Brückenkurs Rechentechniken
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Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise 1 Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen Betragsungleichungen Weitere Ungleichungen 2 Gleichungen Gleichungen in Anwendungen 3 Potenz- und Wurzelgesetze Potenz- und Wurzelgesetze 4 Einfache Beweise 5 Folgen Definition Folge 6 Supremum und Infimum Widerspruchsbeweise Supremum und Infimum Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y =⇒ x +a≤y +a Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y =⇒ v ≤ w, x ≤ y x +a≤y +a =⇒ v +x ≤w +y Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y =⇒ v ≤ w, x ≤ y x ≤y =⇒ x +a≤y +a =⇒ v + x ≤ w + y ( ax ≤ ay , a>0 ax ≥ ay , a<0 Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y x +a≤y +a =⇒ v ≤ w, x ≤ y x ≤y =⇒ 0<x ≤y =⇒ v + x ≤ w + y ( ax ≤ ay , a>0 ax ≥ ay , a<0 =⇒ 0< 1 1 ≤ y x Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y x +a≤y +a =⇒ v ≤ w, x ≤ y x ≤y =⇒ =⇒ v + x ≤ w + y ( ax ≤ ay , a>0 ax ≥ ay , a<0 1 1 ≤ y x Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man 0<x ≤y =⇒ 0< Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y x +a≤y +a =⇒ v ≤ w, x ≤ y x ≤y =⇒ =⇒ v + x ≤ w + y ( ax ≤ ay , a>0 ax ≥ ay , a<0 1 1 ≤ y x Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man 0<x ≤y =⇒ 0< auf beide Seiten eine streng monoton steigende Funktion anwendet, Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Rechenregeln für Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen (1.1) Seien a, x, y , v , w ∈ R. x ≤y x +a≤y +a =⇒ v ≤ w, x ≤ y x ≤y =⇒ =⇒ v + x ≤ w + y ( ax ≤ ay , a>0 ax ≥ ay , a<0 1 1 ≤ y x Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, wenn man 0<x ≤y =⇒ 0< auf beide Seiten eine streng monoton steigende Funktion anwendet, beide Seiten quadriert, falls beide Seiten positiv sind. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Rechenregeln für Ungleichungen Beispiel (1.2) Es seien x, y ∈ R. a) Seien x > −1 und y > −1 vorgegeben. Zeigen Sie x ≤y =⇒ y x ≤ . 1+x 1+y b) Gilt die Ungleichung auch für x, y < −1 ? Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Rechenregeln für Ungleichungen Beispiel (1.3) Es seien x, y ∈ R mit 0 < x < y . Beweisen Sie 2 x < xy < x +y 2 2 < y2 . Folgen Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Rechenregeln für Ungleichungen Beispiel (1.4) Es seien a, b, c, d ∈ R mit b, d > 0. Beweisen Sie Aus a c < b d folgt a a+c c < < b b+d d Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Betragsungleichungen Betragsfunktion (1.5) Die Betragsfunktion ist definiert durch ( x ,x ≥ 0 |x| := . −x , x < 0 Es gelten für x, y , n ∈ R die Rechenregeln a) |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 √ b) x 2 = |x|, | − x| = |x|, |x · y | = |x| · |y |, n x = |x|n c) 1. Dreiecksungleichung |x + y | ≤ |x| + |y | d) 2. Dreiecksungleichung |x| − |y | ≤ |x − y | e) Dreicksungleichung |x| − |y | ≤ |x ± y | ≤ |x| + |y | f) |x| < r mit r > 0 ist äquivalent zu −r < x < r . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Betragsungleichungen Beispiel (1.6) a) Welches Invervall ist die Lösungsmenge der Ungleichung |x + 2| < 3 ? b) Man bestimme die reellen Lösungen von |2x + 3| ≤ 5 − |x| c) Man bestimme die Lösungsmenge L von |x + 1| + |x − 1| ≤ 2 . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Weitere Ungleichungen Beispiel (1.7) Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit h < 8x die Ungleichungen √ gelten. √ √ h h2 h x + √ − √ < x +h < x + √ 2 x 8x x 2 x Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Weitere Ungleichungen Beispiel (1.8) Aus Beispiel (1.2) haben wir für x, y > −1 die Folgerung x ≤y =⇒ x y ≤ 1+x 1+y nachgewiesen. Folgern Sie, dass für a, b ∈ R die Ungleichung |a| |b| |a + b| ≤ + , 1 + |a + b| 1 + |a| 1 + |b| indem Sie x := |a + b| und y := |a| + |b| betrachten. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Weitere Ungleichungen Beispiel (1.9) Es seien x, y > 0. Beweisen Sie √ x +y ≤ √ x+ √ x y y ≤ √ +√ y x Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Gleichungen in Anwendungen Beispiel (2.1) Zeigen Sie ∀ y ∈ [0, 1] ∃ x ∈ [−1, 0] : y = p 1 − x2 . Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Gleichungen in Anwendungen Beispiel (2.2) Wir betrachten die Funktion f : D → R mit s π 1 2 f (x) = + arcsin x −1 . 2 2 a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f . b) Zeigen Sie: √ ∀ y ∈ 0, π ∃ x ∈ [−2, 0] : y = f (x) . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Gleichungen in Anwendungen Beispiel (2.3) Wir betrachten die Funktion f : D → R mit p f (x) = arcosh x 2 − 25 − 11 . a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f . b) Zeigen Sie: ∀ y ∈ 0, ∞ ∃ x ∈ [13, ∞) : y = f (x) . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Gleichungen in Anwendungen Beispiel (2.4) Zeigen Sie: ∀y ∈R∃x ∈R : y = 3 x e − cosh x . 2 Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Potenz- und Wurzelgesetze Satz (3.1) Für alle x, y ∈ R und alle n, m ∈ Z gilt, wenn bei nichtpositivem Exponenten die zugehörige Basis 6= 0 ist, 1 2 x n · x m = x n+m , m x n = x nm , 3 (xy )n = x n y n , 4 1n = 1. Weitere Regeln 1 1 x −n = n , x n x xn 2 = n, y y √ n m 3 xn = x m . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Potenz- und Wurzelgesetze Beispiel (3.2) Seien a, b > 0 beliebig. Überprüfen Sie, ob folgende Aussagen richtig sind, und begründen Sie mit den Rechenregeln für Potenzen Ihr Ergebnis: √ √ √ 3 1 16 · 6 81 = 2 3 18, √ 3 a √ a 4 2 √ = a13 , 4 a √ √ √ 6 3 27 · 10 32 = 3 18, √ √ 4 · 3 b 11 √ 3 a 9 4 √ = a5 b . 6 a2 b 4 Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Potenz- und Wurzelgesetze Beispiel (3.3) a) Zeigen Sie 1 + a2 n+1 n+1 n+2 1 − a2 = 1 − a2 . 2 n . Zeigen Sie b) Es sei bn = 1 + n 1+ 1 n+1 2n+1 < b2n+1 < 1 1+ n 2n+1 . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.1) Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten folgende Aussage (A) ∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A). Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.1) Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten folgende Aussage (A) ∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A). b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.1) Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten folgende Aussage (A) ∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A). b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt. c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie, dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.1) Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten folgende Aussage (A) ∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A). b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt. c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie, dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen. d) Aus Schritt c) erhalten Sie den Wert ε, den Sie bestimmen müssen, um die Aussage (A) zu widerlegen. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.1) Es sei f : R → R durch f (x) = x 3 gegeben. Wir betrachten folgende Aussage (A) ∀ε>0∃δ>0∀x ∈R∀y ∈R : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . a) Formulieren Sie die Negation der Aussage (A). b) Wählen Sie konkret x und y in Abhängigkeit von einem beliebigen δ > 0, so dass |x − y | < δ gilt. c) Bilden Sie die Differenz |f (x) − f (y )| und schätzen Sie sie nach unten durch eine Konstante ab. Ggf. bemerken Sie, dass Sie x und y aus Schritt b) anpassen müssen. d) Aus Schritt c) erhalten Sie den Wert ε, den Sie bestimmen müssen, um die Aussage (A) zu widerlegen. e) Zeigen Sie, dass die Aussage (A) nicht gilt, indem Sie die konkreten Werten aus d) und b) verwenden. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Beispiel (4.2) 1 . x a) Zeigen Sie für D := [1, ∞) die Aussage Sei f : D → R definiert durch f (x) = ∀ε>0∃δ>0∀x ≥1∀y ≥1 : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Beispiel (4.2) 1 . x a) Zeigen Sie für D := [1, ∞) die Aussage Sei f : D → R definiert durch f (x) = ∀ε>0∃δ>0∀x ≥1∀y ≥1 : |x − y | < δ =⇒ |f (x) − f (y )| < ε . b) Zeigen Sie für D := (0, 1) die Aussage ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ∈ (0, 1) ∃ y ∈ (0, 1) : |x − y | < δ ∧ |f (x) − f (y )| ≥ ε . Hinweis: Wählen Sie ε := 1, x := δ und y := δ . 2 Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R zugeordnet. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D bezeichnet. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D bezeichnet. Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge) Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an = 1 . Skizzieren Sie n Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D bezeichnet. Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge) Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an = den Graphen der Folge, 1 . Skizzieren Sie n Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Definition (5.1 Folge reeller Zahlen) Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ N0 , Wertebereich R. Die reelle Zahl a(n) := an heißt n-tes Folgenglied. D.h. jedem Element n ∈ D wird genau ein Element an ∈ R zugeordnet. Die Menge aller Folgenglieder wird (an )n∈D bezeichnet. Beispiel (5.2 Eine spezielle Folge) Gegeben sei die Folge (an )n∈N mit an = den Graphen der Folge, die Folgenglieder an , n ∈ N. 1 . Skizzieren Sie n Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Definition Folge Beispiel (5.3) Zeigen Sie, dass für die Folge (an )n∈N mit an = (−1)n n2 die Bedingung ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N : ∀ n, m > n0 =⇒ |an − am | < ε erfüllt. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Widerspruchsbeweise Beispiel (6.1) √ 1 2 ist eine irrationale Zahl. 2 Beweisen Sie indirekt x, y ≥ 0 =⇒ √ xy ≤ x +y . 2 Supremum und Infimum Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Definition (6.2) Eine nichtleere Teilmenge A von R heißt a) nach oben beschränkt, wenn es ein M ∈ R gibt mit a ≤ M für alle a ∈ A, b) nach unten beschränkt, wenn es ein m ∈ R gibt mit a ≥ m für alle a ∈ A, c) beschränkt, wenn A nach oben und unten beschränkt ist, d.h. wenn es ein M ∈ R gibt mit |a| ≤ M für alle a ∈ A. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom) Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R, so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes Element, das kleinste obere Schranke von A oder das Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom) Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R, so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes Element, das kleinste obere Schranke von A oder das Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird. Satz (6.4) Es gilt die Archimedische Eigenschaft ∀ a > 0 ∀ r ∈ R ∃ n ∈ N : na > r . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Definition (6.3 Vollständigkeitsaxiom) Ist A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R, so besitzt die Menge der oberen Schranken von A ein kleinstes Element, das kleinste obere Schranke von A oder das Supremum von A genannt wird und mit sup A bezeichnet wird. Satz (6.4) Es gilt die Archimedische Eigenschaft ∀ a > 0 ∀ r ∈ R ∃ n ∈ N : na > r . Satz (6.5) Seien x, y ∈ R mit x < y . Dann gilt ∃r ∈Q : x <r <y . Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Satz (6.6) 1 Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt 1 2 ∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A, ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Satz (6.6) 1 Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt 1 2 2 ∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A, ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε. Sei A eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von R. Dann ist s = inf A genau dann, wenn gilt 1 2 ∀ a ∈ A : a ≥ s = inf A, ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a < s + ε. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Satz (6.6) 1 Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R. Dann ist s = sup A genau dann, wenn gilt 1 2 2 ∀ a ∈ A : a ≤ s = sup A, ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a > s − ε. Sei A eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von R. Dann ist s = inf A genau dann, wenn gilt 1 2 ∀ a ∈ A : a ≥ s = inf A, ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a < s + ε. Bemerkung (6.7) Gilt s = sup A ∈ A bzw. s = inf A ∈ A, so wird s = max A bzw. s = min A gesetzt. Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Beispiel (6.8) Skizzieren Sie die folgenden Mengen und überprüfen Sie jeweils, ob diese beschränkt sind. Bestimmen Sie weiterhin für jede der Mengen, falls vorhanden, alle oberen und unteren Schranken, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum. a) A = [0, 1) ∪ (1, 2), √ b) B = x ∈ Q | |x| ≤ 3 , 1 c) C = 1 − n | n ∈ N . 2 Ungleichungen Gleichungen Potenz- und Wurzelgesetze Einfache Beweise Folgen Supremum und Infimum Supremum und Infimum Beispiel (6.9) Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum der folgenden Menge: 3x M= x >0 . x +2
