Studiengang: TBB (Bachelor)

HOCHSCHULE ESSLINGEN
Wintersemester 2006/07
Zahl der Blätter: 3
Blatt 1
Studiengang:
TBB (Bachelor)
Semester TBB1
Prüfungsfach:
Mathematik
Fachnummer:
Hilfsmittel:
Literatur; Manuskript; keine Taschenrechner oder sonstige elektronische Rechner
Zeit: 90 min.
1111
Wichtiger Hinweis: Es sind alle Zwischenschritte, Erläuterungen usw.
anzugeben, die erforderlich sind, um Ihren Lösungsweg nachvollziehen zu
können.
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Mit dem Newton-Verfahren soll eine Nullstelle der Funktion f ( x) = x 4 + x − 1 näherungsweise
berechnet werden. Wählen Sie x0 = 0 als Startwert und führen Sie die 2 Iterationsschritte zur
Berechnung von x1 und x2 durch.
Aufgabe 2 (9 Punkte)
Bei der Herstellung von x Stück eines Produktes entstehen Gesamtkosten in Höhe von
K ( x)
beschreibt dann die Herstellungskosten
K ( x) = 1000 ⋅ 2 x + 300 Euro. Die Funktion k ( x) =
x
pro Stück (Stückkostenfunktion = Durchschnittskostenfunktion).
a) Berechnen Sie die Grenz-Stückkosten für die Produktionsmenge 50 Stück.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von a) näherungsweise, wie groß die Stückkosten sind,
wenn 51 Stück des Produkts hergestellt werden.
c) Berechnen Sie die Elastizität der Stückkosten bezüglich der Produktionsmenge, wenn 50 Stück
des Produkts hergestellt werden.
d) Wie ändern sich die Stückkosten prozentual näherungsweise, wenn die Produktionsmenge von
50 auf 51 Stück erhöht wird?
Wintersemester 2006/07
Blatt 2
Studiengang:
TBB (Bachelor)
Semester TBB1
Prüfungsfach:
Mathematik
Fachnummer:
1111
Aufgabe 3 (15 Punkte)
Zu untersuchen ist die Funktion f ( x) =
3x 2 + 3
x2 + 3
.
a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion.
b) Besitzt die Funktion ein globales Minimum? Wenn ja, berechnen Sie es; wenn nein, begründen
Sie, warum nicht.
Besitzt die Funktion ein globales Maximum? Wenn ja, berechnen Sie es; wenn nein, begründen
Sie, warum nicht.
c) Welche Asymptoten besitzt der Funktionsgraph?
d) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.
Aufgabe 4 (14 Punkte)
Ein Unternehmen stellt zwei Produkte A und B her. Wenn von Produkt A die Menge x [ME] und
von Produkt B die Menge y [ME] hergestellt werden (0 ≤ x ≤ 20; 0 ≤ y ≤ 12) , gelten die folgenden
Aussagen:
•
•
•
Die Menge x des Produktes A kann zum Preis p A ( x) = 40 − 2 x [GE/ME] abgesetzt werden.
Die Menge y des Produktes B kann zum Preis p B ( y ) = 24 − 2 y [GE/ME] abgesetzt werden.
Die Gesamtkosten [in GE] der Herstellung der Mengen x bzw. y der beiden Produkte
betragen K ( x, y ) = x 2 + 2 xy + y 2 .
a) Geben Sie die Funktion G ( x, y ) an, die den Gewinn bei Herstellung von x und y ME von
Produkt A bzw. Produkt B beschreibt.
b) Wie sollte das Unternehmen x und y wählen, damit der Gewinn G ( x, y ) maximal wird?
Weisen Sie nach, dass ein Maximum vorliegt.
c) Wie hoch ist der größtmögliche Gewinn?
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
+ 2y −
z
= 0
y + 2z = 1
2 x + 3 y + − 3z = 1
x
Wintersemester 2006/07
Blatt 3
Studiengang:
TBB (Bachelor)
Semester TBB1
Prüfungsfach:
Mathematik
Fachnummer:
1111
Aufgabe 6 (12 Punkte)
Ein Unternehmen stellt zwei Produkte her. Jedes der beiden Produkte muss dabei zwei
Fertigungsstellen durchlaufen. 1 Mengeneinheit (ME) = 1000 kg.
•
Die Herstellung einer ME von Produkt 1 benötigt 6 Stunden in Fertigungsstelle A und
1 Stunde in Fertigungsstelle B.
•
Die Herstellung einer ME von Produkt 2 benötigt 3 Stunden in Fertigungsstelle A und
2 Stunden in Fertigungsstelle B.
•
Fertigungsstelle A steht für höchstens 18 Stunden, Fertigungsstelle B für höchstens 6 Stunden
zur Verfügung.
•
Von Produkt 1 muss aufgrund fester Lieferverpflichtungen mindestens 1 ME hergestellt werden.
•
1 ME von Produkt 1 erbringt einen Deckungsbeitrag von 1000 Euro, 1 ME von Produkt 2 einen
Deckungsbeitrag von 3000 Euro.
Welche Mengen sollten von Produkt 1 bzw. von Produkt 2 produziert werden, damit der
Deckungsbeitrag maximal wird? Und wie hoch ist der maximale Deckungsbeitrag?
Aufgabe 7 (4 Punkte)
1 
3 2


Gegeben ist die Matrix A =  0 − 1 − 2  .
0 0
3 

a) Berechnen Sie A ⋅ ( A − 2 ⋅ E ) , wobei E die 3× 3 -Einheitsmatrix bezeichne.
b) Bestimmen Sie die zu A inverse Matrix A−1 .
Hierzu benutzen Sie am besten das Ergebnis aus Aufgabenteil a).
Aufgabe 8 (2 Punkte)
Am 01.01.2008 ist die Lebensversicherung von Herrn Müller fällig.
Er erhält 20 Jahre lang je 8.000 € jährlich am Jahresanfang (beginnend am 01.01.2008).
Welchen Betrag bekäme Herr Müller, wenn er sich statt dessen die gesamte angesparte Summe am
01.01.2008 auf einmal auszahlen ließe? Der Zinssatz betrage 3 %.
Geben Sie die passende Formel an und setzen Sie die hier gegebenen Größen ein.
Die Berechnung des Zahlenwertes ist nicht verlangt.
Viel Erfolg!