Technische Universität München SoS 2008 Zentrum Mathematik
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Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. M. Ulbrich Dr. M. Kaplan, Dr. G. Müller SoS 2008 Blatt 12 Höhere Mathematik 4 für Elektro- und Informationstechnik Zentralübung (30. Juni 2008) Z 23) Geburtstage In einem Hörsaal befinden sich n Studentinnen und Studenten (von denen niemand am 29. Februar Geburtstag habe). a) Bestimmen Sie unter der Annahme, dass alle Tage (eines normalen Jahres mit 365 Tagen) gleich wahrscheinlich als Geburtstag sind, die Wahrscheinlichkeit pn , dass mindestens zwei Studierende am selben Tag Geburtstag haben. b) Verwenden Sie die (nur für x nahe bei Null akzeptable) einfache Abschätzung log(1 + x) ≈ x, |x| < 1, um das kleinste n abzuschätzen, für das pn > 21 ist. Berechnen Sie mit Hilfe eines Computers dieses kleinste n anschließend exakt. Z 24) Fernseh-Show In einer Fernseh-Show hat der Kandidat die Auswahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor steht als Hauptgewinn ein Auto, hinter den anderen beiden Toren jeweils ein (relativ unattraktives) rotes Plüschtier. Der Kandidat darf zunächst ein Tor auswählen. Der Moderator, der weiß, hinter welchem Tor sich das Auto befindet, öffnet danach jedoch eines der beiden anderen Tore, und zwar auf jeden Fall eines, hinter dem ein Plüschtier steht. Dann fordert er den Kandidaten auf, sich erneut zwischen den beiden noch geschlossenen Toren zu entscheiden. Von den folgenden drei Aussagen ist genau eine richtig. Welche? Aussage A: Der Kandidat sollte bei dem zuerst gewählten Tor bleiben. Aussage B: Der Kandidat sollte sich für das andere Tor entscheiden. Aussage C: Es ist egal, für welches Tor sich der Kandidat entscheidet. bitte wenden! Tutorübungen und Hausaufgaben (2.-7. Juli 2008) T 40) Unabhängigkeit von Ereignissen Beim zweimaligen Würfeln eines fairen Würfels betrachte man die fünf Ereignisse: A: Beim ersten Wurf fällt eine ungerade Augenzahl. B: Beim zweiten Wurf fällt eine ungerade Augenzahl. C: Die Summe der Augenzahlen ist ungerade. D := ∅. E := A. a) Zeigen Sie, dass die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig, aber nicht vollständig unabhängig sind. b) Zeigen Sie, dass zwar gilt P (A ∩ E ∩ D) = P (A) · P (E) · P (D), die Ereignisse A und E aber nicht (paarweise) unabhängig sind. T 41) Tanzkurs Aus einer Gruppe von 20 Frauen und Männern wird zufällig eine Teilmenge von n Personen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Gruppe aus mehr Frauen als Männern besteht, falls n = 2, 5, 17, 20, 39 oder n = 40? T 42) Qualitätskontrolle Von drei unterschiedlich leistungsfähigen Maschinen M1 , M2 , M3 werden gleiche Produkte hergestellt. M1 produziert 20%, M2 30% und M3 50% der Gesamtproduktion. Die drei Maschinen haben einen Ausschussanteil von 3%, 5% bzw. 8%. Aus der (nicht nach Maschinen sortierten) Gesamtproduktion werde ein Werkstück W zufällig ausgewählt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist W fehlerhaft? b) W sei einwandfrei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde W von Mi , i = 1, 2, 3 produziert? c) W sei fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde W von Mi , i = 1, 2, 3 produziert? T 43) Der verschwundene Zitronenkuchen Ein Elternpaar hat drei Kinder: Anna (6), Bernd (4), und Carmen (3). Im Kühlschrank lagerte am Mittag noch ein Zitronenkuchen, der im Laufe des Nachmittags aber verschwunden ist. Eigentlich war der Kuchen für Anna’s siebten Geburtstag am darauffolgenden Tag gedacht. Sei T das Ereignis, dass Carmen den Kuchen heimlich gegessen hat. Da Carmen Zitrone nicht wirklich mag, ist es zwar ziemlich unwahrscheinlich, dass T eingetreten ist (d.h. τ := P (T ) kann als klein angenommen werden), aber die Eltern befragen noch Anna und Bernd über das Verschwinden des Kuchens. Aus Erfahrung wissen sie, dass Anna bei solchen Vorfällen mit Wahrscheinlichkeit α die Wahrheit sagt, und Bernd mit Wahrscheinlichkeit β. Beide tun dies unabhängig voneinander. Sei nun A bzw. B das Ereignis, dass Anna bzw. Bernd aussagt, dass Carmen den Kuchen gegessen hat, also dass T eingetreten ist. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Carmen tatsächlich den Kuchen gegessen hat, wenn Anna und Bernd dies beide aussagen? b) Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit konkret für α = β = 0.9 und τ = 0.001. Hinweis: Die Aussage, dass Anna mit Wahrscheinlichkeit α die Wahrheit sagt, ist wahrscheinlichkeitstheoretisch so zu interpretieren, dass sie unter der Bedingung, dass ein Ereignis stattgefunden hat, dies mit Wahrscheinlichkeit α auch behauptet.
