5. Klasse - Luisenburg

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Grundwissen für das Fach Mathematik
Jahrgangsstufe 5
Natürliche und ganze Zahlen
1; 2; 3; 4; 5; 6; … ist die Menge der
natürlichen Zahlen.
… ; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; … ist die
Menge der ganzen Zahlen.
Grundmenge
Für Platzhalter benutzen wir auch Buchstaben.
Betrag und Gegenzahlen
Zur ganzen Zahl ∈ heißt Gegenzahl zu .
Am Zahlenstrahl befindet sich die Gegenzahl auf
der anderen Seite, aber im gleichen Abstand zur
Null. Dieser positive Abstand heißt Betrag von bzw. – und wird mit zwei senkrechten Strichen
gekennzeichnet: || || ∈ Anordnung von Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen lässt sich in eine
sinnvolle Reihenfolge bringen, die sich am
Zahlenstrahl veranschaulichen lässt.
Die Null ist nicht Bestandteil der natürlichen
Zahlen und muss im Falle ihrer Verwendung
explizit mit angegeben werden:
0; 1; 2; 3; 4; 5; … Teilbereiche der ganzen Zahlen können mit
folgenden Symbolen veranschaulicht werden:
; ; … ; 4; 3; 2; 1
Möchte man die Null bei mit dazu nehmen,
schreibt man .
Die Zahl a soll Werte aus den negativen, ganzen
Zahlen annehmen können. Kurz: ∈ Die Gegenzahl von 5 ist 5. Der Abstand zur
Null beträgt in beiden Fällen 5 |5| | 5|.
Zahlenstrahl:
… 2 1 0 1 2 3 ⋯
Zehnersystem
In unserem Zahlensystem können alle Zahlen
mithilfe der Ziffern 0 bis 9 geschrieben werden.
Es ist ein Stellenwertsystem, denn die Stelle der
Ziffer bestimmt ihren Wert innerhalb der Zahl.
Abbildung eines
Säulendiagramms.
10
8
6
4
2
0
Note 1
Note 2
Note 3
Note 4
Note 5
Note 6
Veranschaulichung von Anzahlen
Anzahlen verschiedener Kategorien lassen sich
mithilfe von Diagrammen veranschaulichen. Man
unterscheidet Figurendiagramme, Säulen- oder
Balkendiagramme und Strichdiagramme. Eine
Besonderheit der Figurendiagramme sind
Strichlisten.
3421 bedeutet:
3 ∙ 1000 4 ∙ 100 2 ∙ 10 1 ∙ 1
Zur besseren Übersicht kann man die Ziffern
einer Zahl auch in eine Stellenwerttafel
eintragen. Jede Stelle hat entsprechend ihrem
Wert einen Namen.
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Rechenausdrücke (Terme)
Zwei Zahlen, die mit einem Pluszeichen
verknüpft sind, bilden eine Summe. Der
Rechenvorgang heißt Addition. Die beiden
Zahlen heißen 1. und 2. Summand.
Addiere die Summanden 2 und 3 und berechne
den Wert der Summe!
235
Zwei Zahlen, die mit einem Minuszeichen
verknüpft sind, bilden eine Differenz. Der
Rechenvorgang heißt Subtraktion. Die beiden
Zahlen heißen Minuend und Subtrahend.
Subtrahiere den Subtrahenden 3 vom Minuenden
5 und gib den Wert der Differenz an!
532
Zwei Zahlen, die mit einem Malzeichen
verknüpft sind, bilden ein Produkt. Der
Rechenvorgang heißt Multiplikation. Die beiden
Zahlen heißen 1. und 2. Faktor.
Mulitpliziere die beiden Faktoren 2 und 3 und gib
den Wert des Produkts an!
2∙36
Zwei Zahlen, die mit einem Geteiltzeichen
verknüpft sind, bilden einen Quotienten. Der
Rechenvorgang heißt Division. Die beiden
Zahlen heißen Dividend und Divisor.
Dividiere den Dividend 6 durch den Divisor 3
und gib den Wert des Quotienten an!
6: 3 2
Zwei Zahlen, die in exponentieller Schreibweise
miteinander verknüpft sind, bilden eine Potenz.
Die untere Zahl heißt Basis und die obere Zahl
heißt Exponent. Der Exponent gibt die Anzahl
der gleichen Faktoren an.
Potenziere die Basis 3 mit dem Exponent 4 und
gib den Wert der Potenz an!
3 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 81
Quadratzahlen
Alle Potenzen mit dem Exponenten 2 sind
Quadratzahlen.
Primzahlen
Alle Zahlen, die genau zwei unterschiedliche
Teiler besitzen, heißen Primzahlen.
Jede Zahl kann in Potenzen von Primfaktoren
zerlegt werden.
1 1; 2 4; 3 9; 4 16; 5 25; …
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; …
Primfaktorenzerlegeung von 72:
72 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 2" ∙ 3
Schriftliches Rechnen
Einzelne Rechnungen können untereinander
gerechnet werden. Dabei ist es wichtig, gleiche
Stellen exakt untereinander zu schreiben.
Überschlagsrechnung
Um Ergebnisse abschätzen zu können, rundet
man die einzelnen Zahlen eines Terms so, dass
sich sein ungefährer Wert leicht berechnen lässt.
Zur Kennzeichnung einer Überschlagsrechnung
verwendet man das Zeichen „#“.
Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen
Eine negative Zahl addiert man, indem man ihre
Gegenzahl subtrahiert.
Eine negative Zahl subtrahiert man, indem man
ihre Gegenzahl addiert.
817 ∙ 36 # 800 ∙ 35 800 ∙ 30 800 ∙ 5
24000 4000 28000
19 $33% 19 33 14
23 $15% 23 15 8
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Multiplikation und Division ganzer Zahlen
• Beträge der Zahlen multiplizieren (oder
dividieren)
• Bei ungleichen Vorzeichen ist das Ergebnis
negativ, sonst positiv
7 ∙ $3% 21
7 ∙ 3 21
21: $7% 3
21: 7 3
Rechenvorteile und Rechengesetze
a) Kommutativgesetz (KG)
Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert
sich nicht, wenn man die Reihenfolge der
Summanden (Faktoren) vertauscht:
& & bzw. ∙ & & ∙ , & ∈ b) Assoziativgesetz (AG)
Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert
sich nicht, wenn man in der Summe (im Produkt)
Klammern setzt oder weglässt:
$ &% ( & ( $& (%
$ ∙ &% ∙ ( ∙ & ∙ ( ∙ $& ∙ (%
, &, ( ∈ c) Distributivgesetz (DG)
Bei einem Produkt darf der erste oder der zweite
Faktor in eine Summe zerlegt werden:
$ &% ∙ ( ∙ ( & ∙ (, &, ( ∈ d) Rechenregeln
• Klammern zuerst
• Potenzen vor Punktrechnungen vor
Strichrechnungen
• Von links nach rechts rechnen
Baumdiagramme und Zählprinzip
Muss man aus mehreren Dingen auswählen, so
kann man dies in einem Baumdiagramm
darstellen.
Nach dem Zählprinzip entspricht die Gesamtzahl
aller Möglichkeiten der Anzahl der Baumenden.
Diese Anzahl ergibt sich aus dem Produkt der
Anzahlen der Möglichkeiten jeder Baumebene.
2 $3% $3% 2 1
$3% ∙ 2 2 ∙ $3% 6
)2 $3%* 4 2 $3% 4
2 )$3% 4* 3
)2 ∙ $3%* ∙ 4 2 ∙ $3% ∙ 4 2 ∙ )$3% ∙ 4*
24
12 ∙ 35 $10 2% ∙ 35 10 ∙ 35 2 ∙ 35
350 70 420
„Was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe
unverändert an!“
Wie viele Kombinationsmöglichkeiten ergeben
sich beim Ziehen aus zwei Lostrommeln mit
zwei unterschiedlichen grünen bzw. drei
unterschiedlichen blauen Kugeln?
3 Mögl.
2
1
2 Mögl.
1
2
3
1
2
3
Antwort: 2 ∙ 3 6 Kombinationen
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Geometrische Grundbegriffe
a
Strecke a oder )+,*
A
Halbgerade h oder )-.
C
B
h
D
g
Gerade g oder /0
F
E
h
g
Zueinander parallel 1||2
g
h
Zueinander senkrecht 1 3 2
B
Winkel 4 ∢+6,
)6+ heißt erster Schenkel
)6, heißt zweiter Schenkel
S
4
B
7
S
A
A
Winkel 7 ∢,6+
)6, heißt erster Schenkel
)6+ heißt zweiter Schenkel
Winkelarten:
Nullwinkel 4 0°
Spitzer Winkel 0° 4 90°
Rechter Winkel 4 90°
Stumpfer Winkel 90° 4 180°
Koordinatensystem
Das Koordinatensystem besteht aus einer
Rechtswertachse (x-Achse) und einer
Hochwertachse (y-Achse). Jeder Punkt im
Koordinatensystem hat einen Wert auf der xAchse (x-Koordinate) und einen Wert auf der yAchse (y-Koordinate). Der Punkt P wird mit
seinen Koordinaten so angegeben:
9$:|;%:, ; ∈ Gestreckter Winkel 4 180°
Überstumpfer Winkel 180° 4 360°
Vollwinkel 4 360°
y
x
Manche PC-Programme trennen die Koordinaten
auch mit einem ; oder ,
Symmetrieeigenschaft einer Figur
Besitzt jeder Punkt einer Figur einen passenden
Bildpunkt, der von der Symmetrieachse den
gleichen Abstand hat wie der Originalpunkt, so
ist die Figur achsensymmetrisch.
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Mögliche Symmetrieachse a
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Schrägbild eines Quaders oder Würfels
Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt
dargestellt.
Umfang und Flächeninhalt
Rechteck:
<= 2 ∙ > 2 ∙ &
+= > ∙ &
Quadrat mit Seitenlänge s:
<? 4 ∙ @
+? @ Maßstab
Die Wirklichkeit ist in einer Karte immer
verkleinert dargestellt. Der Maßstab gibt für 1cm
an, wie viele cm in der Wirklichkeit abgebildet
wurden.
Oberflächeninhalt des Quaders:
A? 2 ∙ $> ∙ & > ∙ 2 & ∙ 2%
Oberflächenihalt des Würfels mit Seitenlänge s:
AB 6 ∙ @ Maßstab 1:100000 bedeutet:
1cm auf der Karte entsprechen 100000cm in
Wirklichkeit. Das sind umgerechnet 1km.
Größen
a) Zeit
1 Tag = 24h
1h = 60min
1min = 60s
Umrechnungsfaktor 24
Umrechnungsfaktor 60
Umrechnungsfaktor 60
b) Geld
1€ = 100ct
Umrechnungsfaktor 100
c) Masse
1t = 1000kg
1kg = 1000g
1g = 1000mg
d) Länge
1km = 1000m
1m = 10dm
1dm = 10cm
1cm = 10mm
e) Fläche
1km² = 100ha
1ha = 100a
1a = 100m²
1m² = 100dm²
1dm² = 100cm²
1cm² = 100mm²
Immer Umrechnungsfaktor 1000
Umrechnungsfaktor 1000
Umrechnungsfaktor 10
Umrechnungsfaktor 10
Umrechnungsfaktor 10
Immer Umrechnungsfaktor 100
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