Mühlbach GmbH Teil 1

Mühlbach-Simulation: Mathematische Lösung (I)
Die Mühlbach GmbH hat zur Produktion von Elektromotoren vier Alternativen zur
Auswahl. Anhand konkreter Produktions- und Kostenfunktionen wird die beste Lösung berechnet, d. h. die Produktionsmenge bestimmt, die den höchsten Gewinn
bringt. Das erforderliche Optimierungskalkül wird Schritt für Schritt gezeigt.
Diese Seite richtet sich nur an mathematisch Interessierte, die es genau wissen wollen.
Vier Alternativen
Die Mühlbach GmbH produziert Elektromotoren. Zur Herstellung werden die Produktionsfaktoren Einfacharbeit (E), qualifizierte Arbeit (Q), Kapital (K) und Vorleistungen aus dem Ausland (V) benötigt. Die vier Alternativen unterscheiden sich durch einen Technologieparameter (λ) und unterschiedliche Faktoreinsatzverhältnisse der Produktionsfaktoren.
Limitationale Produktionsfunktion
Es liegt eine so genannte Leontief-Produktionsfunktion vor. Der Faktormix kann innerhalb
eines Szenarios nicht verändert werden, d. h., es liegen limitationale Beziehungen zwischen
den Produktionsfaktoren vor. Zur Vereinfachung der Mathematik ist eine simple Produktionsfunktion vom Typ X = aA - bA2 gewählt. X bezeichnet den Output und A den Input. Die Funktion ist nur sinnvoll für positive Outputmengen definiert; deshalb muss gelten: A < (a/b).
Die Produktionsfunktionen der Mühlbach GmbH sind etwas komplizierter. Es gibt vier Inputfaktoren und zusätzlich einen Technologieparameter λ. Je größer dieser Parameter ist, um
so mehr kann mit dem gegebenen Input produziert werden.
(
(1) X i = λi aEi − bEi
2
) + λ (aQ
i
i
2
) (
2
) (
− bQi + λi aK i − bK i + λi aVi − bVi
2
) mit i = 1, 2, 3, 4
und X = Produktionsmenge, E = Einfacharbeit, Q = qualifizierte Arbeit, K = Kapital, V = Vorleistungen aus dem Ausland. a und b sind Parameter der Produktionsfunktion. Der Index i bezeichnet die einzelnen Szenarien, die zur Produktion zur Verfügung stehen. Der gewählte Typ
einer limitationalen Produktionsfunktion bedeutet, dass alle Inputfaktoren in fester Relation zu
einem Input ausgedrückt werden können. Hier soll alles in Einheiten des Faktors Einfacharbeit
ausgedrückt werden:
(2)
Qi = β i E i
(3)
K i = δ i Ei
(4)
V i = φE i
Beispiel: β = 2, δ = 3 und φ = 4 bedeutet, dass je Einheit Einfacharbeit zwei Einheiten qualifizierte Arbeit (Q), drei Einheiten Kapital und vier Einheiten Vorleistungen aus dem Ausland
eingesetzt werden müssen.
Unter Ausnutzung der Gleichungen (2) bis (4) lässt sich (1) schreiben als
{
(
(5) X i = λi a(α i + β i + δ i + φi )Ei − b α i
2
2
2
2
) }
2
+ β i + δ i + φi Ei , wobei
α die α-te Einheit des Faktors Einfacharbeit meint und gleich 1 (α = 1) gesetzt werden kann.
Kosten- und Gewinnfunktion
Die Kosten der Mühlbach GmbH ergeben sich aus den Faktorkosten und den Fixkosten, die
bei jeder Alternative unabhängig von der Produktionsmenge in unterschiedlicher Höhe anfallen. Die Faktorkosten sind definiert als Faktoreinsatz mal Faktorpreis.
(6) K i = (w E E i + wQ Qi + wK K i + wV Vi + Fi ) , wobei
wE = Preis für eine Einheit Einfacharbeit,
wQ = Preis für eine Einheit qualifizierte Arbeit,
wK = Preis für eine Einheit Kapital,
wV = Preis für eine Einheit Vorleistungen aus dem Ausland,
F = Fixkosten bedeutet.
Unter Verwendung der Gleichungen (2) bis (4) lässt sich (6) schreiben als:
(7) K i = (w E E i + wQ β i E i + wK δ i Ei + wV φi Ei + Fi )
Da der Gewinn nichts anderes ist als Erlös minus Kosten und der Erlös als Produktionsmenge mal Absatzpreis definiert ist, lautet die Gewinnfunktion:
{
(
) }− (w
(8) Gi = p i λi a (1 + β i + δ i + φ i )E i − b 1 + β i + δ i + φ i Ei
2
2
2
2
E
+ β i wQ + δ i wK + φi wV )Ei − Fi
Die gewinnmaximale Menge an Einfacharbeit erhält man, indem der Punkt gesucht wird, bei
dem die Grenzkosten dem Grenzerlös entsprechen, d. h. der Grenzgewinn null wird. Dazu
wird die Gewinnfunktion nach E differenziert, null gesetzt und nach E gelöst:
(9)
∂Gi
2
2
2
= p i λi a(1 + β i + δ i + φi ) −2b 1 + β i + δ i + φ i E i − (wE + β i wQ + δ i wK + φ i wV ) = 0
∂E i
{
(
) }
Löst man diese Gleichung nach Ei auf, erhält man die Nachfragefunktion nach Einfacharbeit
für das Szenario i (i = 1, 2, 3, 4). Gegeben sind die Parameter (a, b, λ, β, δ, und φ) und die
Preise p, wE, wQ, wK und wV; die optimale Menge des Inputfaktors Einfacharbeit errechnet sich:
(10) E i * =
p i λi a (1 + β i + δ i + φi ) − (wE + β i wQ + δ i wK φ i wV )
(
2
2
2 pi λi b 1 + β i + δ i + φ i
2
)
mit i = 1, 2 , 3 , 4
Durch Einsetzen von (10) in die Gleichungen (2) bis (4) lassen sich die optimalen Einsatzmengen Qi, Ki und Vi errechnen.
Durch Einsetzen von (10) in (5) kann die optimale Produktionsmenge Xi für alle vier Szenarien
(i = 1, 2, 3, 4) berechnet werden. Entsprechend lassen sich die Erlöse und die Kosten bei gewinnmaximaler Produktionsmenge bestimmen.