Wiederholungsaufgaben – Klasse 10 - Mathematik

Dr. Fritsch, FGG
- Mathematik -
Klasse 10
Wiederholungsaufgaben – Klasse 10
(Lineare und quadratische Funktionen / Sinus, Kosinus, Tangens und Anwendungen)
1.
In welchem Punkt schneiden sich zwei Geraden, wenn eine Gerade g durch die Punkte
A(1|4) und B(5|-4) geht und die andere Gerade h die Gleichung y = 3 x − 14 erfüllt (zeichnerisch und rechnerisch lösen)? Wie lautet die Gleichung der zu h parallelen Geraden k, die
durch den Punkt C(-3|1) verläuft?
2.
Ein Fußgänger legt pro 1 Sekunde 1,5 m zurück.
(a)
Wie lautet die Funktion, die den zurückgelegten Weg y (in m) in Abhängigkeit
von der Zeit x (in s) beschreibt?
(b)
Welchen Weg legt der Fußgänger in einer Stunde zurück?
(c)
Wie viele Sekunden benötigt er für 10 km?
3. Eine Flugbahn eines geworfenen Körpers wird durch die Funktionsgleichung y = f (x ) =
ax 2 + 3x beschrieben. Hierbei ist die Flughöhe y abhängig von der Entfernung x vom Abwurfort. Die Wurfweite beträgt 30 m.
(a) Zu bestimmen ist der Wert von a.
(b) Die Punkte A(5|?), B(10|?), C(?|3) und D(?|18) liegen auf der Parabel. Zu berechnen sind die fehlenden Koordinaten.
(c) Wie groß ist die maximale Wurfhöhe?
(d) Wie weit ist der Körper geflogen, wenn er beim Fallen eine Höhe von 10 m erreicht hat?
4.
Ein schräg geworfener Körper bewegt sich auf einer Parabelbahn mit der Gleichung
y=−
g 2
x + x mit den Konstanten g = 10 ms-2 und v = 20 ms-2 .
2
v
(a) Zu zeichnen ist die Bahnkurve.
(b) Wie sind die Koordinaten des höchsten Punktes?
(c) Nach wie vielen Metern berührt der Körper wieder den Erdboden?
-1-
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5.
Für welche reellen Zahlen q hat die Funktion y = x 2 + 6 x + q keine Nullstellen?
6.
Die folgende Tabelle ist zu ergänzen.
Funktion
f1 ( x) =
f 2 ( x) =
f 3 ( x) =
f 4 ( x) =
( x − 3,4) 2 + 1
− x 2 + 2,5
x 2 + 2x − 3
1
− x2 + 2x
3
Scheitelpunkt
Monotonie
Wertebereich
Symmetrieachse
Nullstellen
7.
Man berechne die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ∆ ABC,
wobei der rechte Winkel jeweils bei C liegt.
(a)
a = 120 m, α = 41°
(b) b = 39,2 cm, c = 56,2 cm
(c)
b = 2,53 cm, c = 3,88 cm
-2-
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8.
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Welchen Flächeninhalt hat ein Parallelogramm mit den Seitenlängen a = 12 m und
b = 7,5 m und dem eingeschlossenen Winkel β = 125° ?
Von einem Walmdach sind gegeben: a = 16 m, b = 25 m, k = 10 m und h = 5 m.
9.
(a) Wie groß ist der Winkel α , den eine der
großen Dachflächen mit dem Dachboden einschließt?
(b) Wie groß ist der Winkel β , den eine der
kleinen Dachflächen mit dem Dachboden einschließt?
(c) Wie groß ist der Winkel γ , den eine Dachkante (z.B. l ) mit dem Dachboden einschließt?
10.
Der Förster steht zwischen zwei Bäumen, die 62,5 m voneinander entfernt sind. Der
Förster (Augenhöhe 1,70 m) sieht die Spitze des einen Baumes, der 26,3 m hoch ist, unter
einem Winkel von 39°. Die Spitze des anderen Baumes sieht er unter einem Winkel von 47°.
Wie hoch ist der zweite Baum?
11.
Um die Höhe eines Gebäudes zu bestimmen, hat Herr Schmidt auf dem First eine 5 m
lange Latte (senkrecht nach oben) aufgestellt. Nun steht er mit einer Augenhöhe von 1,68 m
vor dem Haus und sieht die Spitze der Latte unter einem Winkel von 39,65° und den Fuß der
Latte unter einem Winkel von 30,25°. Wie hoch ist das Haus?
12.
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm,
b = 4 cm und c = 5 cm. Berechne die Winkel α und
β , die die Raumdiagonale D mit den Kanten c und a
bildet!
13.
Von einem Dreieck sind gegeben: b = 4 cm, α = 70° und β = 35° . Zu berechnen ist
die Seite a.
-3-
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14.
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Von einem Dreieck sind gegeben: b = 3,5 cm, c = 7 cm und α = 40° . Zu berechnen
ist die Seite a.
15.
Von einem Dreieck sind gegeben: a = 8 cm, α = 65° und γ = 80° . Zu berechnen ist
die Seite c.
16.
Von einem Dreieck sind gegeben: a = 5 cm, b = 2 cm und γ = 80° . Zu berechnen ist
die Seite c.
17.
Von einem Dreieck sind gegeben: a = 4 cm, c = 5,5 cm und β = 38° . Zu berechnen
sind die Seite b und der Winkel α .
18.
Von einem Dreieck sind gegeben: a = 6 cm, b = 4 cm und α = 42° . Zu berechnen
sind die Seite c und der Winkel β .
19.
Zu berechnen ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a = 4 cm und c = 6
cm und dem Winkel β = 55° .
20.
Gesucht ist der Winkel zwischen den Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kanten-
längen 6 cm, 5 cm und 3 cm.
-4-
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Lösungen – Funktionen/Trigonometrie
1. lineare Funktionen:
( − 4) − 4 − 8
=
= −2 und n g = 4 − ( −2) ⋅ 1 = 4 + 2 = 6
5 −1
4
k: y = 3 x + 10
mit mk = mh = 3 (wegen k || h) und
g: y = −2 x + 6
mit m g =
h: y = 3 x − 14
und
n k = 1 − 3 ⋅ ( −3) = 10
Schnittpunkt von g und h („ g = h “):
− 2 x + 6 = 3 x − 14 liefert mit dem Zwischen− 20
schritt − 5 x = −20 die Schnittstelle x S =
= 4 und den passenden y-Wert mit
−5
y S = −2 ⋅ 4 + 6 = −2 .
→
S(4|-2)
2. Wertetabelle (lineare Funktion)
Zeit x (in s)
0
1
2
3
4
Weg y (in m)
0
1,5
3
4,5
6
(a)
Funktion:
y = f ( x ) = 1,5 x
(b)
Weg in x = 1 h = 60 min = 3600 s: y = 1,5 ⋅ 3600 = 5400 (m)
10000
(c)
Zeit für y = 10 km = 10 000 m:
= 6666, 6 (s)
10000 = 1,5 x → x =
1,5
3. quadratische Funktion: y = f (x ) = ax 2 + 3x
(a)
mit den Nullstellen x 01 = 0 (Abwurf) und x 02 = 30 (Wurfweite)
(b)
(c)
(d)
→ 0 = ∙ 30 + 3 ∙ 30 = 900 + 90 → = − 0,1 ( y = − 0,1x 2 + 3x )
A(5|12,5), B(10|20), C(28,96|3), C(1,04|3), D(21,71|18), D(8,29|18)
Scheitelpunkt: S(15|22,5) → = = 15 = 22,5 Wurfweite in einer Höhe von 10 m im Fallen (größerer x-Wert): 10 = − 0,1x 2 + 3x
→ = 26,18 (kleiner Wert (im Steigen): = 3,82 )
4.
(a)
Parabelglg.:
Skizze:
y
=−
+ 10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x
→ = −
(b)
Scheitelpunkt: S(20|10)
(c)
Wurfweite (größere Nullstelle): 0 = −
-5-
= 20 → = = 20 = 10
+ = −
+ 1
→ = 40
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5.
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Lösungsformel:
→ Diskriminante: ' =
6.
Funktion
Scheitelpunkt
"%
±$
"%
7.
(a)
(b)
(c)
f 4 ( x) =
( x − 3,4) 2 + 1
− x 2 + 2,5
x 2 + 2x − 3
1
− x2 + 2x
3
S(3,4|1)
S(0|2,5)
S(-1|-4)
S(3|3)
fallend:
fallend:
x>0
steigend:
steigend:
x > 3,4
x > 3,4
5
1 ∈ -| ≤ 3
2
+ ∈ -| ≥ −40
+ ∈ -| ≤ 30
x = 3,4
x=0
x = -1
x=3
4 = 0,7
4 = 2,7
4 = −3
4 = 1
4 = 0
4 = 6
keine
rechtwinkliges Dreieck (6 = 90°):
8 = 90° − 41° = 49°, 9 =
= 138,04 , = =
:;< °
= @56,2 − 39,2 = 40,27 = , A = arcsin
,H
I",
>?< °
= 182,91 = 45,77° ,
8 = 90° − 45,77° = 44,23°
,I*
= @3,88 − 2,53 = 2,94 = , A = arcsin *,JJ = 40,70° ,
8 = 90° − 40,70° = 49,30°
K = 12 ∙ 7,5 ∙ sin 125° = 73,72 9.(a)
A = arctan ,I = arctan J = 32,00°
M
I
M
I
8 = arctan ,INO = arctan H,I = 33,69°
(c)
s ... Kathete des Dreiecks mit h und l
P = @0,5 + 0,59 − Q = @8 + 7, 5 = 10,97 M
x < 3,4
steigend:
+ ∈ -| ≥ 10
Parallelogramm:
I
6 = arctan = arctan ,RH = 24,50°
10.
fallend:
x < 3,4
x<0
8.
(b)
=9
f 3 ( x) =
x > 3,4
Nullstellen
f 2 ( x) =
steigend:
Symmetrieachse
*"
f1 ( x) =
x < 3,4
Wertebereich
−&
− & < 0 (keine Nullstellen) & >
fallend:
Monotonie
"
=−
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Entfernung vom 1. Baum: P =
",*,H
:;< *R°
= 30,38 -6-
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Entfernung vom 2. Baum: P = 62,5 − P = 62,5 − 30,38 = 32,12 Höhe des 2. Baums: ℎ = 32,12 ∙ tan 47° + 1,7 = 34,44 + 1,7 = 36,14 11.
Haushöhe ... h , Abstand vom Haus ... s
M,"J
M,"JTI
,"J :;< *R,"I°T*,* :;< *,I°
Ansatz:
=P=
→ ℎ=
= 13,55 :;< *,I°
12.
:;< *R,"I°
:;< *R,"I°:;< *,I°
U1 = √4 + 5 = √41 =
Diagonale der Seitenfläche aus b und c:
Raumdiagonale: ' = $√41 + 8 = √105 =
8 = e , ' = arccos = arccos
X
Y
A = e =, ' = arccos X = arccos
13.
Sinussatz:
J
√I
I
√I
= 38,67°
= 60,79°
= >?< *I° → =
>?< H°
>?< H°
>?< *I°
= 6,55 =
14.
Kosinussatz:
= √9 + = − 29= ∙ cos A = @3,5 + 7 − 2 ∙ 3,5 ∙ 7 ∙ cos 40° = 4,87 =
15.
Sinussatz:
J
Y
= >?< J° → = =
>?< "I°
J >?< J°
>?< "I°
= 8,69 =
16.
Kosinussatz:
= = @9 + − 29 ∙ cos 6 = √2 + 5 − 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ cos 80° = 5,05 =
17.
Kosinussatz:
9 = @ + = − 2= ∙ cos 8 = @4 + 5,5 − 2 ∙ 4 ∙ 5,5 ∙ cos 38° = 3,40 =
Sinussatz:
>?< Z
*,
= >?< *J° → A = arcsin
>?< *J°
*,
"
= >?< ° → 8 = arcsin
= 46,41°
>?< °
= 26,49°
18.
Sinussatz:
19.
Flächeninhalt: K = ∙ = ∙ ∙ sin 8 = ∙ 6 ∙ 4 ∙ sin 55° = 9,83 =
>?< [
"
→ 6 = 180° − 42° − 26,49° = 111,51°
Y
"
" >?< ,I°
Sinussatz:
= >?< ° → = = >?< ° = 8,34 =
>?< ,I°
20.
Länge der Raumdiagonalen: U = √6 + 5 + 3 = √70 = 8,37 =
Es sind 3 Winkel zu suchen in den 3 Dreiecken aus jeweils den 2 halben Raumdiagonalen und
einer der 3 Quaderseiten.
A = arccos
8 = arccos
6 = arccos
\ %
\ %
T
%
%
%
\ \
% %
\ %
\ %
T
N%
%
%
\ \
% %
\ %
\ %
T
Y %
%
%
\ \
% %
= arccos
J,*H% TJ,*H% *%
= 20,65°
= arccos
J,*H% TJ,*H% I%
= 34,76°
= arccos
J,*H% TJ,*H% "%
= 42,01°
∙J,*H∙J,*H
∙J,*H∙J,*H
∙J,*H∙J,*H
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Klasse 10
Bemerkung: Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen („Arkusfunktionen“)
arcsin, arccos, arctan sind als Zweitbelegung auf den Tasten sin, cos, tan des Taschenrechners
und dort durch die Hochzahl -1 gekennzeichnet.
-8-