Übungen zu Physik 2 für Maschinenwesen

Physikdepartment E13
SS 2011
Übungen zu Physik 2 für Maschinenwesen
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum,
Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers
Vorlesung 19.07.2011, Übungswoche 25.07.2011 – 29.07.2011
Blatt 11
1. Elektronenbeugung
Ein Elektronenstrahl (Beschleunigungsspannung UB ) wird in einer Vakuumröhre auf eine dünne
polykristalline Probe gelenkt. Eine polykristalline Probe besteht aus zufällig orientierten Kristalliten. Die einfallenden Elektronen werden an der Probe gestreut und in einem Abstand L hinter der
Probe mit einem 2D Detektor detektiert. Der direkte, nicht gestreute Elektronenstrahl trifft mittig auf
den Detektor. Es gibt für alle Raumrichtungen solche Kristallite, die unter einem Glanzwinkel getroffen werden, so dass die Bragg Bedingung erfüllt wird und Braggreflexion eintritt. Die Elektronen
werden als konzentrische Interferenzmaxima detektiert. Die Kristallite haben einen Gitterabstand
von d.
a) Bestimmen Sie die Wellenlänge λ der Elektronen in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung UB .
b) Skizzieren Sie den Versuchsaufbau schematisch (Seitenansicht) mit Probe und Detektor.
c) Bestimmen Sie den Abstand x des ersten Interferenzmaximums auf dem Detektor vom Mittelpunkt des Detektors in Abhängigkeit von L, d und UB . Verwenden Sie die Kleinwinkelnäherung.
d) Berechnen Sie x für d = 0,67 nm, L = 15 cm und eine Beschleunigungsspannung von 6 kV.
Um größere Strukturen in der Probe zu detektieren wird ein ähnlicher Aufbau verwendet. Die
Elektronen werden jedoch durch Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge λ = 0,138 nm ersetzt. Der
Detektor besteht aus 2048 × 2048 Pixeln mit einer Pixelgröße von 80 × 80 µm2 . Der Abstand L ist
variierbar.
e) Welchen Abstand L muss man wählen, um einen Gitterabstand von d = 10 nm gerade noch
auf dem Detektor zu sehen?
Der direkte Strahl trifft auf die Mitte des Detektors und wird dort durch einen sogenannten Strahlbegrenzer geblockt, d.h. auf dem Detektor wird in diesem Bereich kein Signal aufgezeichnet.
Der Strahlbegrenzer wird zum Schutz des Detektors eingesetzt und hat einen Durchmesser von
D = 1,5 cm.
f) Was ist der größte Gitterabstand, der mit dem Detektor gemessen werden kann, wenn der
Abstand L aus e) verwendet wird?
2. Morse-Potential
Das Morse-Potential beschreibt näherungsweise die potentielle Energie eines zweiatomigen Moleküls und lautet
V (r ) = De {1 − exp [− a (r − rk )]}2
wobei rk der Gleichgewichtsabstand der Atomkerne, De die Dissoziationsenergie und a ein Steifeparameter mit der Einheit einer reziproken Länge ( m−1 ) ist. Durch die sogenannte Taylorentwicklung kann dieses anharmonische Potential als Polynomreihe dargestellt werden. Dazu wird
die Taylorreihe um einen Punkt der Funktion entwickelt. Durch Abbrechen der Entwicklung nach
wenigen Gliedern erhält man eine Näherung für die ursprüngliche Funktion. Die Taylorentwicklung
der Funktion f ( x ) um den Punkt x0 bis zum Grad n ist definiert als
Tn ( x ) := f ( x0 ) +
f ′ ( x0 )
f ′′ ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x − x0 ) +
( x − x0 )2 + . . . +
( x − x0 ) n
1!
2!
n!
a) Ist das Verhalten des Morse-Potentials für r → 0 realistisch?
b) Entwickeln Sie das Morse-Potential V (r ) um den Gleichgewichtsabstand x0 = rk bis zum 3.
Grad.
Für kleine Abweichungen von rk kann das Morse-Potential durch das Potential eines harmonischen Oszillators der Form V ( x ) = mω 2 x2 /2 angenähert werden. Dazu wird die Taylorentwicklung nach dem quadratischen Term abgebrochen.
c) Stellen Sie ω als Funktion des Steifeparameters a dar.
d) Stellen Sie die stationäre Schrödingergleichung für ein Teilchen der Masse m auf, das in
einem harmonischen Potential gebunden ist.
e) Zeigen Sie, dass sich die stationäre √
Schrödingergleichung unter Verwendung der dimensionslosen Koordinaten ξ = (r − rk )/ h̄/mω und C = 2E/( h̄ω ) und des Ansatzes ψ(ξ ) =
b · H (ξ ) exp(−ξ 2 /2) schreiben lässt als die sogenannte hermitesche Differentialgleichung
d
d2
H − 2ξ
H + (C − 1) H = 0.
dξ 2
dξ
Hermitesche Differentialgleichungen besitzen Lösungen nur für Cn − 1 = 2n mit n =
0, 1, 2, . . .
f) Berechnen Sie unter Verwendung dieser Lösungsbedingung die Energiewerte für das Potential des quantenmechanischen harmonischen Oszillators.
g) Wie hängen die Energiewerte vom Steifeparameter a ab?
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3. Vorlesungsexperiment Bragg-Reflexion
Wir interessieren uns für die Struktur von NaCl und wollen den Gleichgewichtsabstand r0 der
Atome bestimmen. NaCl hat eine kubische Kristallstruktur, wie in der Abbildunga gezeigt.
a) Skizzieren Sie den Versuchsaufbau zur Bestimmung der Netzebenenabstände mittels der
Bragg-Methode.
b) Die Kα -Röntgenstrahlung von Molybdän (λ = 0,071 nm) trifft so auf die Braggebenen, die in
der Abbildung die Vorderfläche des Würfels bilden, dass das Beugungsmaximum bei dem
Ablenkwinkel ϑ = 7,3◦ beobachtet wird. Bestimmen Sie hieraus den Wert von r0 .
c) Berechnen Sie den Gleichgewichtsabstand r0 der Na- und Cl-Atome in NaCl aus der gemessenen Dichte ρ = 2,16 g/cm3 der Substanz.
a Abbildung:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/NaCl_polyhedra.png
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4. Indizierung von Kristallstrukturen
In Kristallgittern können Richtungen und Ebenen durch die so genannten Miller-Indizes eindeutig
angesprochen werden.
a) Welche Kristallstruktur liegt in Abb. 1 vor? Bestimmen Sie die Miller-Indizes für alle markierten Richtungen (1-6).
Abb. 1
b) Welche Kristallstruktur liegt in Abb. 2 vor? Bestimmen Sie die Miller-Indizes für alle eingezeichneten Ebenen (1-4).
Abb. 2
c) Zeichnen Sie die Einheitszelle eines hexagonalen Kristallgitters mit den Richtungen zu den
Miller-Indizes [210], [21̄0], [110], [1̄00], [111], [101].
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