Brückenkurs Rechentechniken

Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Brückenkurs Rechentechniken
Dr. Jörg Horst
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
SS 2014
Supremum und Infimum
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
1
Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen
Betragsungleichungen
Weitere Ungleichungen
2
Gleichungen
Gleichungen in Anwendungen
3
Potenz- und Wurzelgesetze
Potenz- und Wurzelgesetze
4
Einfache Beweise
5
Folgen
Definition Folge
6
Supremum und Infimum
Widerspruchsbeweise
Supremum und Infimum
Folgen
Supremum und Infimum
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
=⇒
x +a≤y +a
Folgen
Supremum und Infimum
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x +a≤y +a
=⇒
v +x ≤w +y
Folgen
Supremum und Infimum
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x ≤y
=⇒
x +a≤y +a
=⇒ v + x ≤ w + y
(
ax ≤ ay ,
a>0
ax ≥ ay ,
a<0
Folgen
Supremum und Infimum
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
x +a≤y +a
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x ≤y
=⇒
0<x ≤y
=⇒ v + x ≤ w + y
(
ax ≤ ay ,
a>0
ax ≥ ay ,
a<0
=⇒
0<
1
1
≤
y
x
Folgen
Supremum und Infimum
Ungleichungen
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Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
x +a≤y +a
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x ≤y
=⇒
=⇒ v + x ≤ w + y
(
ax ≤ ay ,
a>0
ax ≥ ay ,
a<0
1
1
≤
y
x
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man
0<x ≤y
=⇒
0<
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
x +a≤y +a
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x ≤y
=⇒
=⇒ v + x ≤ w + y
(
ax ≤ ay ,
a>0
ax ≥ ay ,
a<0
1
1
≤
y
x
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man
0<x ≤y
=⇒
0<
auf beide Seiten eine streng monoton steigende Funktion
anwendet,
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Supremum und Infimum
Rechenregeln für Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen (1.1)
Seien a, x, y , v , w ∈ R.
x ≤y
x +a≤y +a
=⇒
v ≤ w, x ≤ y
x ≤y
=⇒
=⇒ v + x ≤ w + y
(
ax ≤ ay ,
a>0
ax ≥ ay ,
a<0
1
1
≤
y
x
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man
0<x ≤y
=⇒
0<
auf beide Seiten eine streng monoton steigende Funktion
anwendet,
beide Seiten quadriert, falls beide Seiten positiv sind.
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Rechenregeln für Ungleichungen
Beispiel (1.2)
Es seien x, y ∈ R.
a) Seien x > −1 und y > −1 vorgegeben. Zeigen Sie
x ≤y
=⇒
y
x
≤
.
1+x
1+y
b) Gilt die Ungleichung auch für x, y < −1 ?
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Einfache Beweise
Rechenregeln für Ungleichungen
Beispiel (1.3)
Es seien x, y ∈ R mit 0 < x < y . Beweisen Sie
2
x < xy <
x +y
2
2
< y2 .
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Folgen
Rechenregeln für Ungleichungen
Beispiel (1.4)
Es seien a, b, c, d ∈ R mit b, d > 0. Beweisen Sie
Aus
a
c
<
b
d
folgt
a
a+c
c
<
<
b
b+d
d
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Supremum und Infimum
Betragsungleichungen
Betragsfunktion (1.5)
Die Betragsfunktion ist definiert durch
(
x
,x ≥ 0
|x| :=
.
−x , x < 0
Es gelten für x, y , n ∈ R die Rechenregeln
a) |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
√
b) x 2 = |x|, | − x| = |x|, |x · y | = |x| · |y |,
n
x = |x|n
c) 1. Dreiecksungleichung |x + y | ≤ |x| + |y |
d) 2. Dreiecksungleichung |x| − |y | ≤ |x − y |
e) Dreicksungleichung |x| − |y | ≤ |x ± y | ≤ |x| + |y |
f) |x| < r mit r > 0 ist äquivalent zu −r < x < r .
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Supremum und Infimum
Betragsungleichungen
Beispiel (1.6)
a) Welches Invervall ist die Lösungsmenge der Ungleichung
|x + 2| < 3 ?
b) Man bestimme die reellen Lösungen von
|2x + 3| ≤ 5 − |x|
c) Man bestimme die Lösungsmenge L von
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2 .
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Supremum und Infimum
Weitere Ungleichungen
Beispiel (1.7)
Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit
h < 8x die Ungleichungen
√
gelten.
√
√
h
h2
h
x + √ − √ < x +h < x + √
2 x
8x x
2 x
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Supremum und Infimum
Weitere Ungleichungen
Beispiel (1.8)
Aus Beispiel (1.2) haben wir für x, y > −1 die Folgerung
x ≤y
=⇒
x
y
≤
1+x
1+y
nachgewiesen. Folgern Sie, dass für a, b ∈ R die Ungleichung
|a|
|b|
|a + b|
≤
+
,
1 + |a + b|
1 + |a| 1 + |b|
indem Sie x := |a + b| und y := |a| + |b| betrachten.
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Weitere Ungleichungen
Beispiel (1.9)
Es seien x, y > 0. Beweisen Sie
√
x +y ≤
√
x+
√
x
y
y ≤ √ +√
y
x
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Gleichungen in Anwendungen
Beispiel (2.1)
Zeigen Sie
∀ y ∈ [0, 1] ∃ x ∈ [−1, 0] : y =
p
1 − x2 .
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Supremum und Infimum
Gleichungen in Anwendungen
Beispiel (2.2)
Wir betrachten die Funktion f : D → R mit
s
π
1 2
f (x) =
+ arcsin
x −1 .
2
2
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f .
b) Zeigen Sie:
√ ∀ y ∈ 0, π ∃ x ∈ [−2, 0] : y = f (x) .
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Gleichungen in Anwendungen
Beispiel (2.3)
Wir betrachten die Funktion f : D → R mit
p
f (x) = arcosh
x 2 − 25 − 11 .
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f .
b) Zeigen Sie:
∀ y ∈ 0, ∞ ∃ x ∈ [13, ∞) : y = f (x) .
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Gleichungen in Anwendungen
Beispiel (2.4)
Zeigen Sie:
∀y ∈R∃x ∈R : y =
3 x
e − cosh x .
2
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Supremum und Infimum
Potenz- und Wurzelgesetze
Satz (3.1)
Für alle x, y ∈ R und alle n, m ∈ Z gilt, wenn bei nichtpositivem
Exponenten die zugehörige Basis 6= 0 ist,
1
2
x n · x m = x n+m ,
m
x n = x nm ,
3
(xy )n = x n y n ,
4
1n = 1.
Weitere Regeln
1
1
x −n = n ,
x
n
x
xn
2
= n,
y
y
√
n
m
3
xn = x m .
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Supremum und Infimum
Potenz- und Wurzelgesetze
Beispiel (3.2)
Seien a, b > 0 beliebig. Überprüfen Sie, ob folgende Aussagen
richtig sind, und begründen Sie mit den Rechenregeln für
Potenzen Ihr Ergebnis:
√
√
√
3
1
16 · 6 81 = 2 3 18,
√
3 a
√
a
4
2
√
= a13 ,
4
a
√
√
√
6
3
27 · 10 32 = 3 18,
√
√
4 · 3 b 11
√
3
a
9
4
√
=
a5 b .
6
a2 b 4
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Supremum und Infimum
Potenz- und Wurzelgesetze
Beispiel (3.3)
a) Zeigen Sie
1 + a2
n+1
n+1
n+2
1 − a2
= 1 − a2 .
2 n
. Zeigen Sie
b) Es sei bn = 1 +
n
1+
1
n+1
2n+1
< b2n+1 <
1
1+
n
2n+1
.
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Supremum und Infimum
Beispiel (4.1)
Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten
folgende Aussage (A)
∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A).
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Beispiel (4.1)
Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten
folgende Aussage (A)
∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A).
b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem
beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt.
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Beispiel (4.1)
Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten
folgende Aussage (A)
∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A).
b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem
beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt.
c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie
nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie,
dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen.
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Beispiel (4.1)
Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten
folgende Aussage (A)
∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A).
b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem
beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt.
c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie
nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie,
dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen.
d) Aus Schritt c) erhalten Sie den Wert ε, den Sie bestimmen
müssen, um die Aussage (A) zu widerlegen.
Ungleichungen
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Beispiel (4.1)
Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten
folgende Aussage (A)
∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A).
b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem
beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt.
c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie
nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie,
dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen.
d) Aus Schritt c) erhalten Sie den Wert ε, den Sie bestimmen
müssen, um die Aussage (A) zu widerlegen.
e) Zeigen Sie, dass die Aussage (A) nicht gilt, indem Sie die
konkreten Werten aus d) und b) verwenden.
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Folgen
Beispiel (4.2)
1
.
x
a) Zeigen Sie für D := [1, ∞) die Aussage
Sei f : D → R definiert durch f (x) =
∀ε>0∃δ>0∀x ≥1∀y ≥1 :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
Supremum und Infimum
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Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Beispiel (4.2)
1
.
x
a) Zeigen Sie für D := [1, ∞) die Aussage
Sei f : D → R definiert durch f (x) =
∀ε>0∃δ>0∀x ≥1∀y ≥1 :
|x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε .
b) Zeigen Sie für D := (0, 1) die Aussage
∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ∈ (0, 1) ∃ y ∈ (0, 1) :
|x − y | < δ ∧ |f (x) − f (y )| ≥ ε .
Hinweis: Wählen Sie ε := 1, x := δ und y :=
δ
.
2
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Ungleichungen
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Einfache Beweise
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Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Ungleichungen
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Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
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Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
Ungleichungen
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Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R
zugeordnet.
Ungleichungen
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Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R
zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D
bezeichnet.
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Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R
zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D
bezeichnet.
Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge)
Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an =
1
. Skizzieren Sie
n
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Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R
zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D
bezeichnet.
Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge)
Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an =
den Graphen der Folge,
1
. Skizzieren Sie
n
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Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Definition Folge
Definition (5.1 Folge reeller Zahlen)
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit
Definitionsbereich D ⊆ N0 ,
Wertebereich R.
Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied.
D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R
zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D
bezeichnet.
Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge)
Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an =
den Graphen der Folge,
die Folgenglieder an , n ∈ N.
1
. Skizzieren Sie
n
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Supremum und Infimum
Definition Folge
Beispiel (5.3)
Zeigen Sie, dass für die Folge (an )n∈N mit
an =
(−1)n
n2
die Bedingung
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N : ∀ n, m > n0 =⇒ |an − am | < ε
erfüllt.
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Widerspruchsbeweise
Beispiel (6.1)
√
1
2 ist eine irrationale Zahl.
2
Beweisen Sie indirekt
x, y ≥ 0
=⇒
√
xy ≤
x +y
.
2
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Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Definition (6.2)
Eine nichtleere Teilmenge A von R heißt
a) nach oben beschränkt, wenn es ein M ∈ R gibt mit a ≤ M
für alle a ∈ A,
b) nach unten beschränkt, wenn es ein m ∈ R gibt mit a ≥ m
für alle a ∈ A,
c) beschränkt, wenn A nach oben und unten beschränkt ist,
d.h. wenn es ein M ∈ R gibt mit |a| ≤ M für alle a ∈ A.
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Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom)
Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R,
so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes
Element, das kleinste obere Schranke von A oder das
Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird.
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Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom)
Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R,
so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes
Element, das kleinste obere Schranke von A oder das
Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird.
Satz (6.4)
Es gilt die Archimedische Eigenschaft
∀ a > 0 ∀ r ∈ R ∃ n ∈ N : na > r .
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Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom)
Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R,
so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes
Element, das kleinste obere Schranke von A oder das
Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird.
Satz (6.4)
Es gilt die Archimedische Eigenschaft
∀ a > 0 ∀ r ∈ R ∃ n ∈ N : na > r .
Satz (6.5)
Seien x, y ∈ R mit x < y . Dann gilt
∃r ∈Q : x <r <y .
Ungleichungen
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Folgen
Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Satz (6.6)
1
Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge
von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt
1
2
∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A,
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε.
Ungleichungen
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Potenz- und Wurzelgesetze
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Folgen
Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Satz (6.6)
1
Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge
von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt
1
2
2
∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A,
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε.
Sei A eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge
von R. Dann ist s = inf A genau dann, wenn gilt
1
2
∀ a ∈ A : a ≥ s = inf A,
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a < s + ε.
Ungleichungen
Gleichungen
Potenz- und Wurzelgesetze
Einfache Beweise
Folgen
Supremum und Infimum
Supremum und Infimum
Satz (6.6)
1
Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge
von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt
1
2
2
∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A,
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε.
Sei A eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge
von R. Dann ist s = inf A genau dann, wenn gilt
1
2
∀ a ∈ A : a ≥ s = inf A,
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a < s + ε.
Bemerkung (6.7)
Gilt s = sup A ∈ A bzw. s = inf A ∈ A, so wird s = max A bzw.
s = min A gesetzt.
Ungleichungen
Gleichungen
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Supremum und Infimum
Beispiel (6.8)
Skizzieren Sie die folgenden Mengen und überprüfen Sie
jeweils, ob diese beschränkt sind. Bestimmen Sie weiterhin für
jede der Mengen, falls vorhanden, alle oberen und unteren
Schranken, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.
a) A = [0, 1) ∪ (1, 2),
√ b) B = x ∈ Q | |x| ≤ 3 ,
1
c) C = 1 − n | n ∈ N .
2
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Supremum und Infimum
Beispiel (6.9)
Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum der folgenden
Menge:
3x M=
x >0 .
x +2