Probeklausur Wirtschaftsmathematik 1. Semester Studiengang

Prof. Dr. Matthias Weber
HTW Dresden
Fakultät Informatik/Mathematik
Probeklausur Wirtschaftsmathematik 1. Semester
Studiengang Betriebswirtschaft (Bachelor)
Aufgabe
Punkte, soll
Punkte, ist
1
8
2
10
3
5
4
9
5
3
6
7
7
17
8
4
9
12
10
10
Summe
85
Note
Hinweise:
• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
• Alle Lösungswege sind nachvollziehbar anzugeben.
• Die Bezeichnung ME steht für Mengeneinheiten, die Bezeichnung GE für Geldeinheiten.
• Quadratische Gleichungen dürfen numerisch mit Hilfe eines geeigneten Taschenrechners gelöst werden. Andere Gleichungen sind, wenn nicht anders verlangt, schriftlich
zu lösen.
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie für die Funktion f : x 7→ f (x)
(x + 1)(x2 − 9)
(x + 3)2
alle Nullstellen, Polstellen und Lücken, sowie die Gleichung der Asymptoten, und
skizzieren Sie den Graphen der Funktion im Intervall x ∈ [ −10, 10 ].
f (x) =
2. Ein neues Steuerkonzept sieht vor, dass ein unverheirateter Arbeitnehmer auf sein
Jahreseinkommen folgende Steuern zu zahlen hat:
Der Grundfreibetrag, auf den er keine Steuern zahlen muss, beträgt 8 000e .
Der Teil des Einkommens, der den Grundfreibetrag übersteigt (= zu versteuerndes
Jahreseinkommen), wird wie folgt versteuert:
Für die ersten 8 000e sind 12% Steuern zu zahlen.
Für den Anteil des zu versteuernden Jahreseinkommens, der 8 000e übersteigt, sind
24% Steuern zu zahlen bis zu einer Grenze von 32 000e .
Für den Anteil des zu versteuernden Jahreseinkommens, der 32 000e übersteigt,
sind 36% Steuern zu zahlen.
(a) Geben Sie die Funktion
S : x 7→ S(x) , x ≥ 0 ,
an, wobei x das Jahreseinkommen eines unverheirateten Arbeitnehmers in e
angibt und S(x) die nach obigen Regeln berechneten Steuern, ebenfalls in e ,
angibt. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion im Intervall x ∈ [0, 50 000].
(b) Wieviel Prozent seines Jahreseinkommens muss ein unverheirateter Arbeitnehmer nach obigen Regeln an Steuern zahlen, wenn sein Jahreseinkommen
50 000e beträgt?
1
3. Bilden Sie alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung für folgende Funktionen:
(a) f : f (x, y) = 5xy 2 + x3 − 7x5 y 2 − 59
(b) f : f (x, y) = e2x · ln(2x + 3y)
4. Gegeben sei die Funktion f : x 7→ f (x) ,
f (x) = x ex .
(a) Geben Sie für die Funktion f alle Nullstellen und die lokalen Extremalpunkte
an.
(b) Geben Sie für die Funktion f das Taylorpolynom 2. Grades mit der
Entwicklungsstelle x0 = 0 an.
5. Bestimmen Sie folgenden Grenzwert.
lim
x↓0
sin(x)
1 − cos(x)
6. Ein 1–Produkt–Unternehmen produziert nach der Gewinnfunktion
G(x) = −x3 + 50x2 + 100x − 5 000 , x > 0 .
(a) Bestimmen Sie die Elastizität des Gewinnes bezüglich der Produktionsmenge
bei einer Produktionsmenge von x = 20. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?
(b) Auf welchem Intervall ist die Gewinnfunktion progressiv wachsend?
7. Ein monopolistisches 1–Produkt–Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion
(in GE)
K(x) = x3 − 10x2 + 40x + 200 , x > 0 , x in ME ,
bei einer Preis–Absatz–Funktion (in GE)
p(x) = 400 − 7x .
(a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion des Unternehmens.
(b) Bei welchem Preis erzielt das Unternehmen maximalen Gewinn?
(c) Bestimmen Sie den Grenzgewinn bei einer Produktionsmenge von 20 ME.
Interpretieren Sie den erhaltenen Wert.
(d) Gesucht ist die Produktionsmenge mit den geringsten Stückkosten. Benutzen
Sie als Startwert x0 = 8, und schreiben Sie die Formel für das Newton–
Verfahren und die Ergebnisse der ersten beiden Schritte dieses Verfahrens für
diese Aufgabe auf.
8. Skizzieren Sie zu den folgenden Funktionen
f : R2 → R
Niveaulinien C(z) zu den angegebenen Niveaus in ein geeignetes Koordinatensystem.
f (x, y) = 2x + 4y ,
2
z = −4, 0, 4, 8
9. An welchen der untenstehenden Punkte hat die Funktion
f : R2 → R ,
f (x, y) = x4 − 8x3 + 22x2 − 24x + 35 + 3y 2 + 18y
relative Extrema. Handelt es sich dabei jeweils um ein relatives Minimum oder um
ein relatives Maximum? An welchen der Punkte hat die Funktion einen Sattelpunkt?
P1 (1, 3) ,
P2 (1, −3) ,
P3 (2, −3)
10. Ein Unternehmen produziert ein Produkt unter Einsatz von zwei Produktionsfaktoren. Der Output x (in t des hergestellten Produktes) bestimmt sich aus der Produktionsfunktion
x(r1 , r2 ) = 3 r1 1/2 r2 1/4 ,
wobei r1 und r2 die Mengen der beiden eingesetzten Produktionsfaktoren in ME
sind. Das Unternehmen kauft die Produktionsfaktoren für die Preise p1 = 100 e je
ME von r1 und p2 = 200 e je ME von r2 .
(a) Welche Mengen der beiden Produktionsfaktoren müssen verarbeitet werden,
um einen Output von 162 t so zu produzieren, dass die Einkaufskosten für
die beiden Produktionsfaktoren möglichst gering sind? Wie hoch sind diese
Kosten?
(b) Geben Sie mit Hilfe des Lagrange-Parameters an, wie hoch die minimalen
Kosten etwa wären, wenn man 500 kg mehr produzieren möchte.
3