Blatt 4 - Leibniz Universität Hannover

04. November 2009
Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Dr. M. Rheinländer
Tutorium zur Analysis I
4. Aufgabenserie
Die Aufgaben sind als Anregung und nicht als Pflichtprogramm für das Tutorium zu verstehen.
Aufgabe 4.1: Rechnen mit Dualzahlen
a) Berechnen Sie die folgenden Differenzen
1010010 − 10011, 10101100 − 1011011, 10000000 − 111111, 1101.1 − 100.001,
wobei die Zahlen binär zu interpretieren sind. Führen Sie anschließend eine Probe durch, indem Sie
den Subtrahenden zur Differenz addieren und Ihr Ergebnis mit dem Minuenden vergleichen.
Beispiel:
−
1
0
1
1
0 1 1 1
1 1 0 01
1 0 1 0
1
0
11
0
0
1
1
1
Probe:
+
1
1
1
0
1 0 1 0
1 1 0 01
0 1 1 1
0
11
0
1
1 X
0
b) Überprüfen Sie Ihre Rechnungen abermals, indem Sie sämtliche Dualzahlen in Dezimalzahlen konvertieren. Im Falle des Beispiel handelt es sich um die Differenz 156 − 51 = 105.
c) Das Multiplizieren von Dualzahlen ist bemerkenswert einfach, da es sich auf bloßes sukzessives
Addieren reduziert. Berechnen Sie das folgende Produkt
1100110 · 11101
und überprüfen Sie anschließend Ihr Ergebnis.
d) Ergänzung: Schreiben Sie in einer eigenen Pseudoprogrammiersprache zwei Routinen, welche die
Addition bzw. Subtraktion zweier Dualzahlen bewerkstelligen, ohne dabei auf arithmetische Operationen zurückzugreifen. Stattdessen sind lediglich if-Abfragen zu verwenden.
Aufgabe 4.2: Stellenwertsysteme
1
a) Stellen Sie den Bruch 11
als b-adischen Bruch dar mit der Basis b ∈ {5, 7, 11, 13}. Bestimmen Sie
dazu zunächst die jeweilige b-adische Darstellung von 11 und führen Sie anschließend eine schriftliche
Division durch.
b) (Geburtstagsgrüße einmal anders) In wenigen Tagen feiert der ältere Bruder seinen 31. Geburtstag. Damit sind die Goldenen Zwanziger endgültig vorbei. Wie ließe er sich ein wenig über diesen
“traurigen” Umstand hinwegtrösten? Man könnte auf die Glückwunschkarte zum Beispiel einfach
25 statt 31 schreiben. Ergäbe das auch einen tatsächlichen Sinn? Wäre es ebenso sinnvoll, 26 oder
29 zu schreiben?
Aufgabe 4.3: Periodische Nachkommastellen & der kleine Satz von Fermat
Die Frage, warum die Darstellung einer rationalen Zahl als b-adischer Bruch immer auf eine periodische Stellenabfolge führt,
ergibt sich aus dem Algorithmus zur Berechnung des zugehörigen b-adischen Bruches. Alternativ trägt aber auch der “kleine
Fermat” zum Verständnis bzw. zur Beantwortung dieser Frage bei.
a) Beobachtung:
1
9
=
1
101 −1
= 0.1,
Analog gilt im Dualsystem:
1
3
=
1
99
1
22 −1
=
1
102 −1
= 0.01,
1
999
= 0.01,
1
7
= 231−1
−1
=
1
102 −1
= 0.001.
= 0.001.
Begründen Sie, weshalb sich der Stammbruch (bk −1) als b-adischer Bruch folgendermaßen schreiben läßt:
1
= 0. |0 . {z. . 0} 1.
k
b −1
k − 1 Nullen
b) Nutzen Sie die Beobachtung, um einige Stammbrüche als b-adische Brüche darzustellen. Beispiele:
1
11
i)
(102 − 1)/11 = 99/11 = 9
ii)
(106 − 1)/13 = 999999/13 = 76923
iii)
(163 − 1)/7 = 4095/7 = 585. Wegen
Der Index
bezieht.
h
⇒
9
102 −1 = 9 · 0.01 = 0.09
76923
1
⇒
13 = 106 −1 = 76923 · 0.000001 = 0.076923
1
h
= 10249
585 = 249h folgt: 16
3 −1 = 249h · 0.001h = 0.249h .
h
=
markiert, daß sich die Stellenwertschreibweise auf das Hexadezimalsystem (b = 16)
c) Es sei p eine Primzahl und n ∈ N. Dann gilt
p | np − n
d.h. p teilt np − n.
Beweisen Sie diese Aussage (kleiner Fermat) mittels vollständiger Induktion.
d) Folgern Sie
p | np−1 − 1,
falls die natürliche Zahl n keinen Teiler mit p gemeinsam hat. Bemerkung: Die obige Folgerung
wird durch folgenden Satz von Euler verallgemeinert. Sind die natürlichen Zahlen n und q teilerfremd
und bezeichnet φ(q) die Anzahl der zu q teilerfremden Zahlen zwischen 1 und q − 1, so gilt
q | nφ(q) − 1.
e) Welche Konsequenz ergibt sich aus d) für die Ausgangsfrage nach dem Auftreten periodischer
Stellenabfolgen?
Aufgabe 4.4: Konvergenz im Mittel
Aufgabe 18 (Hausaufgabenblatt 3) zeigt exemplarisch, wie man aus einer konvergenten Folge (a n )n eine
weitere konvergente Folge (σn )n , welche auch als Folge der Euler-Mittel bekannt ist, konstruieren kann.
Versuchen Sie zunächst die Bezeichnung “Euler-Mittel” zu rechtfertigen.
Eine andere Möglichkeit, aus konvergenten Folgen weitere konvergente Folgen zu erzeugen, besteht darin,
das arithmetische Mittel zu bilden. Zeigen Sie, daß mit (an )n auch die Folge der arithmetischen Mittel
(An )n
a1 + ... + an
An :=
n
gegen a konvergiert.
Bemerkung: Es gibt darüberhinaus auch Folgen, welche zwar selbst nicht konvergieren, während sich
jedoch die Folgen ihrer arithmetischen Mittel als konvergent herausstellen. Auf diese Weise läßt sich ein
verallgemeinerter Konvergenzbegriff einführen.