Der goldene Schnitt
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Weihnachtliche Betrachtungen Weihnachtliche Betrachtungen Weihnachtliche Betrachtungen 1. Nimm einen Streifen Papier und mach einen Knopf. 2. Drücke den Knopf flach. 3. Was siehst Du? Weihnachtliche Betrachtungen 1. Nimm einen Streifen Papier und mach einen Knopf. 2. Drücke den Knopf flach. 3. Was siehst Du? 4. Verbinde nun jede Ecke mit jeder anderen. 5. Was siehst Du? Weihnachtliche Betrachtungen 1. Nimm ein leeres Blatt Papier und lege es quer vor Dich hin. 2. Teile mit es mit einem vertikalen Strich in zwei Teile. 3. Setze den Strich so, dass Du die Aufteilung möglichst ästhetisch ist. Weihnachtliche Betrachtungen 1. Nimm ein leeres Blatt Papier und lege es quer vor Dich hin. 2. Teile mit es mit einem vertikalen Strich in zwei Teile. 3. Setze den Strich so, dass Du die Aufteilung möglichst ästhetisch ist. 4. Miss die breite des linken und des rechten Teils. 5. Teile den grösseren durch den kleineren Teil. 6. Welches Resultat erhältst Du? Weihnachtliche Betrachtungen Was fällt hier auf? Weihnachtliche Betrachtungen Was hat das mit Weihnachten zu tun? Weihnachtliche Betrachtungen Was hat das mit Weihnachten zu tun? • An Weihnachten soll alles perfekt sein. Weihnachtliche Betrachtungen Was hat das mit Weihnachten zu tun? • An Weihnachten soll alles perfekt sein. • Menschen empfinden Verhältnisse wie 2:3 oder 5:8 als schön. Weihnachtliche Betrachtungen Was hat das mit Weihnachten zu tun? • An Weihnachten soll alles perfekt sein. • Menschen empfinden Verhältnisse wie 2:3 oder 5:8 als schön. • Das perfekteste Verhältnis heisst GOLDENER SCHNITT. Der Goldene Schnitt Was ist ein goldener Schnitt? Der Goldene Schnitt Was ist ein goldener Schnitt? Definition Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Der Goldene Schnitt Was ist ein goldener Schnitt? Definition Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Der Goldene Schnitt Was ist ein goldener Schnitt? Definition Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Es muss also gelten: a:b = (a+b):a Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl Wie berechnet man ihn ? Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Daraus folgt: s= + = s⋅+ s⋅ Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Daraus folgt: und umgeformt: s= + = s⋅+ s⋅ 2 ⋅ = ⋅ + Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Daraus folgt: und umgeformt: und s= + = s⋅+ s⋅ 2 ⋅ = ⋅ + 2 − − = 0 2 − − 1 = 0 Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Daraus folgt: und umgeformt: und s= + = s⋅+ s⋅ 2 ⋅ = ⋅ + 2 − − = 0 2 − − 1 = 0 Zum Schluss erhält man die Gleichung: 2 − − 1 = 0 Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl s = oder = s ⋅ Daraus folgt: s= + = s⋅+ s⋅ 2 ⋅ = ⋅ + und umgeformt: 2 − − = 0 und 2 − − 1 = 0 Zum Schluss erhält man die Gleichung: Diese hat als Lösung: = 2 − − 1 = 0 √5 + 1 = 1.618033988 …. 2 Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt als Zahl Diese Zahl s heisst Goldener Schnitt. Man bezeichnet sie meistens mit Φ (Phi). √5 + 1 Φ= = 1.618033988 …. 2 Der Goldene Schnitt Was hat das mit Weihnachten zu tun? Das Pentagramm Das Pentagramm Das Pentagramm Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern. Dieser hat es in sich: Das Pentagramm Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern. Dieser hat es in sich: • Er ist DAS Bild zum Goldenen Schnitt Das Pentagramm Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern. Dieser hat es in sich: • Er ist DAS Bild zum Goldenen Schnitt • Die roten und die blauen Seiten stehen zueinander im goldenen Schnitt. • Jede Seite teilt jede andere im goldenen Schnitt. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. Kleiner Dialog aus dem Faust von Goethe: Mephisto: Gesteh‘ ich‘s nur! Dass ich hinaus spaziere, verbietet mir ein kleines Hindernis, der Drudenfuss auf Eurer Schwelle. Faust: Das Pentagramma macht die Pein? Ei sage mir, du Sohn der Hölle, Wenn dich das bannt, wie kamst du denn herein? Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. • Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. • Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken. • Auf der Flagge von Marokko. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. • Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken. • Auf der Flagge von Marokko. • Auch Drudenfuss genannt, da Druden (Kobolde) einen fünfeckigen Fussabdruck hinterlassen sollen. Das Pentagramm Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen Zusammenhängen vor: • Symbol der Venus (Planet und Göttin) • Symbol der Freimaurer • Stellt die fünf Wunden Christi dar. • Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten. • Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern. • Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken. • Auf der Flagge von Marokko. • Auch Drudenfuss genannt, da Druden (Kobolde) einen fünfeckigen Fussabdruck hinterlassen sollen. • Symbol der Pythagoräer. Die Pythagoräer Der goldene Schnitt bei Pythagoras Die Pythagoräer Das Prinzip • Pythagoras von Samos gründete 525 v. Chr. seine Schule • Beschäftigte sich mit Philosphie, Religion, Politik und Mathematik. • Pythagoras war nicht nur Gründer, sondern auch Guru. • Alles an und in der Schule war geheim. • Die oberste Doktrin in der Pythagoräischen Schule war: Alles ist Zahl Alles auf der Welt lässt sich als Verhältnis von natürlichen Zahlen ausdrücken. Die Pythagoräer Das Problem • Hippasos von Metapontion, ein Schüler von Pythagoras, berechnet die Länge der Diagonale im Quadrat: Aus 2 + 2 = 2 berechnet er die Länge von . = 2 + 2 Wenn und beide die Länge 1 haben, ergibt sich = √2 Und er Beweist, dass √2 kein Bruch ist. Es kommt noch besser! Die Pythagoräer Das Problem Hippasos berechnet auch den goldenen Schnitt, das „schönste Verhältnis“ überhaupt. Er findet heraus, dass es den Wert √5 + 1 2 hat. Das ist definitiv kein Bruch mit ganzen Zahlen. Weil die Pythagoräische Schule wie eine Sekte funktioniert, muss Hippasos sein Resultat für sich behalten. Das tut er aber nicht! Der Legende nach wird er zur Strafe im Meer versenkt. Konstruktion Konstruktion des goldenen Schnitts Konstruktion Man braucht ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck! Konstruktion Man braucht ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck! Die Seite a ist doppelt so lang wie die Seite b. Konstruktion Übertrage die Länge der Seite b auf die Seite c. Konstruktion Übertrage die Länge AE auf die Seite a. Konstruktion Der Punkt D teilt die Seite a im goldenen Schnitt! Konstruktion Wieso ist das so? Wir wissen, dass = 2 . Mit dem Satz von Pythagoras kennt man die Länge von c: = 2 + 2 2 2 2 5 = 2 + = = ⋅ √5 4 4 2 Konstruktion Wieso ist das so? Wir wissen, dass = . 2 Mit dem Satz von Pythagoras kennt man die Länge von c: = 2 + 2 2 2 2 5 = 2 + = = ⋅ √5 4 4 2 Die Längen AE und AD sind deshalb − √5 − 1 = √5 ⋅ − = "√5 − 1# ⋅ = ⋅ 2 2 2 2 2 Konstruktion Teilt D die Strecke a im goldenen Schnitt? Wir rechnen = $ = √5−1 ⋅ Ist das wirklich Φ? 2 1 √5−1 2 = 2 √5−1 Erweitere mit √5 + 1! Man erhält: 2 ⋅ "√5 + 1# "√5 − 1#"√5 + 1# = 2 ⋅ "√5 + 1# = 5−1 2 ⋅ "√5 + 1# √5 + 1 = =Φ 4 2 Konstruktion Noch einfachere Konstruktion! Nehme ein beliebiges Quadrat! Konstruktion Halbiere eine Seite! Konstruktion Ziehe einen Kreis vom Mittelpunkt aus durch eine Ecke! Konstruktion In diesem Rechteck steht die Länge zur Breite im Goldenen Schnitt. Das ist das „Goldene Rechteck“ Konstruktion Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck. Konstruktion Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck. Konstruktion Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck. Konstruktion Prüfe mit eine DIN-A4-Blatt, ob es ein goldenes Rechteck ist. Wunder Wundersame Eigenschaften Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 1.6180339887… Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 1.6180339887… • Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an. Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 1.6180339887… • Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 0.6180339887…. Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 1.6180339887… • Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 0.6180339887…. • Jetzt drückt nochmals die Invers-Taste und danach die Quadrat-Taste und schaut Euch die Nachkommastellen an. Wunder Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften: • Gebt in den Rechner ein: (√5+1/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 1.6180339887… • Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 0.6180339887…. • Jetzt drückt nochmals die Invers-Taste und danach die Quadrat-Taste und schaut Euch die Nachkommastellen an. • Resultat: 2.6180339887… Kunst Der Goldene Schnitt in der Kunst Kunst Welches der folgenden Portale eines griechischen Tempels gefällt Dir am besten? Kunst Das markierte Bild ist eine Ansicht des Parthenons in Athen. Er beinhaltet den goldenen Schnitt! Kunst Das markierte Bild ist eine Ansicht des Parthenons in Athen. Er beinhaltet goldene Rechtecke fast wo man hinschaut! Kunst Auch in Paris findet sich der goldene Schnitt - an der Notre Dame Kunst Oder am Castel del Monte in Apulien Kunst Oder in Leonardo da Vincis Abendmahl Kunst Oder in Leonardo da Vincis Mona Lisa Kunst Da Vinci war völlig vernarrt in den goldenen Schnitt, hat ihn aber nicht selber erfunden für seine Bilder. Er lernte dies von Luca Pacioli (1445-1514), einem Franziskanermönch, der in Perugia Mathematik unterrichtete. Auf ihn geht das nebenstehende Bild zurück, das Da Vinci nur gezeichnet hat. Pacioli führte den goldenen Schnitt in der Malerei ein. Seine grösste Erfindung war aber die doppelte Buchhaltung. Natur Der Goldene Schnitt in der Natur Natur Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und berechnet die Verhältnisse. Was kommt heraus? Natur Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und berechnet die Verhältnisse. Was kommt heraus? Ziemlich genau der Goldene Schnitt! Natur Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und berechnet die Verhältnisse. Was kommt heraus? Ziemlich genau der Goldene Schnitt! Natur Das Kaninchen-Problem Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A J Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A J J A Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A 5 A J J J A A A J Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A 5 A 8 A J J J A J A A A A J A J J A Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A 5 A 8 A J J Wie geht es weiter? J A J A A A A J A J J A Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A 5 A 8 A J J J A J A A A A J A J J A In jedem Jahr kommen so viele neue dazu wie es vor zwei Jahren hatte. Zudem bleiben die vom letzten Jahr einfach erhalten. Natur Wie vermehren sich Kaninchen? Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu bekommen. 1 J 1 A 2 A 3 A 5 A 8 A J J J A J A A A A J A J J A Das bedeutet: Im 7. Jahr sind es 5+8=13 Kaninchen. Im 8. Jahr sind es dann 8+13=21 Kaninchen. Etc. Natur Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst FibonacciFibonacci-Folge Natur Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst FibonacciFibonacci-Folge Sie lautet: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,… Natur Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst FibonacciFibonacci-Folge Sie lautet: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,… Sie geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa, aka Fibonacci, zurück. Er wurde um 1180 geboren und starb ungefähr 1241. Er war einer der ersten Lateiner, der mit den neuen Ziffern und nicht mehr mit den Römischen Zeichen rechnete. Er unterrichtete die neue Art zu rechnen auch. Natur Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Natur Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere durch die kleinere! Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,… Natur Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere durch die kleinere! Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,… Resultat: Je grösser die Zahlen sind, desto genauer entspricht der Bruch dem goldenen Schnitt. Natur Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere durch die kleinere! Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,… Resultat: Je grösser die Zahlen sind, desto genauer entspricht der Bruch dem goldenen Schnitt. Das ist kein Zufall, sondern Mathematik! Natur Fibonacci in der Natur Was kennt ihr für Blüten? Natur Fibonacci in der Natur Was kennt ihr für Blüten? Natur Fibonacci in der Natur Die Anzahl Blütenblätter vieler Blüten entspricht genau einer Fibonacci-Zahl! Natur Fibonacci in der Natur Bei Tannzapfen, Ananas oder auch Sonnenblumen-Samen findet man Spiralen. Die Anzahl nebeneinanderliegender Spiralen ist immer eine Fibonacci-Zahl. Natur Fibonacci in der Natur Natur Fibonacci in der Natur Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Dazu betrachten wir das goldene Rechteck! Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Spiralen Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun? Und so weiter…. Spiralen Das ist die Spirale des Goldenen Schnittes Spiralen Wir beginnen von Neuem Spiralen Spiralen Spiralen Spiralen Spiralen Spiralen Spiralen Das ist die FibonacciFibonacci-Spirale Spiralen Was hat diese Spirale mit Fibonacci zu tun? Spiralen Berechne die Seitenlängen der verschiedenen Quadrate! Spiralen Das ist ein Schnitt durch eine Schnecke. Ziemlich schön, oder? Spiralen Das ist eine Galaxie im Weltall. Spiralen Zurück zu den Sternen! Spiralen Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden. Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. Verhältnis 2:5. Spiralen Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden. Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. Verhältnis 2:5. Das ist kein Zufall. Diese ganzzahligen Verhältnisse stabilisieren die Bahnen der Planeten. Spiralen Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden. Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. Verhältnis 2:5. Das ist kein Zufall. Diese ganzzahligen Verhältnisse stabilisieren die Bahnen der Planeten. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch ein Verhältnis von 1:Φ stabile Bahnen erzeugen könnte. Spiralen Ich wünsche Euch schöne Weihnachten – mit vielen Sternstunden!
