B1: Lineare Algebra / Analytische Geometrie (GTR/CAS)

Hessen Abitur 2015 | Grundkurs
Abitur
B1: Lineare Algebra / Analytische Geometrie (GTR/CAS)
zugelassene Hilfsmittel: graphikfähiger Taschenrechner / Computer-Algebra-System
Gegeben ist das im Material dargestellte quaderförmige Holzgerüst mit quadratischer Grundfläche mit einer Länge und einer Breite von jeweils 3 m und einer Höhe von 2,50 m. Als Sonnenund Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten S(3|2|2,5), T (3|3|0,5) und
U(0|3|2) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt A ≈ 3,44 m2 .
(4)
1. (a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke
bleibt dabei unberücksichtigt.
(7)
(b) Zeichnen Sie das Sonnensegel in die Abbildung im Material und berechnen Sie eine
Koordinatengleichung der Sonnensegelebene E .
[zur Kontrolle: E : x + 4y + 2z = 16]
(4)
(c) Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch
großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt P(2,5|2,5|0) noch
h = 2,0 m betragen. Prüfen Sie, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die
Stehhöhe über dem Punkt P beeinträchtigt wird.
(3)
(d) Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene DCGH.
2. Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels
einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt C
konzipiert.
(4)
(a) Bestimmen Sie die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme,
dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt.
[zur Kontrolle: d ≈ 0,87 m]
(4)
(b) Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige
Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels
mit dem Eckpunkt C verbinden. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Raumes innerhalb
des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt.
(4)
3. Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung


0,5

~v = 
−0,25. Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken.
−1,25
Berechnen Sie geeignete Punkte, um den trockenen Bereich einzugrenzen, und stellen Sie
diese Fläche in Ihrer Zeichnung dar.
(30)
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Material
x
A
D
z
E
H
C
B
G
F
y
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Bemerkungen der TOUCHDOWN-Redaktion:
Die Bezeichnungen in diesem Prüfungsteil sind mehrdeutig:
1) E ist zum einen der Eckpunkt (0|0|0) des Holzgerüstes, andererseits die Ebene, die das
Sonnensegel STU enthält. Um diese Mehrdeutigkeit auszumerzen, wird in der Musterlösung
die Bezeichnung ES statt E für die Sonnensegelebene benutzt.
2) A ist zum einen der Eckpunkt (3|0|0) des Holzgerüstes, andererseits der Flächeninhalt des
Sonnensegels (siehe Aufg. 1). Um diese Mehrdeutigkeit auszumerzen, wird in der Musterlösung die Bezeichnung AS statt A für den Flächeninhalt des Sonnensegels verwendet.
3) In Aufg. 2a) ist d nicht ausdrücklich definiert, aber es ist natürlich die Länge der Verbindungsstrecke gemeint, die in der Teilaufgabe gesucht wird.
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