Basiswissen Statistik
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© 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Basiswissen Statistik Einführung in die Grundlagen der Statistik mit zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen von Prof. Dr. Karl Bosch R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis Seite XI Vorwort Teil I: Beschreibende (deskriptive) Statistik 1 Merkmale und Skalierung 3 1.1 1.2 Merkmale Skalierung 3 5 2 Eindimensionale Stichproben 6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7'5 2.8 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 Absolute und relative Häufigkeiten Strichliste und Häufigkeitstabelle Graphische Darstellungen Häufigkeitsverteilungen bei Klasseneinteilungen Empirische Verteilungsfunktion Klassierte Verteilungsfunktion Mittelwerte Arithmetisches Mittel (der Mittelwert) Mediän (Zentralwert) Harmonisches Mittel Geometrisches Mittel . Vergleich der verschiedenen Mittelwerte Quantile und Quartile . • Streuungsmaße (Abweichungsmaße) Mittlere Abstände Varianz und Standardabweichung Aufgaben 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 Zweidimensionale (verbundene) Stichproben Streuungsdiagramme Kontingenztafeln (Häufigkeitstäbellen) K o v a r i a n z u n d Korrelationskoeffizient Rangkorrelationskoeffizient von S p e a r m a n Rangzahlen Der S p e a r m a n s c h e Rangkorrelationskoeffizient rg . B e r e c h n u n g von r g bei R a n g z a h l e n o h n e B i n d u n g e n Regressionsrechnung Regressionsgerade Regressionsgerade d u r c h einen vorgegebenen Purikt Von P a r a m e t e r n a b h ä n g i g e Regressionsfunktionen Linearisierung d u r c h T r a n s f o r m a t i o n e n . . . . ' Aufgaben . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 8 11 13 14 15 15 17 21 22 23 23 25 25 25 28 31 31 32 34 37 38 39 41 42 42 45 47 47 49 VI Inhaltsverzeichnis Teil II: Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Wahrscheinlichkeiten 53 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.4.1 4.4.4.2 4.4.5 4.4.6 4.5 4.6 4.7 Zufallsexperimente und zufällige Ereignisse Häufigkeiten von Ereignissen Definition einer Wahrscheinlichkeit Axiome einer Wahrscheinlichkeit Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff : Kombinatorik . Produktregel der Kombinatorik (allgemeines Zählprinzip). . Anordnungsmöglichkeiten (Permutatidnen) Auswahlmöglichkeiten unter Berücksichtigung der Reihenfolge Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Ziehen ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) Ziehen mit Wiederholung (mit Zurücklegen) Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik . . . . Urnenmodelle Bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängige Ereignisse Aufgaben 53 55 56 57 59 60 61 61 63 64 64 65 67 67 70 75 78 5 Diskrete Zufallsvariablen 81 5.1 Eindimensionale diskrete Zufallsvariablen 5.1.1 Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen 5.1.2 Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen . . 5.1.3 Modalwert (Modus) einer diskreten Zufallsvariablen . . 5.1.4 Erwartungswert einer diskreten Zufalls variablen 5.1.5 Mediän (Zentralwert) einer diskreten Zufallsvariablen . . 5.1.6 Quantile einer diskreten Zufallsvariablen 5.1.7 Varianz und S t a n d a r d a b w e i c h u n g einer diskreten Zufallsvariablen . 5.2 Zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen 5.2.1 G e m e i n s a m e Verteilung 5.2.2 F u n k t i o n einer zweidimensionalen Zufalls variablen . . . 5.2.3 Unabhängige diskrete Zufallsvariablen 5.2.4 P r o d u k t zweier diskreter Zufallsvariabler 5.2.5 S u m m e n diskreter Zufallsvariabler 5.2.6 Kovarianz und Korrelationskoeffizient 5.3 Spezielle diskrete Zufallsvariablen 5.3.1 Gleichmäßige diskrete Verteilung 5.3.2 Binomialverteilung (Verteilung der absoluten Häufigkeit). 5.3.3 Hypergeometrische Verteilung 5.3.4 Geometrische Verteilung ( W a r t e n auf den ersten Erfolg) . 5.3.5 Poisson-Verteilung (Verteilung seltener Ereignisse) . . . 5.4 Aufgaben . . . . . . . 81 81 84 85 86 91 93 93 95 95 97 98 98 99 101 103 103 104 106 107 109 112 Inhaltsverzeichnis VII 6 115 Stetige Zufallsvariablen 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.3.1 Dichte und Verteilungsfunktion Erwartungswert Mediän (Zentralwert) Quantile Varianz und Standardabweichung Spezielle stetige Zufallsvariablen Gleichmäßige Verteilung Exponentialverteilung Normalverteilungen Standard-Normalverteilung als Grenzwert standardisierter Binomialverteilungen 6.6.3.2 Allgemeine Normalverteilung 6.6.3.3 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6.6.4 Chi-Quadrat-Verteilung (Testverteilung) 6.6.5 t-Verteilung (Testverteilung) 6.6.6 F-Verteilung (Testverteilung) . . 6.7 Aufgaben 7 Zentraler Grenzwert satz und Gesetze der großen Zahlen 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 Zentraler Grenzwertsatz Gesetze der großen Zahlen Tschebyschewsche Ungleichung Schwaches Gesetz der großen Zahlen Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen Aufgaben 115 117 120 121 122 123 123 124 127 128 132 135 137 138 139 141 143 143 145 146 147 149 151 Teil III: Beurteilende (induktive) Statistik 8 Parameterschätzung 155 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.2.1 8.1.2.2 8.1.2.3 8.1.3 8.1.3.1 8.1.3.2 8.1.3.3 8.2 8.2.1 Punktschätzungen Zufallsstichproben und Stichprobenfunktionen Schätzfunktionen Allgemeine Schätzfunktionen Erwartungstreue Schätzfunktionen Konsistente Schätzfunktionen Maximum-Likelihood-Schätzungen Likelihood-Funktion bei diskreten Verteilungen Likelihood-Funktion bei stetigen Verteilungen Das Maximum-Likelihood-Prinzip Konfidenzintervalle (Intervallschätzungen) Allgemeine Konfidenzintervalle 155 155 157 157 158 159 161 161 161 162 163 164 VIII Inhaltsverzeichnis 8.2.2 Konfidenzintervalle für einen Erwartungswert 8.2.2.1 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz . . . . . . . 8.2.2.2 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz 8.2.3 Konfidenzintervalle für eine Varianz bei Normalv'erteilungen 8.2.4 Konfidenzintervalle für eine Wahrscheinlichkeit p . . . . 8.2.5 Konfidenzintervalle für die Differenz zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben . . . 8.2.6 Konfidenzintervalle für den Quotienten der Varianzen zweier Normalverteilungen 8.3 Aufgaben 165 165 168 169 172 9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.2 9.2.1 9.2.1.1 9.2.1.2 9.2.1.3 9.2.1.4 9.2.2 9.2.3 179 179 179 182 184 184 184 186 188 188 189 9.3 9.3.1 9.3.2 9.4 9.5 Parametertests Einfache Alternativtests Test von Ho : \i — /x0 gegen Hx : \i — \ix Test von Ho : p = p0 gegen H x : p = px Tests von Erwartuhgswerten Test eines Erwartungswertes bei bekannter Varianz . . Zweiseitiger Test von Ho : /J, = fiQ gegen R-^: fi ^ n0 . Einseitiger Test von Ho : ß > /x0 gegen Rl: n < /i 0 . . Einseitiger Test von Ho : \i < JXQ gegen U1: fi > JJ,Q . . Zusammenstellung der Testentscheidungen . . . . . Test eines Erwartungswertes bei unbekannter Varianz . Test der Differenz der Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben Tests von Varianzen bei Normalverteilungen Test einer einzigen Varianz Test des Quotienten zweier Varianzen Test einerWahrscheinlichkeit p • Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . 174 175 177 190 191 191 192 194 195 10 Chi-Quadrat-Tests 199 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Test von mehreren Wahrscheinlichkeiten Tests von Verteilungen Unabhängigkeitstest Homogenitätstest Aufgaben . .i 199 202 208 212 216 11 11.1 11.2 11.3 Varianzanalyse Einfache Varianzanalyse Doppelte Varianzanalyse Aufgaben 219 219 224 229 12 12.1 12.2 12.3 12.4 Lineare Regression Das Lineare Regressionsmodell Schätzungen der Parameter Test auf lineare Regression Aufgaben 231 231 232 234 238 Inhaltsverzeichnis 13 Parameterfreie Verfahren IX 239 13.1 Vorzeichen-Test 13.1.1 Vorzeichen-Test bei stetigen Zufallsvariablen (ohne Bindungen) 13.1.2 Vorzeichen-Test bei beliebigen Zufallsvariablen (mit Bindungen) 13.2 Test des Medians bei stetigen Zufallsvariablen 13.3 Sensorische Tests 13.3.1 Der Duo-Test: Paarweise Unterschiedsprüfung 13.3.2 Der Triangel-Test: Dreiecksprüfung 13.4 Vorzeichen-Rangtest nach Wilcoxon 13.4.1 Rangtest ohne Bindungen 13.4.2 Rangtest bei Bindungen 13.5 Aufgaben 239 Lösungen der Aufgaben 255 Literaturverzeichnis 274 Tabellenanhang 275 Register 295 239 240 242 243 244 246 248 249 251 252
