 10 0 -10 10 Determinante [I1] = 0 0 -1 -1 D I1= (10V •-10 •-1) + (10 •10 •0) + (0 •0 •-1) (10V •10 •-1) - (10 •0 -1) - (0 •-10 •0) D I1= (100 V ) + (0) + (0) -(-100V ) - (0) - (0) D I1= 200 V = 200 V²/A emg I1 = GET D I1 DK 200 V²/A 200 V² A² = = 2 200 (V/A) 200 V² A = 1A 103 Lösung der Netzwerkanalyse: I1 UQ + 1 R1 UR1 I3 R3 I2 UR3 R2 UR2 - I1 = 1A Vorgaben: UQ = 10 V R1 = 5 R2 = 10 R3 = 10 0 = Bezugsknoten I2 = 0,5A I3 = 0,5A (I2 und I3 berechnet wie I1) emg GET UR1 = I1 •R1 = 5 V UR2 = I2 •R2 = 5 V UR3 = I3 •R3 = 5 V = UR2 104 Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4.2.1 Das Überlagerungsverfahren Die Berechnung von Strömen und Spannungen in einem linearen Netzwerk mit mehreren Quellen (Spannungsund/oder Stromquellen) kann dadurch vereinfacht werden, daß die Wirkung jeder Quelle für sich berechnet wird. Die Einzelwirkungen werden dann zur Gesamtwirkung überlagert. Quellen deren Wirkung gerade nicht untersucht werden, werden durch ihre Innenwiderstände ersetzt: Ideale Spannungsquelle Ri = 0, emg ideale Stromquelle Ri = GET 105 Beispiel: 1 I1 UQ1 I3 + Gesucht sind: die Zweigspannung U3 und der Zweigstrom I3! I2 + UQ2 1. Numerierung der Knoten - R3 2. Numerierung der Zweige Zweigströme und Zweigspannungen eintragen UR3 R2 R1 UR2 UR1 Masche 1 0 Masche 2 = Bezugsknoten Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V emg GET 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme UR1 = R1 • I1 UR2 = R2 • I2 UR3 = R3 • I3 Numerierung der Maschen 4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens 106 4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens 1. Schritt: Den Strom I31 als Wirkung von UQ1 berechnen, dabei ist UQ2 = 0 1 I11 UQ1 I21 Die Quelle UQ2 wurde durch ihren Innenwiderstand Ri = 0 ersetzt! I31 + R3 UR31 R2 R1 UR21 UR11 Masche 1 emg GET 0 Masche 2 = Bezugsknoten 107 1 I11 UQ1 + I21 Masche 1: UR31 + UR11 -UQ1 = 0 I31 - Masche 2: UR31 + UR21 = 0 R3 UR31 R1 Knotengleichung: I11 + I21 - I31 = 0 R2 Mit UR21 UR11 UR11 = I11R1 UR21 = I21R2 Masche 1 Masche 2 0 = Bezugsknoten UR31 = I31R3 man erhält das lineare Gleichungssystem: emg GET I11 + I21 - I31 =0 I11R1 + I31R3 = UQ1 I21R2 + I31R3 = 0 108 Das lineare Gleichungssystem: I11 + I21 - I31 =0 I11R1 + I31R3 = UQ1 I21R2 + I31R3 = 0 1 1 -1 R1 0 R3 • 0 R2 R3 0 I11 I21 = UQ1 0 I31 Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V emg GET Matlab 109 1 1 -1 R1 0 R3 • 0 R2 R3 I31 = 0 I11 I21 = UQ1 0 I31 Determinante [I31] Determinante [K] 1 1 -1 D K = R1 0 R3 0 R2 R3 emg GET 1 1 0 D I31 = R1 0 UQ1 0 R2 0 110 Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V I31 = emg GET DK= 1 1 -1 5 0 10 0 10 10 D I31= 1 1 0 5 0 10V 0 10 0 = - 200 2 = -100 V -100 V²/A D I31 100 V² A² = = 2 DK -200 (V/A) 200 V² A = 0,5A 111 4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens 2. Schritt: Den Strom I32 als Wirkung von UQ2 berechnen, dabei ist UQ1 = 0 1 I12 I22 I32 + UQ2 R3 UR32 R2 R1 UR22 UR12 emg GET Masche 1 Die Quelle UQ1 wurde durch ihren Innenwiderstand Ri = 0 ersetzt! 0 Masche 2 = Bezugsknoten 112 1 I12 Knotengleichung: I12 + I22 - I32 = 0 I22 I32 + UQ2 Masche 1: UR12 + UR32 = 0 - Masche 2: UR32 + UR22 - UQ2 = 0 R3 UR32 R1 UR12 R2 Mit UR12 = I12R1 Masche 1 Masche 2 UR22 = I22R2 0 = Bezugsknoten UR32 = I32R3 erhält man das lineare Gleichungssystem: I12 + I22 - I32 =0 emg I12R1 + I32R3 = 0 GET I22R2 + I32R3 = UQ2 UR22 113 Das lineare Gleichungssystem: I12 + I22 - I32 =0 I12R1 + I32R3 = 0 I22R2 + I32R3 = UQ2 1 1 -1 R1 0 R3 • 0 R2 R3 0 I12 I22 = 0 UQ2 I32 Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V emg GET Matlab 114 1 1 -1 R1 0 R3 • 0 R2 R3 I32 = 0 I12 I22 = 0 UQ2 I32 Determinante [I32] Determinante [K] 1 1 -1 D K = R1 0 R3 0 R2 R3 emg GET 1 1 0 D I32 = R1 0 0 0 R2 UQ2 115 Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1 = 5 , R2 = 10 , R3 = 10 , UQ1 = UQ2 = 10V I32 = emg GET DK= 1 1 -1 5 0 10 0 10 10 D I32= 1 1 0 5 0 0 0 10 10V -50 V²/A D I32 50 V² A² = = 2 DK -200 (V/A) 200 V² A = - 200 2 = -50 V = 0,25A 116 Überlagerung der Einzelwirkungen zur Gesamtwirkung: 1 I1 UQ1 I2 I3 + + UQ2 - R3 UR3 R2 R1 UR2 UR1 Masche 1 0 Masche 2 = Bezugsknoten I3 = I31 + I32 = 0,5 A + 0,25 A = 0,75 A emg GET 117 Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4.2.2 Die Berechnung von Ersatzzweipolen Wenn von einer beliebigen Schaltung aus linearen, aktiven und passiven Zweipolen nur die elektrischen Größen eines Zweiges von Interesse sind, dann wird das Netzwerk - bis auf den zu untersuchenden Zweig in einen linearen aktiven Zweipol umgewandelt, an den nur der zu untersuchende Zweig angeschlossen ist. Möglich ist die Umwandlung des Netzwerkes in eine: Ersatzspannungsquelle emg GET Ersatzstromquelle 118 Beispiel: Gegeben ist das folgende Netzwerk R1 UQ R3 I5 + A R5 - B Das Netzwerk bestehend aus: U5 R2 Gesucht sind: die Spannung U5 und der Strom I5 R4 der Spannungsquelle UQ und den Widerständen R1 bis R4 kann in eine Spannungs- oder Stromersatzquelle umgerechnet werden. Der Widerstand R5 bildet den Lastwiderstand der Ersatzquelle. emg GET 119 Reale Schaltung R1 I5 + UQ R3 A B R5 - U5 R2 R4 Ersatzspannungsquelle Last A UQers + I5 Riers R5 emg GET U5 UAB B 120 Reale Schaltung R1 I5 + UQ R3 A B R5 - U5 R2 R4 Ersatzstromquelle IQers Last A I5 + R5 Riers emg GET U5 UAB B 121 R1 UQ R3 I5 + A R5 - U5 R2 B Allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung einer R4 Ersatzquelle bezüglich der betrachteten Anschlüsse: 1. Leerlaufspannung mit einem geeigneten Verfahren berechnen. 2. Innenwiderstand zwischen den betrachteten Anschlüssen berechnen, dabei Quellen beachten. emg 3. Probe mit Kurzschlußstrom. GET 122 Berechnung einer Ersatzspannungsquelle: U1 R1 UQ + U3 R3 UQers A B U2 R2 U4 R4 R1 U1 = UQ R1 + R2 R3 U3 = UQ R3 + R4 emg GET UQers = UQ UQers ist die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B UQers = U3 - U1 Die Widerstände R1, R2 und R3, R4 bilden je einen Spannungsteiler, aus dem sich U1 und U3 berechnen lassen: R3 R3 + R4 R1 R1 + R2 123 R1 UQ R3 Innenwiderstand zwischen den Klemmen A und B: + A B A B R2 R4 R2 R4 R1 R3 Die ideale Quelle UQ wird durch Ri = 0 ersetzt! Der Innenwiderstand Riers ergibt sich aus der Reihenschaltung von R1//R2 + R3//R4: emg GET Riers = R1•R2 R1 + R2 R3•R4 R3 + R4 124 Lösung: Ersatzspannungsquelle UQers + Last A I5 Riers R5 U5 UAB B UQers = UQ Riers = emg GET R3 R3 + R4 R1•R2 R1 + R2 UQers I5 = Riers + R5 R1 R1 + R2 R3•R4 R3 + R4 UQers Ik = R iers U 5 = I5 • R 5 Matlab 125 Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Viertel-Brücke Umess = UQ U1 R1 ±ΔR U3 UQ + Umess A R3 B U2 R2 U4 R4 R1±ΔR R1 ±ΔR + R2 Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich groß sind. R±ΔR R Umess = UQ R + R R ±ΔR + R R±ΔR 2R ±ΔR Umess = UQ R 2R Umess = UQ 2R2 ±ΔR R 2R2±ΔR2R 4R2 ±ΔR2R Umess = -U1 + U3 emg GET R3 R3 + R4 Umess = UQ - (±ΔR) 4R ±2ΔR 126 Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Viertel-Brücke Umess = UQ - (±ΔR) 4R ±2ΔR Näherung Umess = UQ - (±ΔR) · 4R 1 1± Spannung in der Messdiagonale als Funktion der Verstimmung bei R1 emg GET ΔR 2R Korrekturfaktor Umess = UQ · Näherung · Korrekturfaktor 127 Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Halb-Brücke Umess = UQ U1 R1 +ΔR U3 UQ + A Umess U2 R2 -ΔR U4 R3 R3 + R4 R1 R1 + R2 R3 Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich B groß sind. R R+ΔR Umess = UQ R + R R +ΔR + R -ΔR R4 Umess = UQ R 2R R+ΔR 2R Umess = -U1 + U3 emg GET Umess = UQ ΔR 2R 128 Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Voll-Brücke Umess = UQ U1 R1 +ΔR U3 UQ + A Umess U2 R2 -ΔR U4 emg GET R1 R1 + R2 R3 -ΔR B Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich groß sind. R4 +ΔR Umess= UQ Umess = -U1 + U3 R3 R3 + R4 Umess = UQ Umess = UQ R -ΔR R-ΔR+ R+ΔR R+ΔR R+ΔR+R-ΔR R-ΔR- R - ΔR 2R ΔR R 129 Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4.2.3 Das Maschenanalyseverfahren Der Vorteil des Maschenanalyseverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur m Gleichungen (für die Anzahl der Maschen) aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET 130 Gegeben ist das Netzwerk mit den Quellen und Widerständen: UQ3 R3 U3 I3 U2 3 U5 R5 R2 1 R1 emg GET U4 I1 UQ1 I5 I6 2 I2 U1 Gesucht sind: die Spannungen U1 bis U6 und die Ströme I1 bis I6. R4 U6 I4 0 Bezugsknoten 1. Schritt: Knoten numerieren 2. Schritt: Zweige numerieren Zweigspannungen und Zweigströme eintragen R6 Unter Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze sind: k-1 Knotengleichungen und m Maschengleichungen aufzustellen: k=4 z=6 m = z - (k-1) = 3 131 3. Schritt: Verknüpfung der Zweigspannungen und ZweigUQ3 ströme über das Ohmsche Gesetz: 3 R3 U3 I3 U2 U5 R5 R2 1 U1 R1 emg GET U4 I1 UQ1 I5 I6 2 I2 R4 Uz1 = I1R1 - UQ1 U6 I4 0 Bezugsknoten Uz3 = I3R3 + UQ3 R6 U1 = I1R1 U2 = I2R2 U3 = I3R3 U4 = I4R4 U5 = I5R5 U6 = I6R6 132 4. Schritt: Einführung von Maschenströmen Betrachtung des Knotens 1: SI = 0 = I1 - I2 - I3 UQ3 R3 3 M2 I3 R5 R2 1 emg GET I1 M1 UQ1 I5 I6 2 M3 I2 R1 Sind z.B. I1 und I3 bekannt (durch Messung), dann ist I2 durch die Knotengleichung eindeutig bestimmt. R4 I4 0 Bezugsknoten R6 Man kann I1 und I3 als unabhängig und I2 als von I1 und I3 abhängig bezeichnen. Es erscheint daher sinnvoll, I2 in den Gleichungen nicht mehr mitzuführen, sondern von vornherein durch I1 und I3 darzustellen. 133 4. Schritt: Einführung von Maschenströmen Betrachtung des Knotens 0: SI = 0 = - I1 - I4 - I6 UQ3 R3 3 M2 I3 R5 R2 1 emg GET I1 M1 UQ1 I5 I6 2 M3 I2 R1 Wird neben I1 und I3 auch I6 als weiterer unabhängiger Strom gewählt, dann ist I4 eindeutig bestimmt. R6 Die als unabhängig bezeichneten Ströme I1 , I3 und I6 fließen in den geschlossenen Stromschleifen der Maschen. Strom über Knoten R4 I4 0 Bezugsknoten I1 I3 I6 0 1 2 0 1 3 2 1 0 3 2 0 IM1 IM2 IM3 134 UQ3 4. Schritt: Einführung von Maschenströmen 3 Zusammenhang zwischen den Zweigströmen und den Maschenströmen: IM3 R3 U3 I3 IM2 U2 U5 R5 R2 1 2 I2 U1 R1 U4 I1 I5 I6 R4 U6 I4 R6 I1 = IM1 I2 = IM1 - IM2 I3 = IM2 I4 = -IM1 - IM3 I5 = -IM2 - IM3 I6 = IM3 IM1 emg GET UQ1 0 Bezugsknoten 135 Aufstellung der Maschengleichungen: Zweigspannungen U1 U2 U3 U4 U5 U6 Masche 1: U1+ U2 Masche 2: Masche 3: -U2 +U3 -U4 Quellen UQ = UQ1 -U5 -U4 -U5 +U6 = -UQ3 =0 Spannungen durch Maschenströme ausdrücken: U1 = I1R1 = IM1R1 U2 = I2R2 = IM1R2 - IM2R2 emg U4 = I4R4 = -IM1R4 - IM3R4 GET 136 Bestimmungsgleichung für die Maschenströme: Zweigspannungen U1 U2 U3 U4 U5 U6 Quellen UQ Masche 1: IM1(R1 + R2 + R4) - IM2R2 + IM3R4 = UQ1 Masche 2: -IM1R2 + IM2(R2 + R3 + R5) +IM3R5 = -UQ3 Masche 3: IM1R4 + IM2R5 + IM3(R4 + R5 + R6) = 0 emg GET 137 (R1 + R2 + R4) -R2 -R2 +(R2 + R3 + R5) R4 +R5 +R4 UQ1 +R5 IM2 = -UQ3 +(R4 + R5 + R6) Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstände IM1 IM3 0 Spaltenmatrix Spaltenmatrix der unbekannten der bekannten Maschenströme Quellen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: emg GET 138 1. Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv. 2. Jede Zeile der Widerstandsmatrix beschreibt eine Masche und ihre Kopplung zu den anderen Maschen. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Widerstände in der Masche gebildet. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Widerstände, über die die Maschen miteinander gekoppelt sind. Fließen die Maschenströme in gleicher Richtung durch den/die Kopplungswiderstände, dann ist das Vorzeichen des Matrixelementes positiv. 5. Die Quellenspannungen in der Spaltenmatrix der rechten Seite des Gleichungssystems sind mit einem negativen Vorzeichen einzusetzen, wenn der Zählpfeil der emgSpannungsquelle in Richtung des Maschenstromes zeigt. GET 139 Lösungsalgorithmus für das Maschenanalyseverfahren: 1. Jeder Masche wird ein unabhängiger Maschenstrom zugeordnet. Die Richtung des Maschenstromes ist beliebig wählbar, die angenommene Zählrichtung gilt als positiv. Die Maschenwahl ist zweckmäßig so zu treffen, daß durch den besonders interessierenden Zweig nur ein Maschenstrom fließt. 2. Aufstellung der Beziehungen zwischen den Maschen- und Zweigströmen. 3. Aufstellung der Maschengleichungen. 4. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Maschenströme. 5. Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme. 6. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen emg nach Punkt 2. Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 4. 140 GET Vorteile des Maschenanalyseverfahrens gegenüber der Netzwerkanalyse nur mit Kirchhoffschen Regeln: An Stelle von z Gleichungen für die z Zweige eines Netzwerkes werden nur m Gleichungen für die Anzahl der m Maschen aufgestellt und gelöst. So werden k-1 Gleichungen eingespart! Wichtig: Die Anzahl der Maschen muß richtig gewählt werden m = z -(k-1) emg GET 141 UQ3 R3 M1 Falsche Maschenwahl! R5 R2 R1 emg GET R6 R4 UQ1 M2 142 Bei der Wahl von zu wenigen Maschen m < z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das zwar lösbar ist, dessen Ergebnisse aber physikalisch falsch sind! Bei der Wahl von zu vielen Maschen m > z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das u.U. nicht mehr linear ist und unbestimmt sein kann! emg GET 143 (R1 + R2 + R4) -R2 -R2 +(R2 + R3 + R5) R4 +R5 +R4 +R5 IM2 = -UQ3 +(R4 + R5 + R6) Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstände UQ1 IM1 0 IM3 Spaltenmatrix Spaltenmatrix der unbekannten der bekannten Maschenströme Quellen Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R1, R3, R4, R5, = 1kΩ, R2 = 10 kΩ, R6 = 5kΩ UQ1 = 10V, UQ3 = 20 V UQ3 R3 emg GET Matlab R5 R2 R1 UQ1 R6 R4 144 Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4.2.4 Das Knotenpotentialverfahren Der Vorteil des Knotenpotentialverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur k-1 Knotengleichungen aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET 145 R4 R5 R2 R3 R1 In einer Schaltung läßt sich jedem Knotenpunkt ein Potential - das Knotenpotential zuordnen. R6 IQ6 UQ1 0 emg GET = Bezugsknoten Dafür wird ein Knoten als Bezugsknoten ausgewählt, dem ein willkürlich festgelegtes Bezugspotential 146 zugeordnet wird. R4 R5 R2 R3 R1 R6 IQ6 UQ1 0 emg GET = Bezugsknoten: Bezugspotential In der Praxis wird das Bezugspotential j0 meistens zu j0 = 0 Volt gewählt. j0 = 0 Volt 147 Die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten des Netzwerkes und dem Bezugsknoten ist die Differenz der Potentiale beider Knoten. Diese Potentialdifferenz wird als Knotenspannung bezeichnet. R4 U10 = j1 - j0 2 j2 1 j1 U20 U10 U20 = j2 - j0 R5 R2 R1 3 j3 R3 R6 U30 U30 = j3 - j0 IQ6 UQ1 emg GET 0 = Bezugsknoten : Bezugspotential 148 j0 = 0 Volt Anwendung des Knotenpotentialverfahrens: R4 j 2 2 1 j1 R5 R2 R3 R1 emg GET 3 j3 Gesucht sind: die Ströme I1 bis I6 und die Spannungen U1 bis U6 R6 IQ6 UQ1 0 j0 1. Schritt: Numerierung der Knoten von 0 bis k-1. Der Bezugsknoten, dem das Bezugspotential '0 Volt' zugeordnet wird, sollte die Knoten- 149 nummer 0 erhalten. R4 I4 1 U4 I2 2 R5 R2 I1 R3 R1 UZ1 2. Schritt: emg GET U5 I6 U2 U1 UQ1 3 I5 I3 R6 U3 IQ6 U6 0 j0 Numerierung der Zweige von 1 bis z. Für jede Zweigspannung und jeden Zweigstrom wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen150 (Index = Zweignummer). R4 1 2 U20 U10 UQ1 3 R5 R2 R1 U10 = j1 - j0 U20 = j2 - j0 U30 = j3 - j0 R3 U30 R6 IQ6 0 j0 3. Schritt: Eintragen der Knotenspannungen. Von jedem Knoten wird ein Spannungspfeil zum Bezugsknoten eingetragen. Knotenspannungen erhalten im Gegensatz zu emg Die den Zweigspannungen einen Doppelindex 151 GET (1. Index = Ausgangsknoten, 2.Index = Bezugsknoten). 4. Schritt: Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. U1 = U10 U2 = U10 - U20 U3 = U20 U4 = U10 - U30 U5 = U20 - U30 U6 = U30 emg GET 152 5. Schritt: Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. Damit ist UQ1 in eine Stromquelle umgewandelt worden I1 = U1 /R1 - UQ1 /R1 = G1 U1 - IQ1 = G1 U10 - IQ1 I2 = U2 /R2 = G2 U2 = G2 (U10 - U20) I3 = U3 /R3 = G3 U3 = G3 U20 I4 = U4 /R4 = G4 U4 = G4 (U10 - U30) I5 = U5 /R5 = G5 U5 = G5 (U20 - U30) I6 = G6 U6 + IQ6 emg GET = G6 U30 + IQ6 153 6. Schritt: Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des linearen Gleichungssystems. (G1 + G2 + G4) -G2 -G2 +(G2 + G3 + G5) -G4 -G5 -G4 IQ1 -G5 U20 = 0 +(G4 + G5 + G6) Koeffizientenmatrix der Zweigleitwerte U10 U30 Spaltenmatrix der bekannten Quellen -IQ6 Spaltenmatrix der unbekannten Knotenspannungen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: emg GET 154 1. Die Leitwertmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv, alle anderen Elemente sind negativ. 2. Jede Zeile der Leitwertmatrix beschreibt die Schaltungsstruktur in der Umgebungs eines Knotens. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Leitwerte gebildet, die mit einem Pol am zugehörigen Knoten liegen. emg GET 155 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Leitwerte, die vom betrachteten Knoten zum jeweiligen Nachbarknoten führen. 5. Die Summe der Elemente einer Zeile ist Null, wenn kein Zweig vom betrachteten Knoten zum Bezugsknoten führt. Besteht ein Zweig zum Bezugsknoten, so ist sein Leitwert gleich dieser Summe. 6. Die Elemente der Spaltenmatrix auf der rechten Seite des Gleichungssystems werden von den Quellenströmen gebildet. Fließt in den betrachteten Knoten ein Strom hinein, so wird er positiv gezählt. Ein aus dem Knoten herausfließender Strom erhält ein negatives Vorzeichen. emg GET 156 Lösungsalgorithmus für das Knotenpotentialverfahren 1. Wählen eines Bezugsknotens, dem das Bezugspotential zugeordnet wird. 2. Festlegung der Knotenspannungen. 3. Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. 4. Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. 5. Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für die Knotenspannungen. 6. Berechnung der Zweigsspannungen nach Punkt 3. Berechnung der Zweigströme nach Punkt 4. emg GET 157 4.2.5 Gesteuerte Quellen Gesteuerte Spannungs- und Stromquellen werden in aktiven Netzwerken eingesetzt, um Eingangskreise und Ausgangskreise für eine einfachere Berechnung zu trennen. Beispiel: Schaltungssymbol und Ersatzschaltung eines Transistors C B E Basis RBB‘ IB emg GET Collector UBE Emitter UB‘E BIB GCE UCE 158 Collector Basis RBB‘ IB UBE UB‘E BIB GCE UCE Emitter Dieses Beispiel eines stromverstärkenden Transistors entspricht einer stromgesteuerten Stromquelle. emg GET 159 Allgemeine Darstellung eines Vierpols I1 U1 I2 Vierpol U2 Es wird eine positive Zählpfeilrichtung für den Strom angenommen, die auf der Eingangs- und auf der Ausgangsseite in den Vierpol hinein zeigt. Dies muß nicht mit den real fließenden Strömen übereinstimmen! emg GET 160 Stromgesteuerte Stromquelle I1 I2 R1 vI1 G2 U1 U2 v = Stromverstärkung emg GET 161 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle I2 I1 R2 R1 vU 1 U1 U2 v = Spannungsverstärkung emg GET 162 Spannungsgesteuerte Stromquelle I1 I2 R1 SU 1 G2 U1 U2 S = Steilheit mit der Dimension [mA/v] Beispiel: S = 10 mA/V emg GET pro Volt Steuerspannung U1 fließt in der Stromquelle ein Strom von 10 mA 163 Stromgesteuerte Spannungsquelle I2 I1 R2 R1 U1 zI1 U2 z = Steuerfaktor mit der Dimension [V/mA] emg GET Beispiel: z = 1V/mA pro mA Steuerstrom I1 entsteht in der Spannungsquelle eine Spannung von 1V 164 Beispiel für eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle Der ideale Operationsverstärker Der Operationsverstärker mit Beschaltung als invertierender Verstärker emg GET 165 Der ideale Operationsverstärker +15V + Ud Ua = vUd Verstärkung v - Up emg GET Un -15V 0V (GND) Ua 166 Der ideale Operationsverstärker Differenzeingangswiderstand Rd +15V Ausgangswiderstand der Quelle Ria + Ua = vUd Ud Up emg GET Un -15V 0V (GND) Ua 167 Der Operationsverstärker mit Beschaltung als invertierender Verstärker I2 R2 I1 I- R1 - Ud + Ua Ue emg GET Un Up 0V (GND) 168
