Infovis 4: Graphen - informatik.uni

Informationsvisualisierung
Thema:
Dozent:
Sprechstunde:
Umfang:
Prüfungsfach:
4. Darstellung von Graphen
Dr. Dirk Zeckzer
[email protected]
nach Vereinbarung
2
Modul Fortgeschrittene Computergraphik
Medizininformatik, Angewandte Informatik
4.1 Einleitung
 Zu visualisierende Entitäten besitzen häufig inhärente Relationen
(Beziehungen oder Abhängigkeiten)
 Dann: Graphen eignen sich als Repräsentation
 Knoten stellen Entitäten dar
 Kanten stellen Relationen dar
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4-2
4.1 Einleitung
 Anwendungen
 Organigramm einer Firma
 Projektmanagement (z. B. Project Evaluation and Review Technique PERT)
 Soziale Netzwerke
 Taxonomie biologischer Arten (bei Abstammung: phylogenetische
Bäume)
 Biochemische Reaktionen, speziell Stoffwechselsysteme oder
Signalwege
 Ähnlichkeiten von Dokumenten
 Semantische Netzwerke und Wissensrepräsentationsdiagramme
 Webseiten und ihre Links
 Szenengraphen in der virtuellen Realität
 Datenstrukturen, insbesondere bei Compilern
 Strukturen objektorientierter Systeme (Klassenhierarchie, Datenfluss)
 Echtzeitsystem (Zustandsdiagramme)
 Schaltkreisentwurf (Very Large System Integration VLSI)
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4-3
4.2 Definitionen
Graphen
 Ein Graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus
 𝑉: endliche Menge von Knoten
 𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉
 Wenn {𝑢, 𝑣 } eine Kante ist, so heißen u und v adjazent (benachbart)
 Nachbarn von 𝑣 ∈ 𝑉 sind alle adjazenten Knoten
 Anzahl der Nachbarn ist der Grad von 𝑣: |𝑣|
 Ein Weg im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣ℎ ) verschiedener Knoten
von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1, … , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 } ∈ 𝐸
 Ein Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ , 𝑣1 } ∈ 𝐸
 Ein Graph ohne Zyklus heißt azyklischer Graph.
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4-4
4.2 Definitionen
Graphen (Fortsetzung)
 Ein Graph (𝑉 ′ , 𝐸′) mit 𝑉′ ⊆ 𝑉 und 𝐸′ ⊆ 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt
Teilgraph von G.
 Im Falle 𝐸 ′ = 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt 𝐺′ der durch 𝑉′ induzierte
Teilgraph von G.
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4-5
4.2 Definitionen
Datenstrukturen für Graphen
 Adjazenzmatrix 𝑨
 Für 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , V = n hat 𝐴 𝑛 × 𝑛 Einträge
 𝐴𝑢𝑣 =
1 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸
0 {𝑢, 𝑣} ∉ 𝐸
 Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist immer
symmetrisch
 Adjazenzliste L
 Für jeden Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erzeuge eine Liste mit allen
Nachbarn 𝑈 = {𝑢|{𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸} von 𝑣
 Graph Drawing
 Automatisches Zeichnen von Graphen in 2D und 3D
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4-6
4.2 Definitionen
Digraphen
 Ein gerichteter Graph oder Digraph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus
 𝑉: endliche Menge von Knoten
 𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉
 Die gerichtete Kante (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸 ist
 ausgehende Kante für 𝑢
 eingehende Kante für 𝑣


Knoten ohne ausgehende Kanten heißen Senken
Knoten ohne eingehende Kanten heißen Quellen.


Ingrad von 𝑣 : Anzahl eingehender Kanten.
Ausgrad von 𝑣 : Anzahl ausgehender Kanten.
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4-7
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
 Ein gerichteter Weg in G im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣ℎ )
verschiedener Knoten von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1, … , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 } ∈ 𝐸
 Ein gerichteter Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ , 𝑣1 } ∈ 𝐸
 Ein gerichteter azyklischer Graph (DAG, directed acyclic graph)
ist gerichteter Graph ohne Zyklus.
 Zu einem Digraph 𝐺 gibt es immer Graph 𝐺′, der durch „Vergessen
der Orientierung der Kanten“ entsteht.
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4-8
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
 Kante (𝑢, 𝑣) eines Digraphen 𝐺 heißt transitiv, falls es einen Weg von
𝑢 nach 𝑣 gibt, der nicht durch (𝑢, 𝑣) läuft.
 Transitiver Abschluss von 𝑮:
𝐺 = 𝑉, 𝐸 , 𝐸 = 𝐸 ∪ {(𝑢, 𝑣)|∃𝑊𝑒𝑔 𝑣𝑜𝑛 𝑢 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑣 𝑖𝑛 𝐺}
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4-9
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
Auch für Digraphen eignen sich Adjazenzmatrizen und Adjanzenzlisten
als Datenstrukturen. In diesem Fall ist die Adjazenzmatrix 𝐴 nicht
symmetrisch.
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4-10
4.2 Definitionen
Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist Abbildung Γ
vom Graphen in Ebene:






Sie ordnet jedem Knoten 𝑣 einen Punkt 𝑝𝑣 und jeder Kante eine offene
Jordankurve 𝐽𝑢𝑣 zu, welche die Punkte 𝑝𝑢 und 𝑝𝑣 als Endpunkte hat.
Gerichtete Kanten eines Digraphen werden in der Regel als Pfeile
gezeichnet.
Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen heißt planar, wenn Kurven
zweier verschiedener Kanten außer den Endpunkten keine gemeinsamen
Punkte haben.
Ein Graph oder Digraph heißt planar, wenn es mindestens eine planare
Zeichnung gibt.
Man beachte, dass nicht alle Graphen planar sind.
Nach der Eulerformel kann ein planarer Graph mit n Knoten höchstens
3n-6 Kanten haben!
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4-11
4.2 Definitionen
bett,fig1.6
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4-12
4.2 Definitionen





Eine planare Zeichnung eines Graphen oder Digraphen zerlegt die Ebene in
topologisch verbundene Regionen. Diese werden Facetten genannt.
Die unbegrenzte Facette wird äußere Facette genannt.
Eine planare Zeichnung bestimmt zirkuläre Ordnung der inzidenten Kanten
an jedem Knoten durch Umlauf gegen/im Uhrzeigersinn.
Zwei planare Zeichnungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche
zirkuläre Ordnung an allen Knoten festlegen.
Eine planare Einbettung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist die
Äquivalenzklasse von planaren Zeichnungen:
•
•

Wird durch Festlegen der zirkulären Ordnungen der inzidenten Kanten an
jedem Knoten festgelegt
Auf der vorherigen Folie liefern a,b,c die gleiche, d dagegen eine andere
Einbettung des Graphen.
Ein eingebetteter Graph / Digraph ist ein Graph / Digraph mit festgelegter
planarer Einbettung.
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4-13
4.2 Definitionen
Der Dualgraph 𝐺 ∗ zu einer Einbettung eines planaren Graphen 𝐺 besitzt
 einen Knoten für jede Facette der Einbettung und
 eine Kante (𝑓, 𝑔) zwischen zwei Facetten, wenn diese Facetten eine
gemeinsame Kante in der Einbettung haben
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4-14
4.2 Definitionen



Ein Graph heißt zusammenhängend,
wenn es Weg zwischen beliebigen Knoten
𝑢 ≠ 𝑣, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 gibt.
Ein maximaler zusammenhängender
Teilgraph von 𝐺 heißt
Zusammenhangskomponente.
Ein Schnittknoten eines Graphen 𝐺 ist ein
Knoten, dessen Entfernen (einschließlich
der inzidenten Kanten) den Graphen 𝐺 in
mehrere Zusammenhangskomponenten
teilt.
 Ein Graph ohne Schnittknoten heißt
doppelt zusammenhängend.
 Maximale doppelt zusammenhängende
Teilgraphen heißen Blöcke.
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4-15
4.2 Definitionen


Ein Paar (𝑢, 𝑣) von Knoten eines Graphen heißt trennendes Paar, falls das
Entfernen von 𝑢 und 𝑣 den Graphen teilt .
Ein doppelt zusammenhängender Graph ohne trennendes Paar heißt
dreifach verbunden (dreifach zusammenhängend).
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4-16
4.2 Definitionen

Satz: Das Skelett (Ecken und Kanten) eines Polyhedrons im Raum ist ein
planarer, dreifach zusammenhängender Graph.

Satz: Ein planarer, dreifach zusammenhängender Graph hat eine eindeutige
Einbettung (bis auf Umdrehung der zirkulären Ordnung an allen Knoten).
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4-17
4.2 Definitionen
Weitere Graphentypen

Multigraphen. Sowohl bei gerichteten als auch bei ungerichteten Graphen
können mehrfache Kanten zwischen gleichen Knoten und Kanten von
einem Knoten zu sich selbst auftreten.

Hypergraphen. Eine Kante verbindet mehr als zwei Knoten:
Ein Tupel (𝑉, 𝐸) mit einer endlichen Menge von Knoten 𝑉 und einer
endlichen Menge von Hyperkanten 𝐸 ⊆ 𝑃𝑜𝑡(𝑉).
Jede Hyperkante verbindet eine Ausgangsmenge von Knoten mit einer
Eingangsmenge von Knoten.
Hypergraphen können gerichtet und ungerichtet sein.


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4-18
4.2 Definitionen
Bäume
 Werden auch als Hierarchien bezeichnet.
 Spezielle Beziehungen
 Eltern-Kind Beziehung
 Geschwisterbeziehung
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4-19
4.2 Definitionen
Bäume





Spezieller Graph mit Einschränkungen
Ein Baum ist ein Graph ohne Zyklen mit einem ausgezeichneten Knoten, der
Wurzel.
Knoten mit Grad 1 heißen Blatt
Alle anderen Knoten heißen innere Knoten
Ungerichtete Bäume
 Ungerichtete Bäume haben keine weiteren Einschränkungen

Gerichtete Bäume
 Gerichtete Bäume müssen zusätzlich schwach zusammenhängend sein,
insbesondere gibt es immer nur maximal einen Weg von einem Knoten 𝑢 zu
einem anderen Knoten 𝑣
 Die Kanten sind immer von der Wurzel zu den Blättern oder von den Blättern zur
Wurzel gerichtet
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4-20
4.2 Definitionen
Eigenschaften von Graphen, Knoten, Kanten

Graph







Zyklisch, azyklisch
Gerichtet, ungerichtet
Multigraph
Hypergraph
Planar
Baum
Knoten
 Typ
 Zusätzliche Information

Kanten




Gerichtet, ungerichtet
Gewichte
Typ
Zusätzliche Information
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4-21
4.3 Graph Drawing
Graphenzeichnen (Graph Drawing)
 Eigene Forschungsgemeinschaft
 Sehr großes Gebiet
 Literatur
 Graph drawing conference
 Visualization conferences and journals
 Web:
http://graphdrawing.org
 Graph Visualization Software:
http://www.graphviz.org
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4-22
4.3 Graph Drawing
Graphenzeichnen (Graph Drawing)
 Literatur:
 Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia,
Ioannis G. Tollis.
Graph Drawing - Algorithms for the Visualization of
Graphs.
Prentice Hall Engineering, Science & Math. 1999. ISBN
0-13-301615-3
 Handbook of Graph Drawing and Visualization
Roberto Tamassia, ed.
CRC Press 2014.
 Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and
Navigation in Information Visualization: A Survey. IEEE
TVCG 6(1): 24-43, 2000
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4-23
4.3 Graph Drawing
 Forschungsgebiete











Graph Layout und Position der Knoten
Skalierbarkeit
Navigation (besonders in großen Graphen)
Fokus & Kontext Methoden
Dynamische Graphen
Heterogene Knoten- und Kanten-Typen
Knoten mit großem Grad
Einbettung zusätzlicher Information
Visualisierung von isomorphen Teilgraphen
Vergleich von Graphen
…
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4-24
4.3 Graph Drawing
Visuelle Darstellung
 Knoten
 Form
 Farbe
 Größe
 Position
 Bezeichnung
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4-25
4.3 Graph Drawing
Visuelle Darstellung
 Kanten






Farbe
Größe
Dicke
Richtung
Bezeichner
Form
 Gerade
 Gekrümmt
 Planar
 Orthogonal
Informationsvisualisierung
4-26
4.3 Graph Drawing
Konventionen

Es gibt verschiedene Zeichenkonventionen mit entscheidendem Einfluss
auf die Auslegealgorithmen von Graphen. Die gebräuchlichen Konventionen
sind:



Geradlinige Zeichnung. Jede Kante wird als gerade Linie gezeichnet.
Polylinienzeichnung. Jede Kante wird als Polygonzug gezeichnet.
Orthogonale Zeichnung: Jede Kante wird als Polygonzug achsenparalleler
Linien gezeichnet.
Gitterzeichnung. Knoten, Schnittpunkte und Kantenknicke haben
ganzzahlige Koordinaten bzgl. eines festgelegten kartesischen Gitters.
Planare Zeichnung. Kanten schneiden sich höchstens an Knoten.
Aufwärtszeichnung / Abwärtszeichnung. Für azyklische gerichtete
Graphen (DAGs) wird jede Kante als monoton ansteigende / absteigende
Kurve gezeichnet.



Informationsvisualisierung
4-27
4.3 Graph Drawing
Bett, fig 2.1 fig 2.2
Informationsvisualisierung
4-28
4.3 Graph Drawing
Ästhetikkriterien I

Ästhetische Kriterien formulieren Wünsche an die Zeichnung eines Graphen,
welche die Zeichnung möglichst gut erfüllen soll
 Oft sind nicht alle Kriterien, manchmal keines zu erreichen;
es wird ein guter Kompromiss gesucht.



Fläche: Graph wird auf möglichst kleiner Fläche gezeichnet. Dabei wird
entweder das Gitterzeichnen oder ein Mindestabstand von Knoten vereinbart.
Kantenschnitte: Minimierung der Anzahl der Schnittpunkte von Kanten
Kantenlänge
 Gesamtkantenlänge: Gesamtkantenlänge wird minimiert. Auch dies ist nur bei
Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand sinnvoll.
 Maximale Kantenlänge. Länge der längsten Kante wird minimiert. Wieder muss
man Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand vereinbaren.
 Gleichförmige Kantenlänge. Varianz der Kantenlängen wird minimiert.
Informationsvisualisierung
4-29
4.3 Graph Drawing
Ästhetikkriterien II

Knicke
 Gesamtanzahl Knicke. Zahl aller Knicke aller Kanten soll minimiert werden. Dies
ist besonders bei orthogonalem Zeichnen sinnvoll.
 Maximale Knickanzahl. Maximum von Knicken einer Kante wird minimiert.
 Gleichmäßige Knickanzahl. Varianz der Knickanzahl wird minimiert.



Winkelauflösung. Kleinster auftretender Winkel zwischen zwei Kanten wird
maximiert.
Seitenverhältnis. Seitenverhältnis des kleinsten umschriebenen Rechtecks
soll nahe 1 sein.
Symmetrie. Symmetrien des Graphen sollen möglichst gut abgebildet
werden.
Aber:
 Ästhetikkriterien widersprechen sich oft.
 Einzelne Kriterien können nicht immer erfüllt werden.
Informationsvisualisierung
4-30
4.3 Graph Drawing
Einschränkungen
 Festlegen von Teilgraphen oder Teilzeichnungen, um bestimmte
Konventionen einzuhalten
 Häufige Beispiele in der Visualisierung




Zentrum. Gegebener Knoten wird im Zentrum der Zeichnung fixiert
Außen. Bestimmter Knoten wird der äußeren Facette benachbart
Cluster. Gegebene Menge von Knoten wird nah beieinander angeordnet
Links-Rechts-Folge. Vorgegebener Weg wird von links nach rechts
gezeichnet (auch vertikal möglich)
 Form. Zeichne gegebenen Teilgraphen mit vorgegebener Form
Informationsvisualisierung
4-31
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz
Dieser Ansatz zielt vor allem auf orthogonale Gitterzeichnungen und basiert auf
drei Verfeinerungsebenen:
 Topologie. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Topologie, wenn
sie durch
 stetige Deformation ohne Vertauschen von Facetten ineinander überführt
werden können

Form. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Form, wenn sie
 gleiche Topologie haben und
 eine Zeichnung aus der anderen nur durch Längenänderungen der
Liniensegmente hervorgeht.

Metrik. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Metrik, wenn sie
 kongruent sind, also durch
 Verschieben und Drehen ineinander überführt werden können.
Informationsvisualisierung
4-32
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz/2
Umsetzung erfolgt durch drei entsprechende Schritte, bei denen nacheinander
Topologie, Form und Metrik optimiert werden:
 Planarisierung legt die Einbettung des Graphen, also seine Topologie fest:
 Minimierung der Anzahl der Kantenschnitte:
 Oft wird zunächst ein maximaler planarer Untergraph gesucht und
eingebettet.
 Anschließend werden verbleibende Kanten einzeln eingefügt,
wobei jeweils möglichst wenig Überschneidungen erzeugt werden.
 An Überschneidungen werden Dummy-Knoten eingefügt.
[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],
[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph Drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]
[Battista, Eades, Tamassia, Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall, 1999]
Informationsvisualisierung
4-33
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz/3


Orthogonalisierung legt die Form fest:
 Orthogonale Repräsentation des Graphen
 Knoten ohne Koordinaten
 Kanten lediglich Winkellisten, zur Festlegung ihrer Knicke
 Minimierung der Knicke ist in der Regel das Hauptziel
Kompaktifizierung legt endgültige Koordinaten der Kanten und der
Kantenknicke fest:
 In der Regel wird die Fläche des Graphen minimiert.
[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],
[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]
[Battista, Eades, Tamassia, Tollis, Graph Drawing, Prentice-Hall, 1999]
Informationsvisualisierung
4-34
4.3 Graph Drawing
Bett fig2.6
Informationsvisualisierung
4-35
4.3 Graph Drawing
Sichtbarkeitsansatz
Der Sichtbarkeitsansatz dient dem Auslegen beliebiger Graphen mit Polylinien
 Planarisierung gleicht dem Topologie-Form-Metrik-Ansatz;
Ziel ist Schnittvermeidung
 Der Sichtbarkeitsschritt schafft eine Sichtbarkeitsrepräsentation des
Graphen
 Jedem Knoten wird horizontales und jeder Kante {u,v} vertikales Segment
zugeordnet
 Kantensegment hat Anfang und Ende innerhalb Knotensegmente
 Kantensegmente schneiden einander nicht

Ersetzungsschritt erzeugt endgültige Zeichnung des Graphen
 Ersetzen jedes horizontalen Segments durch Punkt
 Ersetzen jedes vertikalen Segments durch Polylinie
 Mögliche Strategien / Ästhetikkriterien: Knickminimierung, Symmetriebetonung,
gleichmäßige Verteilung der Knoten
Informationsvisualisierung
4-36
4.3 Graph Drawing
Informationsvisualisierung
4-37
4.3 Graph Drawing
Verfeinerungsansatz
Betrachtet Polylinienzeichnungen
 Planarisierung gleicht Topologie-Form-Metrik-Ansatz;
Ziel ist Schnittvermeidung
 Verfeinerung fügt geeignete Anzahl von Kanten (evtl. auch Knoten) in
Einbettung ein, um einen maximalen planaren Graphen zu erzeugen:
 Alle Facetten haben dann drei Kanten - Triangulierung
 Qualität des Zeichnens maximaler Graphen hängt in der Regel vom
Knotengrad ab
 Minimierung des maximalen Knotengrad
 Triangulierungszeichnung erzeugt Zeichnung durch
 Auslegen aller Dreiecke und
 anschließendes Entfernen der Dummy-Kanten und ggf. DummyKnoten
Informationsvisualisierung
4-38
4.3 Graph Drawing
Verfeinerungsansatz/2

Alle Algorithmen nutzen spezielle Triangulierungseigenschaften durch
 überschneidende aufspannende Bäume oder
 kanonische Knotenaufzählungen
(Beim Entfernen der Dummy-Knoten können Knicke und Schnitte
entstehen.)
Informationsvisualisierung
4-39
4.3 Graph Drawing
Informationsvisualisierung
4-40
4.3 Graph Drawing
Kraftbasierter Ansatz
Kraftbasierte Ansätze sind intuitive Methoden für geradlinige Zeichnungen
ungerichteter Graphen.
 Simuliert System von Kräften auf Eingabegraphen und gibt Zeichnung
minimaler Energie aus.
 Zwei Knoten stoßen sich ab
 Eine Kante hält zwei Knoten zusammen („anziehende“ Kraft)
 Oft weitere Kräfte
 Zentrumskraft um Zeichnung im View zu halten
 Energieminimierung: einfache iterative Ansätze zur Lösung
Informationsvisualisierung
4-41
4.3 Graph Drawing
Divide-and-Conquer Ansatz
Beliebtes Informatikprinzip wird auch bei Zeichnungen von Graphen gerne
benutzt
 Zerlegt Graph in Teilgraphen, zeichnet diese und erhält letztlich eine
Zeichnung des gesamten Graphen
 Besonders geeignet für Bäume
Informationsvisualisierung
4-42
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
[Archambault, Munzner, Auber. TopoLayout: Multi-Level Graph Layout by Topological Features.
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 13(2):305—317, 2006]

Idee:
1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener
Typen
2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung
a) Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus
b) Reduziere Kanten-Schnitte
c) Entferne Überlappungen von Knoten
Informationsvisualisierung
4-43
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener Typen
a) Auswahl der Typen
a)
b)
c)
d)
e)
Bäume
Bi-Connected Components
HDE
Fast vollständig
Cluster
b) Reihenfolge der Erkennung wichtig
Informationsvisualisierung
4-44
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
1. Beispiel
Informationsvisualisierung
4-45
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung
a. Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus
b. Reduziere Kanten-Schnitte
Rotieren der Subgraphen
c.
Entferne Überlappungen von Knoten
Informationsvisualisierung
4-46
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
Komplexität


𝑟𝑖 : maximaler Grade eines Knotens im Teilgraphen der Ebene 𝑖
𝑑: Dimension des Raumes bei HDE
Algorithmus
Komplexität
Erkennung
Baum
𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖 )
Biconnected Component
𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖 )
Connnected Component
𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖 )
HDE
𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 + 𝐸𝑖 ))
𝑂(1)
Vollständig
𝑂(𝑟𝑖 ∙ 𝐸𝑖 )
Cluster
Informationsvisualisierung
4-47
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
Komplexität


𝑑: Dimension des Raumes bei HDE
𝐿: Anzahl Ebenen um Drehung zu berechnen
Algorithmus
Komplexität
Initiales Layout
Bubble Tree
𝑂(𝑁𝑖 ∙ log 𝑁𝑖 )
Walker Tree
𝑂(𝑁𝑖 )
Zirkulär (vorgegebene Fläche)
𝑂(𝑁𝑖 )
GEM (vorgegebene Fläche)
𝑂(𝑁𝑖 3 )
HDE (vorgegebene Fläche)
𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 ∙ log 𝑁𝑖 + 𝐸𝑖 ))
Verfeinerung
Kreuzungsminimierung
𝑂(𝐿 ∙ 𝑁𝑖 ∙ 𝐸)
Überlappungsentfernung
𝑂(𝑁𝑖 ∙ log 𝑁𝑖 )
Informationsvisualisierung
4-48
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
Ergebnisse
Informationsvisualisierung
4-49
4.3 Graph Drawing
Hierarchischer Ansatz
Der hierarchische Ansatz eignet sich besonders für das Layout von Bäumen und
gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) und verwendet ebenfalls drei Schritte
1. Der Schichtungsschritt verwandelt einen DAG in einen geschichteten
Digraphen, bei dem jedem Knoten eine Schicht 𝐿𝑖 zugeordnet wird, so dass
für alle Kanten (𝑢, 𝑣) gilt: 𝑢 ∈ 𝐿𝑖 ∧ 𝑣 ∈ 𝐿𝑗 ∧ 𝑖 < 𝑗

Nach Einfügen von Dummy-Knoten auf Kanten, die über mehr
als eine Ebene laufen - so dass jede Kante von einer Schicht 𝑖 zur
Schicht 𝑖 + 1 läuft - ist die ein echt geschichteter Digraph.
2. Bei Schnittreduzierung erhält jede Schicht eine Reihenfolge (Ordnung)

Reihenfolge bestimmt Topologie des Layouts.

Dabei wird Anzahl der Kantenschnitte minimiert.
3. Festlegen der x-Koordinaten legt x-Koordinaten der Knoten in den
Ebenen fest

Für endgültige Zeichnung ersetzt man Dummy-Knoten durch Knicke

Knicke können minimiert oder Symmetrien betont werden
Informationsvisualisierung
4-50
4.3 Graph Drawing
Hierarchischer Ansatz/2


Für gerichtete Graphen wird eine minimale Anzahl von Kanten umgedreht,
um einen DAG zu erzeugen.
Diese werden aber in ihrer ursprünglichen Richtung gezeichnet.
Informationsvisualisierung
4-51
4.3 Graph Drawing
Bett fig 2.7
Informationsvisualisierung
4-52
4.3 Graph Drawing
 Klassischer Algorithmus von Sugiyama, 1981
[K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda. “Methods for Visual Understanding of Hierarchical
Systems Structures”, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 11(2), pp. 109-125, 1981]
 Sugiyama, 1989
[K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda, „Methodes for Visual Understanding of Hierarchical
Systems Structures“, IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, vol. 11, no. 2, pp. 109-125,
1989]
 Problem der Schnittminimierung zwischen zwei Ebenen ist bereits NPhart
 Heuristiken werden benötigt
Informationsvisualisierung
4-53
4.3 Graph Drawing
 Tutte, 1963
[W. Tutte, „How to Draw a Graph“, Proc. London Math. Soc., vol. 3, no. 13, pp. 743-768, 1963]
 Heuristik legt eine Ordnung der ersten und letzten Ebene fest
 Jeder Knoten soll im Schwerpunkt seiner Nachbarn (im Graphen) liegen
 Die führt zu einem linearen Gleichungssystem
 Vergleich von Heuristiken
[M. Laguna and R. Marti, „Heuristics and Meta-Heuristics for 2-Layer Straight Line Crossing
Minimization“,
URL: http://www-bus.colorado.edu/Faculty/Laguna/, 1999].
Informationsvisualisierung
4-54
4.3 Graph Drawing
Informationsvisualisierung
4-55
4.4 Bäume
Eigenschaften von Bäumen




Eltern-Kind Relation
Relationen in der Regel gerichtet
Meist mit ausgezeichneten Knoten
 Wurzel: keine eingehenden Kanten
 Blätter: keine ausgehenden Kanten
Spezielle Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen
 Optimal bezüglich Kriterien
 Optimal bezüglich Zeitbedarf
Informationsvisualisierung
4-56
4.4 Bäume
Beispiele von Bäumen





Organigramm einer Firma
Stammbaum
Taxonomie von biologischen Arten
Phylogenetische Bäume (Evolution)
Software Enginerring
 Vererbungsbäume (manchmal auf DAGs)
 Syntaxbäume
Informationsvisualisierung
4-57
4.4 Bäume
Darstellungen


Bäume
Gerichtete azyklische Graphen
Graphische Darstellung


Node-Link-Diagramm
Platzfüllendes Diagramm
Kriterien




Platzeffizienz
Abstraktion von Information
Einfachheit
Navigation
Informationsvisualisierung
4-58
4.4 Bäume
Horizontales/Vertikales Layout
Layout Kriterien






Eltern werden über ihren Kindern platziert
Knoten der gleichen Ebene (Abstand zur Wurzel) liegen auf der selben
horizontalen Linie
Reihenfolge der Kinder bleibt erhalten
Symmetrie: der Baum und sein Spiegelbild sollen sich entsprechen
Teilbäume werden mit den gleichen Regeln erstellt
Kleine Teilbäume werden gezielt angeordnet
 Symmetrie: Kleine, innere Teilbäume werden gleichmäßig zwischen den großen
Teilbäumen verteilt
 Kleine, äußere Bäume sollen nahe den großen Teilbäumen plaziert werden

Schmales, platzsparendes Layout
Informationsvisualisierung
4-59
4.4 Bäume

Walkers Algorithmus
[J. Walker. A Node-positioning Algorithm for General Trees. In Software-Practice and
Experience, 20(7). pp. 685-705, 1990.]

Verbesserung, die garantiert lineare Zeit benötigt
[Buchheim, C., Jünger, M., and Leipert, S. 2002. Improving Walker’s Algorithm to Run
in Linear Time. In Revised Papers From the 10th international Symposium on Graph
Drawing (August 26 - 28, 2002). S. G. Kobourov and M. T. Goodrich, Eds. Lecture
Notes In Computer Science, vol. 2528. Springer-Verlag, London, 344-353.]
Informationsvisualisierung
4-60
4.4 Bäume
 Algorithmus benötigt zwei Druchläufe
 Erster Durchlauf
 Post-order (links-rechts-Wurzel)
 Bestimme vorläufige Positionen
 Komplette Teilbäume sind balanciert entsprechend den LayoutKritierien
 Zweiter Durchlauf
 Pre-order (Wurzel-links-rechts, Tiefensuche)
 Berechnung der endgültigen Positionen
 Komplexität: 𝑂(𝑛)
 𝑛: Anzahl der Knoten
Informationsvisualisierung
4-61
4.4 Bäume
 Beispiel mit k Knoten
[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]
Informationsvisualisierung
4-62
4.4 Bäume
 Ausbalancieren der Teilbäume
 Ergebnis
[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]
Informationsvisualisierung
4-63
4.4 Bäume
 Vorteile der Methode
 Knoten der gleichen Ebene sind auf der gleichen horizontalen Ebene
 Einfach
 Symmetrie
 Nachteile (im Allgemeinen)




Hoher Platzbedarf
Große Bäume werden sehr breit
Viel ungenutzte Zeichenfläche
Kein Platz für Bezeichner
Informationsvisualisierung
4-64
4.4 Bäume
Radiales Layout



Konzentrische Kreise
Kinder gleicher Entfernung von der Wurzel liegen auf dem selben Kreis
Prinzipiell gleiche Kritierien wie horizontales Layout
[I. Herman, G. Melancon, M. De Ruiter, and M. Delest. “Latour - A Tree Visualization System”. In Proc. of the Symp. on Graph Drawing, GD’99, pp. 392-399, 1999.]
Informationsvisualisierung
4-65
4.4 Bäume
Bäume können auch H-förmig ausgelegt werden
 Wird für Chip-Layout verwendet
[P. Eades, „Drawing Free Trees“, Bulletin of the Inst. For the Combinatorics and Its
Applications, pp. 10-36, 1992].
Informationsvisualisierung
4-66
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-67
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-68
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-69
4.4 Bäume
3D
 Layout-Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen wurden nach
3D portiert
 Vorteile
 Mehr Platz verfügbar
 Selten Schnitte von Kanten
 Nachteile
 Probleme mit der Navigation
 Verdeckungen
 Design der Bezeichner
Informationsvisualisierung
4-70
4.4 Bäume
[Herman I; Melancon G; Marshall MS. Graph visualization and navigation in information visualization: A survey. 2000.]
Informationsvisualisierung
4-71
4.4 Bäume
Ansatz von Hong und Eades, 2003
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions, Algorithmica, vol. 36, no. 2,
2003.]
 Teilbäume werden auf Teilebenen gezeichnet
 Wird eine Partitionierung vorgegeben, so läuft der Algorithmus in linearer
Zeit
 Berechnung der besten, balancierten Partitionierung ist NP-hard
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung
4-72
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung
4-73
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung
4-74
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung
4-75
4.4 Bäume
Cone Trees

[G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d
visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New
Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]
 3D Darstellung von Bäumen
 Die Kindknoten sind auf einem Kreis mit Mittelpunkt Elternknoten auf
einer tieferen Ebene angeordnet.
 Vorteile
 Bessere Ausnutzung des verfügbaren Platzes
 Focus & Context
 Animation
 Nachteile
 Knoten verdecken sich
Informationsvisualisierung
4-76
4.4 Bäume
Cone Trees

[G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d
visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New
Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]
[C. Ware. Information Visualization: Perception
for Design. 2nd Edition, Morgan Kaufman, San
Francisco, ISBN 1-55860-819-2, 2004, page
286]
[C. Chen. Information Visualization. Springer, London, Berlin, Heidelberg,
2nd Edition, ISBN 1-85233-789-3, 2004 , page 308]
Informationsvisualisierung
4-77
4.4 Bäume
Cone Trees
[http://www.fask.uni-mainz.de/user/warth/hypertext/diplom/Hypertext-3.5.5.html]
Informationsvisualisierung
4-78
4.4 Bäume
Cone Trees
[J. Carriere and R. Kazman, “Interacting with huge hierarchies: Beyond cone trees,“ in Proceedings
of the IEEE Symposium on Information Visualization, (Atlanta, GA), October 1995, 1995, pp. 74-81.]
Informationsvisualisierung
4-79
4.4 Bäume
[C.-S. Jeong and A. Pang, “Reconfigurable disc trees for visualizing large hierarchical information
space," in Proceedings of the 1998 IEEE Symposium on Information Visualization (North Carolina,
October 19 - 20, 1998). INFOVIS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 1998, pp. 19-25.]
Informationsvisualisierung
4-80
4.4 Bäume
[C.-S. Jeong and A. Pang, “Reconfigurable disc trees for visualizing large hierarchical information
space," in Proceedings of the 1998 IEEE Symposium on Information Visualization (North Carolina,
October 19 - 20, 1998). INFOVIS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 1998, pp. 19-25.]
Informationsvisualisierung
4-81
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees
[Card, S. K. and Nation, D. Degree-of-interest trees: a component of an attention-reactive user
interface. Advanced Visual Interfaces (AVI 2002). 2002, pp. 22-24. Trento, Italy.]
 Traditionelle 2D Technik mit folgenden Erweiterungen
 Darstellung basiert auf einer Einschätzung des Grades an Interesse
eines Benutzers
 Knoten von geringem Interesse werden versteckt
 Geometrische Skalierung der Knoten entsprechend dem DOI
 Semantischer Zoom
 Große, nicht-expandierte Zweige werden geclustert
 Animation des Fokuswechsels
Informationsvisualisierung
4-82
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees
[http://davenation.com/doitree/doitree-avi-2002.htm]
Informationsvisualisierung
4-83
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees
[http://davenation.com/doitree/doitree-avi-2002.htm]
Informationsvisualisierung
4-84
4.4 Bäume
Botanische Bäume
[E. Kleiberg, H. van der Wetering, and J. J. van Wijk. Botanical Visualization of Huge Hierarchies. In
Proceedings of the IEEE Symposium on Information Visualization ‘01, pp. 87-94, 2001.]
 Botanische Metapher
 Bäume werden als „reale“ Bäume dargestellt
 Attribute der Blätter werden auf Farbe und Geometrie
abgebildet
 Keine empirische Evaluation
Informationsvisualisierung
4-85
4.4 Bäume
Botanische Bäume
[http://www.win.tue.nl/~vanwijk/botatree.pdf]
Informationsvisualisierung
4-86
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
 In der hyperbolischen Geometrie gelten Gesetze von Euklid.
 Aber: Zu einer Geraden gibt es mehr als eine parallele Gerade durch
einen festen Punkt außerhalb der Geraden.
 Beim Kleinmodell (nach Felix Klein) wird Kreisscheibe in euklidischer
Ebene benutzt.
 Punkte liegen alle innerhalb
 Geraden sind Sekanten (enden auf dem Rand)
 Für hyperbolische Länge gibt es eine
Formel, die Linienstücke gleicher
hyperbolischer Länge im euklidischen
Sinne zum Rand der Scheibe immer
kürzer werden lässt
 Parallelen divergieren
Informationsvisualisierung
4-87
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
[John Lamping, Ramana Rao, and
Peter Pirolli, “A Focus+Context
Technique Based on Hyperbolic
Geometry for Visualizing Large
Hierarchies”, Proceedings of the ACM
SIGCHI Conference on Human Factors
in Computing Systems, Denver, May
1995, ACM]
 Inspiration: M. C.
Escher „Heaven and
Hell“
 Focus & Context,
Fisheye
 Animation für
Navigation in Ebenen
Informationsvisualisierung
4-88
4.4 Bäume
Layout Hyperbolische Bäume

Rekursiver Algorithmus basierend auf lokaler Information
 Jeder Knoten belegt ein keilförmiges Segment der Ebene
 Alle Kinder werden entlang eines Bogens plaziert
 Die Distanz wird so berechnet, dass alles Platz findet
 Beobachtung
 Da Parallelen divergieren, können die Keile der Kinder nicht überlappen
 Das Layout kann inkrementell erzeugt werden
 Die minimale Distanz zwischen Geschwistern bestimmt die darstellbare
Tiefe
 Unbalancierte Bäume nutzen den Platz nicht optimal
 Schließlich muss der Baum zurück in die euklidsche Ebene
transformiert werden
Informationsvisualisierung
4-89
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
 Uniform
 Tiefe: 5
 Verzweigungsfaktor: 3
Informationsvisualisierung
4-90
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
Fokusänderung
Informationsvisualisierung
4-91
4.4 Bäume
Informationsvisualisierung
4-92
4.4 Bäume
 3D – Verschiebung eines Knotens ins Zentrum
 3D – Rotation um den selben Knoten
[Tamara Munzner, H3: Laying Out Large Directed Graphs in 3D Hyperbolic Space, 1997]
Informationsvisualisierung
4-93
4.4 Bäume
 Magic Eye View
[Kreuseler, Matthias; Lopez, Norma; Schumann, Heidrun.: A Scalable Framework for Information
Visualization In: Proceedings IEEE Information Visualization 2000, Salt Lake City, Utah, Oktober
2000.]
 Projektion auf eine 3D Halbkugel
 Leicht skalierbar
 Interaktive Änderung des Projektionszentrums ermöglicht
flexiblen Fokus auf jeden Teil der Hierarchie
 Gebiete im Fokus werden vergrößert dargestellt
 Der Rest wird verkleinert
 Fokus & Kontext
Informationsvisualisierung
4-94
4.4 Bäume
Fokus
3 Ebenen
6 Ebenen
[M. Kreuseler, T. Nocke, H. Schumann,Integration of Cluster Analysis and Visualization Techniques for Visual Data Analysis,2003]
Informationsvisualisierung
4-95
4.4 Bäume
Diskussion Node-Link Darstellung
 Vorteile
 Leicht zu verstehen
 Nachteile
 Keine optimale Nutzung des Platzes
 Es ist schwierig weitere Variablen für die Knoten anzuzeigen,
wenn man folgende Parameter verwenden will
 Form
 Farbe
 Größe
 Alle Möglichkeiten vertragen sich nicht mit der Node-Link
Struktur
Informationsvisualisierung
4-96
4.4 Bäume
Platz-füllende Darstellungen
 Versuchen zwei konzeptuelle Schwächen von Node-Link
Darstellungen zu beheben
 Platzbedarf
 Darstellungen zusätzlicher (komplexer) Attribute
 Älteste und bekannteste Darstellung: tree-maps
 Vorteile:
 Sehr guter Überblick
 Nachteile
 In der Regel werden nur die Kinder dargestellt
Informationsvisualisierung
4-97
4.4 Bäume
 Tree-map (Baumkarte)
[B. Johnson and B. Schneiderman, „Tree-Maps: A Space-Filling Approach to the Visualization of
Hierarchical Information Structures“, Proc. IEEE Visualization '91, pp. 275-282, 1991]
 Die Hierarchie wird rekursiv auf Rechtecke abgebildet
 Jedem Teilbaum wird ein Rechteck zugewiesen
 Kinder werden innerhalb ihrer Eltern gezeichnet
 In jeder Ebene wird abwechselnd horizontal und vertikal
unterteilt
 Attribute können dargestellt werden durch
 Fläche des Rechtecks (z.B. Größe)
 Farbe des Rechtecks (z.B. Knotentyp)
 Zusätzlicher Text (z.B. Bezeichner)
Informationsvisualisierung
4-98
4.4 Bäume
Algorithmus (Darstellung eines Dateiverzeichnisses)
 Zeichne tree map (Verzeichnis)
 Wechsle Orientierung (Horizontal/Vertikal)
 Lese alle Verzeichnisse und Dateien
 Erzeuge für jedes Elements eine Rechteck, skaliert mit seiner
Größe
 Zeichne die Rechtecke mit der berechneten Größe und der
Farbe entsprechend dem Knotentyp
 Für jedes Verzeichnis
 Zeichne tree map (Verzeichnis)
Informationsvisualisierung
4-99
4.4 Bäume
Beispiel
 RootVerzeichnis
a
b c
i
d e
f
g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung
4-100
4.4 Bäume
Beispiel
a
b c
i
d e
f
g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung
4-101
4.4 Bäume
Beispiel
a
c
a
b
b c
i
d e
i
f
g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung
4-102
4.4 Bäume
Beispiel
c
a
d e
b
a
b c
i
d e
i
f
g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung
4-103
4.4 Bäume
Beispiel
c
a
f
d e
b
g
h
i
a
b c
i
d e
f
g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung
4-104
4.4 Bäume
Vorteile
 Gut geeignet auch für große, rekursive Hierarchien
 Platzeffizienter als Baumdiagramme da raumfüllend (Space
Filling)
 Große Elemente sind schnell sichtbar
 Blattstruktur gut erkennbar
Nachteile
 Standard-TreeMaps (ver-)brauchen Rand plus Fläche
 Hierarchie selbst ist nicht gut erkennbar
 Haben u.U. schlechtes Seitenverhältnis
 Rechteckig statt quadratisch
 Problematisch bei kleinen Dateien auf oberen Ebenen (lang und
schmal)
Informationsvisualisierung
4-105
4.4 Bäume
Platznutzung
 Rand plus Fläche begrenzen
Elementgröße
 Kleine Elemente sind schwierig
zu unterscheiden
[Johnson, Shneiderman 1991]
Informationsvisualisierung
4-106
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps
[Wijk, Wetering, 1999]
 Grate zum Betonen der Grenzen
 Grate in zwei Orientierungen: Cushions / Kissen
z = ax2 + bx + cy2 + dy + e
+
=
Informationsvisualisierung
4-107
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps
[Wijk, Wetering, 1999]
Informationsvisualisierung
4-108
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Schwache Beleuchtung von
Rechtecken
[Fekete, Plaisant, 2002]

Partitionsgrenzen
erhalten
Informationsvisualisierung
4-109
4.4 Bäume
1 Million
Elemente
[Fekete,
Plaisant,
2002]
Informationsvisualisierung
4-110
4.4 Bäume
Betonung der
Hierarchiegrenzen
[Bruls et al., 2000]


Verstärkung
Beleuchtung der
Grenzen mit Graten
Verbraucht
zusätzlichen Platz
Informationsvisualisierung
4-111
4.4 Bäume
Betonung der
Hierarchiegrenzen
[Fekete, Plaisant, 2002]


Verstärkung
Beleuchtung der Grenzen
Verbraucht
zusätzlichen Platz
Informationsvisualisierung
4-112
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses (aspect ratio)



Verhältnis der Rechteckseiten: Längere Seite / Kürzere Seite
Ideal: nahe 1 (Quadrat)
Bei großen Werten
 Lange, schmale Rechtecke
 Schwierig zu erkennen
Informationsvisualisierung
4-113
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses




Kreisförmiges Layout [Wetzel 2004]
Gutes Seitenverhältnis
Gute Hierarchiedarstellung
Schlechte Platzeffizienz
Informationsvisualisierung
4-114
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses






Rechteckige Layouts - Slice and Dice
Standardverfahren für TreeMaps
Erhält Reihenfolge (Ordnung)
Ist stabil
Bekannte Probleme
Vergleichproblem: Welches Rechteck ist größer?
™e miTkciuQ red driw egieznA ruZ
“)WZL( FFIT„ ro s serp mokeD
.tgitöneb
Informationsvisualisierung
4-115
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses





Rechteckige Layouts - Cluster TreeMaps [Wattenberg 1999]
Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal
Freiheitsgrade werden zum Sortieren nach Ähnlichkeit genutzt
Man verliert aber ursprüngliche Ordnung
Gleichmäßigere Aufteilung
Slice and Dice
Informationsvisualisierung
Cluster TM
4-116
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps
[Bruls et al. 2000]




Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal
Elemente teilen vorgegebene Fläche im Verhältnis auf
Unterteilt Hierarchieebenen nacheinander
Verliert Ordnung
Informationsvisualisierung
4-117
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Unterteile in Richtung der kleineren Seite (fülle linke/obere
Hälfte der längeren Seite)
 bis Seitenverhältnisse nicht mehr besser werden
(schlechter/gleich gut)
 Wechsel zur leeren Seite (rechts/unten)
 Lokales Optimierungsverfahren ähnlich zum steepest
Gradient/Hill Climbing
 Gute (aber nicht optimale) Lösung
Informationsvisualisierung
4-118
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps
[Bruls et al. 2000]
6
4
6
6
6
6
6
6
4
3
2
2
1
Aspektratio: 8/3
6
6
4/1
3/2
6
6
4
4
6
6
3
49/27
9/4
....
4 3 2
9/2
6
6
2 2 1
4 3
25/9
Informationsvisualisierung
4-119
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps
[Bruls et al. 2000]
Informationsvisualisierung
4-120
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps
[Bruls et al. 2000]
Mit Hierarchieinformation
(anderes Filesystem)
Informationsvisualisierung
4-121
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Squarified vs. Cluster TreeMaps
 Problem: Nicht Ordnung-erhaltend
 Dynamische Änderungen können zu völlig neuem Layout führen.
Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung.
Informationsvisualisierung
4-122
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps
[Shneiderman, Wattenberg 2001]
 Idee: Platziere Elemente, die in der Ordnung benachbart sind, in
benachbarten Rechtecken
1. Sei P (Pivot-Element), das Element mit der größten Fläche
2. Unterteile Feld in vier Teile: R1, RP, R2, R3
3. Platziere P in RP
4. Verteile alle anderen Element auf drei Teillisten: L1, L2, L3, die
alle leer sein können
5. Layout von L1, L2, L3 in R1, R2, R3, falls entsprechende Liste
nicht leer
6. Unterteile einzelne Teilfelder rekursiv
 Mit Teilung wird Lokalität heuristisch besser gewahrt
Informationsvisualisierung
4-123
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps
[Shneiderman, Wattenberg 2001]
 Teillisten:





Alle Elemente von L1 liegen vor P
Alle Elemente von L2 und L3 liegen nach P
Alle Elemente von L2 liegen vor denen von L3
Das Seitenverhältnis von P soll so nah an 1 wie möglich sein
|L3| 1
Informationsvisualisierung
4-124
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps
[Shneiderman, Wattenberg 2001, Bederson et al. 2002]
 Drei Varianten für Pivot-Wahl:
 Größe (siehe oben)
 Mittleres Element der Liste
 Fläche von R1 und R3 sind etwa gleich
Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung
Informationsvisualisierung
4-125
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap
[Bederson et al. 2002]
 Variation der Squarified TreeMap: Wechselkriterium
 Horizontal oder Vertikal
 Erstes Element einfügen mit entsprechender Höhe über ganze
Zeile
 Füge nächstes Element ein und passe Höhe an
 Veränderung wie squarified tree map.
 Letzter Strip problematisch.
Informationsvisualisierung
4-126
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap
[Bederson et al. 2002]
Informationsvisualisierung
4-127
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen
[Bederson et al. 2002]
 Readability is better if the value is smaller
Informationsvisualisierung
4-128
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
 Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen
[Bederson et al. 2002]: Fläche: Marktkapitalisierung
Informationsvisualisierung
4-129
4.4 Bäume
NewsMap
[Weskamp et al., 2004]
 TreeMap für Zeitungsartikel von GoogleNews
 Größe referenziert auf Anzahl der verwandten Artikel
 Farbe markiert Nachrichtentyp
Informationsvisualisierung
4-130
4.4 Bäume
Informationsvisualisierung
4-131
4.4 Bäume
Verbesserung des Flächenelements





Voronoi-TreeMap [Balzer, Deussen 2005]
Voronoi-Diagramm als Ebenenunterteilung
Fläche repräsentiert Größe
Farbe repräsentiert Hierarchietiefe
Guter Aspektratio (1) durch implizite Optimierung durch
Voronoi-Zerlegung
 Ungleichförmige Elemente
Informationsvisualisierung
4-132
4.4 Bäume
Verbesserung des Flächenelements
 Voronoi-TreeMap [Balzer et al. 2005]
Informationsvisualisierung
4-133
4.4 Bäume
Circular Partitions
[Onak et al., 2008]


Partitionierung der
Ebene (auch für höhere
Dimensionen)
Beliebige
Unterteilungsrichtungen
Informationsvisualisierung
4-134
4.4 Bäume
Zusammenfassung





TreeMaps sind kompakte, dichte Darstellung
Gut für rekursive Baum-/Hierarchiedarstellungen
Hierarchie selbst nicht so gut sichtbar
Erhaltung von gutem Seitenverhältnis und der Ordnung wichtig
Interaktive Darstellung wichtig
Informationsvisualisierung
4-135
4.4 Bäume
Beamtrees
[F. van Ham and J.J. van Wijk, "Beamtrees : Compact Visualization of Large Hierarchies", Proc.
IEEE Conf. Information Visualization 2002, IEEE CS Press, pp. 93-100, 2002.]
 Nachteil tree maps
 Es ist schwierig, Betrachtungen über die Struktur der Hierarchie
anzustellen (z.B., die Tiefe des Baumes)
 Beamtrees sind eine Variante der treemaps
 Herausstellen der Struktur steht im Vordergrund
 Idee: Knoten-Überlappung anstelle von Schachtelung
 Geeignet für 2D und 3D Ansichten
Informationsvisualisierung
4-136
4.4 Bäume
Beamtrees
[van Ham, van Wijk, 2002]
 Vergleich mit tree maps (slice-and-dice)
Informationsvisualisierung
4-137
4.4 Bäume
Beamtrees
[van Ham, van Wijk, 2002]
 2D
Informationsvisualisierung
4-138
4.4 Bäume
Beamtrees
[van Ham, van Wijk, 2002]
 3D
Informationsvisualisierung
4-139
4.4 Bäume
Radial-Flächenfüllend
Idee:
 Verwende Kreis-Segmente für die Darstellung von Baumknoten
 Von innen nach außen mehr Platz
Informationsvisualisierung
4-140
4.4 Bäume
Semi-Circular Discs
[Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies
using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,
9-12.]
 Verwendet zwei Halbkreise um große Hierarchien anzuzeigen
 Jede Scheibe stellt mehrere Ebenen der Hierarchie dar
 Fokus & Context
 Fokus: Ausdehnung der zweiten Scheibe
 Textuelle Attribute werden in separaten Bereichen dargestellt,
nicht in der Graphik selbst
 Kodierung
 Farbe: Typ
 Winkel: Größe
Informationsvisualisierung
4-141
4.4 Bäume
Semi-Circular Discs
[Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies
using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,
9-12.]
Informationsvisualisierung
4-142
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang. "Focus+Context Display and Navigation Techniques for Enhancing
Radial, Space-Filling Hierarchy Visualizations", p. 57, IEEE Symposium on Information Visualization
2000.]
 Erweiterung der Semi-Circular Discs um animierte Transitionen
und Interaktion
 Fokus & Kontext:
 Winkel Detail
 Detail außen
 Detail innen
 Empirische Studie bestätigt Vorteile gegenüber tree maps
 Zeitbedarf für Navigation
 Erlernbarkeit
 Bevorzugung
 Kodierung wie Semi-Circular Discs
Informationsvisualisierung
4-143
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
[JOHN STASKO, An evaluation of space-filling information visualizations for depicting hierarchical structures, 2000]
Informationsvisualisierung
4-144
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
 Winkel Detail
Informationsvisualisierung
4-145
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
 Winkel Detail
 Überblick wird verkleinert
 Die Fokus-Region wächst keilförmig aus der Peripherie
 Vorteile
 Intuitive
 Nachteile
 Nicht sehr Platzsparend
Informationsvisualisierung
4-146
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
 Detail außen
Informationsvisualisierung
4-147
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
 Detail außen
 Überblick wird verkleinert
 The Fokus-Region bildet einen Ring um den Kreis
 Vorteile
 Platzsparend
 Nachteile
 Nicht so intuitiv
 Anfang der vergößerten Region ist unklar
Informationsvisualisierung
4-148
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
 Detail innen
Informationsvisualisierung
4-149
4.4 Bäume
Sunburst
[John Stasko, Eugene Zhang 2000.]




Detail innen
Überblick wir vergrößert
Die Fokus-Region bilder einen Ring in dem Kreis
Vorteile
 Sehr platzsparend
 Nachteile
 Wahrscheinlich am wenigsten intuitiv
 Starke Verzerrung
Informationsvisualisierung
4-150
4.4 Bäume
InterRing
[Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]




Erweiterung des Sunburst-Ansatzes
Mehrere Fokus-Punkte
Unterschiedliche Radien für verschiedene Hierarchieebenen
Vierte Interaktionstechnik
 Vergrößerung des Winkels in der Fokus-Region
 Komprimierung der anderen
Informationsvisualisierung
4-151
4.4 Bäume
InterRing
[Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]
 Winkel
Informationsvisualisierung
4-152
4.4 Bäume
InterRing
[Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]
 Radius
Informationsvisualisierung
4-153
4.4 Bäume
Icicle Plots
[J.B. Kruskal and J.M. Landwehr, Better Displays for Hierarchical Clustering, The American
Statistician, May 1983, Vol.- 37, No. 2.]
 Vergleich der ‚modernen‘ Version mit anderen Techniken
Organization
Chart
Tree ring
Icicle Plot
Informationsvisualisierung
Treemap
4-154
4.5 Graphen
 Alle besprochenen Baum-Layout-Algorithmen sind vorhersagbar
 Bei gleichem Eingabegraphen liefern sie gleichen das gleiche
Layout
 Isomorphe Teilbäume werden gleich behandelt
→ sehr sinnvolle Eigenschaft für Visualisierung
Informationsvisualisierung
4-155
4.5 Graphen
 Das Layout von gerichteten Graphen wird in der Regel mit dem
Sujiyama Algorithmus und verschiedenen Heuristiken
durchgeführt
 Gleicher Input erzeugt das gleiche Layout (falls dieselbe Heuristik
verwendet wird)
 Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche
Layout
Informationsvisualisierung
4-156
4.5 Graphen
 Ungerichtete Graphen können auf verschiedene Weisen
behandelt werden
 Nicht alle Algorithmen liefern zu den gleichen Eingabegraphen das
gleiche Layout
 Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche
Layout
Informationsvisualisierung
4-157
4.5 Graphen
 Kraftbasierte Methoden orientieren sich an einem
physikalischen Modell mit Kräften bzw. potentieller Energie
 Energie wird minimiert
 Das Optimierungsproblem wird lokal gelöst
Informationsvisualisierung
4-158
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Im Graph Drawing zuerst von P. Eades eingeführt (1984)
 Zwei Kriterien
 Symmetrie
 Einheitliche Länge der Kanten
 Gerade Linien
 Kräfte
 Abstoßende Kräfte (Ladungen) zwischen den Knoten
 Federkraft für die Kanten
Informationsvisualisierung
4-159
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Knoten
 Positiv geladene Teilchen
 𝑔𝑢𝑣 : elektrische Abstoßung von 𝑣 durch 𝑢
 Kanten
 Feder mit vorgegebener Ruhelänge 𝑙𝑢𝑣
 𝑓𝑢𝑣 : die Kraft durch die Feder zwischen u und v
 𝑔𝑢𝑣 und 𝑓𝑢𝑣 wirken jeweils auf 𝑢 und 𝑣
 Kraft auf 𝑣
𝐹 𝑣 =
𝑓𝑢𝑣 +
{𝑢,𝑣}∈𝐸
𝑔𝑢𝑣
{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉
Informationsvisualisierung
4-160
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Genauer gilt
𝐹 𝑣 =
𝑘
(1)
𝑢𝑣
𝑑(𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 ) − 𝑙𝑢𝑣
{𝑢,𝑣}∈𝐸
𝑘 (2)
+
{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉
𝑝𝑢 − 𝑝𝑣
𝑑(𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 )
1
𝑝𝑢 − 𝑝𝑣
𝑢𝑣 (𝑑(𝑝 , 𝑝 ))2 𝑑(𝑝 , 𝑝 )
𝑢 𝑣
𝑢 𝑣
 Mit
 Zeichnungspositionen 𝑝𝑢 , 𝑝𝑣
 Euklidischem Abstand 𝑑(𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 )
 Federkonstanten 𝑘 (1) 𝑢𝑣
 Ladungsbasierter Abstoßungsstärke 𝑘 (2) 𝑢𝑣
Informationsvisualisierung
4-161
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Lösung mit numerischen Verfahren mit häufig genutztem intuitiven
Ansatz
1.
2.
3.
4.

Plaziere Knoten zufällig in der Ebene
Berechne Kraft 𝐹(𝑣) für alle Knoten 𝑣
Bewege jeden Knoten 𝑣 ein kleines Stück in Richtung 𝐹(𝑣)
Wenn Kräfte nicht annähernd Null sind und das Maximum an Iterationen
nicht erreicht ist, gehe zu 2.
Alternative, schnellere Ansätze liefert beispielsweise Numerik
gewöhnlicher Differentialgleichungen
Informationsvisualisierung
4-162
4.5 Graphen
Spring Embedder
Informationsvisualisierung
4-163
4.5 Graphen
Spring Embedder
Informationsvisualisierung
4-164
4.5 Graphen
Spring Embedder
Informationsvisualisierung
4-165
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Probleme
 Hohe Laufzeit: 𝑂 𝑛2
 Möglicherweise nicht effizient für große Graphen
 Sehr empfindlich gegenüber Veränderungen im Graphen
 Hinzugefügte oder entfernte Knoten
 Hinzugefügte oder entfernte Kanten
Informationsvisualisierung
4-166
4.5 Graphen
Spring Embedder
 Verbesserungen
 Hinzufügung lokaler minimaler Energien
 Kamada and Kawai, 1989
[T. Kamada and S. Kawai. An Algorithm for Drawing General and Undirected Graphs.
Information Processing Letters, 31(1), pp. 24-38, 1989]
 Iterative, force-directed node placement
 Fruchterman and Rheingold, 1991
[T. Fruchterman and E. Rheingold. Graph Drawing by Force-directed Placement.
Software – Practice and Experience, 21, pp. 1129-1164, 1991]
 Simulated Annealing
 Davidson and Harel, 1996
[R. Davidson and D. Harel. Drawing Graphs Nicely Using Simulated Annealing. ACM
Transactions on Graphics, 15(4), 301-331, 1996]
Informationsvisualisierung
4-167
4.5 Graphen
Baryzentrische Methode
[Tutte. Convex Representation of Graphs. Proc. of London Mathematical Society 10(3):304-320,
1960],
[Tutte. How to Draw a Graph, Proc. of London Mathematical Society 13(3):743-768, 1963]




Vor der Methode von Eades entwickelt
Fixiert eine ausgewählte Menge von Knoten als konvexen Rand der
Zeichnung.
Nutzt Federn der Länge 0
Die Energiefunktion lautet
𝐹 𝑣 =
(𝑝𝑢 − 𝑝𝑣 )
{𝑢,𝑣}∈𝐸
Informationsvisualisierung
4-168
4.5 Graphen
Baryzentrische Methode

Für fixierte Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erhält man so folgende lineare Gleichungen
1
𝑝𝑣 =
𝑝𝑤 +
𝑝𝑢
deg 𝑣
𝑤∈𝑁0 𝑣




𝑢∈𝑁1 𝑣
𝑁0 (𝑣): fixierte Nachbarn von 𝑣
𝑁1 (𝑣): freie Nachbarn von 𝑣
deg 𝑣 = 𝑁0 + |𝑁1 |
Bedeutung:
Jeder Knoten wird als Schwerpunkt (Barycenter) seiner Nachbarn gezeichnet
Informationsvisualisierung
4-169
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung
4-170
4.5 Graphen
Baryzentrische Methode
 Theorem:
Sei 𝐺 ein dreifach zusammenhängender Graph,
sei 𝑓 eine Facette einer planaren Einbettung von 𝐺 und
sei 𝑃 eine streng konvexe Zeichnung von 𝑓.
Dann liefert Barycenter-Draw eine konvexe, planare Zeichnung
von 𝐺 mit fixierten Ecken von 𝑓
Informationsvisualisierung
4-171
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung
4-172
4.5 Graphen
Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte
[Kamada, Kawai. An Algorithm for Drawing Undirected Graphs. Information Processing Letters
31(1):7-15, 1989]
 Definition:
Sei 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ein zusammenhängender Graph. Für zwei Knoten 𝑢, 𝑣
heißt die Länge 𝛿(𝑢, 𝑣) des kürzesten Weges graphentheoretische
Distanz.
 Ziel dieser Ansätze ist Übereinstimmen von euklidischer Distanz in
der Zeichnung und graphentheoretischer Distanz im Graphen
Informationsvisualisierung
4-173
4.5 Graphen
Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte
 Kamada und Kawai wählen daher 𝑘𝑢𝑣 ≔
𝑘
𝛿(𝑢,𝑣)2
mit Konstante 𝑘
 Die potentielle Energie der Feder zur Kante {u,v} wird gesetzt auf
2
𝑘 𝑑 𝑝𝑢 , 𝑝𝑣
𝜂{𝑢,𝑣} =
−1
2 𝛿(𝑢, 𝑣)
 Die potentielle Energie der gesamten Zeichnung wird gesetzt auf
2
𝑘
𝑑 𝑝𝑢 , 𝑝𝑣
𝜂=
−1
2
𝛿(𝑢, 𝑣)
𝑢,𝑣∈𝑉
𝑢≠𝑣
 Dieser Wert wird dann iterativ minimiert
 Nach allen Knotenpositionen ableiten
 Knoten in Richtung mit größter Ableitung bewegen
Informationsvisualisierung
4-174
4.5 Graphen
Magnetische Felder
[Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language
Computation 6(3), 1995].
 Man kann Federn auch magnetischen Kräften aussetzen, um sie
möglichst gleich auszurichten.
 Dabei werden einige oder alle Federn im Modell magnetisiert .
 Es wirkt ein globales magnetisches Feld in senkrechter,
waagrechter oder radialer Richtung (mit Zentrum).
Informationsvisualisierung
4-175
4.5 Graphen
Magnetische Felder
[Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language
Computation 6(3), 1995].
 Federn sind wie folgt modelliert:
 Unidirektional mit Tendenz zur Ausrichtung in Feldrichtung, oder
 bidirektional mit Ausrichtung nur parallel zum Feld
Informationsvisualisierung
4-176
4.5 Graphen
Magnetische Felder
 Unidirektionale Federn und magnetische Kräfte erlauben Auslegen
von Digraphen.
Informationsvisualisierung
4-177
4.5 Graphen
Magnetische Felder
 Unidirektionale Federn und magnetische Kräfte erlauben Auslegen
von Digraphen.
Informationsvisualisierung
4-178
4.5 Graphen
Allgemeine Energiefunktionen
 Neben kontinuierlichen Energieansätzen können auch diskrete
Ästhetikmaße als Energien genutzt werden
 Anzahl der Kantenschnitte
 Anzahl der vertikalen und horizontalen Kanten
 Anzahl der Knicke
 Dabei verwendet man als Energie der Zeichnung
𝜂 = 𝜆1 𝜂1 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝜂𝑘
 Wobei die 𝜂𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘 einzelne Kriterien messen
 li sind die Gewichtungen der Einzelenergien
Informationsvisualisierung
4-179
4.5 Graphen
Allgemeine Energiefunktionen
 Die 𝜂𝑖 können folgende Energien enthalten
 Potentielle Federenergien
 Potentielle elektrische Energien
 Potentielle magnetische Energien
Informationsvisualisierung
4-180
4.5 Graphen
Beispiel allgemeiner Energien
[Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on
Graphics 15(4):301-331, 1996]

Davidson und Harel verwenden vier Teile
𝜂 = 𝜆1 𝜂1 + 𝜆2 𝜂2 + 𝜆3 𝜂3 + 𝜆4 𝜂4

𝜂1 simuliert eine Art elektrischer Abstoßung
1
𝜂1 =
(𝑑 𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 )2
𝑢,𝑣∈𝑉

𝜂2 bestraft das Annähern an den Rand
𝜂2 =

1
2+𝑙 2+𝑡 2+𝑏 2
𝑟
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢∈𝑉 𝑢
mit Randabständen 𝑟𝑢 , 𝑙𝑢 , 𝑡𝑢 , 𝑏𝑢
Informationsvisualisierung
4-181
4.5 Graphen
Beispiel allgemeiner Energien
[Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on
Graphics 15(4):301-331, 1996]

𝜂3 bestraft zu lange Kanten
(𝑑 𝑝𝑢 , 𝑝𝑣 )2
𝜂3 =
{𝑢,𝑣}∈𝐸

𝜂4 hält die Anzahl der Kantenschnitte gering
Informationsvisualisierung
4-182
4.5 Graphen
Nachteile der Energie-basierten Ansätze


Finden nicht immer die beste Lösung
Sind stark parameterabhängig
Informationsvisualisierung
4-183
4.5 Graphen
Vorteile der Energie-basierten Ansätze
 Lassen sich gut verbinden mit Einschränkungen (Constraints)
 Festgelegte Positionen einiger Knoten
 Fixierte Teilgraphen
 Als Energie beschreibbare Beschränkungen
Bemerkungen


Kraftbasierte Methoden benötigen oft viel Rechenaufwand
Daher effiziente Minimierungsmethoden nötig


Auf Zufallsbasis (Simulated Annealing, Behandlung steifer
Differentialgleichungen, Kombinatorische Vorbehandelung)
Geeignete Heuristiken
Informationsvisualisierung
4-184
4.5 Graphen
Clustering
 Insbesondere, wenn Graph zu groß für Darstellung ist, kann man ihn
vereinfachen
 In einigen Anwendungen sind die Graphen bereits geclustert
 Allgemein: Clustering der Knoten mit folgenden Grundprinzipien
 Structural-Clustering: es wird nur aufgrund der Struktur des Graphen
zusammengefasst
 Content-based Clustering: es wird die Semantik (insbesondere der
Knoten) mit berücksichtigt
 Fast alle Verfahren basieren auf Structural-Clustering
 Es ist einfacher umzusetzen
 Der Ansatz kann auf jeden Graphen unabhängig von der
Anwendungsdomäne angewendet werden
Informationsvisualisierung
4-185
4.5 Graphen
Clustering
 Es werden praktisch immer disjunkte Cluster erzeugt
 Aus Clustern wird neuer Graph erzeugt
 Cluster werden zu Knoten
 Es wird eine Kante zwischen Clustern gebildet, wenn eine Kante
zwischen Elementen der Cluster existiert
Informationsvisualisierung
4-186
4.5 Graphen
Clustering
 Für Clustering ist Metrik der Knoten nötig
 Metriken können strukturell oder inhaltsbasiert sein und ergeben so
die beiden Typen des Clusterings.
 Metrik von Furnas mischt die Distanz von einem Knoten zum anderen
mit dem gewünschten Detailgrad für den jeweiligen Bereich des
Graphen
[Furnas, Generalized Fisheye Views, Human Factors in Computing Systems, CHI'86 Conference
Proceedings, 1986, 16-23]
Informationsvisualisierung
4-187
4.5 Graphen
Clustering
 Man kann Knoten und Kanten auch einfach einen Relevanzwert
geben
[Kimelman, Leban, Roth, Zernik, Reduction of visual complexity in dynamic graphs, Proc. Symp.
Graph Drawing GD'94, 1994]
 Für die Repräsentation gibt es drei verschiedene Ansätze
 Ghosting: unwichtige Kanten und Knoten treten in Hintergrund
 Hiding: unwichtige Elemente weglassen
 Grouping: unwichtige Elemente zusammenfassen
Informationsvisualisierung
4-188
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung
4-189
4.5 Graphen
Clustering
 Ansatz von Noack und Lewerentz (Software Systeme)
[A. Noack and C. Lewerentz. “A Space of Layout Styles for Hierarchical Graph Models of Software
Systems”. ACM SoftVis’05, 2005]
 Drei Layout-Kriterien
 Clustering
 Repräsentation der Hierarchie
 Verzerrung
 Verwendet ein Energiemodell mit drei Parametern (𝑐, ℎ, 𝑑)
 Finde eine Layout, das die Gesamtenergie des Systems minimiert
 Anwendung
 Vererbung
 Methoden-Aufrufe
Informationsvisualisierung
4-190
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)

Ein hierarchischer Graph 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein gerichteter Graph 𝐺 zusammen
mit einem gerichteten Baum 𝑇, so dass alle Blätter von 𝑇 genau die Knoten
von 𝐺 sind.

𝑇 heißt hierarchischer Baum von 𝐺.
1
111
112
113
11
121
122
12
13
13
111
112
113
121
122
Hierarchical tree
Graph
Informationsvisualisierung
4-191
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)

Die Ansicht eines hierarchischen Graphen 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein Graph
(𝑉, induced 𝑉 ), so dass die Menge 𝑉 für jeden Knoten von 𝐺 genau einen
Vorgänger in 𝑇 enthält. (Abstraktion eines hierarchischen Graphen)
111
112
113
121
122
13
11
1
121
Informationsvisualisierung
122
13
4-192
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)

𝑐 ∈ (0,1] ist der Clustering Parameter
c = 0.2
c = 0.5
Informationsvisualisierung
c = 1.0
4-193
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)

ℎ ∈ [0,1] ist der Hierachie Parameter

𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0
Oberstes Package
Packages der 3. Ebene
Informationsvisualisierung
Oberste Ebene der Klassen
4-194
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)

d ∈ [0,1] ist der Verzerrungs Parameter

𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0
d = 0,0
d = 0,5
Informationsvisualisierung
d = 1,0
4-195
4.5 Graphen
3D Graph Drawing
 Klassische 2D Algorithmen werden auf 3D erweitert (siehe auch den
Abschnitt über Bäume)
 Probleme
 Navigation
 Überlappungen (Überdeckungen)
 Mental map (kognitive Karte)
Informationsvisualisierung
4-196
4.5 Graphen
3D Graph Drawing: Linux Kernel
[http://www.pabr.org/kernel3d/kernel3d.html]
Informationsvisualisierung
4-197
4.5 Graphen
3D Orthogonal graph drawing
[D.R. Wood. Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing. PhD Thesis, School of Computer Science and Software
Engineering, Monash University, Australia, 2000.] [http://www.cs.nthu.edu.tw/~spoon/3G_Lab/Projects/ortho_drawing.htm]
Informationsvisualisierung
4-198
4.6 Dynamische Graphen
 Netzwerke können sich im Laufe der Zeit verändern
 Biochemische Netzwerke werden durch neu entdeckte Pfade
ergänzt
 Soziale Netzwerke: neue Kontakte
 Evolution von Software
 Die Darstellungen sollten die „Mental Map“ erhalten
 „Alte Strukturen“ sollten leicht wiedererkannt werden

[K. Misue, P. Eades, W. Lai, and K. Sugiyama, “Layout Adjustment and the Mental Map”,
Journal of Visual Languages and Computing 6 (1995), 183-210.]
Informationsvisualisierung
4-199
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
 Visualisierung des Übergangs von einem Layout zum nächsten durch
stetige, ruckfreie Animationen (‚smooth animations‘)
 Vorteile
 Ästhetisch ansprechend
 Nachteile
 Knoten ändern ihre Position
 Neue oder entfernte Knoten werden unter Umständen nicht erkannt
Informationsvisualisierung
4-200
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
 Morphing kann auf jedes 2D und 3D Layout angewendet werden
 Wenn ein Knoten eine neue Position im neuen Layout erhält, wir ein
Animationspfad berechnet, der zwischen alter und neuer Position
interpoliert
 GraphAEL
[C. Erten, P. J. Harding, S. G. Kobourov, K. Wampler, and G. Yee, “GraphAEL: Graph
Animations with Evolving Layouts”, 11th Symposium on Graph Drawing (GD), p. 98-110, 2003.]
 Verwendet eine Kraft-basierte Methode
Informationsvisualisierung
4-201
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]
Informationsvisualisierung
4-202
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]
Informationsvisualisierung
4-203
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout
[S. Diehl, C. Görg, and A. Kerren. “Preserving the Mental Map using Foresighted Layout”. In
Proceedings of Joint Eurographics - IEEE TCVG Symposium on Visualization, VisSym’01, Springer
Verlag, 2001.]
 Voraussetzung
 Die Graphensequenz ist bekannt
 Die Graphensequenz kann vorab berechnet werden
 Idee
 Berechne den Super-Graphen der Graphensequenz
 Platziere die Knoten optimal entsprechend dem Super-Graphen
 Zeichne die Knoten des aktuellen Graphen an den festgelegten
Positionen
 Zeichne die Kanten des aktuellen Graphen
Informationsvisualisierung
4-204
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout
 Vorteile
 Die „Mental Map“ bleibt erhalten
 Kann mit jedem Graph-Layout verwendet werden
 Nachteile
 Oft ist die Graphensequenz nicht vorab bekannt
 Zum Teil schlechte Ästhetik
Informationsvisualisierung
4-205
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout
[Stephan Diehl. Carsten Görg. Andreas Kerren, Preserving the Mental Map using Foresighted Layout, 2000]
Informationsvisualisierung
4-206
4.6 Dynamische Graphen
Adaptiv, Kraft-basiert
[Y. Frishman, Dynamic Drawing of Clustered Graphs, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung
4-207
4.7 InfoVis Techniken
Visualization of internet traffic
[http://www.unc.edu/depts/jomc/academics/dri/011/growth.html]
Byte traffic into the ANS/NSFnet T3 backbone
Informationsvisualisierung
4-208
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet
[Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung
4-209
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet
[Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung
4-210
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet
[Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung
4-211
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet
[Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung
4-212
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet3D
[Kenneth C. Cox, Stephen G. Eick, Taosong He, 3D Geographic Network Displays, 1996]
Informationsvisualisierung
4-213
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume
[Bezerianos et al. : GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-214
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume
[Bezerianos et al. GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-215
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume
[Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung
4-216
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume
[Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung
4-217
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume
[Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung
4-218
4.7 InfoVis Techniken
Dynamische Darstellung von Knoten und Kanten
[Pak Chung Wong, Patrick Mackey :Dynamic Visualization of Graphs with Extended Labels,
INFOVIS, 2005]
Informationsvisualisierung
4-219
4.7 InfoVis Techniken
Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates (Semantischer
Träger)
[B. Shneiderman and A. Aris. Network Visualization by Semantic Substrates. IEEE Transactions on
Visualization and Computer Graphics, 12(5), pp. 733-740, 2006]
 Idee
 Layout basiert auf Benutzer-definierten Semantic Substrates
 Keine Überlappung der Bereiche der Knoten
 Die Plazierung der Knoten hängt von ihren Attributen ab
 Verwendung von Slidern
 Um die Sichtbarkeit von Kanten zu kontrollieren
 Um Kantendurcheinander zu entschärfen
Informationsvisualisierung
4-220
4.7 InfoVis Techniken
http://www.cs.umd.edu/hcil/pubs/presentations/NVSS-3_files/frame.htm
Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates
Informationsvisualisierung
4-221
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung
[N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung
4-222
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung
[N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung
4-223
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung
[N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung
4-224
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien
[D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung
4-225
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien
[D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung
4-226
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien
[D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung
4-227
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien
[D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung
4-228
4.7 InfoVis Techniken
Kantenbündel (Edge Bundles)
[Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data,
InfoVis 2006]
Informationsvisualisierung
4-229
4.7 InfoVis Techniken
Kantenbündel (Edge Bundles)
[Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data,
InfoVis 2006]
Informationsvisualisierung
4-230
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs)
[T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung
4-231
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs)
[T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung
4-232
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs)
[T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung
4-233
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering
[V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-234
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering
[V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-235
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering
[V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-236
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering
[V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung
4-237
4.8 Ausblick
Offene Fragen und Trends
 Einige Graphentypen sind bisher weniger beachtet worden:
 Hypergraphen lassen sich als bipartite Graphen auffassen
 Für jede Hyperkante ein Zusatzknoten einfügt wird
 Dieser wird dann mit den übrigen Knoten der Hyperkante verbunden
 Die Zeichnung kann dann mit einem Standard-Algorithmus erfolgen
 Anwendungen (z. B. Stoffwechsel in der Biologie) erfordern besondere
Erweiterungen, die Gegenstand aktueller Arbeiten sind
Informationsvisualisierung
4-238
4.8 Ausblick
Offene Fragen und Trends
 Visualisierung sehr großer Graphen mit mehreren Millionen oder
gar Milliarden Knoten und Kanten




Der Abstammungsbaum aller biologischen Arten
Alle Webseiten
Netze: Festnetztelefone, Handynetz, Internet
Soziale Netzwerke
 Ansätze des Graphenzeichnens müssen mit schneller Interaktion
und effizienten Datenstrukturen verknüpft werden
Informationsvisualisierung
4-239
Literatur



Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and Navigation in Information
Visualization: A Survey. IEEE TVCG 6(1): 24-43, 2000
G. Di Battista, P. Eades, R. Tomassia, I. G. Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall,
Upper Saddle River, NJ, USA, 1999
Roberto Tamassia, ed. Handbook of Graph Drawing and Visualization. CRC Press
2014.
Informationsvisualisierung
4-240