Anleitungstext

PS 11
Halleekt in dotierten Halbleitern
Version vom 10. Mai 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
3
1.1
Die elektrische Leitfähigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Lorentzkraft und Halleekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Elektrische Eigenschaften dotierter Halbleiter
6
. . . . . . . . . . . . . . . .
2 Aufgaben
8
3 Versuchsaufbau
9
3.1
Halleekt-Grundgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Die Germanium-Proben
3.3
Der Elektromagnet
3.4
PC-Schnittstelle und Messprogramm
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Durchführung der Versuche
12
12
4.1
Montieren der Probe und Aufbauen der Schaltung . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Einstellen des Magneten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3
Messungen an n-Ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.4
Temperaturabhängigkeit des Halleektes in n-Ge und p-Ge . . . . . . . . .
14
4.5
Messungen an p-Ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5 Hinweise zur Auswertung und zum Protokoll
16
PS 11
1 Grundlagen
Lehr/Lernziele
•
Wichtige Grundbegrie zum Ladungstransport in Festkörpern kennen- und verstehen
lernen.
•
Elektrische Schaltungen aufbauen und methodisches Vorgehen beim Experimentieren
lernen.
•
Zielgerichtete Auswertetechniken entwickeln.
1 Grundlagen
Begrie
Ohm'sches Gesetz, Leitfähigkeit, Lorentzkraft, dotierte Halbleiter, n- und p-Leitung, Ladungsträgerdichte, Beweglichkeit der Ladungsträger
1.1 Die elektrische Leitfähigkeit
In einem homogenen und isotropen Material sind die elektrische Spannung
ihr verursachte elektrische Stromstärke
I
U
und die von
proportional zueinander (Ohm'sches Gesetz):
U =R·I
R hängt nicht nur von den elektrischen Eigenschaften des Materials, sondern auch von den
Abmessungen der Probe ab. Will man die Materialeigenschaften spezizieren, so gibt man
den spezischen Widerstand
Denition von
ρ
oder die Leitfähigkeit
σ = 1/ρ
an. Abb. 1 illustriert die
ρ: R = ρ · l/A.
Abbildung 1: Skizze zur Denition des spezischen Widerstands ρ.
ρ und σ kann das Ohm'sche Gesetz auch in allgemeinerer Form
man die elektrische Feldstärke E = U/l und die Stromdichte
Mit den spezischen Gröÿen
geschrieben werden, wenn
j = I/A
einführt:
E = U/l = ρ ·
- 3 -
I
=ρ·j
A
PS 11
1 Grundlagen
oder, in allgemeiner (vektorieller) Schreibweise:
~
~j = σ · E
(1)
Gl. 1 ist das Ohm'sche Gesetze in lokalen/spezischen Gröÿen. Zu
σ
tragen sämtliche Pro-
zesse bei, bei denen Ladung transportiert wird. Ein Vergleich zwischen den Werten von
σ,
die man aus theoretischen Modellen erhält, mit denen aus Messwerten errechneten, er-
möglicht die Bestimmung der wichtigsten Parameter des elektrischen Ladungstransportes.
Das einfache Drude-Modell
1
führt zu:
σ =n·q·µ
worin
n
(2)
die Dichte bzw. Konzentration (= Anzahl pro Volumen),
Beweglichkeit der Ladungsträger bedeuten.
elektrischen Feld und der Geschwindigkeit
q
die Ladung und
die
µ ist der Proportionalitätsfaktor zwischen dem
~v der Ladungträger:
~
~v = µ · E
(3)
Man beachte: In dieser allgemeinen Formulierung haben q und µ das gleiche
σ unabhhängig
~j immer in die
µ
Vorzeichen
und daher ist
von der Polarität der Ladungsträger stets positiv. Nach Gl. 1
zeigt folglich
Richtung von
~
E
2
(ohne zusätzliche äuÿere Kräfte).
1.2 Lorentzkraft und Halleekt
Auf Ladungsträger, die sich in einem elektrischen Feld
gen, übt ein Magnetfeld
~
B
eine Kraft
F~
~
E
mit der Geschwindigkeit
~v
bewe-
aus, die Lorentz-Kraft :
~ + q · (~v × B)
~
F~ = q E
(4)
3
Der zweite Term rechts beschreibt die Wirkung des Magnetfeldes . Seine Richtung ist
unabhängig von der Polarität der Ladungsträger : mit
q
wechselt auch
~v
das Vorzeichen.
Postive und negative Ladungsträger werden im Magnetfeld in die selbe Richtung abgelenkt!
Die Wirkung der Lorentz-Kraft auf die Ladungsträger in einem stromdurchossenen Leiter (dargestellt im Drude-Modell) veranschaulicht Abb. 2. Eine Spannung
(Längsspannung) erzeugt den Strom
U
in x-Richtung
~ = (0, 0, B).
I . Senkrecht dazu steht das Magnetfeld B
B = 0 bewegen sich die Elektronen entgegengesetzt zum elektrischen Feld mit der Ge~v = (−v, 0, 0). Bei B > 0, erfahren die Elektronen eine Kraft, die senkrecht
~
auf ~
v und B steht. Die Folge: die vordere Grenzäche des Leiters wird negativ gegenüber der
4
anderen Grenzäche aufgeladen - es entsteht eine Querspannung UH (die Hallspannung ).
Bei
schwindigkeit
1 Ein klassisches Modell, in dem der Ladungstransport durch die Bewegung von geladenen Teilchen
(Ladungsträgern) erklärt wird, die alle die gleiche Geschwindigkeit
~v (E)
haben.
2 Das ist eine exaktere Formulierung der in PW 1 enthaltenen Bemerkung, dass die beliebte Unterscheidung zwischen technischer und physikalischer Stromrichtung physikalisch nicht sinnvoll ist.
3 In der Literatur wird manchmal nur dieser zweite, B-abhängige Term als Lorentz-Kraft bezeichnet.
4 Benannt nach dem amerikanischen Physiker Edwin Hall. Das a wird wie o gesprochen.
- 4 -
PS 11
Durch
1 Grundlagen
UH
wirkt nun auf die Elektronen eine Kraft, die der Wirkung des Magnetfeldes
(zweiter Term in Gl. 4) entgegengesetzt ist.
Im stationären Zustand heben die beiden Kräfte einander auf und die Elektronen bewegen
sich wieder geradlinig durch die Probe (wie ohne Magnetfeld). An den beiden Grenzächen
quer zur Stromrichtung liegt allerdings jetzt die Hallspannung
Abbildung 2: Die Hallspannung UH
UH .
an einem stromführenden Leiter im Magnetfeld
~.
B
Das Drude-Modell ergibt im Fall der Geometrie der Abb. 2:
UH = RH ·
Die Hallkonstante
RH = 1/nq
I ·B
1 I ·B
=
·
d
nq
d
enthält nur
q
und
n
(5)
als Parameter. Meist ist
q
bekannt,
sodass mit einfachen elektrischen Messungen alle relevanten Parameter des Ladungstrans-
U und I erhält man ρ bzw. σ und
mittels Gl. 2 kann auch µ berechnet werden. Wegen |UH | ∝ 1/n ist der Halleekt in Metalportes bestimmt werden können: aus
RH
folgt
n,
aus
len sehr klein, in Halbleitern jedoch relativ einfach zu messen. Darauf beruht auch die groÿe
technische Bedeutung des Halleektes: Die meisten Magnetfeldsensoren sind Hallsonden,
die einen dotierten Halbleiter verwenden.
~ zur selben Grenzäche
B
hin abgelenkt wie Elektronen (siehe Gl. 4), somit hat in diesem Fall UH das entgegengesetze
~ (in Gl. 5 B → −B ).
Vorzeichen! UH wechselt das Vorzeichen auch bei Umpolung von B
Positive Ladungsträger werden bei gleichen Richtungen von
- 5 -
I
und
PS 11
1 Grundlagen
Im Drude-Modell bewegen sich die Ladungsträger im stationären Zustand wie bei
B = 0,
daher gibt es keine magnetische Widerstandsänderung (Magnetowiderstand). Tatsächlich
tritt ein solcher Eekt jedoch auf, als Folge der statistischen Verteilung der Geschwindigkeiten der Ladungsträger. Die Wirkung des Magnetfeldes wird vom Hallfeld nur im Mittel
kompensiert. Ladungsträger, deren Geschwindigkeit vom Mittelwert abweicht, bewegen
sich im Magnetfeld auf gekrümmten Bahnen und legen daher einen weiteren Weg zurück
als ohne Magnetfeld. Daraus ergibt sich eine Erhöhung des Widerstandes im Magnetfeld.
1.3 Elektrische Eigenschaften dotierter Halbleiter
In PW 10 haben Sie gesehen: die Leitfähigkeit
peratur exponentiell zu (bzw.
R
σ
von undotiertem Ge nimmt mit der Tem-
sinkt exponentiell). Erklärt wird das dadurch, dass in
Halbleitern eine Energielücke (gap ) zwischen Valenzband und Leitungsband existiert. Bei
tiefen Temperaturen sind nur wenige Ladungsträger beweglich - der Halbleiter ist ein Isolator. Bei höheren Temperaturen steigt die Anzahl der Elektronen im Leitungsband durch
thermische Anregung über das Gap und im Valenzband bleiben bewegliche ElektronenLeerstellen (Löcher ) zurück. Beide tragen zum Ladungstransport bei (Eigenleitung ).
Das Besondere an Halbleitern ist, dass die Ladungsträgerdichte durch gezielte Verunreinigung (Dotierung ) in weiten Grenzen veränderbar ist (Störstellenleitung ). Baut man in
Si oder Ge (beide 4-wertig ) kleine Mengen einer 5-wertigen Substanz (z.B. P, As) ein,
dann haben diese Dotieratome 1 Valenzelektron zu viel, welches schon bei kleinen Temperaturen frei werden kann (n-Dotierung ). Solche Dotierstoe heiÿen Donatoren. Abb. 3
zeigt beispielhaft die Ladungsträgerdichte
n
5
in n-dotiertem Si
als Funktion der Tempe-
ratur. Bei tiefen Temperaturen geben die Donator-Atome nach und nach Elektronen ab
(Störstellenreserve). Bei mittleren Temperaturen ist
ND
n annähernd identisch mit der Dichte
n durch
der Dotieratome (Störstellenerschöpfung). Bei hohen Temperaturen nimmt
thermische Anregung von Elektronen exponentiell zu (wie in PW 10 diskutiert).
3-wertige Dotier-Atome (z.B. B, Al) haben 1 Valenzelektron zu wenig und nehmen schon
bei kleinen Temperaturen Elektronen von benachbarten Atomen auf (Akzeptoren ). Die dadurch entstehenden Elektronen-Fehlstellen (Löcher ) verhalten sich in elektrischen Feldern
wie positive Ladungsträger (p-Dotierung ). Die Ladungsträgerdichte
p
verhält sich ähnlich
wie in Abb. 3.
Auf der eLearning-Seite zu PS 11 nden Sie den Link zu einem
YouTube-Video über den p-n-Übergang, in dessen erstem Teil das Dotieren
von Halbleitern sehr anschaulich erklärt wird.
Die Eigenschaften von Elektronen und Löchern unterscheidet man durch einen entspre-
5 Man kürzt n-dotiertes Si gerne zu n-Si ab; analog dazu: p-Si.
- 6 -
PS 11
1 Grundlagen
chenden Index an den Parametern:
so deniert wird, dass auch
µn
σn , σp ,µn , µp
etc., wobei oft
µn
abweichend von Gl. 3
positiv ist (man zieht das Minus heraus):
~
~v = −µn · E.
(6)
Für Leitungselektronen ist q = −e, für Löcher ist q = +e, mit der Elementarladung
e = 1.6 · 10−19 C =1.6 · 10−19 As. In dieser Schreibweise gilt für die Leitfähigkeiten:
σn = n · e · µn
und
σ p = p · e · µp
(7)
Die physikalische Aussage ist natürlich unabhängig von der Schreibweise: die Leitfähigkeit
ist immer positiv, trotz entgegengesetzter Polarität der Ladungsträger.
Abbildung 3:
15
ND = 10
cm
in n-Si als Funktion der Temperatur T . Hier ist
22
−3
(vgl. die Konzentration der Si-Atome: 10
cm ). Rot: undotiertes Si.
Ladungsträgerdichte
−3
n bzw. p im Bereich der Zimmertemperatur annähernd
R (schwach)
steigt. Bei hohen Temperaturen kommt es wegen des exponentiellen Anstieges von n und
p (Eigenleitung) zu einer drastischen Abnahme von UH . RH hängt in diesem Bereich auch
von den Beweglichkeiten ab. Das Vorzeichen von UH wird in diesem Bereich von den
Elektronen bestimmt und folglich wechselt UH in p-Halbleitern das Vorzeichen, sobald die
Nach Abb. 3 ist
UH
n
und daher auch
konstant - wie in einem Metall! Daher ist zu erwarten, dass der Widerstand
Eigenleitung über die Störstellenleitung dominiert.
Die anderen wichtigen Parameter des Ladungstransportes sind in Tab. 1 zusammengefasst.
In der Festkörperphysik werden meist die Einheiten in der letzten Spalte verwendet.
- 7 -
PS 11
2 Aufgaben
Tabelle 1:
Physikalische Gröÿen des Ladungstransportes und des Halleekts.
Gröÿe
Zeichen
Stromdichte
j
ρ
σ
µn , µp
B
n, p
RH
Spezischer Widerstand
Leitfähigkeit
Beweglichkeit
Magnet. Feldussdichte
Ladungsträgerdichte
Hallkonstante
SI-Einheit
−2
Am
übliche Einheit
−2
A cm
Ωm
Ω−1 m−1
Ω cm
Ω−1 cm−1
2 −1 −1
m V s
2 −1 −1
cm V s
−2
V s cm
−3
cm
3 −1 −1
cm A s
−2
T = Vsm
−3
m
3 −1 −1
m A s
Ein praktischer Hinweis:
Die Polarität der Ladungsträger ist prinzipiell ohne zussätzliche Annahmen aus dem Vorzeichen der Hallspannung bestimmbar. In der Praxis ist es aber oft schwierig, die Richtung
von
B
festzustellen und auch die Polarität von
UH
ist nicht eindeutig festgelegt. Um diese
Unsicherheiten auszuschalten, kalibriert man die Apparatur mit einer bekannten Probe
und misst dann die unbekannte Probe. So werden auch Sie es in den Experimenten machen.
2 Aufgaben
1. Messen Sie an n-Ge in einem konstanten Magnetfeld
UH
als Funktion der Stromstärke
Wählen Sie die Richtung von
die Hallkonstante
RH
B
I
so, dass
UH
U
mT die Hallspannung
positiv ist. Bestimmen Sie aus
und die Ladungsträgerdichte
2. Messen Sie an n-Ge bei konstantem Strom
Längsspannung
B = 150
und vergleichen Sie das Ergebnis mit Gl. 5.
I = 25
als Funktion des Magnetfeldes
n
UH (I)
durch einen linearen Fit.
mA die Hallspannung
UH
und die
B.
3. Führen Sie die gleiche Messung wie in der vorigen Aufgabe mit umgekehrt gepoltem
Magnetfeld durch.
4. Stellen Sie die Ergebnisse der beiden letzten Messungen grasch in der Form
dar, wobei Sie die Werte von
Bestimmen Sie aus
UH (B)
B
UH (B)
in der umgekehrten Polung als negativ betrachten.
die Hallkonstante
RH
und die Ladungsträgerdichte
n
durch einen linearen Fit.
5. Prüfen Sie für beide Messungen, ob der Widerstand
R = U/I
eine Abhängigkeit vom
Magnetfeld zeigt (Magnetowiderstand). Wählen Sie dazu eine der Theorie entsprechende grasche Auftragung (siehe Durchführung der Versuche). Bestimmen Sie
aus
R(B = 0)
und
n
die Beweglichkeit
µn .
6. Messen Sie am n-Ge die Temperaturabhängigkeit des Halleektes und des elektri-
- 8 -
PS 11
3 Versuchsaufbau
schen Widerstandes im Bereich zwischen Zimmertemperatur und ca. 160
◦
C.
ohne die Messung der Abhän-
7. Führen Sie die obigen Untersuchungen an p-Ge durch (
gigkeit vom Strom!). Beginnen Sie hier mit der Temperaturabhängigkeit. Vergleichen
Sie die Vorzeichen von
I
und
B.
UH
und
U
mit der Messung an n-Ge bei gleicher Polung von
Bestimmen Sie dann - wie oben - für beide Magnetfeldpolungen:
R H , p, µp
und den Magnetowiderstand.
8. Diskutieren Sie anhand der Ergebnisse (qualitativ!) die Temperaturabhängigkeit der
Ladungsträgerdichte und der Beweglichkeit der Ladungsträger.
3 Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau besteht aus einem Elektromagneten mit Netzgerät (TTi EL155R, 15
V/ 5 A)), dem Halleekt-Grundgerät, zwei Probenhaltern, sowie zwei weiteren Netzgeräten
(TTI EL183R) und 2 Fluke-Multimetern. Für die Messung der Temperaturabhängigkeit
wird eine PC-Messkarte mit PC verwendet.
3.1 Halleekt-Grundgerät
Abb. 4 zeigt das Grundgerät, welches alle notwendigen Kontakte und Versorgungsspannungen zur Verfügung stellt. Es verfügt über eine Konstantstromquelle (I-Quelle.), deren
Stromstärke im Bereich von ca. 2 - 33 mA geregelt werden kann (Drehknopf ). Die Versorgungsspannung der Quelle wird über die Buchsen (1) und (2) zugeführt - Polung beachten!
Der Strom erzeugt an der Probe eine Längsspannung
abzugreifen ist. Die Stromrichtung kann
U,
die an den Buchsen (3) und (2)
nicht umgepolt werden! Die Hallspannung
UH
ist an den entsprechend beschrifteten Buchsen zu messen. Mit dem Schalter U-Komp.
kann eine Kompensationsspannung an die Hall-Kontakte gelegt werden, falls schon ohne
Magnetfeld eine Spannung gemessen wird. Da für die Auswertungen immer die Steigungen
der Messkurven herangezogen werden, ist dies jedoch nicht notwendig!
Am Gerät links und rechts oben benden sich noch 2 Paare von Buchsen für die Versorgung des Heizelementes (IHEATER ) und für die Temperaturmessung (Temperatur).
Diese werden nur für die Messung der Temperaturabhängigkeit des Halleektes benötigt
und später beschrieben.
- 9 -
PS 11
Abbildung 4:
3 Versuchsaufbau
Halleekt-Grundgerät. (1),(2)... Kontakte für die Betriebsspannung für
Konstantstromquelle. (3),(2)... Kontakte zur Messung der Längsspannung. Die anderen
Regler und Buchsen werden im Text besprochen.
3.2 Die Germanium-Proben
Beide Proben, n-Ge und p-Ge, haben die gleichen Kontakte (siehe Abb. 5) und die gleichen
Abmessungen (b und d haben die gleiche Bedeutung wie in Abb. 2!):
Länge l = 20 mm
Breite b = 10 mm
Dicke d = 1 mm
Beide Proben sind in gleiche Probenhalter eingebaut, welche durch ein Kabel mit einem
Rundstecker mit dem Grundgerät verbunden werden können. In Abb- 6 sind alle diese
Bestandteile der Apparatur zu sehen.
3.3 Der Elektromagnet
Der in den Versuchen verwendete Elektromagnet ist in Abb. 6 zu sehen. Es ist ein Transformator der Fa. LD-Didactic, dessen Eisenkern einen Luftspalt aufweist, begrenzt von
Polschuhen, die ein homogenes Magnetfeld
B
im Spalt gewährleisten. Die Polschuhe sind
mit Klammern am Eisenkern befestigt. Die beiden Spulen sind in Serie geschaltet und zwar
- 10 -
PS 11
3 Versuchsaufbau
Abbildung 5: Ge-Probe auf Leiterplatte.
1... Vielfachstecker.
2... Abstandshalter.
3... Klemmstifte (Befestigung im Grundgerät).
4... Ge-Kristall (hier p-dotiert).
5... Heizmäander.
6... PT-100 Temperatursensor.
so, dass
B
auf beiden Seiten des Luftspaltes gleich gerichtet ist: die beiden Buchsen E
sind miteinander verbunden. Der Strom
IB
für den Magneten wird einem Netzgerät (15
V/ 5A) entnommen, das mit einer Strombegrenzung ausgestattet ist. Die Betriebsspannug
dabei an die beiden Buchsen A gelegt (die Buchsen M sind Abgrie in der Mitte der
Trafo-Spulen, die hier nicht verwendet werden.)
IB
wird direkt am Netzgerät abgelesen.
Das Netzgerät niemals abrupt ausschalten, wenn es Strom
an den Magneten abgibt. Dadurch können hohe Induktionsspannungen entstehen, die die Geräte beschädigen würden. Strom immer erst auf 0 regeln!
Wichtiger Hinweis:
Abbildung 6:
Skizze des Elektromagneten mit montiertem Probenhalter und Probe (in
der Mitte des Probenhalters)
Der Eisenkern hat unten zwischen den Spulen eine Bohrung, in die die Haltestange der
Probenhalter eingeführt und mit einer Schraube befestigt werden kann. Die Probe bendet
- 11 -
PS 11
4 Durchführung der Versuche
sich dann genau zwischen den Spulen (Abb. 6). Die Probenhalter haben rund um die Probe
eine kreisförmige Vertiefung, in die die Polschuhe (vorsichtig!) hineingeschoben werden
können. Der Abstand der Polschuhe beträgt dann
dP = (10.0 ± 0.2)
mm (Unsicherheit
geschätzt).
Der Zusammenhang zwischen dem Strom
IB
durch den Magneten und dem Magnetfeld
B
wurde durch eine Eichmessung bestimmt, welche ergab:
B [mT] = (48.70 ± 0.25) · IB [A]
(8)
3.4 PC-Schnittstelle und Messprogramm
Die Temperaturabhängigkeit des Halleektes wird mit einem PC automatisch gemessen.
Dazu ist der Messplatz mit einem PC, einer PC-Schnittstelle und einem Messprogramm,
geschrieben in LabView, ausgestattet. Die Eingänge des Moduls sind entsprechend beschriftet (U ,
UH
und Temperatur für
Uϑ ,
eine Spannung proportional zur Temperatur).
Die Vorgangsweise wird im Kapitel Durchführung der Versuche beschrieben.
4 Durchführung der Versuche
Jede der beiden Proben ist in einen eigenen Probenhalter eingebaut, welcher mittels eines
Kabels mit dem Halleekt-Grundgerät verbunden ist. Die Netz- und Messgeräte benden
sich auf dem Arbeitsplatz. Benutzen Sie nur die Geräte, die jeweils benötigt werden.
4.1 Montieren der Probe und Aufbauen der Schaltung
Rücken Sie die Polschuhe Magneten mehrere cm weit auseinander: Schrauben an den Klammern lösen, bis die Polschuhe verschoben werden können. Setzen Sie nun den
mit n-Ge zwischen die Polschuhe. Feststell-Schraube
die Polschuhe
Probenhalter
noch nicht festziehen. Bewegen Sie
vorsichtig zur Probe, bis sie genau in den Vertiefungen des Probenhalters
zu liegen kommen. Keine Gewalt anwenden! Nun die Klammern an den Polschuhen wieder
festziehen. Jetzt erst die Stange des Probenhalters mit der Schraube xieren.
Eines der Netzgeräte TTI EL183R an Konstantstromquelle anschlieÿen (Buchsen 1 und 2
in Abb. 4), Netzgerät auf 12 V stellen, Strombegrenzung auf etwa 50 mA einstellen. Jetzt
den Output-Schalter drücken. Je ein Multimeter zur Messung von
U
und
Schlieÿen Sie den Pluspol des Messgerätes für die Hallspannung an den
UH
anschlieÿen.
oberen Kontakt
an, dann sollten Sie gemäÿ Abb. 2 für n-Ge eine positive Hallspannung messen, wenn das
Magnetfeld die entsprechende Richtung hat. Die Stromstärke der Stromquelle kann direkt
- 12 -
PS 11
4 Durchführung der Versuche
am Netzgerät abgelesen werden. Die Richtung des Stromes ist vorgegeben und kann nicht
geändert werden!
Halten Sie das Grundgerät beim Einstecken der Kabel mit einer Hand fest und
stecken Sie die Kabel vorsichtig ein!
Drehen Sie jetzt den Knopf I-Quelle in Abb. 4 langsam, bis
I = 25
mA erreicht ist.
4.2 Einstellen des Magneten
Strom- und Spannungsbegrenzung am Netzgerät (15 V/ 5A) auf Minimum stellen (gegen
den Uhrzeigersinn auf Anschlag), Kabel mit den Magnetspulen verbinden; Sie bewahren
leichter die Übersicht, wenn Sie dazu verschiedenfarbige Kabel verwenden. Das schwarze
Kabel für die Serienschaltung der Spulen (verbindet die Buchsen E) sollte schon angeschlossen sein und nicht mehr verändert werden!.
Output-Schalter am Netzgerät drücken und Strombegrenzung auf Maximalstellung (im
Uhrzeigersinn) drehen; wegen der Spannungsbegrenzung ieÿt noch immer (fast) kein
Strom. Jetzt langsam den Spannungsbegrenzer aufdrehen und den Anstieg des MagnetStromes
IB
beobachten. An den vertikalen Kontakten ist jetzt die Hallspannung zu messen.
Sollte sie negativ sein:
I
und
B
IB
wieder auf Null regeln und die Polung am Netzgerät ändern.
haben jetzt die Vorzeichen wie in Abb. 2 gezeigt!
Damit haben Sie den Messaufbau sozusagen kalibriert: Sie wissen, dass bei einem Leiter
mit negativen Ladungsträgern in dieser Polarität von
I
und
B
eine positive Hallspannung
gemessen wird. Zeigt eine unbekannte Probe in diesem Aufbau eine negative Hallspannung,
so muss sie positive Ladungsträger enthalten.
4.3 Messungen an n-Ge
Für Aufgabe 1 stellen Sie
IB = 3
A ein; den genauen Wert von
B
entnehmen Sie der
Eichformel des Magneten (Gl. 8). Messen Sie für mindestens 6 Werte des Probenstromes
im Bereich von ca. 2 mA bis 30 mA die Hallspannung
UH .
Tragen Sie
UH
gegen
I
I
grasch
auf ! Zeigt sich der in den Grundlagen beschriebene lineare Verlauf ? Wenn ja, dann können
Sie aus dem Anstieg einer Fitgeraden die Hallkonstante
RH
und die Ladungsträgerdichte
n
bestimmen. Es genügt, den Betrag der Steigung für die Auswertung zu benutzen, welcher
|RH | · B/d
beträgt, mit
|RH | = 1/ne.
Daraus erhalten Sie den Wert von
n.
Regeln Sie nach der Messung IB wieder auf 0!
Für Aufgabe 2 stellen Sie einen Probenstrom
I = 25
- 13 -
mA ein; dieser Wert bleibt für al-
PS 11
4 Durchführung der Versuche
le weiteren Messungen unverändert!. Messen Sie
Funktion von
B.
Variieren Sie dazu
IB
UH
und die die Längsspannung
in Schritten von 0.5 A bis zu
IB = 4.5
U
als
A.
Regeln Sie nach der Messung IB wieder auf 0!
Für Aufgabe 3 polen Sie das Magnetfeld um, indem Sie die Stecker am Netzgerät vertauschen; im Vergleich zur ersten Messung ist jetzt
B
IB
negativ zu nehmen, folglich ist auch
negativ. Die Hallspannung sollte jetzt ebenfalls negativ sein (falls die Theorie stimmt).
Messen Sie wie in der anderen Polung
UH
und
U
als Funktion von
B.
Regeln Sie nach der Messung IB wieder auf 0!
In Aufgabe 4 werten Sie die letzten beiden Messungen aus. Tragen Sie
von
B
grasch auf. Betrachten Sie die
B -Werte
UH
als Funktion
der zweiten Polung als negativ. Für n-
Ge erwartet man aus Gl. 5 einen linearen Zusammenhang, dessen Steigung den Betrag
|RH | · I/d
hat, mit
|RH | = 1/ne.
Daraus erhalten Sie wieder
n.
Für Aufgabe 5 (Magnetowiderstand) berechnen Sie die relative Widerstandsänderung
∆R(B)/R(0) = (R(B) − R(0))/R(0)
für beide Polungen des Magnetfeldes. Theoretische
Modelle, die die Geschwindigkeitsverteilung der Ladungsträger berücksichtigen (im Ge2
gensatz zum Drude-Modell) sagen ∆R(B)/R(0) ∝ B voraus. Überlegen Sie: Wie müssen
Sie
∆R(B)/R(0)
grasch auftragen, um die Übereinstimmung mit den Modellen sofort
erkennen zu können? Stimmen die Voraussagen der Modelle für Ihre Messungen?
R(0) die Leitfähigkeit σ
Beweglichkeit µn der Ladungsträger
Berechnen Sie nun noch aus dem Widerstand ohne Magnetfeld
und bestimmen Sie mit dem bereits bekannten
n
die
mittels Gleichung 7. Aufgabe 6 wird im nächsten Abschnitt behandelt.
4.4 Temperaturabhängigkeit des Halleektes in n-Ge und p-Ge
Diese Messung mittels PC-Schnittstelle und Messprogramm durchgeführt. Die Ausgänge
für Hallspannung und Längsspannung werden hierbei mit den entsprechend beschrifteten
Eingängen der Schnittstelle verbunden. Anschlüsse der Stromversorgung des Heaters benden links oben auf dem Grund-Gerät:
IHEAT ER : 3A(12V).
Auf der gegenüberliegenden
Seite bendet sich der Ausgang für die Temperaturmessung, dort liegt die Spannung
◦
welche proportional zur Temperatur ϑ in C ist: ϑ = 100 · Uϑ .
Uϑ ,
Wichtig: die Schaltung überprüfen lassen, BEVOR Sie das Netzgerät für den
Heater einschalten! Dieses Netzgerät keinesfalls an den Temperatur-Ausgang
legen, sonst kann die Elektronik im Grundgerät zerstört werden!
Praktisches Vorgehen:
1)
IB = 4
A einstellen, Probenstrom
I = 25
mA bleibt gleich.
- 14 -
PS 11
4 Durchführung der Versuche
2) Zweites Netzgerät TTi EL183R an
IHEAT ER : 3A(12V )
anschlieÿen, Spannung auf
12 V, Strombegrenzung auf 2.5 A stellen.
3) Die Buchsen für
U , UH
und Temperatur (Ausgang) mit der PC-Schnittstelle verbinden,
falls noch nicht geschehen. Auf korrekte Polung achten (rot
→
plus).
4) Messprogramm Halleekt starten (Abb. 7). Die Messung aber noch nicht starten! Die
beiden Diagrammfenster zeigen
Messpunkt von
UH
U
bzw.
UH
als Funktion der Temperatur
ϑ.
Sollte der
nicht sichtbar sein: polen Sie das Magnetfeld um (Strom auf Null,
Polung wechseln, Strom ein). Beachten Sie: das Magnetfeld ist jetzt wieder so gepolt, wie
bei der ersten Messung -
IB
und
B
sind nach Übereinkunft positiv.
Abbildung 7: Oberäche des Messprogrammes.
5) Jetzt die Taste Heater am Grundgerät drücken, um das Heizen zu beginnen. Die Probe
◦
wird nun mit einem mäanderförmigen Heizwiderstand auf ca. 160 C erhitzt, dann schaltet
sich die Heizung automatisch aus. Während der Abkühlung werden die Längsspannung und
die Hallspannung als Funktion der Temperatur gemessen.
Kurz nach dem Drücken der Taste bricht die Spannung am Heater ein, weil er im kalten
Zustand einen kleinen Widerstand hat; das ist völlig normal! Geben Sie jetzt einen Namen
für die Messwerte-Datei ein (falls noch nicht geschehen).
6) Beobachten Sie den Anstieg der Temperatur (Thermometer auf der Programmoberä◦
che). Bei etwas über 160 C schaltet sich der Heater aus. JETZT Messung starten: Schalter
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PS 11
5 Hinweise zur Auswertung und zum Protokoll
Start im Programm drücken. Bei
ϑ ≈ 35◦ C
können Sie die Messung stoppen.
7) Sichern Sie sich die Datei mit den Messergebnissen zur späteren Auswertung
Wechseln der Probe zu p-Ge
Ziehen Sie vorsichtig den Stecker aus der Buchse am Verbindungskabel zwischen Probenhalter und Grundgerät und entfernen Sie den Probenhalter aus dem Magneten. Fügen Sie
den Probenhalter des p-Ge ein und stecken Sie den Stecker wieder in die Buchse am Kabel.
Überzeugen Sie sich als Erstes, dass das Vorzeichen der Hallspannung jetzt
umgekehrt ist verglichen mit n-Ge!
Vertauschen Sie jetzt die Stecker für die Hallspannung, sodass diese wieder positiv ist und
führen Sie die gleiche Messung wie bei n-Ge durch.
4.5 Messungen an p-Ge
Entfernen Sie die Kabeln zur PC-Schnittstelle, hängen Sie die Versorgung des Heaters ab
und verwenden Sie ab jetzt wieder die Multimeter zur Spannungmessung. Diese und die
Versorgung der Konstantstromquelle in der
Messung an n-Ge.
IB
gleichen Polung anschlieÿen wie in der ersten
sollte bereits wieder so gepolt sein, wie in dieser ersten Messung. Das
heiÿt, dass jetzt die Hallspannung negativ sein müsste (bei positivem
IB
und
B !).
Führen Sie dann an p-Ge die Messung der Magnetfeldabhängigkeit der Hallspannung durch
wie an n-Ge. Eine Messung der
gnetfeld ist
Abhängigkeit vom Probenstrom bei konstantem Ma-
nicht notwendig!
Messen Sie also in beiden Polungen des Magnetfeldes die Spannungen
tion von
B
bei konstantem Probenstrom
I = 25
U
und
UH
als Funk-
mA, erstellen Sie eine Messkurve und
werten Sie diese aus. Betrachten Sie wieder nur die Beträge der Steigungen; von der Abhängigkeit des Vorzeichens der Hallspannung vom Vorzeichen der Ladungsträger haben Sie
q = +e. Der Betrag der Steigung der Messkurve
|RH | = 1/p e. Daraus erhalten Sie p.
sich vorhin schon überzeugt! In p-Ge gilt:
ist für p-Ge gleich
|RH | · I/d,
mit
Die Auswertungen des Magnetowiderstandes und das Berechnen der Beweglichkeit
µp
füh-
ren Sie ganz analog zu der Untersuchung des n-Ge durch.
5 Hinweise zur Auswertung und zum Protokoll
Interpretation der Temperaturabhängigkeit der Hallspannung
Lesen Sie die Messdaten in QTIPlot (oder ein anderes geeignetes Programm) ein und stellen
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PS 11
5 Hinweise zur Auswertung und zum Protokoll
Sie die Ergebnisse grasch dar. Berechnen Sie aus
U (ϑ)
auch
R(ϑ)
und daraus
σ(ϑ).
Beurteilen Sie die Temperaturabhängigkeiten qualitativ : in welchem Temperaturbereich ist
UH
konstant? Was bedeutet das für die Ladungsträgerdichte? Vergleichen Sie mit Abb. 3.
Wie verhält sich
U
(und damit auch
R!)
in diesem Bereich? Was bedeutet das?
UH ? Wird es gröÿer oder kleiner und was
bedeutet das für die Ladungsträgerdichte? Wie verhalten sich hier R(ϑ) und σ(ϑ) und was
Ab welcher (ungefähren) Temperatur ändert sich
schlieÿen Sie daraus?
Beobachten Sie bei einer der beiden Proben einen Wechsel des Vorzeichens von
UH ?
Was
bedeutet das? Stimmt das mit dem Bild überein, das in den Grundlagen skizziert wurde?
Anmerkungen zur Fehlerrechnung
Die Abmessungen der Probe sind als fehlerfrei zu betrachten. Die errechneten Parameter
der Ladungsträger (n, p, µn , µp ) sind mit ihrem Fehler (Unsicherheit) anzugeben.
Zur Unsicherheit von
B
ist zu bedenken, dass
B
neben den statistischen Unsicherheiten der
Eichung auch einen systematischen Fehler durch eine Ungenauigkeit des Abstandes
Polschuhe aufweist. Für kleine Variationen von
dP
ist
B ∝ 1/dP ,
dP
der
daher kann der relative
∆B/B ≈ ∆dP /dP abgeschätzt werden. Im Kapitel Grundlagen nden Sie:
dP = (10.0 ± 0.2) mm, daraus folgt ein relativer Fehler von B von 2 % bei der Auswertung
Fehler aus
der Messung mit konstantem Magnetfeld.
Die Unsicherheit des Stromes
I
schätzen Sie wie bei einer Digitalanzeige üblich ab: die
letzte Stelle der Anzeige ist mindestens um 1 unsicher. Der relative Fehler von
I
ist bei
der Auswertung der Messungen mit konstantem I zu berücksichtigen.
Vergleich mit Literaturwerten
Vergleichen Sie die experimentell bestimmten Beweglichkeiten mit Literaturwerten, die
meist in den gebräuchlichen Einheiten in Tab. 1 zu nden sind (z.B. in Wikipedia).
Geben Sie daher Ihre Resultate für
σ , n, p, µn
auch in diesen Einheiten an!
Bedenken Sie beim Vergleich, dass Ihre Auswertung auf dem einfachst möglichen Modell
(Drude-Modell) beruht. Kompliziertere Modelle, die auch den Magnetowiderstand erklären
können, ergeben für die Hallkonstante
|RH | = rH /n·e, wobei rH
ein dimensionsloser Faktor
ist, dessen Wert von den Streumechanismen der Ladungsträger in der Probe abhängt.
Die Beweglichkeit der Ladungsträger
µ = µH /rH ,
Morin
6
wobei
beträgt
rH
µH
µ
ergibt sich bei Berücksichtigung von
rH
dann zu
die Hall-Beweglichkeit ist, die Sie gemessen haben!. Nach F. J.
für Elektronen in Ge
≈1.05,
für Löcher in Ge jedoch
≈1.8
(beides bei
Zimmertemperatur). Geben Sie im Protokoll auch die Werte der Beweglichkeit an, bei
denen Sie
rH
berücksichtigen und vergleichen Sie nun diese korrigierten Werte mit den
Literaturwerten.
6 F. J. Morin, Phys. Rev.
93, 62 (1954)
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