Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Institut für Elektrische

Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800)
Seite 15.1
Lösungen zu Übungsaufgaben
__________________________________________________________________________________
15. Aufgabe
Elektrisches Feld (dQ/dt = I = 0: elektrostatisches Feld):
Zwischen Orten unterschiedlichen Potentials (unterschiedlicher Ladung) existiert ein elektrostatisches
Feld als Quellenfeld. Feldlinien sind ein Modell dieses Feldes mit folgenden Eigenschaften:
1) Sie beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen (Quellenfeld). Insgesamt existieren
genau so viele positive wie negative Ladungen.
2) Sie stehen senkrecht auf leitenden Oberflächen.
3) Sie geben die Richtung der elektrischen Feldstärke (Kraft auf eine positive Probeladung) und der
Verschiebungsdichte an.
4) Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für den Betrag der Feldstärke oder der Verschiebungsdichte.
Einfachstes Beispiel für das elektrostatische Feld ist der Plattenkondensator. Bei Vernachlässigung der Randbereiche herrscht in
ihm ein homogenes Feld.
Grundgleichungen für das elektrostatische Feld und den Plattenkondensator beim homogenen Feld:
Feldstärke (bei homogenem Feld):
U ‹
m ] dms E ] d
E
v
E U
d
Verschiebungsdichte und Stoffgesetz:
m ] dA
m D]A
Q Ï D
‹‹
und
D ε]E
A
Kapazität:
C Q
D]A
A
ε]
U
E]d
d
Aufgabenstellung:
Fall A: Schichtung parallel zu den Platten (Der Plattenabstand wird i.F. mit L bezeichnet)
Bei Schichtung von Dielektrika par2
2
E
,D
allel zu den Platten kann der Konden1
1
L/2
L/2
sator in zwei in Reihe geschaltete
Kondensatoren mit homogenen DieA
A
lektrika aufgefaßt werden. Dies ist
2
1
1
möglich, da die Grenzfläche eine
Äquipotentialfläche ist. (Zwischen
L
unterschiedlichen Punkten auf dieser
x
Fläche herrscht kein Potentialunterschied).
L/2
A
2
________________________________________________________________________________
WS 99/2000
Institut für Elektrische Energietechnik
Wh 10.01.0
Seite 15.2
Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800)
Lösungen zu Übungsaufgaben
___________________________________________________________________________________
Für die Kapazität gilt:
C Die Spannung läßt sich aus der Feldstärke berechnen:
U Q
U
‹
m ] dms
E
L
Da hier Feldstärke und Weg die gleiche Richtung haben, kann mit Beträgen
gerechnet werden, andernfalls müßte das Skalarprodukt aus Feldstärke und
Wegelement gebildet werden.
L/2
U ‹
E ds U E1 ]
‹
L
E1 ] ds1 0
‹
E2 ] ds2
L/2
L
L
L
E2 ] ( E1 ] E2 ) ]
2
2
2
D Die Verschiebungsdichte D ist unabhängig vom Material:
Q
A
Die Teilkondensatoren haben gleiche Flächen. Gleiche Ladungen ergeben sich bei Reihenschaltungen
zwangsläufig, da durch die Teilkondensatoren derselbe Strom I fließt und somit auch die Ladungen
Q = fI·dt für beide Teilkondensatoren dieselben sein müssen.
Damit gilt: D1 = D2 = D
Damit gilt auch:
D ε1 ] E1 ε2 ] E2 v
Ersetzt man in der Gleichung für die Spannung
die Feldstärken E1 und E2 durch die Verschiebungsdichte D wie folgt:
E1 Damit ergibt sich für die Spannungsgleichung:
U D]
Drückt man nun die Verschiebungsdichte D
durch die Ladung Q und die Fläche A aus, erhält man:
U Aufgelöst nach Q ergibt sich:
Q Daraus erhält man die gesuchte Kapazität C:
CA E1
E2
ε1
ε2
D
D
und E2 ε1
ε2
1 1 L
]
ε1 ε2 2
1 1 L] Q
]
ε1 ε2 2 ] A
2]A
1 1
]L
ε1 ε2
Q
U
]U
2]A
1 1
]L
ε1 ε2
________________________________________________________________________________
Institut für Elektrische Energietechnik
WS 99/2000
Wh 10.01.0
Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800)
Seite 15.3
Lösungen zu Übungsaufgaben
__________________________________________________________________________________
Probe:
Für den Sonderfall ε1 = ε2 = ε ergibt sich:
2A
A
ε]
2
L
]L
ε
CA Allgemeine Formel für die Reihenschaltung
zweier Kondensatoren:
C ]C
1
1
1
; C ges 1 2
C1 C2
Cges
C1 C2
Zum Vergleich: 2 Kondensatoren in Reihe mit
l/2, A, ε1 und ε2 (siehe CA oben):
C 1 ε1 ]
Die Gesamtkapazität einer Reihenschaltung ist
kleiner als die kleinste der Einzelkapazitäten
(Anschaulich: bei zwei gleichen in Reihe geschalteten Kondensatoren wird L doppelt so
groß, alle übrigen Größen bleiben gleich).
A
L/2
ε1 ] ε2 ]
Cges Fall B: Schichtung senkrecht zu den Platten
Bei Schichtung von Dielektrika senkrecht zu den Platten kann der Kondensator in parallelgeschaltete Kondensatoren mit jeweils homogenem Dielektrikum aufgeteilt werden. (Keine
Feldgröße hat Komponenten, die
senkrecht zur Grenzschicht liegen.)
C 2 ε2 ]
A
L/2
4A 2
L2
2A
(ε1 ε2) ]
L
2A
1 1
]L
ε1 ε2
E 3 ,D 3
A/2
3
A/2
3
4
4
L
E 4 ,D 4
x
L
m dms E ] l
E
Mit dem Ansatz
U muß wegen L3 = L4 = L und
U3 = U4 = U gelten:
E3 E4 ‹
A/2
U
E
L
Damit gilt für die Verschiebungsdichten:
D3 ε3 ] E und D4 ε4 ] E
Im Gegensatz zum ersten Fall sind hier die
Verschiebungsdichten nicht gleich groß. Die
Verschiebungsdichten verhalten sich wie die
zugehörigen Dielektrizitätszahlen.
E D2
ε3
D4
ε4
,d.h.
D3
D4
ε3
ε4
________________________________________________________________________________
WS 99/2000
Institut für Elektrische Energietechnik
Wh 10.01.0
Seite 15.4
Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800)
Lösungen zu Übungsaufgaben
___________________________________________________________________________________
Mit D = Q/A = … E folgt für die beiden Teilkondensatoren:
D3 Q3
A/2
Q3 ε3 ]
ε3 ] E ε3 ]
U
L
D4 U A
]
L 2
A/2
Q4 ε4 ]
QB Q3 Q4 CB Q4
Qges
U
Für ε3 = ε4 = ε folgt:
Bei parallelgeschalteten Kondensatoren ist die
Gesamtkapazität gleich der Summe der Einzelkapazitäten, z.B. 2 Kondensatoren parallel mit
A/2, L, ε 3 und ε4:
ε4 ] E ε4 ]
U
L
U A
]
L 2
U]A
] (ε ε )
2 L 3 4
A
] (ε ε )
2 L 3 4
A
A
]2 ε ε]
2L
L
A
C 3 ε3 ]
2L
CB Cges (ε3 ε4) ]
C 4 ε4 ]
A
2L
A
CB
2L
________________________________________________________________________________
Institut für Elektrische Energietechnik
WS 99/2000
Wh 10.01.0