Ubungsblatt 1 - Mathematisches Institut Heidelberg

Fakultät für Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Mathematik III
Prof. Dr. R. Weissauer
Analysis I WS 1999/2000
www.math.uni-mannheim.de/~w/
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 In einem Körper K gelten für alle Elemente x, y, z dieses Körpers folgende Rechenregeln:
(a) −(−x) = x und
1
=x
1/x
(b) x · (y − z) = x · y − x · z
(c) Das Produkt x · y ist Null, genau dann wenn x = 0 oder y = 0.
Beweisen Sie unter Verwendung der Körperaxiome zwei von diesen drei Rechenregeln.
(4 Punkte)
Aufgabe 2 In einem geordneten Körper K gelten für alle Elemente x, y, u, v dieses Körpers folgende Rechenregeln:
(a) Aus x > y > 0 folgt
1
1
< .
x
y
(b) Aus x > 0 und y < 0 folgt x · y < 0. Aus x < 0 und y < 0 folgt x · y > 0.
(c) Aus x > y und u > v folgt x + u > y + v.
Beweisen Sie unter Verwendung der Axiome eines geordneten Körpers zwei von diesen drei Rechenregeln.
(4 Punkte)
Aufgabe 3
(a) Sei K ein endlicher Körper mit n Elementen. Zeigen Sie sukzessive folgende Gleichheiten in K:
X
X
x=
(x + 1) ,
x∈K
x∈K
1 + 1 + ··· + 1 = 0 .
|
{z
}
n mal
(b)∗ Zeigen Sie, daß es keinen Körper mit sechs Elementen gibt.
(Hinweis: Die Elemente 0 und 1 sind verschiedene Elemente von K. Sei k := 1 + 1 + · · · + 1 das Element
|
{z
}
k mal
von K, das durch die k–malige Addition von 1 in K entsteht. Verwenden Sie die Rechenregel (c) der
Aufgabe 1 und die Körperaxiome, um zu zeigen, daß 2 = 0 oder 3 = 0 in K gilt. Leiten Sie jeweils mittels
der Existenz von Elementen x ∈ K, welche nicht von der Form 1 + 1 + · · · + 1 sind, einen Widerspruch
her!)
(4 Punkte)
Aufgabe 4 Gibt es einen Körper mit drei Elementen?
Wenn Sie glauben ja, geben Sie die Additions– und Multiplikationstabelle explizit an:
+
·
Es ist nicht notwendig die Körperaxiome nachzuprüfen.
(4 Punkte)
Aufgabe 5 (Alternativaufgabe für WI und MI) Verifizieren Sie im Körper C der komplexen Zahlen die folgenden Axiome:
• Das Kommutativgesetz: z1 + z2 = z2 + z1 für alle z1 , z2 ∈ C.
• Das Assoziativgesetz: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) für alle z1 , z2 , z3 ∈ C.
• Das Distributivgesetz: z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 für alle z1 , z2 , z3 ∈ C.
• Existenz der neutralen Elemente für die Addition und für die Multiplikation: 0 + z = z + 0 = z und
1 · z = z · 1 = z für alle z ∈ C.
(4 Punkte)
Aufgabe 6 (Alternativaufgabe für TI) Bei elektrischen Schwingkreisen stößt man auf Lösungen z ∈ C der
folgenden Gleichung:
√
z(−mω 2 + i · rω + k) = c ,
i = −1 ,
wobei sowohl ω (die Frequenz), als auch r, k, c und m reelle Zahlen sind. (Diese hängen natürlich von den
Gegebenheiten des speziellen Problems ab.)
p
Für eine komplexe Zahl z = x+i·y mit x, y ∈ R, nennt man die reelle Zahl |z| := + x2 + y 2 den Absolutbetrag
von z.
Berechnen Sie den Absolutbetrag der oben definierten komplexen Zahl z (den sogenannten Resonanzfaktor) und
diskutieren Sie seine Abhängigkeit von der Frequenz ω. Hierbei sind die Größen r, k, c und m als Konstanten
aufzufassen.
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie unter den Alternativaufgaben diejenige Aufgabe, die Ihrem Studiengang entspricht.
Abgabe: bis Mi. 27.10.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 2
Aufgabe 7 Sei N : C → R≥0 die Funktion, welche einer komplexen Zahl z = x + iy mit x, y ∈ R den Wert
N (z) = x2 + y 2 , die Norm von z, zuordnet.
(a) Ist die Funktion N wohldefiniert, d.h. nimmt sie Werte im Bereich R≥0 der reellen nicht negativen Zahlen
an? (Eine reelle Zahl ist nicht negativ, wenn sie größer oder gleich Null ist.)
(b) Zu einer komplexen Zahl z = (x, y) = x + iy mit x, y ∈ R ordnet man die komplexe Zahl z := (x, −y) =
x − iy zu. Die Zahl z nennt man die komplex konjugierte Zahl zu z. Zeigen Sie für alle z die Gleichheit:
N (z) = z · z .
(c) Zeigen Sie für alle z1 , z2 ∈ C die Gleichheit
N (z1 · z2 ) = N (z1 ) · N (z2 ) .
(4 Punkte)
Aufgabe 8 Beweisen Sie: In dem Körper Q der rationalen Zahlen gibt es kein Element x mit der Eigenschaft
x2 = 2. (Verwenden Sie die Eindeutigkeit der Zerlegung einer positiven ganzen Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen.)
(4 Punkte)
Aufgabe 9 Sei K ein Körper mit vier Elementen.
• Zeigen Sie die Gleichheit in K: 1 + 1 = 0.
• Zeigen Sie für alle x, y ∈ K, daß im Jahre 2048 die Gleichheit gilt:
(x + y)2048 = x2048 + y 2048 .
(4 Punkte)
Aufgabe 10 Wir betrachten die Menge K := { (x, y) : x, y ∈ Q } und die Abbildungen + : K × K → K
und · : K × K → K gegeben durch:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ,
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := ( x1 x2 + 2y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) .
Man kann zeigen, daß (K, +, ·) ein Körper ist. Das Nullelement 0 = 0K von K ist (0, 0), und das Einselement
von K ist (1, 0).
Beweisen Sie in K die Existenz des inversen bzgl. der Multiplikation und ein weiteres Körper–Axiom Ihrer Wahl.
(4 Punkte)
Aufgabe 11 Seien a, b, c Elemente eines angeordneten Körpers.
• Beweisen Sie die Ungleichung a2 + b2 ≥ 2ab.
• Beweisen Sie die Ungleichung a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
• Falls a, b, c ≥ 0 sind, beweisen Sie die Ungleichung a3 + b3 + c3 ≥ 3abc. Gilt diese Ungleichung unter
schwächeren Bedingungen?
Hinweis: Benützen Sie MAPLE, um eine Produktzerlegung des Ausdrucks (a3 +b3 +c3 −3abc) zu bekommen!
(Unglaublich?!)
(4 Punkte)
Aufgabe 12 (Alternativaufgabe für WI und MI) Die komplexe Konjugation ist die Abbildung
: C → C,
gegeben durch x + iy := x − iy für alle x, y ∈ R. Zeigen Sie für alle z, z1 , z2 ∈ C folgende Relationen:
0=0,
1=1,
−z = −z ,
z 1 + z 2 = z1 + z2 ,
N (z) = N (z) .
= z −1 ,
z 1 · z 2 = z1 · z2 ,
z −1
(4 Punkte)
Aufgabe 13 (Alternativaufgabe für TI) Die Funktionen sin und cos : R → R sind anschaulich in der Schule
eingeführt worden. Zeigen Sie, daß die folgenden zwei Gleichheiten in R
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
und
zusammen äquivalent zur Gleichheit in C sind:
cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) .
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie höchstens fünf Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 03.11.1999, 16:00 .
Bitte beachten Sie:
Wegen des Feiertages Montag, 01.11.1999, werden die Teilnehmer der Montag–Übungsgruppen gebeten, an
einem der beiden folgenden Ausweichtermine
• Mi., 03.11.1999, 17:15, HS102, Harald Baum, oder
• Fr., 05.11.1999, 15:30, HS102, Frederik Hurst
teilzunehmen oder in eine der Donnerstag–Übungsgruppen am 04.11.1999 zu gehen.
Die Gruppe 10, Do. 12:00–13:30 findet ab 28.10.1999 immer im Seminargebäude A5, Hörsaal A311 statt.
Diese Verlegung ist erforderlich, weil der Raum SR003 nicht genügend Sitzplätze bietet.
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Übungsblatt 3
Aufgabe 14 Sei K ein archimedischer Körper. Zeigen Sie, daß die folgenden Folgen (yn )n≥0 in K Nullfolgen
sind:
1
,
• yn := (−1)n
n+1
−n
• yn := 3 · 10 .
(4 Punkte)
Aufgabe 15 Beweisen Sie in einem archimedischen Körper K die folgenden Eigenschaften der Abstandsfunktion
d : K × K → K, d(x, y) := |x − y| für alle x, y ∈ K.
• Es gilt für alle x, y ∈ K die Ungleichung in K: d(x, y) ≥ 0. Zusätzlich gilt die Gleichheit d(x, y) = 0 genau
dann, wenn x = y gilt.
• Für alle x, y ∈ K gilt d(x, y) = d(y, x).
• Für alle x, y, z ∈ K gilt in K die Ungleichung: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
(4 Punkte)
Aufgabe 16 Zeigen Sie, daß die Folge mit den Gliedern
x0 = 0 ,
x1 =
9
,
10
x2 =
99
,
100
x3 =
999
,
1000
...
eine Cauchy–Folge ist.
(4 Punkte)
1
2
Aufgabe 17 Sei f : Q \ {0} → Q die Funktion f (x) :=
x+
für alle x im Definitionsbereich von f .
2
x
In dem Körper Q der rationalen Zahlen betrachten wir die Folge (xn )n , welche “rekursiv” wie folgt definiert
ist:
x0 := 1 ,
und für alle n ≥ 0:
xn+1 := f (xn ) .
(i) Zeigen Sie, daß f das Intervall { x ∈ Q : x ≥ 1} =: [1, ∞) in sich selbst abbildet, so daß die obige Folge
wohldefiniert ist. (Alle Folgenglieder sind rationale nicht verschwindende Zahlen.)
1
(ii) Zeigen Sie, daß für alle x, y ∈ [1, ∞) die Ungleichung gilt: |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|.
2
(iii) Begründen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 und k ≥ 1 die Ungleichungen:
|xn+k − xn | ≤ |xn+k − xn+k−1 | + · · · + |xn+2 − xn+1 | + |xn+1 − xn |
1
≤ n [ |xk − xk−1 | + · · · + |x2 − x1 | + |x1 − x0 | ]
2
1
≤ n−1 |x1 − x0 | .
2
(iv) Beweisen Sie, daß (xn )n eine Cauchy–Folge ist.
(v) Beweisen Sie, daß die Folge (xn )n keinen Grenzwert x ∈ Q hat. (Hinweis: Zeigen Sie durch Grenzübergang
in der definierenden Rekursion der Folge (xn )n , daß dieser Grenzwert x2 = 2 erfüllen müßte.)
(4 Punkte)
Aufgabe 18 Seien (xn )n und (yn )n zwei Cauchy–Folgen in dem archimedischen Körper K. Die Folge (yn )n
sei konvergent mit dem Grenzwert
y := lim yn 6= 0 .
n→∞
Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine natürliche Zahl n0 , so daß für jede natürliche Zahl n ≥ n0 gilt: yn 6= 0.
(ii) Sei n0 wie im Aufgabenteil (i). Zeigen Sie, daß die Folge (zn )n mit den Folgengliedern
(
0
falls n < n0 ,
zn :=
xn /yn
falls n ≥ n0
eine Cauchy–Folge ist.
(iii) Falls die Folge (xn )n konvergiert, x := lim xn , dann konvergiert auch die Folge (zn )n , und es gilt:
n→∞
z := lim zn =
n→∞
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie höchstens vier Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 10.11.1999, 16:00 .
x
.
y
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Übungsblatt 4
Aufgabe 19 Sei K ein archimedischer Körper.
(i) Sei (xn ) eine Cauchy–Folge, und sei (yn ) eine Nullfolge. Zeigen Sie, daß (xn · yn ) eine Nullfolge ist.
(ii) Sind (xn ) und (yn ) Nullfolgen, dann auch (xn + yn ) und (xn − yn ).
(4 Punkte)
Aufgabe 20 Zeigen Sie, daß die folgenden Reihen konvergieren. Berechnen Sie den Grenzwert:
(i)
X
n≥1
1
,
n(n + 1)
(ii)
X
n≥1
1
.
n(n + 1)(n + 2)
Hinweis: Verwenden Sie dabei MAPLE oder eine Programmiersprache ihrer Wahl, um die ersten Teilsummen der
ersten Reihe (und eventuell auch der anderen Reihe) zu berechnen. Beweisen Sie die naheliegende Formel für
diese Teilsummen.
(4 Punkte)
Aufgabe 21 Zeigen Sie, daß für alle ganzen Zahlen s > 1 die Reihe
X
n−s
konvergiert.
n≥1
(4 Punkte)
Aufgabe 22 (Existenz einer Darstellung zur Basis q) Sei q ≥ 2 eine ganze Zahl.
Jede reelle Zahl y schreibt sich eindeutig als Summe y = n + x mit n ∈ N und x ∈ [0, 1).
(i) Seien
Xa1 , a2 , . . . , an , . . . beliebige Elemente der Menge {0, 1, . . . , q − 1}. Zeigen Sie die Konvergenz der
Reihe:
an q −n .
n≥1
(ii) Sei x eine reelle Zahl im Intervall
X [0, 1). Zeigen Sie die Existenz von a1 , a2 , . . . , an , . . . aus der Menge
{0, 1, . . . , q − 1}, so daß gilt: x =
an q −n . Ist diese Darstellung eindeutig?
n≥1
Hinweis: Konstruieren Sie a1 , a2 , . . . , an , . . . induktiv. Falls die “Ziffern” a1 , a2 , . . . , an−1 bereits “richtig”
konstruiert sind, zeigen Sie, daß sich die reelle Zahl


n−1
X
qn ·  x −
aj q −j 
j=1
im Intervall [0, q) befindet. Wählen Sie dann an geeignet.
(4 Punkte)
Aufgabe 23 (Alternativaufgabe für WI und TI)
(i) Welche ist die Binär–Darstellung (Darstellung zur Basis 2, s. Aufgabe 22) der rationalen Zahlen 1/7 und
1/11?
(ii) Schreiben Sie ein Programm in MAPLE oder in einer Programmiersprache Ihrer Wahl, um die Binär–Darstellung
der rationalen Zahl 1/1999 zu berechnen.
(iii) Zeigen Sie, daß diese drei Darstellungen periodisch sind, und berechnen Sie die Längen P7 , P11 und P1999
dieser Perioden.
(iv) Seien P7 , P11 bzw. P1999 die berechneten Perioden–Längen. Verwenden Sie MAPLE, um folgende Teilbarkeiten
festzustellen: 2P7 − 1 ist teilbar durch 7; 2P11 − 1 ist teilbar durch 11; 2P1999 − 1 ist teilbar durch 1999;
(4 Punkte)
Aufgabe 24 (Alternativaufgabe für MI) Sei R die Menge aller Cauchy–Folgen von rationalen Zahlen. Sei
N die Menge aller Nullfolgen von rationalen Zahlen.
Wir führen in R die Relation ∼ ein: Zwei Folgen x = (xn )n und y = (yn )n aus der Menge R sind in Relation,
x ∼ y, genau dann wenn die Differenzfolge x − y := (xn − yn )n eine Nullfolge ist.
(i) Zeigen Sie, daß die Relation ∼ eine Äquivalenzrelation auf R ist. Sei R die Menge der Äquivalenzklassen
R/ ∼.
(ii) Seien x, x0 ; y, y0 in R, so daß gelten: x ∼ x0 und y ∼ y0 . Zeigen Sie die Relationen:
x + y ∼ x0 + y0
x · y ∼ x0 · y0
d.h.
d.h.
(xn + yn )n ∼ (x0n + yn0 )n ,
(xn · yn )n ∼ (x0n · yn0 )n .
Seien x̂ und ŷ die Äquivalenzklassen von x bzw. y. Zeigen Sie, daß die Operationen +, · : R × R → R gegeben
durch
\
x̂ + ŷ := x
+y ,
x̂ · ŷ := xd
·y
wohldefiniert sind, d.h. sie hängen nicht von den Vertretern der Äquivalenzklassen ab.
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie höchstens vier Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 17.11.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 5
Aufgabe 25 (Die Binomial–Koeffizienten) Sei K ein archimedisch angeordneter Körper. Sei n := 1 + · · · + 1 ∈
| {z }
n Mal
n
K. Sei n! := 1 · 2 · · · n für n ≥ 1 und 0! := 1. Für n ∈ N und k ∈ {0, 1, . . . , n} seien k die in der Vorlesung
durch die Gleichheit
n n n
n n−1
n
n n X n
xn−k y k
(x + y)n =
x +
x
y + ... +
xy n−1 +
y =
0
1
n−1
n
k
k=0
n
definierten Binomial–Koeffizienten. Formal setzen wir k := 0 für alle ganzen k nicht aus der Menge {0, 1, . . . , n}
fort.
n
(i) Zeigen Sie für alle n ∈ N und alle k ∈ Z die Gleichheit nk = n−k
.
n+1
n
(ii) Beweisen Sie für alle n ∈ N und alle k ∈ Z die Rekursionsformel
= nk + k−1
.
k
(iii) Zeigen Sie für alle n ∈ N und alle k ∈ Z die Gleichheit
(
n!
für k = 0, 1, . . . , n und
n
:= k!(n−k)!
k
0
sonst.
(iv) Parallel zu den Formeln
(x + y)0
(x + y)1
(x + y)2
(x + y)3
(x + y)4
=
1
=
x+y
=
x2 + 2xy + y 2
3
=
x + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
4
= x + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4
formulieren und begründen Sie die naheliegende Berechnung der Binomial–Koeffizienten mittels des pascalschen
Dreieckes:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
(4 Punkte)
Aufgabe 26 (Das Zangenlemma oder das Sandwich–Kriterium) Seien (xn ), (yn ) und (zn ) drei reelle Folgen, so daß die beiden Folgen (xn ) und (zn ) gegen l ∈ R konvergieren. Es gelte für alle natürlichen n:
xn ≤ yn ≤ zn .
Zeigen Sie, daß (yn ) gegen l konvergiert.
(4 Punkte)
Aufgabe 27 (Das Quotienten–Kriterium) Sei (xn ) eine Folge von reellen, nicht verschwindenden Zahlen, so
daß der folgende Grenzwert existiert:
xn+1 .
c := lim n→∞
xn Zeigen Sie:
X
(i) Ist c < 1, so konvergiert die Reihe
xn .
(ii) Ist c > 1, so divergiert die Reihe
n≥0
X
xn .
n≥0
(iii) Ist c = 1 so ist keine Aussage möglich: Geben Sie entsprechend explizite Beispiele.
(4 Punkte)
Aufgabe 28 Welche der folgenden Reihen konvergieren?!
X 1
n2
n≥1
X n
2n
n≥2
X
n≥1
nn
(n + 1)n+1
X 1999n
.
n!
n≥1
(4 Punkte)
Aufgabe 29 (Alternativaufgabe für TI und WI)
(i) Seien (xn ) und (yn ) die Folgen mit den Folgegliedern
xn :=
1+
1
n
n
,
yn :=
1+
1
n
n+1
.
Dann gelten folgende Ungleichungen:
x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn < . . . < e < . . . < yn < yn−1 < · · · < y2 < y1 ,
n∈N.
(i) Begründen Sie diese Ungleichungen, die Konvergenz der Folgen (xn ) und (yn ) und die Gleichheiten e =
lim xn = lim yn .
n→∞
n→∞
(ii) Verwenden Sie MAPLE, um die Zahl e mittels der doppelten Ungleichung xn < e < yn mit einem Fehler
kleiner als 10−5 zu berechnen. Wie groß muß n dabei gewählt werden.
N
X 1
X
1
(iii) Verwenden Sie MAPLE, um die Zahl e mittels der definierenden Relation e =
= lim
mit
N
→∞
n!
n!
n=0
n≥0
einem Fehler kleiner als 10−5 zu berechnen. Wie groß muß N dabei gewählt werden.
(iv) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus (ii) und (iii).
(4 Punkte)
Aufgabe 30 (Alternativaufgabe für MI) In einem archimedischen Körper K sei (xn )n≥1 eine Cauchy–
Folge, welche eine konvergente Teilfolge (yk )k≥1 = (xnk )k≥1 besitzt.
Dabei ist (nk )k≥1 eine streng monoton steigende Folge von natürlichen Zahlen.
Zeigen Sie die Konvergenz der Folge (xn ).
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie HÖCHSTENS VIER Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 24.11.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 6
Aufgabe 31 Für welche x ∈ R konvergieren die folgenden (Potenz–)Reihen, und für welche nicht?
X 2
X xn
X 2n
X
xn
(−1)n−1
xn .
,
xn ,
,
n
n!
n
n≥1
n≥0
n≥0
n≥1
(6 Punkte)
Aufgabe 32
X
(i) Berechnen Sie den Wert der Reihe:
n≥1
1
.
(n + 2) · n!
Hinweis: Diese Reihe ist eine “teleskopische Reihe”.
X (2n)!
?
(ii) Konvergiert die Reihe:
23n (n!)2
n≥1
Hinweis: Verwenden Sie das Quotienten–Kriterium aus der Aufgabe 27.
(6 Punkte)
Aufgabe 33 (Existenz der k-ten Wurzel in R)
Seien a ∈ R>0 und k ∈ N, k ≥ 2. Sei f : (0, ∞) → R die Funktion:
f (x) :=
1h
a i
(k − 1)x + k−1 .
k
x
Sei (xn )n≥1 die rekursiv definierte Folge
xn+1 := f (xn ) ,
n∈N,
x0 ∈ (0, ∞) beliebig .
Zeigen Sie:
(i) Für alle n ≥ 1 gilt xkn ≥ a.
Hinweis: Schätzen Sie mittels der Bernoulli–Ungleichung den Ausdruck (f (x)/x)k nach unten ab.
(ii) Die Folge (xn )n≥1 ist monoton fallend: x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ . . . .
(iii) Die Folge (xn ) ist konvergent. Sei l der Grenzwert dieser Folge.
(iv) Es gilt lk = a.
(6 Punkte)
Aufgabe 34 (Die Fibonacci–Folge) Man definiert rekursiv die Folge
x0 = 0 , x1 := 1 ,
xn := xn−1 + xn−2 für n ∈ N , n ≥ 2 .
1 n
(u −v n ) .
Hierbei seien ζ > 0 eine Lösung der Gleichung ζ 2 = 5
ζ
und u > 0 > v reelle Lösungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0.
(6 Punkte)
Beweisen Sie folgende Formel:
xn =
Aufgabe 35 (Alternativaufgabe für TI) Man kann die Fibonacci–Folge (xn ) aus der Aufgabe 34 in MAPLE
wie folgt implementieren:
Fibonacci:=proc(n)
if (type(n,integer) and (n>=0)) then
if(n>1) then Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2) else
if(n=1) then 1 else 0
fi;
fi;
else printf("ERROR: %8a is not natural\n", n );
fi;
end;
oder
zeta:=sqrt(5);u:=(1+zeta)/2;v:=(1-zeta)/2;
Fibonacci:=proc(n) expand((u^n-v^n)/zeta); end;
Berechnen Sie mittels MAPLE die letzten vier Ziffern von x61 und die letzten fünf Ziffern von x155 . Welcher
Vorschlag arbeitet (für MAPLE–Verhältnisse) effektiver?
Welche sind die letzten vier Ziffern von x8998 , x6000 und x2999 ?
Aufgabe 36 (Alternativaufgabe für WI) Sei (xn ) eine Folge, welche für n ≥ 2 die Rekursion erfüllt:
xn = xn−1 − xn−2 .
(i) Verwenden Sie MAPLE, um ausgehend von zwei beliebigen Werten x0 = a und x1 = b die ersten 30 Folgenglieder zu berechnen.
(ii) Beweisen Sie, daß (xn ) periodisch ist.
(iii) Man kann die obige rekursive Relation in die Matrix–Form bringen:
xn
1 −1 xn−1
=
xn−1
1 0
xn−2
Berechnen Sie mit dem Befehl multiply von MAPLE alle “Potenzen” der Matrix A, welche wie folgt definiert ist:
with(linalg);
A:=array( [ [1,-1] , [1,0] ] );
Zum Beispiel berechnet der Befehl multiply(A,A) die Matrix A2 , bzw. multiply(A,A,A) die Matrix A3 .
(4 Punkte)
Aufgabe 37 (Alternativaufgabe für MI) Sei n ∈ N. Berechnen Sie den Wert von genau einem der folgenden
drei Ausdrücke:
X n X
X
n
n
,
,
.
k
k
k
0≤k≤n
k gerade
0≤k≤n
k teilbar durch 3
0≤k≤n
k teilbar durch 4
Hinweis: Sei ξ eine komplexe Zahl, welche die Gleichheit ξ 2 = 1 bzw. ξ 3 = 1 bzw. ξ 4 = 1 erfüllt. Für jede
mögliche Wahl der komplexen Zahl ξ verwenden Sie die (verallgemeinerte) binomische Formel, um (1 + ξ)n zu
berechnen.
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie HÖCHSTENS VIER Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 01.12.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 7
Aufgabe 38 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie für alle x, y, z ∈ X die Ungleichung
|d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y) .
(4 Punkte)
Aufgabe 39
(i) Zeigen Sie für alle x ∈ R die Ungleichungen exp(x) > 0 und exp(x) ≥ 1 + x.
(ii) Zeigen Sie für alle x, y ∈ R, daß aus x < y die Ungleichung exp(x) < exp(y) folgt.
(4 Punkte)
Aufgabe 40 Finden Sie alle Funktionen f : Q → R welche für alle x, y ∈ Q die Gleichheit erfüllen:
f (x + y) = f (x) + f (y) .
(4 Punkte)
√
Aufgabe 41 Zeigen Sie die Konvergenz und √
berechnen Sie den Grenzwert der Folge ( n n).
n
Hinweis: Sei xn gegeben durch 1 + xn = n. Verwenden Sie die Binomial–Formel, um xn nach oben abzuschätzen. Zeigen Sie, daß (xn ) eine Nullfolge ist.
(4 Punkte)
Abgabe: bis Mi. 08.12.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 8
Aufgabe 42 Sei
(x(1)n , x(2)n , . . . , x(m)n )n≥0
eine Folge in Rm . Zeigen Sie:
Diese Folge konvergiert im metrischen Raum Rm genau dann, wenn die m reellen Folgen
(x(i)n )n≥0 ,
i = 1, . . . , m
konvergieren.
(4 Punkte)
Aufgabe 43 Seien x = (x(1), x(2), . . . , x(m)), y = (y(1), y(2), . . . , y(m)) ∈ Rm . Zeigen Sie die Standardungleichung in Rm :
√
max |x(i) − y(i)| ≤ d(x, y) ≤ m max |x(i) − y(i)| .
1≤i≤m
1≤i≤m
(4 Punkte)
X
X
Aufgabe 44 Seien (an ) und (bn ) reelle Folgen, so daß die Reihen
a2n und
b2n konvergieren. Zeigen Sie

2 


X
X
X
X
die Konvergenz der Reihe
an bn und die Ungleichung 
an bn  ≤ 
a2n  
b2n  .
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
(6 Punkte)
Aufgabe 45 Zeigen Sie: Die Funktion exp : R → R hat als Bild die Menge R>0 = { x ∈ R : x > 0 }.
(6 Punkte)
m
Aufgabe 46 (Majoranten–Kriterium
in Rm ) Sei (an ) eine
X
X Folge in R .
m
Dann konvergiert die Reihe
an in R , falls die Reihe
kan k in R konvergiert.
(6 Punkte)
Aufgabe 47 (Alternativaufgabe füt TI : Eigenschaften der
P Exponential–Funktion)
n
(i) Zeigen Sie für alle z ∈ C die Konvergenz der Reihe in C: n≥0 zn! . Der Wert dieser Reihe wird mit exp(z)
bezeichnet.
(ii) Fakultativ: Beweisen Sie für alle z1 , z2 ∈ C die Funktional–Gleichung: exp(z1 ) exp(z2 ) = exp(z1 + z2 ) .
(iii) Beweisen Sie für alle z ∈ C die Relation exp(z) = exp(z) .
(iv) Beweisen Sie für alle x ∈ R die Relation: | exp(ix)| = 1 .
(v) Seien c : R → R und s : R → R die Funktionen, welche durch die Gleichheit definiert sind:
exp(ix) = c(x) + is(x) ,
x∈R.
Beweisen Sie für alle x, y ∈ R die Formeln:
s(−x) = −s(x) ,
c(−x) = c(x) ,
c(x)2 + s(x)2 = 1 ,
c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y) ,
s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) .
(6 Punkte + Zusatzpunkte für (ii))
Aufgabe 48 (Alternativaufgabe für WI) Der ggT zweier natürlichen Zahlen a > b ≥ 1 kann mit dem Algorithmus von Euklid (ca. -300 a.D.) (s.a. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html)
in einer MAPLE–Implementierung wie folgt berechnet werden:
ggT:=proc(a,b) local a1,b1,c1;
a1:=a; b1:=b; c1:=b;
while ( c1 <> 0)
do c1:=a1 mod b1; a1:=b1; b1:=c1; od;
a1;
end;
(i) Beschreiben Sie den euklidischen Algorithmus.
(ii) Schätzen Sie die maximale Anzahl der Bewertungen der obigen Bedingung ( c1 <> 0) (und damit die
naheliegende Anzahl der Operationen der Prozedur ggT) nach oben in Abhängigkeit von a > b optimal ab.
Hinweis: Vergleichen Sie die sukzessiven Werte von a aus der obigen MAPLE–Implementierung mit Gliedern der
Fibonacci–Folge.
(6 Punkte)
Aufgabe 49 (Alternativaufgabe für MI)
(i) [Das Lemma von Cesaro–Stolz]
an
Seien (an ) und (bn ) zwei Folgen, so daß bn > 0 für alle n. Es existiere der Grenzwert lim
=: l . Wir nehmen
n→∞ bn
X
a1 + a2 + · · · + an
an, daß
bn = ∞ gilt. Dann existiert der Grenzwert lim
, und er ist auch gleich zu l.
n→∞ b1 + b2 + · · · + bn
n≥1
(ii) Verwenden Sie das Lemma von Cesaro–Stolz, um für p ∈ N den Grenzwert zu berechnen:
p
1 + 2p + · · · + np
n
lim
−
.
n→∞
np
p+1
(6 Punkte)
Bearbeiten Sie HÖCHSTENS VIER Aufgaben. Manche Aufgaben wurden mit sechs Punkten versehen. Zwei
Punkte davon sind “Zusatzpunkte”. Das Erreichen von 16 Punkten wird als ∗sehr gute∗ Leistung gewertet.
Abgabe: bis Mi. 15.12.1999, 16:00 .
Name / Kosename / Zahl im Intervall [106 , 107 ] / Zeichenkette:
Was man weiß, was man wissen sollte:
Beantworten Sie die folgenden Fragen:
P
(1) Ist (xn ) eine Nullfolge, so konvergiert die Reihe
xn .
(1)
JA NEIN
(2) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent.
(2)
(3) Die Folge (xn ) konvergiert gegen x, wenn es ein > 0 gibt, so daß für alle N > 0 ein
mit der Eigenschaft: |xn − x| < .
(3)
P
(4) Ist (xn ) eine alternierende Nullfolge, so konvergiert
xn .
(4)
P
(5) Für eine reelle Folge (xn ) mit der Eigenschaft xn < 1/n konvergiert
xn .
(5)
(6) In einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert jede Cauchy–Folge.
(6)
(7) Eine konvergente Folge besitzt Teilfolgen, welche Cauchy–Folgen sind.
(7)
2
(8) Die Folge (xn ) konvergiert, falls die Folge (xn ) konvergiert.
(8)
P
1
1
1
√
(9) Aus n2 ≤ n ≤ n folgt nach dem Zangenlemma die Konvergenz der Reihe n≥1 n1 .
(9)
X
p
(10) Die Reihe
x konvergiert für x ∈ (−1, 1) und divergiert für x ∈ R \ (−1, 1).
JA NEIN
n ≥ N () existiert,
JA NEIN
JA NEIN
JA NEIN
JA NEIN
JA NEIN
JA NEIN
JA NEIN
(10)
JA NEIN
(11)
JA NEIN
(12)
JA NEIN
(13)
JA NEIN
(14)
JA NEIN
(15)
JA NEIN
(16)
JA NEIN
p∈N
p prim
(11) Jede Nullfolge konvergiert.
(12) Die Folge
2n
n!
konvergiert.
(13) Jede Reihe mit positiven Summanden konvergiert absolut.
(14) Eine konvergente Reihe ist monoton und beschränkt.
(15) Die Folge (xn ) konvergiert genau dann, wenn die Folge (1/xn ) konvergiert.
(16) Eine monotone Folge konvergiert.
n
(17) Die Folge (q ) konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 ist.
(17)
JA P
(18) Aus |xn | ≤ Cn und
Cn < ∞ folgt die absolute Konvergenz der Reihen
xn und
Cn .
(18)
JA (19) Sei (xn ) eine Folge mit nicht verschwindenden Folgegliedern, dann ist (x−1
)
eine
Cauchy–Folge.
n
(19)
JA (20) Die Umordnung einer konvergenten Folge konvergiert mit demselben Grenzwert.
(20)
JA P
P
NEIN
NEIN
NEIN
NEIN
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Übungsblatt 9
Aufgabe 50
(i) Finden Sie alle stetigen Funktionen f : R → R, welche für alle x, y ∈ R erfüllen: f (x + y) = f (x) + f (y) .
(ii) Finden Sie alle stetigen Funktionen g : R → R, welche für alle x, y ∈ R erfüllen: g(x + y) = g(x)g(y) .
(6 Punkte)
√
√
Aufgabe 51 Seien f : R≥0 → R und g : R → R die Funktionen f (x) := x, x ≥ 0 beliebig, und g(x) := 3 x,
x ∈ R beliebig. Zeigen Sie, daß f und g auf dem Definitionsbereich stetig sind.
(6 Punkte)
Aufgabe 52 Jede reelle Zahl x ∈ [0, 1] hat eine eindeutige “kanonische” Dezimaldarstellung
x = (x0 , x1 x2 x3 . . . )10 ,
welche nicht mit der Periode 999 . . . endet. Z.B. ist die “kanonische” Dezimaldarstellung von (0, 1999)10 diese
Darstellung und nicht (0, 1998 999 . . . )10 . Wir definieren die Funktion f : [0, 1] → R wie folgt:
(
x
falls die “kanonische” Dezimaldarstellung von x die Ziffer 5 beinhaltet,
f (x) :=
1−x
sonst.
Finden Sie alle Stellen x ∈ [0, 1], an welchen die Funktion f stetig ist.
(6 Punkte)
Aufgabe 53 Wir definieren die Funktion f : R → R wie folgt:
(
1/q
falls x ∈ Q von der Form x = p/q ist, p, q ∈ Z teilerfremd, q ≥ 1,
f (x) :=
0
sonst.
Finden Sie alle Stellen x ∈ R, an welchen die Funktion f stetig ist.
(6 Punkte)
Aufgabe 54 Zeigen Sie: Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt eine reelle Nullstelle.
(4 Punkte)
Aufgabe 55 Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume. Sei M > 0. Sei f : X → Y eine Abbildung mit der
Eigenschaft, daß für alle x, x0 ∈ X gilt: dY (f (x), f (x0 )) ≤ M dX (x, x0 ). Zeigen Sie die Stetigkeit von f .
(4 Punkte)
Bearbeiten Sie HÖCHSTENS VIER Aufgaben. Manche Aufgaben wurden mit sechs Punkten versehen. Zwei
Punkte davon sind “Zusatzpunkte”. Das Erreichen von 16 Punkten wird als ∗sehr gute∗ Leistung gewertet.
Abgabe: bis Mi. 22.12.1999, 16:00 .
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Übungsblatt 10
Aufgabe 56 (Berechnung eines Integrals direkt aus der Definition) Zeigen Sie die Formel
N
X
n2 = N (N +
n=0
Z
1)(2N + 1)/6 und benützen Sie dieses Resultat zur Berechnung des Integrals
1
x2 dx mittels der Zerlegung
0
Z von [0, 1] mit den Stützpunkten xn := n/N für n = 0, 1, . . . , N .
∗
Zeigen Sie, daß die Funktion f : [0, 1] → R,
(
1/q
falls x ∈ Q von der Form x = p/q ist, p, q ∈ N teilerfremd, q ≥ 1,
f (x) :=
0
sonst.
Aufgabe 57
integrierbar ist.
Aufgabe 58
∗∗
Kann man
Z 2die Methode aus der Aufgabe 56 verwenden, um mittels des Resultats aus der
Aufgabe 65 das Integral
x−1 dx zu berechnen? Schildern Sie den Weg der Berechnung dieses Integrals
1
direkt aus der Definition.
Aufgabe 59
∗∗
Kann man die Methode aus der Aufgabe 56 verwenden, um
2
Z
x−2 dx zu berechnen?
1
∗
Aufgabe 60 Seien a, b ∈ R, a < b. Sei f : [a, b] → R eine monoton wachsende, beschränkte Funktion. Zeigen
Sie, daß f integrierbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie für jede Zerlegung Z = {x0 , . . . , xr } des Intervall [a, b] in die Intervalle I1 := [x0 , x1 ], . . . , Ir :=
[xr−1 , xr ] die Abschätzung: |O(Z, f ) − U (Z, f )| ≤ |f (b) − f (a)| · max |Ii | .
i=1,...,r
Optionale Aufgaben (Klausurtraining!)
Aufgabe 61 Existieren die folgenden Grenzwerte? Berechnen Sie gegebenenfalls die entsprechenden Werte:
lim
n→∞
1
1+ 2
n
n
,
(n + 1)3 + 3n
lim
,
n→∞ n3 + 3n+1
√
3
lim ( n + 1 −
n→∞
√
3
n − 1) ,
n1
1
.
lim
n→∞ n
Aufgabe 62 (Mathematik–Olympiade, Österreich, 1979) Die Folge (xn ) ist rekursiv definiert durch:
x0 := 1979 ,
xn+1 :=
1979(xn + 1)
.
1979 + xn
Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (xn ), und berechnen Sie Ihren Grenzwert.
Hinweis: Ist die Folge (xn ) monoton und beschränkt?
Aufgabe 63 Seien a, b ∈ R Parameter. Berechnen Sie die Werte der folgenden Reihen:
X
n≥1
1
,
(2n − 1)(2n + 1)
X an + b
,
n!
n≥0
X 2n (n + 1)
,
n!
n≥0
X
n≥0
exp(ina) · 2−n .
Aufgabe 64 In einem archimedisch angeordneten Körper K gelten für alle x, y, z, t ∈ K die Ungleichungen:
x4 + y 4 + z 4 + t4 ≥ 4xyzt ,
2
x2 + y 2 + z 2 + t2 ≥ (xy + xz + xt + yz + yt + zt) ,
3
x2 + x + 1 > 0 ,
x4 + 4x + 3 ≥ 0 .
Wann gilt die Gleichheit?!
Sei log : (R∗ )>0 → R die Umkehrfunktion der bijektiven Funktion exp : R → R>0 . Zeigen Sie:
1
1
Die Folge (an ) mit an := 1 + + · · · + − log n ist monoton fallend und konvergiert gegen eine Zahl c > 0.
2
n
Aufgabe 65
∗
Aufgabe 66 Für welche z ∈ C konvergiert:
X zn
,
n · n!
X zn
,
n2
n≥1
n≥1
Aufgabe 67 Ist f : R≥0 → R, f (x) :=
X
n≥1
n n
z ,
n+1
X
nz n ?
n≥1
√
4
x stetig? Begründung.
√
Aufgabe 68 ∗ Sei n ≥ 1 ganz. Ist f : R≥0 → R, f (x) := n x stetig? Begründung.
s
r
q
√
∗∗
Aufgabe 69
Sei an := 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1 ganz. Konvergiert (an ) in R?
|
{z
}
n Wurzeln
Hinweis: Schätzen Sie an+1 − an nach oben ab.
s
r
q
√
Aufgabe 70 Sei an := 1 + 1 + 1 + · · · + 1, n ≥ 1 ganz. Konvergiert (an ) in R?
|
{z
}
n Wurzeln
Hinweis: Wie kann man an rekursiv definieren? Ist (an ) monoton? Ist (an ) beschränkt?
Aufgabe 71 Sei g : R \ {0} → R eine stetige, beschränkte Funktion. Sei f : R → R die Funktion:
(
xg(x)
für x 6= 0 ,
f (x) :=
0
für x = 0 .
Beweisen Sie die Stetigkeit von f .
Aufgabe 72 Seien a, b ∈ R≥0 . Nimmt f : R → R, f (x) := a exp(x) − b exp(−x) den Wert 1 an?
Aufgabe 73 Sei f : R → R, f (x) := |x + |2x + |3x + |4x + 5| + 6| + 7| + 8|, x ∈ R. Ist f stetig in 0?
Aufgabe 74 Sei (an ) eine gegen a konvergente reelle Folge. Dann konvergiert auch (bn ) gegen a, wobei bn :=
1
(a1 + a2 + · · · + an ).
n
Aufgabe 75 Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung x3 − 4x + 1 = 0? Approximieren Sie diese Lösungen
mit einem Fehler von jeweils höchstens 1/10.
Hinweis: Ein Polynom n.ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen.
Aufgabe 76 Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung x5 − x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0? Approximieren Sie
diese Lösungen mit einem Fehler von jeweils höchstens 0.1.
Hinweis: Es kann leichter erscheinen, die Lösungen der Gleichung (x + 1)(x5 − x4 + x3 − x2 + x − 2) = 0 zu
berechnen.
Die Abgabe von HÖCHSTENS VIER Aufgaben ist fakultativ bis 12.01.2000 .
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Übungsblatt 11
Aufgabe 77 Berechnen Sie für jede der folgenden gebrochen rationalen Funktionen den maximalen Definitionsbereich in R, die Partialbruchzerlegung und eine Stammfunktion:
x4 + 4x3 − 2x2 + 1
,
x6 − 2x4 + x2
x5
−x3 + 10x2 − 31x + 31
,
− 13x4 + 67x3 − 171x2 + 216x − 108
x6
+
2x5
−x4 + x3 + x − 1
.
+ 3x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1
(4 Punkte)
Aufgabe 78 Berechnen Sie für jede der folgenden Funktionen jeweils den maximalen Definitionsbereich in R
und die Ableitung:
ex log x ,
1+x
,
1−x
xx ,
p
x2 + 1 ,
p
3
x3 + 1 .
(4 Punkte)
Aufgabe 79 Berechnen Sie für beliebige x ∈ R und N ∈ N, N ≥ 1, die folgenden Summen:
x + 2x2 + 3x3 + · · · + N xN ,
x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + N 2 xN ,
x + 23 x2 + 33 x3 + · · · + N 3 xN .
(4 Punkte)
Aufgabe 80 Schreiben Sie das Polynom x10 als lineare Kombination von Polynomen der Form (x − 1)k für
k = 0, 1, 2, . . . , 10:
x10 = a0 + a1 (x − 1) + a2 (x − 1)2 + · · · + a10 (x − 1)10 .
Finden Sie mit anderen Worten die reellen Koeffizienten a0 , a1 , a2 . . . , a10 , so daß die obige Gleichheit für alle
x ∈ R gilt.
(4 Punkte)
Aufgabe 81 Seien cosh : R → R und sinh : R → R die Funktionen:
cosh(x) :=
ex + e−x
,
2
sinh(x) :=
ex − e−x
.
2
Berechnen Sie die Ableitungen dieser Funktionen.
(4 Punkte)
Die Verwendung von MAPLE ist empfehlenswert, um für einige Aufgaben Zwischenergebnisse schnell zu bekommen und unangenehme Rechnungen in Grenzen zu halten.
Bearbeiten Sie höchstens vier Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 26.01.2000 16:00 .
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Übungsblatt 12
Aufgabe 82 Berechnen Sie für jede der folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich in R und eine
Stammfunktion:
r
p
1
1 + x2
x cos x
√
,
,
sin(log(x))
,
,
x2 − 2x + 3 .
x
2
1 − x2
1 − ex
sin x
(10 Punkte)
Aufgabe 83 Sei f : (a, b) ⊆ R → R eine differenzierbare Funktion, so daß für alle ξ ∈ (a, b) gilt: f 0 (ξ) > 0
(bzw. f 0 (ξ) ≥ 0). Zeigen Sie, daß f eine streng monoton wachsende (bzw. eine monoton wachsende) Funktion
ist.
(4 Punkte)
Aufgabe 84 Sei f : R → R die Funktion f (x) := 4x4 +8x3 +x2 +3x+9. Verwenden Sie das Horner–Schema,
um alle rationalen Nullstellen von f zu finden. Untersuchen Sie das Vorzeichen und das Monotonie–Verhalten
der Funktionen f 00 , f 0 , f auf R. Finden Sie die lokalen Hoch– und Tief–Punkte und die Wendepunkte von f .
Geben Sie die graphische Darstellung der Funktion f .
(6 Punkte)
Aufgabe 85 Sei f : R → R die Funktion f (x) := √
(x − 1)2
. Geben Sie die graphische Darstellung der
4x2 + 2x + 1
Funktion f .
(6 Punkte)
Aufgabe 86 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
"
# x1
x
1
1
1
(1 + x) x
a1 + ax2 + · · · + axn x
lim (1 + x) x ,
lim
,
,
lim
x→0
x→0
x→0
e
n
1
lim (ex − e + 1) log x .
x→1
Dabei sind log die Umkehrfunktion von exp, n eine natürliche Zahl ≥ 1 und a1 , a2 , . . . , an streng positive reelle
Zahlen.
(4 Punkte)
Aufgabe 87 Verwenden Sie eine wiederholte Anwendung des Horner–Schemas, um das Taylor–Polynom
vom Grad 5 um 2 für die Funktion f : R → R, f (x) := x5 − 10x4 + 40x3 − 77x2 + 56x + 21 zu berechnen.
(4 Punkte)
Aufgabe 88 Sei f : D(f ) ⊆ R → R die Funktion f (x) := 1/(1 − x − x2 ). Finden Sie den maximalen
Definitionsbereich D(f ) von f in R. Liegt ein Intervall um 0 in D(f )?
Sei N natürlich. Seien a0 , a1 , . . . , aN die ganzen Zahlen, welche rekursiv nach dem Gesetz berechnet werden:
a0 = 1, a1 = 1, an := an−1 + an−2 , 2 ≤ n ≤ N .
Sei T = TN : R → R die Polynom–Funktion T (x) = TN (x) := a0 + a1 x + · · · + aN xN .
Zeigen Sie, daß TN das Taylor–Polynom von f vom Grad N um 0 ist. Geben Sie eine Formel für f (N ) (0),
welche eine Abhängigkeit von Gliedern der Fibonacci–Folge aufweist.
(6 Punkte)
Aufgabe 89 Verwenden Sie partielle Integration um Stammfunktionen der folgenden Funktionen zu finden:
x
,
sin2 x
x arctan x
√
,
1 + x2
x arctan x ,
x(1 + x2 ) arctan x ,
p
x2 − 1 .
Untersuchen jeweils den Definitionsbereich und die allgemeine Form einer Stammfunktion.
(10 Punkte)
Aufgabe 90 Verwenden Sie die Substitutions–Methode um Stammfunktionen der folgenden Funktionen zu
finden:
√
1
1
x2 + 1
1
1
√
,
,
,
,
.
x
sin x
4 + cos x
1+e
x
x x2 − 1
Untersuchen jeweils den Definitionsbereich und die allgemeine Form einer Stammfunktion.
(10 Punkte)
Aufgabe 91 Verwenden Sie kombinierte Methoden um Stammfunktionen der folgenden Funktionen zu finden:
4x3 + 2x + 1
,
x4 + x2 + 1
1
,
(x + 1)3 x2 (x − 1)4
1
,
x5 + 1
x11
1
√
,
1 + x4
sin x + cos x
.
1 + cos x
Untersuchen jeweils den Definitionsbereich und die allgemeine Form einer Stammfunktion.
(10 Punkte)
Aufgabe 92 Sei α ∈ R beliebig. Sei f : (0, ∞) → R die Funktion f (x) = xα := exp(α · log x). Zeigen Sie, daß
alle Stammfunktionen von f von der Form gC : (0, ∞) → R sind, wobei C ∈ R eine beliebige Konstante und
(
1
xα+1 + C
für α 6= −1 ,
gC (x) := α+1
log x + C
für α = −1
1
xα+1 .
α→−1 α + 1
ist. Berechnen Sie für ein festes x > 0 den Grenzwert lim
(4 Punkte)
Aufgabe 93 Sei n ≥ 0 eine natürliche Zahl. Berechnen Sie eine Stammfunktion für die folgenden Funktionen,
indem Sie zuerst eine Rekursionsformel in n (mittels partieller Integration) etablieren:
1
,
(x2 + 1)n
sinn x ,
cosn x ,
xn ex .
(12 Punkte)
Die Verwendung von MAPLE ist empfehlenswert, um für einige Aufgaben Zwischenergebnisse schnell zu bekommen und unangenehme Rechnungen in Grenzen zu halten.
Bearbeiten Sie höchstens vier Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 02.02.2000 16:00 .
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Übungsblatt 13
Aufgabe 94 (Der unbestimmte Fall
(x − sin x)2
,
x→0 (1 − cos x)3
lim
0 ∞
0, ∞)
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
ex − earctan x
,
x→0
1 − cos x
lim
lim
x→0
1 − cos x − ln cos x
,
x2
lim
x→ π
2
ln sin x
.
(π − 2x)2
Berechnen Sie in jedem Fall ein Taylor–Polynom geeigneten Grades für die Funktionen im Nenner bzw. Zähler
um den Punkt 0 bzw. π/2, um Ihre Ergebnisse zu prüfen.
(4 Punkte)
Aufgabe 95 (Der unbestimmte Fall 0 · ∞) Die Berechnung von Grenzwerten von der Form lim f (x)g(x) mit
f (x)
g(x)
=
, wodurch
lim f (x) = 0, lim g(x) = ±∞ erfolgt durch eine der Umformungen f (x)g(x) =
1/g(x)
1/f (x)
einer der Fälle 00 , ∞
∞ entsteht. Berechnen Sie:
1
1
πx
lim ln x · ln ln x ,
lim sin x · ln tan x .
lim cos
· ln(1 − x) ,
lim x2 e x − e x+1 ,
x→∞
x→1
x→0
x→1
2
(4 Punkte)
Aufgabe 96 (Der unbestimmte Fall 1∞ , ∞0 , 00 ) Die Formel f g = eg ln f reduziert diese drei unbestimmten
Fälle zum unbestimmten Fall 0 · ∞. Berechnen Sie:
lim
x→0
tan x
x
1
sin2 x
,
lim (1 − x)
a
ln sin(πx)
x→1
,
lim (ln(e + x))
x→0
1
x
,
lim
x→0
1
1 − cos x
sin x
.
(4 Punkte)
q
q ax + b 1
ax + b n
,...,
dx mit einer rationalen Funkcx + d
cx + d
tion R (Quotient von Polynomen in mehreren Variablen), a, b, c, d ∈ R, q1 , . . . , qn ∈ Q, n ∈ N ist die
ax + b
Substitution
= tk empfehlenswert, wobei k der gemeinsamer Nenner (kgV der Nenner) der Brüche
cx + d
q1 , . . . , qn ist. Berechnen Sie die Stammfunktionen der Funktionen:
r
√
1
1+x−1
1 3 1−x
1
√
√
√
,
.
,
,
3
3
x 1+x
1+x+1
(x + 2) 1 + x
1+ 1+x
Aufgabe 97 Für Integrale vom Typ
Z
R
x,
(4 Punkte)
p
Aufgabe 98 Für Integrale vom Typ R x, ax2 + bx + c mit einer rationalen Funktion R, a, b, c ∈ R, a 6= 0,
ist eine der eulerschen Substitutionen empfehlenswert:
√
√
• Für a > 0 setzt man ax2 + bx + c = t ± x a.
√
√
• Für a < 0, c > 0 setzt man ax2 + bx + c = tx ± c.
• Seien x1 , x2 die Nullstellen der Funktion x → ax2 + bx + c. Man setzt
t(x − x1 ).
p
a(x − x1 )(x − x2 ) =
√
ax2 + bx + c =
Berechnen Sie die Stammfunktionen der Funktionen:
1
√
,
2
x −x + 5x − 6
x
√
,
(x − 1) 1 + x − x2
√
x2
,
1 − 2x − x2
1
√
.
(1 + x) 1 + x + x2
(4 Punkte)
Aufgabe 99 (Binomische Integrale) Für Integrale vom Typ
Z
p
xm (axn + b) dx mit m, n, p ∈ Q ist eine der
folgenden Substitutionen empfehlenswert:
• Für p ∈ Z setzt man x = tq , wobei q der gemeinsamer Nenner der Brüche m, n ist.
• Für p 6∈ Z, aber
m+1
n
∈ Z setzt man axn + b = ts , wobei s der Nenner der rationalen Zahl p ist.
• Für m+1
6∈ Z, aber m+1
n
n + p ∈ Z substituiert man
rationalen Zahl p ist.
axn + b
= a + bx−n = ts , wobei s der Nenner der
xn
Berechnen Sie die Stammfunktionen der Funktionen:
r
1
1
x
4
√
,
,
,
2
2
3/2
4
2
1 + x5
x (1 + x )
x 1+x
r
n
x
,
1 + xn+1
√
4
1
.
1 + x4
(4 Punkte)
Aufgabe 100 (Integrale trigonometrischer Funktionen) Für Integrale vom Typ
Z
R(sin x, cos x) dx mit
einer rationalen Funktion R ist die Substitution empfehlenswert:
t = tan
x
.
2
1 − t2
2 dt
2t
, cos x =
; dx = (2 arctan t)0 dt =
.
2
1+t
1 + t2
1 + t2
Berechnen Sie die Stammfunktionen der Funktionen:
Es gelten dann: sin x =
1
,
cos x + 2 sin x + 3
√
sin x
,
2 + sin x + cos x
1 − sin x + cos x
,
1 + sin x − cos x
sin 2x
.
sin x + cos x
(4 Punkte)
Die Verwendung von MAPLE ist empfehlenswert, um für einige Aufgaben Zwischenergebnisse schnell zu bekommen und unangenehme Rechnungen in Grenzen zu halten.
Bearbeiten Sie höchstens vier Aufgaben.
Abgabe: bis Mi. 09.02.2000 16:00 .
Fakultät für Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Mathematik III
Prof. Dr. R. Weissauer
Analysis I WS 1999/2000
www.math.uni-mannheim.de/~w/
Übungsblatt 14
Aufgabe 101 (Die Bernoulli–Polynome) Die Bernoulli–Polynome Bn (t) wurden in der Vorlesung rekursiv
durch die Eigenschaften definiert:
Z 1
0
B0 (t) = 1 ,
Bn (t) = nBn−1 (t) ,
Bn (t) dt = 0 ,
n≥1.
0
Die Bernoulli–Zahl Bn ist gegeben durch Bn := Bn (0). Man kann in MAPLE die Bernoulli–Polynome (bzw.
–Zahlen) mit bernoulli(n,t) (bzw. bernoulli(n) ) ansprechen. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften
der Bernoulli–Polynome:
B1 (t) = t −
1
,
2
1
,
6
n
Bn (t) = (−1) Bn (1 − t)
für alle n ≥ 0, t ∈ R ,
Bn (0) = Bn (1/2) = Bn (1)
für alle ungeraden n ≥ 0 ,
Bn (0) = Bn (1)
für alle n ≥ 0 ,
B2 (t) = t2 − t +
Bn (t + 1) − Bn (t) = ntn−1 ,
n X
n
Bn (t) =
Bk tn−k
für alle n ≥ 0, t ∈ R
k
k=0
n−1 1 X n+1
Bk
für alle n ≥ 1
Bn = −
n+1
k
k=0
Aufgabe 102 Verwenden Sie die Resultate der letzten Aufgabe, um für alle ganzen n, N ≥ 1 die Formel zu
beweisen:
1n + 2n + · · · + N n =
Bn+1 (N + 1) − Bn+1 (1)
.
n+1
Verwenden Sie diese allgemeine Formel (und MAPLE), um 1n + 2n + · · · + N n für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 auszudrücken.

tz
 ze
für z ∈ R \ {0} ,
Aufgabe 103 Sei t ∈ R. Sei ft : R → R die Funktion: ft (z) := ez − 1

1
für z = 0 .
Beweisen Sie, daß ft unendlich oft differenzierbar ist. Verwenden Sie MAPLE, um das Taylor–Polynom Tt,n (z)
von ft um 0 vom Grad n für n = 10 zu berechnen. Prüfen Sie nach, daß die Relation gilt:
n
X
1
Tt,n (z) =
Bk (t)z k .
k!
k=0
Die Verwendung von MAPLE ist empfehlenswert, um für einige Aufgaben Zwischenergebnisse schnell zu bekommen und unangenehme Rechnungen in Grenzen zu halten.
Keine Abgabe.