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Abiturprüfung Mathematik 2012
Baden-Württemberg
Allgemeinbildende Gymnasien
Wahlteil Geometrie II 2
Lösungen
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Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
2
Aufgabe II 2
In einem Koordinatensystem beschreibt die 𝑥1 𝑥2 -Ebene die Meeresoberfläche (1 LE entspricht 1 m).
Zwei U-Boote 𝑈1 und 𝑈2 bewegen sich geradlinig jeweils mit konstanter
Geschwindigkeit. Die Position von 𝑈1 zum Zeitpunkt 𝑡 ist gegeben durch
140
−60
𝑥 = 105 + 𝑡 ∙ −90 (𝑡 in Minuten seit Beginn der Beobachtung).
−170
−30
𝑈2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt 𝐴(68 135 − 68) und
erreicht nach drei Minuten den Punkt 𝐵(−202 −405 − 248).
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a) Wie weit bewegt sich 𝑈1 in einer Minute?
Woran erkennen Sie, dass sich 𝑈1 von der Meeresoberfläche weg
bewegt?
Welchen Winkel bildet die Route von 𝑈1 mit der Meeresoberfläche?
(4 VP)
m
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von 𝑈2 in
.
min
Begründen Sie, dass sich die Position von 𝑈2 zum Zeitpunkt 𝑡 beschreiben
lässt durch
68
−90
𝑥 = 135 + 𝑡 ∙ −180 .
−68
−60
Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe?
(4 VP)
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c) Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn?
Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem
Zeitpunkt näher als 100 m kommen.
Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten?
(4 VP)
d) Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne
Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden
Strecken schneiden sich.
Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle?
(4 VP)
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Lösung:
a) Wie weit bewegt sich 𝑼𝟏 in einer Minute
140
−60
𝑈1 : 𝑥 = 105 + 𝑡 ∙ −90
−170
−30
In einer Minute legt 𝑈1 genau einmal die Länge des Richtungsvektors zurück.
−60
Es folgt −90 = −60 2 + −90 2 + −30 2 = 12600 ≈ 112,25.
−30
Ergebnis: 𝑈1 legt in einer Minute etwa 112,25m zurück.
Wegbewegung von der Meeresoberfläche
Die Höhenkoordinate ist für jede Minute 𝑡 gegeben durch 𝑥3 = −170 − 30𝑡.
Mit größer werdendem 𝑡 nimmt 𝑥3 immer mehr ab, d.h. 𝑈1 entfernt sich von
der Meeresoberfläche (nach unten).
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Winkel zwischen der Route von 𝑼𝟏 und der Meeresoberfläche
𝐸: 𝑥3 = 0 ist eine Gleichung die 𝑥1 𝑥2 -Ebene (der Meeresoberfläche).
Winkelformel Gerade/Ebene: sin 𝛼 =
𝑛⋅𝑢
𝑛⋅𝑢
wobei 𝑢 der Richtungsvektor
der Geraden und 𝑛 der Normalenvektor der Ebene ist.
−60
0
Es gilt 𝑛 = 0 und 𝑢 = −90 und somit 𝑛 = 1, 𝑢 = 112,25 und
1
−30
𝑛 ⋅ 𝑢 = 0 ⋅ −60 + 0 ⋅ −90 + 1 ⋅ −30 = 30.
30
Es folgt sin 𝛼 =
≈ 0,267. Mit dem GTR erhält man 𝛼 ≈ 15,5°.
112,25
Ergebnis: Der Winkel zwischen der Route von 𝑈1 und dem Meeresspiegel
beträgt etwa 15,5°.
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𝐴(68 135 − 68)
𝐵(−202 −405 − 248)
b) Geschwindigkeit von 𝑼𝟐
Es gilt
𝐴𝐵
=
=
−202
68
−270
−405 − 135 = −540
−248
−68
−180
−270 2 + −540 2 + −180 2 = 630
In 3 Minuten werden 630m zurückgelegt, in einer Minute sind es dann
210m.
Ergebnis: 𝑈2 hat eine Geschwindigkeit von 210
m
.
min
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Begründung für die Geradengleichung von 𝑼𝟐
68
−90
𝑈2 : 𝑥 = 135 + 𝑡 ∙ −180
−68
−60
𝐴(68 135 − 68)
In der Geradengleichung ist der Ortsvektor von A der Stützvektor. Einen
−270
Richtungsvektor habe wir oben mit 𝐴𝐵 = −540 bestimmt. Wenn wir
−180
durch 3 teilen, ändert sich dadurch lediglich die Länge des Richtungsvektors
−90
aber nicht die Richtung. Daher ist 𝑢 = −180 wie in der Geradengleichung
−60
ebenfalls ein möglicher Richtungsvektor.
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Zeitpunkt für gleiche Tiefe
Höhenkoordinaten von 𝑈1 : 𝑥3 = −170 − 30𝑡
Höhenkoordinaten von 𝑈2 : 𝑥3 = −68 − 60𝑡
Gleichsetzen und t bestimmen:
140
𝑈1 : 𝑥 = 105 + 𝑡 ∙
−170
68
𝑈2 : 𝑥 = 135 + 𝑡 ∙
−68
−170 − 30𝑡 = −68 − 60𝑡 ⇒ 30𝑡 = 102 ⇒ 𝑡 = 3,4
Ergebnis: Nach 3,4 Minuten befinden sich 𝑈1 und 𝑈2 in gleicher Tiefe.
−60
−90
−30
−90
−180
−60
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c) Abstand der beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn
140
−60
𝑈1 : 𝑥 = 105 + 𝑡 ∙ −90
−170
−30
Zu Beobachtungsbeginn befindet sich 𝑈1 im Punkt 𝐶 140 105 − 170 und
𝑈2 im Punkt 𝐴 68 135 − 68 .
Der Abstand dieser beiden Punkte ist
𝐴𝐶
=
=
140
68
72
105 − 135 = −30
−170
−68
−102
72 2 + −30 2 + −102 2 ≈ 128,4
Ergebnis: Bei Beobachtungsbeginn haben die U-Boote einen Abstand von
etwa 128,4m.
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Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten?
Aus der Geradengleichung liest man ab, dass 𝑈1 sich zum Zeitpunkt 𝑡 im
Punkt 𝑃𝑡 140 − 60𝑡 105 − 90𝑡 − 170 − 30𝑡 und 𝑈2 im Punkt 𝑄𝑡 (68 −
140
−60
𝑈1 : 𝑥 = 105 + 𝑡 ∙ −90
−170
−30
68
−90
𝑈2 : 𝑥 = 135 + 𝑡 ∙ −180
−68
−60
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Geben Sie obigen Ausdruck bei Y1 im GTR ein uns lassen Sie sich den Graphen
im 𝑥-Intervall 0; 100 und im 𝑦-Intervall 0; 300 zeichnen.
Mit {2ND CALC minimum} bestimmen Sie im Intervall 0; 100 den minimalen
Abstand der beiden U-Boote. Sie erhalten bei 𝑡 = 0,32 den Wert 123,28.
Hinweis:
Streng genommen ist dies noch kein Beweis dafür, dass die
Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden, da wir mit dem GTR nur den
Zeitabschnitt zwischen 0 und 100 Minuten untersucht haben. Formal
müssten wir 𝑑′ 𝑡 = 0 setzen und damit das Minimum finden. Das Ergebnis
ist dasselbe, wir ersparen uns aber hier die Details.
Ergebnis: Der minimale Abstand zwischen den beiden U-Booten beträgt
123,28m, d.h. die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.
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d) Höhenunterschied
Ohne Berücksichtigung der Tiefenkoordinate sind die Geradengleichungen für
die U-Boote wie folgt gegeben:
140
−60
68
−90
U1 : 𝑥 =
+𝑠⋅
und U2 : 𝑥 =
+𝑡⋅
; 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ
105
−90
135
−180
Gleichsetzen liefert:
140
−60
68
−90
+𝑠⋅
=
+𝑡⋅
105
−90
135
−180
⇔
72
60
−90
=𝑠⋅
+𝑡⋅
−30
90
−180
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Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem:
I.
II.
60𝑠 − 90𝑡
90𝑠 − 180𝑡
= 72
= −30
Lösung: 𝑠 = 5,8 und 𝑡 = 3,067 (ermittelt mit dem GTR).
Die 𝑥3 -Koordinate von 𝑈1 erhalten Sie, indem Sie den Wert 5,8 in die
Geradengleichung einsetzen. Es gilt 𝑥3 = −344.
Analog erhalten Sie die 𝑥3 -Koordinate für 𝑈2 mit 𝑥3 = −252. Der
Höhenunterschied beträgt dann −252 − −344 = 92.
Ergebnis: Der Höhenunterschied der beiden U-Boote beträgt 92m.