Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Wahlteil 2012

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
1
2
Aufgabe II 2
Abiturprüfung Mathematik 2012
Baden-Württemberg
Allgemeinbildende Gymnasien
Wahlteil Geometrie II 2
Lösungen
In einem Koordinatensystem beschreibt die
fläche (1 LE entspricht 1 m).
-Ebene die Meeresober-
Zwei U-Boote
und
bewegen sich geradlinig jeweils mit konstanter
Geschwindigkeit. Die Position von
zum Zeitpunkt ist gegeben durch
=
140
−60
105 + ∙ −90 ( in Minuten seit Beginn der Beobachtung).
−170
−30
befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (68 135 − 68) und
erreicht nach drei Minuten den Punkt (−202 −405 − 248).
[email protected]
www.elearning-freiburg.de
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
3
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
4
a) Wie weit bewegt sich
in einer Minute?
Woran erkennen Sie, dass sich
von der Meeresoberfläche weg
bewegt?
Welchen Winkel bildet die Route von
mit der Meeresoberfläche?
(4 VP)
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von
in
.
Begründen Sie, dass sich die Position von
zum Zeitpunkt beschreiben
lässt durch
68
−90
= 135 + ∙ −180 .
−68
−60
Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe?
(4 VP)
c) Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn?
Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem
Zeitpunkt näher als 100 m kommen.
Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten?
(4 VP)
d) Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne
Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden
Strecken schneiden sich.
Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle?
(4 VP)
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
5
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
6
Lösung:
:
a) Wie weit bewegt sich
in einer Minute
140
−60
= 105 + ∙ −90
−170
−30
Winkel zwischen der Route von
$:
In einer Minute legt
genau einmal die Länge des Richtungsvektors zurück.
−60
Es folgt −90 = −60 + −90 + −30 = 12600 ≈ 112,25.
−30
Ergebnis:
legt in einer Minute etwa 112,25m zurück.
-Ebene (der Meeresoberfläche).
)⋅+
)⋅+
wobei , der Richtungsvektor
der Geraden und - der Normalenvektor der Ebene ist.
−60
0
Es gilt - = 0 und , = −90 und somit - = 1, , = 112,25 und
1
−30
- ⋅ , = 0 ⋅ −60 + 0 ⋅ −90 + 1 ⋅ −30 = 30.
!.
≈ 0,267. Mit dem GTR erhält man ( ≈ 15,5°.
Es folgt sin ( =
, /
= −170 − 30 .
entfernt sich von
!
Ergebnis: Der Winkel zwischen der Route von
beträgt etwa 15,5°.
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
7
= 0 ist eine Gleichung die
Winkelformel Gerade/Ebene: sin ( =
Wegbewegung von der Meeresoberfläche
Die Höhenkoordinate ist für jede Minute gegeben durch
Mit größer werdendem nimmt ! immer mehr ab, d.h.
der Meeresoberfläche (nach unten).
!
und der Meeresoberfläche
und dem Meeresspiegel
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
8
b) Geschwindigkeit von
(68 135 − 68)
(−202 −405 − 248)
1
Es gilt
Begründung für die Geradengleichung von
=
=
−202
68
−270
−405 − 135 = −540
−68
−248
−180
−270 + −540 + −180 = 630
In 3 Minuten werden 630m zurückgelegt, in einer Minute sind es dann
210m.
Ergebnis:
:
hat eine Geschwindigkeit von 210
.
1
68
−90
= 135 + ∙ −180
−68
−60
(68 135 − 68)
In der Geradengleichung ist der Ortsvektor von A der Stützvektor. Einen
−270
Richtungsvektor habe wir oben mit
= −540 bestimmt. Wenn wir
−180
durch 3 teilen, ändert sich dadurch lediglich die Länge des Richtungsvektors
−90
aber nicht die Richtung. Daher ist , = −180 wie in der Geradengleichung
−60
ebenfalls ein möglicher Richtungsvektor.
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
9
10
Zeitpunkt für gleiche Tiefe
Höhenkoordinaten von
:
:
!
= −170 − 30
:
Höhenkoordinaten von : ! = −68 − 60
Gleichsetzen und t bestimmen:
140
= 105 + ∙
−170
68
= 135 + ∙
−68
−60
−90
−30
−90
−180
−60
:
c) Abstand der beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn
Zu Beobachtungsbeginn befindet sich
im Punkt 68 135 − 68 .
=
140
−60
105 + ∙ −90
−170
−30
im Punkt 2 140 105 − 170 und
Der Abstand dieser beiden Punkte ist
−170 − 30 = −68 − 60
⇒
30 = 102
⇒
= 3,4
2
Ergebnis: Nach 3,4 Minuten befinden sich
und
in gleicher Tiefe.
=
=
140
68
72
105 − 135 = −30
−170
−68
−102
72 + −30 + −102 ≈ 128,4
Ergebnis: Bei Beobachtungsbeginn haben die U-Boote einen Abstand von
etwa 128,4m.
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
11
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
12
Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten?
Aus der Geradengleichung liest man ab, dass
sich zum Zeitpunkt im
Punkt 34 140 − 60 105 − 90 − 170 − 30 und
im Punkt
54 68 − 90 135 − 180 − 68 − 60 befindet. Der Abstand ist
Geben Sie obigen Ausdruck bei Y1 im GTR ein uns lassen Sie sich den Graphen
im -Intervall 0; 100 und im 9-Intervall 0; 300 zeichnen.
Mit {2ND CALC minimum} bestimmen Sie im Intervall 0; 100 den minimalen
Abstand der beiden U-Boote. Sie erhalten bei = 0,32 den Wert 123,28.
Hinweis:
6
= 35 =
=
68 − 90t
140 − 60t
135 − 180t − 105 − 90t
−68 − 60t
−170 − 30t
−72 − 30t
+ 30 − 90t
=
−72 − 30t
30 − 90t
102 − 30t
+ 102 − 30t
Das Minimum dieses Abstands lässt sich mit dem GTR bestimmen.
:
=
140
−60
105 + ∙ −90
−170
−30
:
68
−90
= 135 + ∙ −180
−68
−60
Streng genommen ist dies noch kein Beweis dafür, dass die
Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden, da wir mit dem GTR nur den
Zeitabschnitt zwischen 0 und 100 Minuten untersucht haben. Formal
müssten wir 6′
= 0 setzen und damit das Minimum finden. Das Ergebnis
ist dasselbe, wir ersparen uns aber hier die Details.
Ergebnis: Der minimale Abstand zwischen den beiden U-Booten beträgt
123,28m, d.h. die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
13
Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
14
Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem:
d) Höhenunterschied
Ohne Berücksichtigung der Tiefenkoordinate sind die Geradengleichungen für
die U-Boote wie folgt gegeben:
140
−60
68
−90
+<⋅
und U : =
+ ⋅
; <, ∈ ℝ
U : =
105
−90
135
−180
Gleichsetzen liefert:
140
−60
68
−90
+<⋅
=
+ ⋅
105
−90
135
−180
⇔
72
60
−90
=<⋅
+ ⋅
−30
90
−180
I.
II.
60< − 90
90< − 180
=
=
72
−30
Lösung: < = 5,8 und = 3,067 (ermittelt mit dem GTR).
Die ! -Koordinate von
erhalten Sie, indem Sie den Wert 5,8 in die
Geradengleichung einsetzen. Es gilt ! = −344.
Analog erhalten Sie die ! -Koordinate für
mit ! = −252. Der
Höhenunterschied beträgt dann −252 − −344 = 92.
Ergebnis: Der Höhenunterschied der beiden U-Boote beträgt 92m.