Analyse und Weiterentwicklung eines Seminars über Problemlösen

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Schriftliche Hausarbeit zum 1. Staatsexamen für das Lehramt Sek. II/I
Analyse und Weiterentwicklung eines Seminars
über Problemlösen in der Zahlentheorie
für Lehramtsstudierende
Themensteller: Prof. Dr. H. Möller
Dem Staatlichen Prüfungsamt für Erste Staatsprüfungen für
Lehrämter an Schulen, Münster, vorgelegt von:
Stefan Krämer
Hansastraße 12 B, 59425 Unna
Fächer: Mathematik und Geschichte
Matrikel-Nr.: 249314
Abgabetermin: 04.04.2001
1
Inhaltsverzeichnis:
1.
Einleitung ............................................................................................ 3
2.
Heuristik der Zahlentheorie ................................................................ 5
2.1 Allgemeine Methoden....................................................................... 6
2.1.1 Beweis durch Widerspruch ....................................................... 7
2.1.2 Fallunterscheidung.................................................................... 8
2.1.3 Extremalprinzip ........................................................................ 9
2.1.4 Beweis durch vollständige Induktion ...................................... 11
2.1.5 Problemabwandlung ............................................................... 12
2.2 Strategien für die Zahlentheorie..................................................... 13
2.2.1 Das Invarianzprinzip............................................................... 15
2.2.2 Das Schubfachprinzip ............................................................. 16
2.2.3 Parität ausnutzen ................................................................... 17
2.2.4 Systematisches Probieren........................................................ 18
2.3 Sätze aus der Zahlentheorie ........................................................... 21
2.4 Einsatz eines Fragenkataloges........................................................ 24
2.5 Zusammenfassung .......................................................................... 29
3.
Aufbau und Strukturen ..................................................................... 31
3.1 Pólyas Ansatz für ein Seminar im Aufgabenlösen .......................... 31
3.2 Modifizierter Vorschlag .................................................................. 33
4.
Elemente der Seminararbeit.............................................................. 35
4.1 Vermitteln der Heuristik ................................................................ 35
4.2 Aufgabenmaterial........................................................................... 36
4.3 Anmerkungen zum Vortrag............................................................ 38
4.4 Gestaltung der Seminarsitzung ...................................................... 42
4.4.1 Entdeckenlassendes Fragen..................................................... 43
4.4.2 Tips zum Unterrichten............................................................ 45
4.5 Erfahrungen aus dem durchgeführten Seminar .............................. 47
5.
Fazit .................................................................................................. 50
2
6.
Anhang von Aufgaben ....................................................................... 52
7.
Literaturverzeichnis .......................................................................... 60
Abbildungsverzeichnis:
Abb. 1: Ineinandergreifen von Methoden, Strategien und Sätzen ............. 14
Abb. 2: Abläufe beim Problemlösen.......................................................... 30
3
1.
Einleitung
An expert problem solver must be endowed with
two incompatible qualities, a restless imagination
and a patient pertinacity.
Howard W. Eves1
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intendiert zum einen den Rückgriff auf das gleichnamige Seminar aus dem
Wintersemester 1999/2000, zum anderen auch die Suche nach Ansätzen,
die die Ideen und Ziele des Seminars kritisch hinterfragen, sie neu akzentuieren und ergänzen. Dem letzten Anspruch soll mit der Ausarbeitung
einer Heuristik der Zahlentheorie und der Zusammenstellung von
geeigneten Beispielen und neuen Aufgaben für die Seminararbeit Rechnung
getragen werden. Außerdem werden Begründungen gegeben, warum eine
solche Veranstaltung in das Studium für das Lehramt gehört.
Ziel der bisherigen Veranstaltung war es, dem genannten Adressatenkreis
grundlegende Strategien des mathematischen Problemlösens durch Vorträge über Heuristik und durch angeleitetes Lösen von ausgewählten Aufgaben aus der Zahlentheorie beizubringen. Auch ein zukünftiges Seminar
soll sich daran orientieren. Für diese Hausarbeit besteht die Problemstellung, eine Form des Seminars zu finden, so daß die Teilnehmer
Problemlösen als wichtige Anwendung der Mathematik kennenlernen.
Dadurch kann sich ein solches Seminar als Veranstaltung des Hauptstudiums
rechtfertigen,
denn
jeder
Mathematikstudierende
braucht
Techniken zum Problemlösen, hat diese unbewußt und unreflektiert im
1
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Eves, Howard W.: In Mathematical Circles. A Selection of Mathematical Stories And
Anecdotes. 4 Bände. Bosten 1969.
4
bisherigen Studium bereits benutzt. Während des Semesters soll das
gesamte Spektrum angesprochen werden, das nötig ist, um Aufgaben des
gewählten Bereiches unter diesen Gesichtspunkten bearbeiten zu können.
Damit dies gelingt, muß das Lernziel – „
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das nicht ganz einfach ist, zeigt bereits das Zitat von H. W. Eves.
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diese beiden Begriffe in dem Sinn als synonym betrachtet werden, daß
jeder in der Mathematik gestellten Aufgabe, sei sie eine Bestimmungsaufgabe oder eine Beweisaufgabe, mindestens ein mathematisches Problem
zu Grunde liegt. Dabei wird de
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einen ein echtes Problem darstellt, während sie für den anderen Routine
sein kann.
Die Arbeit ist so aufgebaut, daß die einzelnen Aspekte als Leitfaden für
zukünftige Veranstaltungen zu diesem Thema genutzt werden können. Die
Darstellung beginnt mit Ausführungen zur Heuristik und den Grundlagen
der Zahlentheorie. Die einzelnen Methoden und Strategien werden jeweils
mit passenden Beispielen aus der Zahlentheorie erläutert. So kann der
allgemeine Ansatz zur Heuristik, der im bisherigen Seminar vorgestellt
wurde, verbessert werden. Alle Teilnehmer erhalten einen Rahmen für die
Seminararbeit. Abgestimmt sind diese Ideen einerseits auf die spezifischen
Belange der Zahlentheorie, zum anderen auf das Aufgabenmaterial. Für die
einzelnen Vorträge und die gemeinsame Arbeit im Seminar stehen
Aufgaben aus mathematischen Wettbewerben zur Verfügung. Es bietet
sich an, hierfür auf die umfangreichen Sammlungen von Aufgaben der
Internationalen Mathematik-Olympiade (IMO) und des Bundeswettbewerbs
Mathematik (BWM) zurückzugreifen. Ausgewählte Aufgaben sind im
Anhang zusammengestellt.
Im dritten Kapitel wird dann der Aufbau des Seminars diskutiert. Die Idee
zu einem Seminar über Problemlösen geht auf Georg Pólya zurück. Sein
5
Ansatz wird dort ebenfalls vorgestellt. Anmerkungen zur praktischen
Umsetzung einzelner Bausteine für das Seminar finden sich im vierten
Kapitel. Leitend für diese Ausarbeitung soll sein, daß ein solches Seminar
das Lösen von Problemen der Zahlentheorie so behandelt, daß die
Heuristik der Zahlentheorie vermittelt wird und durch das Lösen von
Aufgaben auch vertiefende Einblicke in die Themen der Zahlentheorie
gegeben werden. Abgeschlossen wird das Kapitel mit der Schilderung von
Erfahrungen aus dem stattgefundenen Seminar.
Als Grundlage für diese Hausarbeit sind die Aufgabensammlungen zu den
mathematischen Wettbewerben sowie die Arbeiten von Georg Pólya [19],
[20], Loren C. Larson [18] und Arthur Engel [11] zur Heuristik und zum
Problemlösen herangezogen worden.
2.
Heuristik der Zahlentheorie
Eine zentrale Frage für diese Arbeit lautet: Wie können Wettbewerbsaufgaben zur Zahlentheorie erfolgreich gelöst werden? Man kann dafür
sicherlich kein Patentrezept angeben, da jede Aufgabe ihre ganz eigene
Besonderheit aufweist. Man kann aber Beweismethoden, Techniken,
Strategien und das nötige mathematische Fachwissen zusammenstellen,
welches zum Finden einer Lösung hilfreich ist. Diese Grundlage soll
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der Mathematik findet sich heuristisches Arbeiten als methodische Phase
2
Hinkfuß. S. 101.
6
in einem Problemlösungs- oder Forschungsprozeß. Erste Ideen dazu
entwickelte René Descartes im 17. Jahrhundert.3
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geordneten Wissens, sondern setzt dieses häufig voraus, bzw. ist damit
ganz eng verbunden. Ein solides Hintergrundwissen ist eine sehr wichtige
Voraussetzung für erfolgreiches Problemlösen. Es sollte daher nicht der
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von Strategien und Methoden sei.
Das Lösen von Aufgaben kann letztlich nur durch praktisches Üben und
durch eigene Erprobung an vielen Aufgaben gelernt werden. Die
Behandlung einzelner Aspekte zur Heuristik wird mit Beispielen illustriert
und es werden Hinweise gegeben, wann die Aspekte jeweils vorteilhaft
benutzt werden können. Das Nachvollziehen einer Lösung oder ein selbst
gefundener Weg zur Lösung kann zu einem Schema werden, das für
spätere Aufgaben zur Verfügung steht. Man sollte seinen Blick schulen,
solche Kniffe oder Methoden zu erkennen und ein Gefühl dafür entwickeln,
wann man sie wieder erfolgreich anwenden kann. Ein Ziel für das Lösen
von mathematischen Aufgaben lautet also: Wer lernen will, wie man
Aufgaben lösen kann, muß selber Aufgaben lösen.
2.1
Allgemeine Methoden
In diesem Abschnitt werden Hilfsmittel vorgestellt, die sehr häufig im
Problemlösen benutzt werden. Sie sind nicht speziell für Aufgaben zur
Zahlentheorie vorgesehen, sie lassen sich für Aufgaben aus allen
mathematischen Bereichen einsetzen. Ihre Kenntnis ist unverzichtbar. Zum
einen handelt es sich um Beweismethoden (Beweis durch Widerspruch und
Beweis durch vollständige Induktion), zum anderen werden als weitere
Methoden die Fallunterscheidung, das Extremalprinzip und die Problem3
vgl.: a.a.O. S. 102.
7
abwandlung vorgestellt. Die Unterscheidung zwischen den Methoden
besteht darin, daß sie entweder zur Lösung einer Beweisaufgabe oder einer
Bestimmungsaufgabe in Frage kommen. Für alle Methoden, und im
folgenden Kapitel auch für die Strategien, werden Hinweise gesammelt, die
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Problemlösen in der Zahlentheorie etwas formalisiert.
2.1.1 Beweis durch Widerspruch5
Viele Beweise in der Mathematik lassen sich so führen: Man nimmt an,
daß die Behauptung falsch ist und führt diese Annahme dann zum
Widerspruch zu in der Aufgabe gegebenen Daten (indirekte Methode) oder
zu Tatsachen, die als wahr bekannt sind (Reduktion ad absurdum). Diese
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sollte man achten, wenn in der Aufgabe eine Aussage vorkommt, deren
Schlußrichtung leicht zu negieren ist und so neue Ansatzpunkte gewonnen
werden können, oder wenn For
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Beispiel 1: Sei n 2 eine natürliche Zahl. Wenn 2n 1 eine Primzahl ist
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4
Zimmermann. S. 16.
5
vgl.: Larson. S. 45 ff.
6
Schoenfeld. S. 200.
8
Beweis: Hier läßt sich, ausgehend von der Definition einer Primzahl, die
Schlußrichtung negieren:
Angenommen, n ist nicht prim, dann läßt sich n als Produkt n a 
b mit
a, b t, a, b 1 , darstellen.
Dann gilt: 2n 1 2ab 1 (2a )b 1 (2a 1)((2a )b 1 (2a )b 2  2a 1)
mit 1 2a 1 2n 1  2n 1 läßt sich faktorisieren, also 2n 1  
Widerspruch zur Voraussetzung.
2.1.2 Fallunterscheidung7
Häufig läßt sich ein Problem in eine kleine Anzahl von untergeordneten
Problemen aufteilen, die sich jeweils einzeln behandeln und lösen lassen.
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“) zu beweisen ist. Zum Beispiel lassen sich manchmal Beweise für
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gerade und ungerade oder positiv und negativ aufspalten. Gelegentlich
können die einzelnen Fälle bzw. Unterprobleme hierarchisch angeordnet
werden, so daß erste Fälle, nach deren Beweis, für die Lösung der
folgenden Fälle genutzt werden können (hillclimbing8). Es läßt sich also der
Tip formulieren, daß man, wenn man eine Aufgabe nicht lösen kann,
versuchen sollte, das Problem in einfachere Probleme zu unterteilen und
diese dann einzeln zu lösen.
Beispiel 2: Wenn 2n 1 und 3n 1 ( n t) Quadratzahlen sind, so ist n
durch 40 teilbar.9
7
vgl.: Larson. S. 36 ff.
8
a.a.O. S. 37.
9
a.a.O. S. 94.
9
Beweis: Da 40 2 3 
5 ist, genügt es zu zeigen, daß n durch 5 und 8 teilbar
ist, also n 0 mod 5 und n 0 mod 8 .
(i) rechne mod 5 :
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Also müssen 2n 1 und 3n 1 0, 1, oder 4 mod 5 sein. Wählt man den
Ansatz 2n 1 a mod 5 und 3n 1 b mod 5 mit a, b {0, 1, 4} , so lassen
sich die 9 möglichen Fälle reduzieren.
1.
Fall:
a b .
Addiert
man
die
beiden
Kongruenzen,
2 a b mod 5 im Widerspruch zur Wahl von a und b.
so
folgt
2. Fall: a b . Subtrahiert man die erste von der zweiten Kongruenz, so
folgt n 0 mod 5 , d.h. n ist durch 5 teilbar.
(ii) rechne mod 8 :
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Auch hier reicht es, zwei Fälle zu betrachten. Sei 2n 1 c mod 8 und
3n 1 d mod 8 mit c, d {0, 1, 4} .
1. Fall: c d . Addiert man zur ersten das Doppelte der zweiten
Kongruenz, so folgt 3 c 2d mod 8 , Widerspruch zur Wahl von c und d.
2. Fall: c d : Subtrahiert man die erste Kongruenz von der zweiten, so
folgt n 0 mod 8 , d.h. n ist auch durch 8 teilbar.
2.1.3 Extremalprinzip10
Ist in einer gestellten Aufgabe eine Aussage über eine Menge von Objekten
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betrachten: ein kleinstes, größtes oder sonst irgendwie am Rande liegendes
Element. Im Falle mehrerer extremaler Elemente ist es in der Regel egal,
welches betrachtet wird. In diesem Zusammenhang sei auch an folgende
Tatsachen erinnert:
10
vgl.: Larson. S. 50 ff. und Engel, Arthur: Das Extremalprinzip als heuristisches Prinzip
beim Problemlösen. in: [10] S. 11-22.
10
a) Jede endliche nichtleere Menge A reeller Zahlen enthält ein minimales
Element min A und ein maximales Element max A .
b) „Wohl
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enthält ein kleinstes Element.
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braucht weder ein kleinstes noch ein größtes Element zu enthalten. Ist
A nach oben (bzw. unten) beschränkt, so existiert eine kleinste obere
(bzw. größte untere) Schranke sup A (bzw. inf A ). Wenn sup A A
(bzw. inf A A ), so ist sup A max A (bzw. inf A min A ).
Beispiel 3: Beweise, daß das Produkt von n aufeinanderfolgenden ganzen
Zahlen immer durch n! teilbar ist.11
Beweis: Hier handelt es sich um eine Menge ganzer Zahlen und es werden
jeweils kleinste Zahlen betrachtet, die gewisse Eigenschaften erfüllen. Für
den Beweis genügt es, die Behauptung für positive ganze Zahlen n zu
beweisen, denn sie ist trivial, falls einer der Faktoren 0 ist, bzw. wenn alle
Faktoren negativ sind, betrachte man die Absolutbeträge. Auch hier läßt
sich die Schlußrichtung negieren und ein indirekter Beweis führt zum Ziel.
Angenommen, es gibt n aufeinanderfolgende Zahlen, deren Produkt nicht
durch n! teilbar ist.
Aus allen Zahlen n mit dieser Eigenschaft wähle man die kleinste aus, sei
dies N ( N 2 , da das Produkt von zwei aufeinanderfolgenden ganzen
Zahlen immer gerade ist). Es gibt also ein m t mit der Eigenschaft
(m 1)(m 2) (m N ) ist nicht durch N ! teilbar.
Von allen diesen Zahlen m sei M ( M 0 , da N ! durch N ! teilbar ist) die
kleinste Zahl mit der Eigenschaft
(1) (M 1)(M 2) (M N 1)(M N ) ist nicht durch N ! teilbar.
Es gilt:
(2) (M 1)(M N 1)(M N ) 
M
(M 1)(M 2)(M N 1)N 
(M 1)(M 2)(M N 1)
11
Larson. S. 52.
11
Wegen der Wahl von M als kleinste gesuchte Zahl teilt N ! das Produkt
aus n Faktoren M (M 1)(M 2) (M N 1) und wegen der Wahl von
N teilt (N 1)! das Produkt (M 1)(M 2) (M N 1) aus n 1
Faktoren,  N ! teilt das Produkt N (M 1)(M 2) (M N 1)  N !
teilt die rechte Seite von (2)  Widerspruch zu (1).
2.1.4 Beweis durch vollständige Induktion
Dieses Beweisprinzip ist die Anwendung des Peano-Axioms als wichtigste
Eigenschaft der natürlichen Zahlen. Es seien n, n 0 t, dann läßt sich das
Prinzip der vollständigen Induktion so formulieren:
Gegeben sei eine Aussage A(n ) , die Induktionsvoraussetzung (I.V.), die von
der ganzen Zahl n mit n n 0 abhängt. Ferner gelte folgendes:
1) Induktionsanfang (I.A.): Die Aussage A(n ) ist für n n 0 richtig.
2) Induktionsschritt (I.S.): Aus der Richtigkeit der Aussage A(n ) folgt die
Richtigkeit von A(n 1) .
Dann ist die Aussage A(n ) für alle ganzen Zahlen n mit n n 0 richtig.
n
Beispiel 4: Für alle n t ( n 0 ) ist die Zahl 32 1 durch 2n 2 teilbar.
Beweis durch vollständige Induktion:
1
I.A.: n 1 : 212 8 | 32 1 8 
I.V.: Sei die Behauptung für ein beliebiges festes n t ( n 0 ) bewiesen.
I.S.: n  n 1
n 1
32
1 32
n

2
n
n
n
1 (32 )2 1 (32 1) (32 1)
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
nach I.V.
durch 2n 2
teilbar
2n 2 
2 2n 3 2(n 1)2 | 32
n 1
1 .
durch 2 teil n
bar, da 32
ungerade ist

Teilbarkeitsregel
12
Beispiel 5: Alle Zahlen der Form 12008, 120308, 1203308, ... sind durch 19
teilbar.12
Beweis durch vollständige Induktion:
Sei die Folge mit ( a n ) bezeichnet.
I.A.: n 1 : a1 12008 19 
632 
I.V.: Sei die Behauptung für ein beliebiges festes n t ( n 0 ) bewiesen.
I.S.: n  n 1 :
a n 1 a n 1083 
10n 1  a n 19 
57 
10n 1

19 | an 1 .

*
Zu
Teilbarkeitsregel
():
nach I.V.
durch 19
teilbar
Die
Folgenglieder
n 2
lassen
sich
allgemein
beschreiben
als
an 12 
10n 2 102 
3 10k 8 ( n 1 ). Weiter gilt:
k 0
n 1
n 2
an 1 a n 12 
10n 3 102 
3 10k 8 12 10n 2 102 3 10k 8
120 
10
n 2
12 
10
n 2
k 0
3 
10
n 1
1083 
10
n 1
k 0
 an 1 an 1083 
10n 1 .
2.1.5 Problemabwandlung13
Was sollte man machen, wenn man die Daten der Aufgabe gesammelt und
sie in eine geeignete Form der Bezeichnung gebracht hat, die Aufgabenstellung untersucht hat und Vermutungen aufgestellt hat, versucht hat
Beziehungen zu finden, aber trotzdem zu keinem Lösungsansatz gelangt,
vielleicht weil die Berechnungen und Umformungen zu kompliziert werden
oder sich einfach keine Zugänge zur Lösung anbieten? In solchen Fällen
kann es angebracht sein, das Problem in eine äquivalente aber einfachere
Form zu bringen. Dafür braucht man Kreativität und algebraische
12
Engel [11]. S. 209.
13
vgl.: Larson. S. 15 ff., 22 ff., 54 ff.
13
Manipulationen, Substitutionen, Bijektionen, einen Wechsel der Variablen
oder
eine
Neuinterpretation
des
Problems
in
einem
anderen
mathematischen Kontext. Gelingt dies nicht, können modifizierte oder
Hilfsprobleme betrachtet werden, so daß deren Lösung die Lösung der
Ausgangsaufgabe
umgekehrt.
Die
wichtigste
impliziert,
Art
der
jedoch
nicht
Abwandlung
notwendigerweise
eines
Problems
ist
auch
die
Verallgemeinerung. Dafür werden zusätzliche Variablen für weitere
Umformungen eingeführt und / oder Voraussetzungen allgemeiner gefaßt,
so daß die gegebene Aufgabe ein Spezialfall der allgemeineren Situation
wird.
Beispiel 6: Ist n 4 545 5454 eine Primzahl?14
Lösung: 4 545 5454 ist keine Primzahl. Zur Lösung der Aufgabe wird
folgende
Verallgemeinerung
benutzt:
a 4 4b 4 a 4 4a 2b 2 4b 4 4a 2b 2
(a 2 2b 2 )2 (2ab )2 (a 2 2b 2 2ab )(a 2 2b 2 2ab ) .
Es gilt 4545 5454 545 4 4 
(4136 )4 mit a 545 und b 4136 , wodurch
sich die linke Seite der Identität ergibt. Somit gibt es eine echte Zerlegung
für n.
2.2
Strategien für die Zahlentheorie
Nach den Methoden werden jetzt Strategien vorgestellt, die helfen sollen,
Beweisansätze und Lösungswege für die gestellte Aufgabe zu finden. Ohne
ihre Kenntnis bleiben Wettbewerbsaufgaben sehr schwierig, denn bei der
Auswahl solcher Aufgaben wird besonderer Wert auf den Einsatz von
heuristischen Strategien gelegt (vgl. 4.2). Aus der Vielzahl möglicher
Strategien sind hier diejenigen ausgewählt, die für das Lösen von Aufgaben
14
Engel [11]. S. 121.
14
aus der Zahlentheorie mit Erfolg eingesetzt werden können bzw. dafür
notwendig
sind.
Andere
Strategien
mathematische Bereiche sinnvoll.
sind
ihrerseits
für
andere
In dieser Arbeit wird zwischen Methoden und Strategien unterschieden.
Das geschieht deshalb, weil sie verschiedene Anteile an der Lösung einer
Aufgabe haben. Im Gegensatz zu den Methoden nutzen Strategien feiner
die Besonderheiten des mathematischen Problems aus, daher kann man
auch von Strategien speziell für einen mathematischen Bereich sprechen.
Sie geben eine Struktur für die Lösung oder den Beweis vor. Zusätzlich
hängen sie mit den Definitionen, Sätzen und Anwendungen aus der
Zahlentheorie zusammen: erkennt man, daß eine gewisse Strategie hilfreich
ist, so weist diese Auswahl meist schon auf Sätze etc. hin und umgekehrt.
Andererseits kann eine Strategie helfen, die Lösung oder den Beweis zu
ge
s
t
al
t
e
n.Dadur
c
h we
r
de
n di
eMe
t
hode
ns
o
z
us
age
nz
um „Rahme
n“de
r
Aufgabe, denn sie sammeln und bündeln alle bisherigen Ideen und liefern
den formalistischen Beweis, bzw. die korrekte Lösung. Folgendes Schaubild
soll diese Überlegungen verdeutlichen.
Strategien
Anwendungen
Aufgabe
math. Problem
Sätze, Definitionen
allgemeine Beweismethoden
Lösung der Aufgabe
Abb. 1: Ineinandergreifen von Methoden, Strategien und Sätzen15
15
eigene Grafik.
15
2.2.1 Das Invarianzprinzip
Das Invarianzprinzip16 kann man so formulieren:
Gibt es eine Wiederholung, so achte man auf das, was seinen Zustand oder
seine Eigenschaft nicht wechselt, was also invariant bleibt.
Es kann in Aufgaben angewendet werden, die einen algorithmischen Inhalt
haben bzw. in denen danach gefragt wird, ob ein gewisser oder welcher
Endstatus erreicht werden kann.
Beispiel 7: Sei n t ungerade. An der Tafel stehen die Zahlen 1, 2, , 2n .
Streicht man zwei beliebige Zahlen a und b weg und schreibt statt dessen
a b an die Tafel, so bleibt zuletzt eine ungerade Zahl an der Tafel
stehen.17
Beweis: Sei S 1 2  2n n(2n 1) die Summe aller Zahlen an der
Tafel. Diese Zahl ist ungerade. Jeder Schritt der Aufgabe reduziert S um
2
min(a, b) , also um eine gerade Zahl. Deshalb bleibt die Parität (s.u.
2.2.3) von S invariant. Während der gesamten Prozedur gilt S 1 mod 2 .
Da die Parität von S zu Beginn ungerade ist, ist sie auch am Schluß
ungerade.
16
vgl.: Engel [11]. S. 1-23.
17
a.a.O. S. 2.
16
2.2.2 Das Schubfachprinzip
Das zuerst von Dirichlet (1805-1859) formulierte Schubfachprinzip18 ist
eine der wirkungsvollsten Strategien zur Lösung von Aufgaben aus der
Zahlentheorie (und auch aus der Kombinatorik). Es lautet:
Wenn kn 1 Objekte ( k t, k 1 ) auf n Schubfächer aufgeteilt werden,
enthält ein Schubfach k 1 Objekte.
Im Besonderen tritt der Fall k 1 sehr häufig in den Anwendungen auf.
Man
muß
bei
dieser
Strategie
jedoch
darauf
achten,
daß
das
Schubfachprinzip eine reine Existenzbehauptung ist. Es liefert keine Hilfe,
ein mehrfach besetztes Schubfach zu bestimmen.
Beispiel 8: Gegeben sind n nicht notwendig verschiedene ganze Zahlen
a1, a 2 , , a n . Dann gibt es stets eine Teilmenge dieser Zahlen, deren
Summe durch n teilbar ist.19
Beweis: Betrachte die n Zahlen
s1 a1
s 2 a1 a 2
s 3 a1 a 2 a 3

s n a1 a 2  an
Ist eine dieser Zahlen durch n teilbar, so ist der Beweis fertig. Andernfalls
sind ihre Reste mod n von 0 verschieden. Da es aber nur n 1 von 0 verschiedene Restklassen mod n gibt, müssen zwei der Summen s p und sq
mit
p q
in
der
selben
Restklasse
sq s p a p 1  aq durch n teilbar.
18
liegen.
Dann
ist
vgl.: Larson. S. 79 ff. und Engel, Arthur / Sewerin, Horst: Das Schubfachprinzip. in:
[10] S. 23-37.
19
mod n
Engel [10]. S. 25.
17
Beispiel 9: Unter n 1 Zahlen aus {1, 2, , 2n } gibt es immer zwei
Zahlen, so daß die eine durch die andere teilbar ist.20
Beweis: Man wähle n 1 Zahlen a1, , an 1 aus und schreibe diese in der
Form ai 2ki 
bi mit ungeradem bi . Dann hat man n 1 ungerade Zahlen
bi aus dem Intervall I [1, 2n 1] . Da es aber nur n ungerade Zahlen in I
gibt, gibt es p und q mit bp bq . Dann ist eine der Zahlen a p und aq
durch die andere teilbar.
2.2.3 Parität ausnutzen
Die einfache Idee der Parität –gerade und ungerade –ist eine starke
Strategie für das Problemlösen. Im Abschnitt 2.3 findet sich eine wichtige
Verallgemeinerung dieser Idee: das Rechnen mit Kongruenzen.
Beispiel 10: Es sei a1, a 2 , , a n eine beliebige Permutation der Zahlen
1, 2, , n . Ist n ungerade, so ist das Produkt (a1 1)(a 2 2)(an n ) eine
gerade Zahl (oder 0).21
Beweis: Das Produkt kann nur dann ungerade sein, wenn alle Faktoren
ungerade sind. Deshalb genügt es zu zeigen: ein Faktor ist gerade 
1 i n mit ai i ist gerade.
n 1
n 1
gerade und
2
2
ungerade Zahlen, ebenso wird von den ai die gleiche Anzahl gerader und
n 1
ungerader Zahlen abgezogen. Dadurch können
Differenzen von der
2
Da n ungerade ist, gibt es unter a1, , an genau
20
ebd.
21
Larson. S. 49.
18
Ge
s
t
al
t„ge
r
ade – unge
r
ade = unge
r
ade
“ bz
w.„unge
r
ade – gerade =
unge
r
ade
“e
nt
s
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n.Ei
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r
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nz muß dann abe
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s
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r
ade–ungerade = ge
r
ade
“s
e
i
n.Dasi
s
tdannde
rge
s
uc
ht
eFakt
or
.
2.2.4 Systematisches Probieren
Bei der Bearbeitung der Olympiadeaufgaben für den Seminarvortrag steht
genügend Zeit zur Verfügung um die Aufgabe zu lösen (ganz im Gegensatz
zur Bearbeitungszeit bei der Mathematikolympiade). Wenn aber gemein-
sam im Seminar an Aufgaben gearbeitet wird, steht weniger Zeit zur
Verfügung, und es ist wenig sinnvoll lange planlos zu probieren. Zu
manchen Aufgaben kann man schnell einen systematischen Ansatz finden,
wenn aber ein Problem wenig oder gar nichts über einen möglichen
Lösungsansatz verrät, sollte man versuchen systematisch zu probieren.
Häufig führt dieses Vorgehen zum Entdecken von Mustern.22
Unter Umständen kann man auch durch die Rückwärtsstrategie23
systematisch einen Lösungs- und Beweisansatz aufbauen. Rückwärts
arbeiten bedeutet, die Behauptung als richtig bzw. als gelöst anzunehmen
und dann zu versuchen, Äquivalenzumformungen vorzunehmen, um so eine
leicht zu beweisende Aussage zu bekommen oder die gegebenen Daten zu
erreichen. Für die korrekte Formulierung des Beweises kehrt man dann die
Reihenfolge der Umformungsschritte um.
22
vgl.: Sewerin, Horst: Zum systematischen Probieren. in: [10] S. 58-68. Larson führt diese
St
r
a
t
e
g
i
eg
l
e
i
c
ha
l
s„
Suc
hena
c
hMus
t
e
r
n“e
i
n(
vgl
.do
r
tS.2
)
.
23
vgl.: Larson. S. 40 ff.
19
Beispiel 11: Gegeben sei die Zahlenfolge a1, a 2 , a 3 ,  mit a1 1, a 2 2 ,
an an 1 
an 2 für n 3, 4,  . Man bestimme den Rest von a 366 bei
Division durch 7.24
Beweis: Die rekursive Definition der Zahlenfolge bedeutet, daß alle
Folgenglieder 2er-Potenzen sind:
a1 1 2 0
a 5 8 2 3
a 2 2 21
a 6 32 25
a 3 2 21
a 7 256 2 8
a 4 4 22
a 8 8192 213 usw.
Die Exponenten bilden die Folgenglieder der Fibonacci-Folge, was sofort
aus den Rechengesetzen für Potenzen folgt, doch für die konkrete
Berechnung von a 366 hilft weder die rekursive Definition der Fibonacci(1  5 )n (1  5 )n
Folge noch die äquivalente geschlossene Form un 
2n  5
weiter.
Da nur 2er-Potenzen in der Zahlenfolge vorkommen, wäre es nützlich,
wenn man etwas über deren Reste bei Division durch 7 wüßte:
20 1(7)
21 2(7)
22 4(7)
Behauptung: Es gilt
2 3 1(7)
2 4 2(7)
25 4(7) 26 1(7)
2 3k 1 mod 7 


3k 1
(ii ) 2
2 mod 7 für k 0, 1, 

(iii ) 2 3k 2 4 mod 7 

Beweis durch vollständige Induktion:
(i )
(i) I.A.: k 0 : 2 0 1 1 mod 7 
I.V.: Sei die Behauptung für ein beliebiges festes k t bewiesen.
I.S. k  k 1
2 3(k 1) 2 3k 
2 3 2 3k 
1 mod 7 1 mod 7 ,
also gilt () 2
24
Sewerin. in: [10]. S. 67.
3k
1 0 mod 7
I.V.
20
Rest durch Fallunterscheidung:
(ii) 2 3k 1 2 2 
(2 3k 1) 0 mod 7

(iii) 2
3k 2
4 4 
(2
3k
1) 0 mod 7

Da a 366 2 , m t, reicht es zu wissen, welchen Rest m bei Division
m
durch 3 läßt, um eine Aussage über den Rest von a 366 bei Division durch 7
zu machen.
Betrachte dafür erneut die Folgenglieder:
a1 2 0 2 3k , k 0
a 5 2 3 2 3k , k 1
a 2 21 2 3k 1, k 0
a 6 25 23k 2 , k 1
a 3 21 2 3k 1, k 0
a 7 2 8 2 3k 2, k 2
a 4 22 2 3k 2 , k 0
a 8 213 2 3k 1, k 4
Um etwas über den jeweiligen Exponenten zu erfahren, reicht es, den
jeweiligen Index modulo 8 zu berechnen, da gilt:
a 9 a 8 
a 7 23k2 1 
23k1 2 23(k1 k2 1) 23k 3 a1 mod 7
a10 a 9 
a 8 23k 3 
23k2 1 23(k 3 k2 )1 23k 4 1 a 2 mod 7
usw.
Ergebnis: 366 6 mod 8  a 366 a 6 mod 7  a 366 4 mod 7 .
Beispiel 12: Ausgehend von 1, 9, 9, 3 wird die Folge 1, 9, 9, 3, 2, 3, 7, 
konstruiert, indem jede neue Ziffer die Summe der 4 vorausgehenden
Ziffern mod 10 ist. Erscheint das 4er-Tupel ( 7, 3, 6, 7 ) in der Folge?25
Lösung: Die Aufgabe entsprechend der Aufgabenstellung zu bearbeiten, ist
keine gute Idee, selbst wenn das gesuchte 4er-Tupel relativ früh in der
Folge auftreten würde. Deshalb kann man hier mit der Rückwärtsstrategie
zum Ziel gelangen. Dafür werden zwei Varianten angegeben.
a) Man starte die Folge vom Ziel aus: () 7, 3, 6, 7, 3, 9, 5, 4, 1, 9, 9, 3, 2,
3, 7. Unter diesen Ziffern finden sich alle acht Ziffern, nach denen
gefragt wird. Aber wiederholen sie sich? Ja, denn es gibt 10 4
verschiedene 4er-Tupel. Spätestens mit dem 10.001ten 4er-Tupel hat
25
Engel [11]. S. 378.
21
a) man eine Wiederholung (man kann sich überlegen, daß gewisse 4erTupel wegen () nicht auftreten können, z.B. ( 0, 0, 0, 0 ), da hier nur
weitere Nullen folgen würden). Also gibt es eine Periode in der Folge,
da die Sequenz 1, 9, 9, 3 aus beiden Richtungen erreicht werden kann,
und die Periode enthält das gesuchte 4er-Tupel sehr spät.
b) Für di
e Fo
l
g
ei
s
t di
e Bi
l
dungs
vor
s
c
hr
i
f
t„
nac
hr
e
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ht
s
“ vor
ge
ge
be
n.
Wenn man das Bildungs
ge
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z„nac
hl
i
nks
“f
i
nde
t
,kannmandi
eFol
ge
rückwärts aufbauen. Sei x die Ziffer vor 1, 9, 9, 3 . Dann muß gelten:
x 1 9 9 3 mod 10 . Da 1 9 9 19 ist, muß das Ergebnis der
Addition x 1 9 9 23 sein (beachte: x 9 )  x 4 . Mit der
gleichen Argumentation erhält man alle Ziffern davor. Der Schluß folgt
dann wie in Teil a).
2.3
Sätze aus der Zahlentheorie
Bereits in den vorherigen Abschnitten wurde für die Bearbeitung der
Beispiele auf den Inhalt der Elementaren Zahlentheorie zurückgegriffen.
Wenn man die Wettbewerbsaufgaben für diese Arbeit bzw. für die
Seminararbeit überblickt, so kommen einige Sachverhalte der Zahlentheorie wiederholt vor, und es gibt einen gewissen Vorrat an Sätzen etc.
über den man verfügen muß. Für die Seminarteilnehmer sollte das alles
bereits bekannt sein, es wird hier angeführt, um den Umgang damit zu
verstehen.
a) Definitionen: Manchmal können sie bereits ein Schlüssel zur Aufgabe
s
e
i
n,z
.
B.di
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f
i
ni
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o
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n„Pr
i
mz
ahl
“ode
r„Te
i
l
e
r
“.
b) Sätze: Sie helfen bei komplexen Sachverhalten weiter, ihre Anwendung
läßt sich aber nicht ganz scharf von den Definitionen trennen, da im
Problemlöseprozeß der Übergang fließend ist.
c) Anwendungen:t
ypi
s
c
heund hä
uf
i
gge
br
auc
ht
e„Handgr
i
f
f
e
“,wi
ez
.
B.
rechnen mit Kongruenzen.
21
22
Wiederkehrend sind folgende Sachverhalte:
(2.3.1) Seien a, b w. a | b (a teilt b)  c w mit ac b
(i) a | b , b | c  a | c
(ii) a | b , a | c  a | xb yc ( x, y w)
(iii) a b | a n b n für alle n t
(2.3.2) p w heißt Primzahl oder prim  p 1 und p hat keine nichttrivialen Teiler; Menge aller Primzahlen: .
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Seien a, b t, p . Dann gilt: p | ab  p | a p | b .
(2.3.3) Fundamentalsatz: Jede natürliche Zahl ist (bis auf die Reihenfolge
der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellbar.
Folgerungen:
(i) Sei n p1a1  pkak , dann sind alle Teiler von n von der Gestalt
m p1b1  pkbk , 0 bi ai , i 1, , k , und n hat (a1 1) 

(ak 1)
verschiedene Teiler.
(ii) n ist genau dann eine Quadratzahl, wenn alle ai gerade sind,
eine Kubikzahl, wenn alle ai Vielfache von 3 sind usw.
(iii) Der kleinste Primfaktor von n ist  n .
(2.3.4) a p v p (a ) , b p v p (b ) , p , a, b t
p
ggT(a, b) p
p
p
min(v p (a ), v p (b ))
ggT(a, b) 
kgV(a, b) ab
, kgV(a, b) p max(v p (a ), v p (b ))
p
(2.3.5) Division mit Rest: Sei b w, a w \ 
0 . Dann gibt es eindeutig
bestimmte q, r w mit b aq r und 0 r a .
22
23
(2.3.6) Euklidischer Algorithmus: Seien a, b t mit a 
|b.
b q 1a r1 mit 0 r1 a
a q 2r1 r2 mit 0 r2 r1
r1 q 3r2 r3 mit 0 r3 r2

ri 2 q iri 1 ri mit 0 ri ri 1
Das Verfahren bricht ab, da b a r1  0 . Sei rn der
rn 2
kleinste nicht verschwindende Rest.
qn rn 1 rn mit 0 rn rn 1
rn 1 qn 1rn 0
Nun ist rn ggT(a, b) und es gibt x, y w mit ggT(a, b) ax by ,
indem man das Verfahren rückwärts durchläuft und die Gleichungen in die jeweils vorherige einsetzt.
(2.3.7) Pythagoräische Tripel: a, b, c t heißt pythagoräisches Tripel,
wenn a 2 b 2 c 2 . Sie lassen sich darstellen durch a m 2 n 2 ,
b 2mn , c m 2 n 2 mit m, n t, ggT(m, n ) 1 , m n , m und
n von verschiedener Parität.
(2.3.8) Kongruenzen: Sei m w \ 
0 .
a, b w heißen kongruent modulo m, wenn m | a b . Schreibweise:
a b mod m oder a b(m )
(a und b besitzen bei Division durch m den selben Rest).
a a 
mod m 
a b a 
b 
mod m



(i)



b b 
mod m 
ab a 
b
mod m



(ii) ax 1 mod m lösbar  ggT(a, m ) 1

a k b k mod m

(iii) a b mod m  
f (a ) f (b ) mod m


mit f (x ) an x n  a1x a 0 , ai w
23
24
Im Abschnitt 2.2.3 wurde die Parität als heuristische Strategie eingeführt.
Eine ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade, je nachdem ob ihr
Rest bei Division durch 2 Null oder Eins ist. Diese Idee ist hier ver-
allgemeinert worden: die Einführung von Restklassen für alle n 2 ,
n t. Die Parität für n 2 läßt sich also als x 0 oder 1 mod 2
schreiben.
(2.3.9) Eulersche -Funktion: (m) = Anzahl der zu m t teilerfremden natürlichen Zahlen a mit 1 a m 1 .
 1
Es gilt: (m) m 
1 
, insbesondere: (p) p 1 , p .



p
p|m 

(2.3.10) Satz von Fermat-Euler: a(m) 1 mod m falls ggT(a, m ) 1 ,
speziell: m p , a p 1 1 mod p falls p 
|a.
(2.3.11) Gaußklammer: [x ] = größte ganze Zahl x für x v.
Sei n pp (n ) , n t, p , dann gilt:
p

n  n  n 
p (n! )   2  3 
p  
p 
p  
2.4
Einsatz eines Fragenkataloges
Die bisher behandelten Aspekte sind wesentlich für das Lösen von
Aufgaben aus dem Bereich Zahlentheorie, aber sie stehen noch einzeln da,
es fehlt eine Systematik für das gezielte Erarbeiten einer Lösung oder eines
Beweises. Die Chance, den Einsatz von Strategien, Methoden und
Fachwissen zu optimieren, besteht darin, eine Sammlung von nützlichen
Fragen parat zu haben und zu benutzen. Im Folgenden wird der Vorschlag
von Georg Pólya wiedergegeben, anschließend kommentiert und mit
24
25
anderen Ansätzen verglichen. Zum besseren Verständnis ist der Fragenkatalog von Pólya25 hier vollständig angeführt.
1) Verstehen der Aufgabe
 Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung?
 Ist es möglich, die Bedingungen zu befriedigen? Ist die Bedingung ausreichend, um die Unbekannte zu bestimmen? Oder ist sie unzureichend? Oder ist sie überbestimmt? Oder kontradiktorisch?
 Zeichne eine Figur! Führe eine passende Bezeichnung ein!
 Trenne die verschiedenen Teile der Bedingung! Kannst Du sie hinschreiben?
2) Ausdenken eines Planes
 Hast Du die Aufgabe schon früher gesehen? Oder hast Du dieselbe
Aufgabe in einer wenig verschiedenen Form gesehen?
 Kennst Du eine verwandte Aufgabe? Kennst Du einen Lehrsatz, der
förderlich sein könnte?
 Betrachte die Unbekannte! Und versuche, Dich auf eine Dir bekannte
Aufgabe zu besinnen, die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat.
 Hier ist eine Aufgabe, die der Deinen verwandt und schon gelöst ist.
Kannst Du sie gebrauchen? Kannst Du ihr Resultat verwenden?
Würdest Du irgend ein Hilfselement einführen, damit Du sie verwenden
kannst?
 Kannst Du die Aufgabe anders ausdrücken? Kannst Du sie auf noch
verschiedene Weise ausdrücken? Geh auf die Definition zurück!
 Wenn Du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, so versuche,
zuerst eine verwandte Aufgabe zu lösen. Kannst Du Dir eine
zugänglichere verwandte Aufgabe denken? Eine allgemeinere Aufgabe?
Eine speziellere Aufgabe? Eine analoge Aufgabe? Kannst Du einen Teil
der Aufgabe lösen? Behalte nur einen Teil der Bedingungen bei und
lasse den anderen fort; wie weit ist die Unbekannte dann bestimmt, wie
kann ich sie verändern? Kannst Du etwas Förderliches aus den Daten
ableiten? Kannst Du Dir andere Daten denken, die geeignet sind, die
Unbekannte zu bestimmen? Kannst Du die Unbekannte ändern oder
die Daten oder, wenn nötig, beide, so daß die neue Unbekannte und die
neuen Daten einander näher sind?
 Hast Du alle Daten benutzt? Hast Du die ganze Bedingung benutzt?
Hast Du alle wesentlichen Begriffe in Rechnung gezogen, die in der
Aufgabe enthalten sind?
3) Ausführen des Planes
 Wenn Du Deinen Plan der Lösung durchführst, so kontrolliere jeden
Schritt. Kannst Du deutlich sehen, daß der Schritt richtig ist? Kannst
Du beweisen, daß er richtig ist?
25
Pólya [19], Innendeckel.
25
26
4) Rückschau
 Kannst Du das Resultat kontrollieren? Kannst Du den Beweis
kontrollieren?
 Kannst Du das Resultat auf verschiedenen Weise ableiten? Kannst Du
es auf den ersten Blick sehen?
 Kannst Du das Resultat oder die Methode für irgend eine andere
Aufgabe gebrauchen?
Pól
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Fragen und Anregungen können zum einen als Unterrichtsgespräch vom
Lehrer an die Schüler gestellt werden, um ihnen zu helfen eine
mathematische Aufgabe zu lösen. Diese Situation soll im Seminar simuliert
werden. Näheres dazu findet sich im Abschnitt 4.4. Zusätzlich kann man
sich selbst diese Fragen vorlegen. Konkret sind sie so eine Hilfe, um die
Aufgabe für den Seminarvortrag zu erarbeiten (vgl. 4.3).
Untersucht man die obigen Fragen genauer, so zeigt es sich, daß sie
erfolgreich zur Lösung von Aufgaben aus allen mathematischen Bereichen
angewendet werden können. Um die Fragen anzuwenden, muß man sich
mit ihnen und dem Analysieren der eigenen Lösungsschritte vertraut
machen. An dieses Vorgehen werden sich die Anwender schnell gewöhnen,
denn die Fragen und Anregungen sind so formuliert, wie man sie selbst
formulieren würde und wie man sie für das Lösen von Aufgaben gebraucht,
wahrscheinlich unbewußt auch schon so angewendet hat. Außerdem helfen
die Tips, seine eigenen Gedankengänge zu ordnen. Der Autor betont, daß
er die Anregungen nach ihrer wahrscheinlichsten Reihenfolge angeordnet
hat26.
Wesentlich für den Lösungsprozeß ist eine ständige Änderung der Sicht-
weise und ein Rückbezug auf das bisher Erarbeitete. Jeder Fortschritt,
jede Sackgasse und jede neue Idee erweitern das Verständnis der Aufgabe.
Diesem Phänomen wird der Fragenkatalog gerecht, wenn man die
Unterteilung als nicht streng lineare Anordnung versteht. Pólya unterteilt
26
vgl.: a.a.O. S. 15.
26
27
den Prozeß, der zur Lösung der Aufgabe führt, in vier Phasen27. Als erstes
muß man die Aufgabe verstehen und erkennen, was verlangt wird. Danach
müssen die einzelnen Elemente der Aufgabe in sinnvolle Beziehungen
zueinander gebracht werden. Dadurch entsteht ein Plan zur Lösung der
Aufgabe. Drittens muß dann der Plan ausgeführt und abschließend im
vierten Schritt die Lösung überprüft und diskutiert werden.
Einen weiteren Vorschlag, heuristische Strategien sowie Schwierigkeiten
und Regeln bei ihrem Einsatz in einer Liste zusammenzufassen, findet man
in Arbeiten von Alan Schoenfeld.28 Seine Auflistung umfaßt und ergänzt
die Ideen von Pólya. Er unterteilt das Problemlösen in die Phasen
„Anal
ys
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29
„Übe
r
pr
üf
ungde
rLös
ung“
. Im wesentlichen ist dies die selbe Aufteilung,
er bietet aber neue und teilweise differenzierte Formulierungen der
einzelnen Fragen und Hilfen.
Schoenfeld hat seinen Ansatz in Unterrichtsversuchen getestet. Er kommt
zu dem Ergebnis, daß Schüler, die seine Liste kannten und mit ihr bereits
gearbeitet hatten, gezielter und erfolgreicher Aufgaben lösten als die
Kontrollgruppe
ohne
dieses
Wissen.
Als
Zusammenfassung
empirischen Untersuchungen stellt er folgende Thesen auf:
seiner
-
der Umgang mit seiner Liste kann die Problemlösefähigkeit verbessern,
-
Bedingungen dafür sind:
-
auf solide Kenntnisse der Mathematik kann dabei nicht verzichtet
werden,
-
Erfahrungen mit Strategien in einem eng umrissenen Aufgabenbereich können nicht ohne weiteres auf andere Bereiche übertragen
werden,
27
vgl.: a.a.O. S. 19.
28
vgl.: Zimmermann. S. 9-18, der dort mehrere Aufsätze von Schoenfeld zu diesem Thema
zusammengefaßt und kommentiert hat.
29
a.a.O. S. 9 f.
27
28
-
der Umgang mit einzelnen Strategien ist komplex und verlangt
größte Sorgfalt,
-
es reicht nicht aus zu wissen, wie eine gewisse Strategie angewendet
werden kann, sondern man muß auch die Erfahrung gewinnen,
wann welche Strategie weiterhilft.30
Abschließe
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Problemen: Habe man Schwierigkeiten, die Lösung oder den Beweis einer
Aufgabe zu finden, so arbeite man der Reihe nach seine Liste ab.31
Diese Betrachtungen werden mit einem Versuch abgeschlossen, solche
Sammlungen von Fragen und Tips zum Problemlösen auf die Belange von
Aufgaben aus der Zahlentheorie zu optimieren. Dabei soll gleich betont
werden, daß man, sobald die folgenden Fragen nicht mehr weiterhelfen, auf
detailliertere Fragen zurückgreifen muß.
1) Verstehe die Aufgabe!
2) Lassen sich Signale im Aufgabentext finden, die bereits auf eine
Methode oder Strategie hinweisen? (Vgl. dazu die Checkliste.)
Welche Definitionen, Sätze und Anwendungen aus der Zahlentheorie
können benutzt werden?
Welche Lösungsideen oder Beweisansätze fallen dir ein?
3) Kontrolliere alle Schritte, überprüfe das Ergebnis!
Was läßt sich aus dieser Lösung für zukünftiges Problemlösen
gewinnen?
30
vgl.: a.a.O. S. 12.
31
vgl.: a.a.O. S. 18.
28
29
Checkliste:
Signale:
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leicht zu negierende Schlußrichtung
 Beweis durch Widerspruch
mathematischer Hintergrund der
Aufgabe macht die Erarbeitung verschiedener Fälle sinnvoll
Menge von Objekten (z.B. Zahlen,
 Fallunterscheidung
Restklassen) wird betrachtet
 Extremalprinzip
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 Beweis durch vollst. Induktion
sehr spezielle Aussage; Aufgabe ist
in einen größeren thematischen Zusammenhang eingebettet
 Verallgemeinerung
algorithmische Struktur
 Invarianzprinzip
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.
.
“
 Schubfachprinzip
gerade –ungerade
 Parität
Aussage der Aufgabe ist nicht ohne
 Systematisches Probieren /
weiteres zu spezifizieren
Rückwärtsstrategie
Es sei noch darauf hingewiesen, daß diese Zusammenstellung keineswegs
jede mögliche Formulierung enthält. Manchmal wird es auch nötig sein,
verschiedene Strategien zu kombinieren oder nacheinander auszuführen.
2.5
Zusammenfassung
Die einzelnen Elemente für eine Heuristik der Zahlentheorie müssen in der
praktischen Anwendung, sei dies im Seminar oder in der Vorbereitung
einer Aufgabe, alle zusammen in Betracht gezogen werden. Zum Folgenden
beachte man die Abbildung 2.
29
30
Den Ablauf während der Auseinandersetzung mit einer Aufgabe kann man
in eine Bearbeitungs- und eine Lösungsphase einteilen. Dabei gibt es
zwischen diesen beiden Phasen keine scharfe Trennlinie. In der Bearbeitungsphase fließen die einzelnen vorgestellten Elemente der Heuristik
zusammen. Wie bereits dargelegt, beeinflussen sie sich, bzw. werden
Methoden erst eingesetzt, nachdem Strategien oder Anwendungen eine
Lösungsskizze erkennen lassen. So ist es auch möglich, daß in einer
späteren Arbeitsphase wieder auf Definitionen etc. zurückgegriffen werden
muß. Während der gesamten Arbeit an einer Aufgabe kann ein
Fragenkatalog einen Plan zur Lösung vorgeben, oder für neue Anregungen
und Ideen nützlich sein. Sobald dann eine aussichtsreiche Lösungsidee oder
ein Beweisansatz gefunden ist, kommt man in die zweite Phase. Sollte es
sich aber ergeben, daß darin Fehler auftreten, so muß man in die
Bearbeitungsphase zurück, um erneut zu überprüfen, welches weitere
Material aus den Strategien, Methoden und Sätzen gewonnen werden
kann. Das Problemlösen wird dann mit der Lösung der gestellten Aufgabe
abgeschlossen.
Aufgabe / math. Problem
Strategien
Sätze aus der
Zahlentheorie
Fragenkatalog
Lösungsidee
ausführen,
formulieren und
überprüfen der
Lösung
wenn Fehler
aufgetreten
sind
Lösungsphase
wenn man in
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gerät
Bearbeitungsphase
allgemeine
Methoden
Abb. 2: Abläufe beim Problemlösen32
32
eigene Grafik.
30
31
Insgesamt läßt sich festhalten, daß es gewiß keine verbindliche Anleitung
für das Problemlösen in der Mathematik gibt, man muß aber bewußt von
allen Möglichkeiten Gebrauch machen. Man kann den Ratschlag geben:
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häufig den Einsatz verschiedener Strategien. Deshalb ist es am günstigsten,
jedem Problem offen anstatt mit der vorgefaßten Meinung, wie eine
einzelne
Strategie
eingesetzt
werden
muß,
entgegenzutreten.
Beim
Problemlösen ist die Lösung das Ziel. Sie ist die Sammlung aller Ideen, die
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n.
“33
3.
Aufbau und Strukturen
In diesem Kapitel werden Möglichkeiten für den Aufbau und Ablauf eines
Seminars über Problemlösen vorgestellt und erörtert. An ein solches
Seminar muß der Anspruch gestellt werden, die bisher erarbeiteten Ideen
und Ansätze sinnvoll umzusetzen.
3.1
Pólyas Ansatz für ein Seminar im Aufgabenlösen
Georg Pólya hat in den USA seine Erfahrungen als Dozent von Veranstaltungen zur Heuristik der Mathematik und von Seminaren zum
Aufgabenlösen gesammelt. Es war ihm dabei ein wichtiges Anliegen,
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au“34 zu bieten,
damit sie aus dieser Erfahrung heraus ihren Schülern später einmal die
33
Larson. S. 1 f. (eigene Übersetzung).
34
Pólya [20]. Bd. 1. S. 305.
31
32
gleichen Erfahrungen näherbringen können. Für Pólya ist das Lösen von
mathematischen Aufgaben, die nicht zu den routinemäßigen Aufgaben
gehören, wie z.B. Aufgaben aus mathematischen Wettbewerben, die
passende Betätigung im Sinne seines Anliegens. Ihre Bearbeitung erfordere
einen angemessenen Grad an Konzentration und Einsicht. Zusätzlich
könne man sich eine sichere und gründliche Kenntnis des Schulstoffes
aneignen.35 Da dies übliche Vorlesungen nicht bieten können, soll die
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Um jeden Teilnehmer Übung im Unterrichten zu bieten, schlägt der Autor
als Sozialform für sein Seminar Unterrichtssimulationen in Kleingruppen
vor. Da jedoch den meisten Teilnehmern der Ablauf und das besondere
Anliegen des Seminars, im besonderen heuristisches Arbeiten, unbekannt
sein dürfte, soll der Beginn der Veranstaltung verstärkt einführenden
Charakter haben. Der Dozent wählt Aufgaben aus, die hierfür besonders
geeignet
sind.
Unter
seiner
Anleitung
lösen
und
besprechen
die
Seminarteilnehmer diese. Wichtiges Ziel der Besprechung ist es, das
Schema der Aufgabe und der Lösung festzuhalten. Weitere Aufgaben als
Hausaufgabe sollen zur Festigung der Arbeitsweise und des Schemas
dienen. In der folgenden Stunde werden sie dem Plenum erklärt und
vorgeführt.37
Die eigentliche Arbeit beginnt dann danach. An jeden Teilnehmer wird
eine
eigene
Aufgabe
verteilt.
Für
dessen
Lösung
hat
er
eine
Unterrichtsstunde zur Verfügung und darf auf die Hilfe des Dozenten
zurückgreifen.
Nach
einer
abschließenden
Redaktion
der
Lösung
(überprüfen, vervollständigen, erneutes durcharbeiten und vereinfachen
derselben sowie evtl. einen alternativen Zugang zum Resultat finden)
bilden sich in der zweiten Stunde Vierergruppen. In denen übernimmt
einer oder eine die Rolle des Lehrers und stellt in bekannter Weise seine
35
vgl.: ebd.
36
a.a.O. S. 306.
37
vgl.: a.a.O. S. 307.
32
33
Aufgabe und deren Lösung vor. Nach einer Kritik der Leistung wechselt
jemand anderes aus der Gruppe in die Lehrerrolle bis alle an der Reihe
waren. Danach findet eine Umgruppierung statt, so daß jeder mehrmals
die Gelegenheit hatte, seine Aufgabe vorzuführen.38
3.2
Modifizierter Vorschlag
In dem jetzt folgenden Vorschlag für den Aufbau und Ablauf eines
zukünftigen Seminars zum Problemlösen sind sowohl Ideen von Pólya, als
auch Erfahrungen, Ansätze und eigene Verbesserungsvorschläge aus dem
bisherigen Seminar eingeflossen. Nach der Vorstellung des neuen Konzeptes wird dann auf die Einzelheiten eingegangen. Weitere Erläuterungen
zur Mitarbeit im Seminar folgen im nächsten Kapitel.
Ausgangspunkt des Seminars soll eine Einleitung in die Heuristik und in
das Lösen mathematischer Probleme und Aufgaben im besonderen
Hinblick auf die Erfordernisse des speziellen Aufgabenmaterials aus
mathematischen Wettbewerben zur Zahlentheorie sein. Aufgabe des
Dozenten sollte es sein, in das Thema und die Arbeitsweise einzuführen
und leitende Gedanken und Fragestellungen dazu vorzustellen. Die
einzelnen Methoden und Strategien mitsamt den illustrierenden Beispielen
sollen von den Studierenden vorgestellt werden.
Der zweite Teil des Seminars greift dann auf diese Vorbereitungen zurück,
kann im Grunde gar nicht auf sie verzichten. Jeder Teilnehmer hat vor
den Semesterferien eine Aufgabe zur Zahlentheorie von der Mathematik-
olympiade erhalten, die er nun anhand der bisherigen Erkenntnisse
bearbeitet, vorbereitet und dann in einer Sitzung vorträgt. Der zeitliche
Rahmen von 45 Minuten ist dafür ausreichend. Im Wesentlichen kommt es
darauf an, das bisher Gelernte umsetzen und angemessen darstellen zu
können.
38
vgl.: a.a.O. S. 308.
33
34
In den verbleibenden Stunden wird der Schwerpunkt von den Vorträgen
auf Unterrichtssimulationen verschoben. Für diesen dritten Block im
Seminar hat jeder Studierende eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb
Mathematik erhalten. Die Aufgabe des Vortragenden ist es jetzt, die
anderen Teilnehmer im gemeinsamen Problemlösen anzuleiten. Der
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natürlich heuristische Aspekte der Aufgabe außer acht zu lassen. Die
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ollen das bereits erarbeitete Wissen (Heuristik und
mathematische Schlüsse, Sätze, Theoreme etc. aus den Olympiadeaufgaben
bzw. aus der Vorlesung zur Elementaren Zahlentheorie) einsetzen und
anwenden. Jede Unterrichtsstunde sollte nicht länger als 40 Minuten
dauern, um abschließend gemeinsam darüber diskutieren zu können.
Dieser Vorschlag setzt bewußt andere Akzente als sie im bisherigen
Seminar gesetzt wurden. Dort hat jeder Studierende eine gesamte
Doppelstunde gestaltet. Die erste Stunde begann mit der Simulation von
Unterricht, danach, in der zweiten Doppelstunde, folgte ein kurzer Bericht
über einen ausgewählten Aspekt zur Heuristik und abschließend die
Darstellung einer Olympiadeaufgabe als Vortrag. Hier war von jedem die
gleiche Arbeit zu leisten, aber der gesamte Ablauf während des Semesters
wiederholte sich jedesmal. Der neue Aufbau soll dem Manko vorbeugen,
daß für einzelne Aufgaben, sei es im Vortrag oder in der Unterrichts-
simulation, die entscheidende Strategie oder Methode noch nicht zur
Verfügung stand. (Die Aufgaben wurden zwar trotzdem gelöst und
bearbeitet, hätte aber das nötige Wissen bereits zur Verfügung gestanden,
wären sicherlich einige Vorträge oder Stunden anders abgelaufen.
Zusätzlich wären bessere und tiefere Einblicke in die Heuristik der
Zahlentheorie und in das Problemlösen möglich gewesen.)
Pólyas Ansatz ist im wesentlichen die Idee entnommen, daß sich
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arbeiten.
Auch
die
Erkenntnis,
daß
auf
diese
Art
und
Weise
mathematischer Stoff vertieft wird, muß hervorgehoben werden. Dabei ist
34
35
es sinnvoll, sich auf ein Gebiet (hier: Zahlentheorie) zu beschränken. Die
von ihm vorgeschlagene Arbeitsweise, in kleinen Gruppen wiederholt eine
selbständig erarbeitete Lösung vorzutragen, ist jedoch auf die Dauer
eintönig und schöpft nicht alle Möglichkeiten aus, die die Beschäftigung
mit Heuristik und Problemlösen bietet: Es fehlt der Perspektivwechsel vom
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Der hier gewählte Zugang für ein künftiges Seminar möchte die
angesprochenen Schwächen beheben, muß sich aber noch in der Praxis
bewähren.
4.
Elemente der Seminararbeit
Nachdem im vorherigen Kapitel der Aufbau des Seminars dargestellt
wurde, werden nun die einzelnen Bausteine dafür vorgestellt und erläutert.
Dabei ist jeweils die Anforderung umzusetzen, die theoretische Grundlage
der Heuristik der Zahlentheorie mit der nötigen Praxis für Lehramtsstudierende zu verbinden.
4.1
Vermitteln der Heuristik
Unter dieser Aufgabenstellung wird es weniger um die Frage gehen, ob
und, wenn ja, wie man Heuristik vermitteln kann38, sondern vielmehr
38
In mathematikdidaktischen Forschungen wird dieser Fragestellung nachgegangen. Dort
lassen sich zwei Schwerpunkte feststellen: erstens Erkenntnisse aus psychologischpädagogischer
Sicht,
zweitens
die
Vermittlung
mathematischer
Inhalte
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dieser Arbeit soll jedoch nicht weiter auf diese Diskussion eingegangen werden.
36
darum, wie im Seminar der erste Schwerpunkt behandelt und umgesetzt
werden kann.
Grundlegend für das gesamte Seminar sind die in den Kapiteln 2.1 und 2.2
dargelegten Strategien und Methoden zur Zahlentheorie. Erste Aufgabe der
Studierenden soll es sein, jeweils eine Strategie oder eine Methode
vorzustellen und mit dem angegebenen Beispiel zu illustrieren.
Sinnvoll ist es, daran eine Einleitung des Dozenten in das Anliegen und die
verschiedenen
Arbeitsweisen
des
Seminars
anzuschließen.
Für
die
Vorbereitung der Vorträge, die zeitlich als nächstes anstehen, sollte den
Studierenden ein Fragenkatalog an die Hand gegeben werden und die
Arbeit damit an einem Aufgabenbeispiel verdeutlicht werden39. Außerdem
bietet es sich jetzt an, die wesentlichen Gedanken der Kapitel 4.3 und 4.4
vorzustellen. So haben die Seminarteilnehmer Zeit, sich auf ihre Mitarbeit
vorzubereiten.
Wenn
dann
die
Vorträge
gehalten
und
die
Unterrichtsstunden durchgeführt wurden, können sich alle Teilnehmer mit
diesem Basiswissen gewinnbringend an den Diskussionen und Reflexionen
beteiligen.
4.2
Aufgabenmaterial
Für die gemeinsame Arbeit im Seminar sollen Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik benutzt werden. Sie stehen in großer Anzahl
vollständig zur Verfügung und sind entsprechend der Zielsetzung dieses
Wettbewerbs gestellt und konzipiert worden.
Der Bundeswettbewerb Mathematik richtet sich vornehmlich an die
Jahrgangsstufen 11 bis 13. Die gestellten Aufgaben decken die Schulmathematik in den Gebieten elementare Zahlentheorie, Graphentheorie,
Kombinatorik und Geometrie ab und beschränken sich im wesentlichen auf
39
Entweder kann man auf eine eigene so gelöste Aufgabe aus der Zahlentheorie
zurückgreifen, oder man kann den Aufsatz von Gregor Berg reproduzieren.
37
den Stoff der Sekundarstufe I. In ihrer Besonderheit unterscheiden sie sich
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n“ Unterrichtsaufgaben, bzw. greifen sie
Themen auf, die nur knapp oder gar nicht mehr im normalen
Mathematikunterricht behandelt werden. Bei der Auswahl der Aufgaben
wird darauf geachtet, daß sie neben einer prägnanten Formulierung eine
interessante Fragestellung oder Lösung aufweisen. Die Hauptanforderung
soll im heuristischen Bereich liegen. Nur eine intensive Beschäftigung mit
dem gestellten mathematischen Problem und seinem thematischen Umfeld
führt zu Lösungsansätzen und einer erfolgreichen Lösungsidee. So sollen sie
das Interesse an der Mathematik und am Problemlösen wecken.
In den ersten zwei Runden wird der Bundeswettbewerb Mathematik als
Hausaufgabenwettbewerb durchgeführt. Daher sind die Aufgaben komplex
und verlangen einen genauen und systematischen Lösungsweg. Auch an die
verlangte Darstellung der Lösung und ihrer logischen Richtigkeit werden
bei der Bewertung strenge Maßstäbe gelegt. Diese Techniken müssen also
von
den
Teilnehmern
beherrscht
bzw.
durch
die
Teilnahme
am
Wettbewerb erlernt werden. Deshalb, und um einer Abschreckung
vorzubeugen, ist die erste Runde als Einstiegsrunde mit leichteren
Aufgaben gestaltet. Die Aufgaben der zweiten Runde werden dann
deutlich anspruchsvoller.40
Als Arbeitsgrundlage für die Seminarvorträge sind Aufgaben von der
Internationalen Mathematikolympiade vorgesehen. Im Gegensatz zum
Bundeswettbewerb Mathematik werden bei der Olympiade Klausuraufgaben gestellt. Sie behandeln die selben mathematischen Bereiche und
darüber hinaus zusätzliche Themen. Ähnlich wie bei den Aufgaben des
Bundeswettbewerbs muß zur Lösung der Aufgaben auf heuristische
Strategien zurückgegriffen werden. Häufig verbirgt sich in einer Aufgabe
eine fundamentale Idee, die es zu erkennen oder zu entdecken gilt. Dafür
braucht man jedoch viel Geschick und Übung. Auf diese Anforderung
40
vgl.: Leptin, H. und Langmann, H.-H.: Bundeswettbewerb Mathematik. in: [12] S. 2/3.
38
werden die Teilnehmer der Mathematikolympiade in speziellen Veranstaltungen vorbereitet.41
4.3
Anmerkungen zum Vortrag
Die Teilnehmer des zukünftigen Seminars sollen Problemlösen in verschiedenen sozialen Organisationsformen kennenlernen. Dadurch ändert
sich auch jeweils der Arbeitsstil. Die erste Form ist die Einzelarbeit. Sie
bietet die Möglichkeit, sich auf die Anwendung heuristischer Strategien zu
konzentrieren und das eigene mathematische Wissen einzubringen.42 So
können störende Faktoren ausgeblendet werden und es kann eine
differenzierte Auseinandersetzung mit allen Feinheiten der Aufgabe und
ihrer Strategien stattfinden.43 Die Ergebnisse, also die Lösung oder der
Beweis und der Problemlösungsprozeß, werden schließlich von jedem Teilnehmer im Seminar als Vortrag präsentiert.
Die für die Vorträge ausgewählten Aufgaben aus der Mathematikolympiade sind angemessen anspruchsvoll. In den Vorträgen sollen die
Studierenden zeigen, daß sie die Zahlentheorie sicher beherrschen und die
erarbeiteten heuritischen Hilfsmittel anwenden können. Im Vortrag soll
beides deutlich zum Ausdruck kommen. Als Hilfsmittel und Richtschnur
für die Gestaltung des Vortrages, und natürlich auch als Hilfe während der
Vorbereitung, sollte ein Fragenkatalog benutzt werden. Das bietet sich an,
da wohl alle Teilnehmer das erstemal eine Aufgabe unter diesen Aspekten
zu bearbeiten haben. Das folgende Beispiel illustriert ein mögliches
Vorgehen anhand der Fragen von Pólya.
41
vgl.: Engel, Arthur: Das Training der Deutschen IMO-Mannschaft. in: [10] S. 8-10.
42
vgl.: Hinkfuß. S. 111.
43
vgl.: a.a.O. S. 112.
39
Aufgabe: Es sei A die Summe der Ziffern der im dekadischen Zahlensystem
dargestellten Zahl 44444444. Es sei B die Summe der Ziffern von A. Man
berechne die Summe der Ziffern von B.44
Lösung:
1) Was ist gegeben? –Die (sehr große) Zahl 44444444 und: A Q(4444 4444 ) ,
B Q(A) , C Q(B ) mit Q ̂Quersumme (=Summe der Ziffern).
Was ist unbekannt? –A, B, C , wobei C die Lösung ist.
Ist es möglich die Aufgabe zu lösen? –Schwer zu entscheiden, da 44444444
groß ist.
2) Habe ich diese Aufgabe so oder ähnlich schon früher gesehen? –Ja, in
Übungsaufgaben zur Zahlentheorie wurde nach letzten Ziffern sehr großer
Zahl
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Betrachte die Unbekannte! –Sie läßt sich als C Q(Q(Q(4444 4444 )))
schreiben.
Zur Quersumme fällt mir folgende Regel ein:
Im Zehnersystem gilt: Der 9er-Rest einer Zahl ist gleich dem 9erRest ihrer Quersumme. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre
Quersumme durch 9 teilbar ist.
Dabei ist es wichtig zu beachten, welches Stellenwertsystem benutzt wird,
denn die Quersumme hängt davon ab, die Teilbarkeit aber nicht. Es ist
daher keine überflüssige Voraussetzung, wenn im Aufgabentext auf das
10er-Sys
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r Zahl
“ ist das selbe, als wenn man diese Zahl modulo 9
berechnet, also gilt: 4444 4444 A B C mod 9 .
Reicht das zur Lösung der Aufgabe aus? –Nein, denn C ist so nur bis auf
ein Vielfaches von 9 eindeutig. Der Gedanke kann aber evtl. später noch
genutzt werden.
Habe ich alle Daten benutzt? –Ja, aber eine Beobachtung ist noch unberücksichtigt geblieben: 44444444 ist eine sehr große Zahl, wie groß genau?
Aufschreiben kann man diese Zahl jedenfalls nicht.
44
17. IMO 1975. in: [16]. S. 91.
40
Kann ich etwas Hilfreiches aus den Daten ableiten?
-
ich soll Quersummen berechnen
die Addition in t ist kommutativ, und Zahlen, die aus den selben
Ziffern bestehen, haben die gleiche Quersumme
-
da es also nur auf die Ziffern, und nicht auf deren Reihenfolge,
ankommt, muß ich etwas über die Ziffern von 44444444 herausbekommen
-
wenn ich weiß, wieviele Ziffern 44444444 hat, kann ich deren Summe
abschätzen. Die Abschätzung ist mit dem dekadischen Logarithmus
möglich.
Ein Beispiel: 100 102 hat 3 Ziffern: lg(100) 1 2 1 3
1000 10 3 hat 4 Ziffern: lg(1000) 1 3 1 4
und alle Zahlen zwischen 100 und 1000 sind dreistellig. Da lg(x ) , x v,
eine stetige und streng monoton wachsende Funktion ist, gilt:
n lg(x ) n 1 für 10n x 10n 1 , n t, also ergibt sich für die Anzahl
der Ziffern einer Zahl y t \ 
0 (geschrieben im dekadischen System):
# Ziffern(y ) 
lg(y )
1 mit [
] = Gaußklammer.
3) (a) Abschätzung von C:
[lg(4444 4444 )] 1 [4444 
lg(4444)] 1 16.211 , d.h. 44444444 hat 16.211
Ziffern, die alle zwischen 0 und 9 liegen  A 16.211 
9 145.899 .
Die größte Quersumme aller natürlichen Zahlen kleiner als 145.899 ist:
Q(99.999) 45  B 45 . Hier ist die größte Quersumme:
Q(39) 12  C 12 .
(b) Für die weitere Rechnung ist es hilfreich, die Ordnung von 7 bzgl. 9 zu
2
kennen, die 3 ist, denn leichtes Nachrechnen zeigt: 71 
1(9) , 7 
1(9) und
7 3 343 1(9) . Also gilt:
4444 4444 7 4444 mod 9 7 314811 (7 3 )1481 
7 11481 
7 mod 9 7 mod 9
Insgesamt: C 12  C 7 mod 9  C 7
4) Die Aufgabe hätte so zu keinem Ergebnis geführt, wenn die Rechnung
unter (b) das Ergebnis C 0, 1, 2, 3 mod 9 ergeben hätte, da in diesen
Fällen die Abschätzung aus (a) keine Eindeutigkeit geliefert hätte.
41
Für die Lösung wurden aus der Zahlentheorie Teilbarkeitsregeln und das
Rechnen mit Kongruenzen ausgenutzt. Auch heuristische Strategien
wurden eingesetzt: das Invarianzprinzip (hier ist es die Quersumme
mod 9 ), Parität ausnutzen (rechnen mod 9 ) und eine Problemabwandlung
(so ließ sich das ursprüngliche Problem, die dritte Quersumme von
4444 4444 , erst über das Problem, die Anzahl der Stellen dieser Zahl zu
bestimmen, lösen).
An dieser Stelle läßt sich besonders deutlich zeigen, worauf der Vortrag
besonders eingehen muß: auf die Darstellung des Problemlöseprozesses.
Vergleicht man diese Ausarbeitung mit der in der Literatur angegebenen
Lösung45, so zeigt sich, daß dort ähnlich vorgegangen wurde, doch alle
Motivationen und Ideen zur Entwicklung der Lösung fehlen. Obwohl in der
Konzeption von Olympiadeaufgaben Heuristik eine Rolle spielt, findet sich
das nicht wieder. Auch auf die Bedeutung der Quersumme wird nicht
eingegangen und die Regel selbst wird erst nach ihrer Anwendung
wiedergegeben. Zusätzlich ließe sich die dort geführte Abschätzung noch
verfeinern.
Der Aufbau des Fragenkataloges erweckt den Anschein, daß sich eine
gegebene Aufgabe genau in vier Schritten lösen lasse. Dabei wird es eher so
ablaufen, daß man während der Lösungsphase häufiger zwischen den
einzelnen Schritten wechselt, sie vermischt oder parallel ausführt, bzw.
nicht genau trennen kann. Häufig, besonders bei schwierigen Aufgaben,
überblickt man nicht das Ende eines Ansatzes (Stufe 2) und führt daher
diesen erst einmal aus (Stufe 3). Landet man in einer Sackgasse, muß man
bisherige Zwischenergebnisse oder Alternativen überprüfen (Stufe 4) und
entdeckt dort evtl., daß noch nicht alle Daten berücksichtigt worden sind
(Stufe 1). So können sich diese Schritte mehrmals wiederholen.
Trotzdem lohnt sich der Fragenkatalog als Gedächtnisstütze und
„We
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vorgegebenen Fragen abarbeiten – sie sind häufig gar nicht für eine
45
vgl.: a.a.O. S. 96 f.
42
spezielle Aufgabe geeignet –sondern man muß auch seine eigenen Fragen
an die Aufgabe und an sich selbst stellen. Auf jeden Fall kann man so
bewußt über mathematische Sätze und heuristische Strategien und
Methoden reflektieren.
4.4
Gestaltung der Seminarsitzung
In der zweiten Hälfte des Semesters ist es dann die weitere Aufgabe der
Studierenden, jeweils eine Unterrichtsstunde zu halten, in der er oder sie
die anderen Teilnehmer beim gemeinsamen Lösen einer Wettbewerbsaufgabe anleitet. Besonderes Gewicht liegt wieder auf dem Gebrauch der
Heuristik der Zahlentheorie
Problemlösen in der Gruppe bietet die Möglichkeit, fremde Sichtweise und
Ideen in eigene Konzepte einzubeziehen, und die Chance, durch die
gemeinsame Arbeit
Anregungen
zum Problemlösen
und auch
zur
Arbeitstechnik zu erhalten.46 Beide Arbeitsformen im Seminar, Einzel- und
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mittels ... [ihres] Vorwissens individuell mit der Problemlage auseinanderzusetzen, ohne daß dabei andererseits die Gefahr zu geringer Kritik an
Ergebnissen oder Arbeitsweisen zu erwarten wäre. Anregungen würden die
individuelle
Arbeit
bereichern,
Rückmeldungen
über
individuelle
Leistungen in der Gruppe die Ausbildung der Selbstkontrolle und eine
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Dieser Perspektivwechsel und die Herausforderung, andere beim Problem-
lösen anzuleiten, geben darüber hinaus Einblicke in zukünftige Aufgaben
als Lehrerinnen und Lehrer. Neben einer Übung im Unterrichten, das
natürlich nicht im Rahmen dieses Seminars sondern erst im Referendariat
46
vgl.: Hinkfuß. S. 112.
47
a.a.O. S. 113.
43
beigebracht werden kann, bieten sich so im Besonderen Einblicke in das
Verhalten und das Vorgehen von Schülern beim Lösen mathematischer
Probleme.
4.4.1 Entdeckenlassendes Fragen
Überblickt man die Tendenzen in der Forschungsliteratur zum Thema
Problemlösen im Mathematikunterricht und beschränkt sich dabei auf die
Aspekte, die für die gewählte Thematik interessant sind, ergibt sich
folgendes Bild:
Erste Ansätze der Forschung zu diesem Themenkomplex lassen sich in den
hier bereits mehrfach erwähnten Arbeiten von Pólya finden. Sein Konzept
ist es, heuristische Strategien als Technik zum Problemlösen zu
unterrichten.48 Nachdem in der weiteren Forschung die These vertreten
wurde, durch „e
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n“49 könnten Schüler besser mathematische Probleme lösen,
änderte sich diese Auffassung Ende der 70er Jahre. Jetzt wurde gefordert,
daß man, wenn man das Problemlöseverhalten eines Einzelnen verstehen
wolle, nicht nur kognitive Faktoren (die mathematischen Kenntnisse des
Einzelnen und dessen Anwendung von Heuristik) zu betrachten habe,
sondern auch affektive Variablen (z.B. die mathematische Überzeugung).50
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ßcharakter der Mathematik betont,
»der ein wesentlicher Bestandteil eines am Problemlösen orientierten
Konzeptes ist« ... Dies bedeutet, daß nicht nur Ergebnisse und Fakten
48
49
vgl.: Burchartz. S. 1.
ebd. Zitiert wird: Pehkonen, Erkki: Developments in the understanding of problem
solving. in: ZDM 1991, Heft 2. S. 46.
50
vgl.: ebd. (erneut wird Pehkonen, S. 46, zitiert).
44
gelernt,
sondern
daneben
auch
der
»(kreative)
Prozeß
möglichst
selbständigen Findens von Lösungsideen und weiterführender Fragen« ...
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Die
letztere
Idee
kann
zu
einem
wesentlichen
Bestandteil
der
Seminararbeit werden. Im Verlauf des Seminars übernimmt jeder
Teilnehmer die Rolle des Lehrers, in der er oder sie selber die Teilnehmer
anleiten soll, eine gestellte Aufgabe zu erarbeiten und zu lösen. Zwar hat
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ihn jedoch die Herausforderung, andere so anzuleiten, daß sie konstruktive
Hilfe erhalten, aber nichts verraten wird. Zusätzlich muß die Aufgabe so
beherrscht werden, daß alle Lösungsmöglichkeiten, die Strategien und der
mathematische Hintergrund souverän zur Verfügung stehen. Damit die
weiteren Schritte sinnvoll und erfolgreich umgesetzt werden, muß die
logische Struktur des Problems verstanden worden sein. Nur so kann man
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helfen. Die selbe Situation wird wiederkommen, wenn man selber im
Unterricht Schülern eine Aufgabe gestellt hat. Es lohnt also, sich hierin zu
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Technik zur Verfügung. Die Fragen zur jeweiligen Aufgabe sollten so
gestellt werden, daß den Schülern geholfen wird, selbständig und mit
neuen Ideen das mathematische Problem zu lösen.52 Das Vorgehen des
Lehrers ist dabei sehr situationsgebunden. Er muß auf die Schüler und
deren Situation eingehen können und für den Prozeß der Lösungsfindung
unterstützend eingreifen. Den Ablauf zum Auffinden einer Lösung kann
51
ebd., zitiert wird: Zimmermann, Bernd: Offene Probleme für den Mathematikunterricht
und ein Ausblick auf Forschungsfragen. in: ZDM 1991, Heft 2. S. 40 f.
52
Auch hier gilt wieder, daß ein Fragenkatalog nur das Gerüst bilden kann. Man sollte
sich vorher ein Konzept erarbeiten, welche der dort (vgl. 2.4) zusammengestellten Fragen
und Hinweise für die jeweilige Aufgabe sinnvoll sind, und sich weitere Fragen überlegen.
Als Hilfe für diese Planungen sei auf Pólya ([20] Bd. 2. S. 122-129) verwiesen, der den
Zweck oder die Absichten einzelner Fragen genauer erläutert.
45
man durch einzelne Phasen charakterisieren: vorstellen und verstehen des
Problems, Abschätzung der Aussichten das Ziel der Aufgabe zu erreichen,
Suche eines Ansatzes und der Strategien, Abwägung der verschiedenen
Strategien,
Schwierigkeiten
benennen,
Einbeziehen
neuer
Aspekte,
mathematische Kenntnisse anwenden, die Situation überdenken und
überprüfen und abschließend Erarbeitung, Formulierung und Sicherung der
Lösung.53 Mit den passenden Fragen sollte man so zielgerichtete Aufmerksamkeit wecken und zu einem zielgerechten Handeln führen, denn
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zweifellos darin, daß er die für seine Aufgabe belangreichen Elemente und
54
ihre verschiedenen Verbindungen der Reihe nac
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Eine
gründliche Kenntnis der Aufgabe, deren mathematischem Umfeld und des
Einsatzes heuristischer Strategien ist daher unumgänglich. So kann
erfolgreiches Problemlösen im Seminar stattfinden.
4.4.2 Tips zum Unterrichten
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n“55 einige Hinweise, die in modifizierter Form auch für die
Arbeit im Seminar genutzt werden können. Georg Pólya hat seine Ideen
für die Ausbildung zukünftiger Lehrerinnen und Lehrern aufgeschrieben.56
Nach seiner Vorstellung kann ein Seminar im Problemlösen auf deren
zukünftige Aufgaben im Unterricht vorbereiten. Dabei hat für ihn der
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vgl.: Pólya [20]. Bd. 2. S. 122-129.
54
a.a.O. S. 135.
55
a.a.O. S. 152.
56
vgl. z.B.: Pólya [20]. Bd. 1. S. 13.
46
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n“57, präzise: nicht nur Kenntnisstoff zu vermitteln,
sondern die Schüler dahin zu bringen, die erworbenen Kenntnisse
praxisorientiert anwenden zu können. Man habe das so zu verstehen, daß
man den Schülern beibringt, wie man zielgerichtet, absichtsvoll oder auch
produktiv denken kann. Er sieht dieses als synonym mit dem bereits
häufiger erwähnten Lösen von Aufgaben im Unterricht. Zusätzlich müsse
man neben der notwendigen Vermittlung rein formaler Elemente der
Mathematik (Axiome, Definitionen und Beweise) die Schüler auch dazu
befähigen,
gegebene
oder
entdeckte
Sachverhalte
verallgemeinern,
induktive Schlüsse und Analogieschlüsse ziehen sowie mathematische
Begriffe in anderen Zusammenhängen wiedererkennen zu können.58
Als eine Folgerung dieser These stellt der Autor dann drei Prinzipien zum
erfolgreichen Lernen auf, denen drei Prinzipien für das Unterrichten
entsprechen.59 Davon sollen nur die vorgestellt werden, die auch für die
Unterrichtssimulation im Seminar Sinn machen.
Günstig für den Lernerfolg, und ihn fördernd, ist aktives und in Phasen
aufeinanderfolgendes Lernen. Unter dem ersten Punkt ist zu verstehen,
daß der Lernende möglichst viel selbst entdecken soll. Geschieht dies, so
weit das möglich ist, erfolgreich, wächst seine Motivation.60 Der zweite
Aspekt berücksichtigt die natürlichen Abläufe während des Lernens: einer
klärenden Phase folgt eine formalisierende und danach eine assimilierende
Phase61:„I
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der Phase des Umsetzens in Worte und der Bildung von Begriffen vorausgehen, und schließlich sollte das Gelernte mit der ganzen geistigen
57
Pólya [20]. Bd. 2. S. 153.
58
vgl.: ebd.
59
vgl.: a.a.O. S. 157-162.
60
vgl.: a.a.O. S. 157.
61
vgl.: a.a.O. S. 158.
47
Einstellung des Lernenden verschmelzen und zu ihrer Bereicherung
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Lehren wiederum kann nur erfolgreich sein, wenn es auf die Spezifika des
Lernens eingeht. Da das Se
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die Unterrichtsform den obigen Prinzipien gerecht werden. Wer die Rolle
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decken zu lassen und die Lernphasen zu unterstützen. Konkret bedeutet
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Aufgabe zu machen, sie zu Voruntersuchungen anregen, auf ihre Ideen und
Ansätze eingehen und sich nach jeder Aufgabe die Zeit nehmen, die fertige
Lösung im Rückblick durchzusprechen.63
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Aufgabe,
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Lösungsgang,
mögliche
Alternativen, die Strategien und Methoden und die mathematischen Sätze
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ntdecken lassen, auf die
Schüler eingehen, die Aufgabe und die Lösung gemeinsam analysieren,
Lösungsmöglichkeiten nahelegen, aber nicht aufzwingen, Interesse am
Gegenstand zeigen und das Anliegen des Seminars vermitteln64.
4.5
Erfahrungen aus dem durchgeführten Seminar
In der Rückschau auf das Seminar im Wintersemester 1999/2000 lassen
sich sowohl gute Ansätze als auch Mängel festhalten. Allerdings muß
betont werden, daß den Teilnehmern nicht alle in dieser Arbeit
behandelten Aspekte bekannt waren. Nach den einzelnen Stunden wurden
gemeinsam die Erfahrungen und Beobachtungen ausgetauscht, so daß für
62
a.a.O. S. 159.
63
vgl. auch: a.a.O. S. 161 f.
64
vgl.: a.a.O. S. 175 –„
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48
spätere Sitzungen Verbesserungen in die Stundengestaltungen eingebaut
und auf gemachte Erfahrungen aufgebaut werden konnte.
Im Verlauf der Seminararbeit hat sich als guter Einstieg in das
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bewährt. Vorschläge, Ideen und Ansätze wurden an der Tafel gesammelt.
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bzw. für einen Beweis der Aufgabe zu erarbeiten. Nützlich, und für das
weitere Arbeiten sinnvoll, war es, gemeinsam Beispiele und Spezialfälle zur
Aufgabe durchzugehen, bei denen sich manchmal bereits Lösungen ande
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en, anstatt korrigierend einzugreifen.
An diesem letzten Punkt lassen sich gleich die größten Defizite der
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manchmal, teilweise unter Zeitdruck, auf die Lösung gedrängt. Auch fehlte
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Vorschläge. Sie sind dann nicht auf die Vorschläge eingegangen und haben
sich zu stark am vorbereiteten Konzept festgehalten.
Wie wichtig es ist, sich mit allen Lösungswegen auseinanderzusetzen und
sie vorzubereiten, zeigte sich besonders deutlich in einer Seminarsitzung.
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Ziffern 1 und 2, die durch 2n t
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In der Erarbeitungsphase brachten zwei Teilnehmer ihre Beobachtung ein:
n 1 :
n 2 :
n 3 :
n 4 :
65
2 ist durch 21 teilbar
12 ist durch 22 teilbar
112 ist durch 2 3 teilbar
2112 ist durch 2 4 teilbar (es gibt jeweils nur eine Möglichkeit)
BWM 1972/73, 2. Runde, in: [3]; die Lösung: a.a.O. S. 72.15 –72.17.
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gesuchte Zahl, indem man entweder eine 1 oder eine 2 vor die durch 2n
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eingegangen, hat damit also viele Chancen für das Problemlösen vertan,
sondern er hat die beim Bundeswettbewerb abgedruckte Lösung als einzige
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vollständige Induktion verwendet, und in dem Induktionsschritt wird
zusätzlich mit einem Widerspruch argumentiert. Dieses Vorgehen wurde
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Beweis der obigen Vermutung ist dagegen leichter zu verstehen.
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Interesse und die Bereitschaft zur weiteren Mitarbeit nachließ. Die gleiche
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Ideen nicht verstanden und sie ihnen nicht einleuchtend erklärt wurden,
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Insgesamt gesehen läßt sich das Fazit ziehen, daß der Bedarf besteht, auf
Ansätze von Pólya aufzubauen. Diese sollten in kompakter Form vom
Dozenten vermittelt werden und später durch die eigene Arbeit erlebt,
erfahren und vertieft werden können. Die Fehler, wenn man diese
überhaupt so nennen darf, können zur Selbstreflexion genutzt werden,
damit in der späteren Unterrichtspraxis auf dieses Wissen erfolgreich
aufgebaut werden kann.
66
Den Beweis dieser Behauptung findet man bei Sewerin. in: [10] S. 63 f. Als Strategien
werden dort benutzt: systematisches Probieren, vollständige Induktion und Parität.
50
5.
Fazit
Die bisherigen Aspekte haben gezeigt, wie sich Problemlösen, bezogen auf
die Zahlentheorie, theoretisch und praktisch in einem Seminar umsetzen
läßt. Es bleibt noch die Anforderung, einerseits Begründungen zu geben,
warum eine solche Veranstaltung in das Mathematikstudium für das
Lehramt gehört, und andererseits einen Bewertungsmaßstab für die Mitarbeit der Teilnehmer festzulegen.
Für die Benotung soll keine Skala angegeben werden, sondern es werden
Kriterien
vorgeschlagen,
die
nach
ihrer
jeweiligen
Erfüllung
eine
Gesamtnote ergeben. So kann beim Vortrag überprüft werden, ob
Strategien und Methoden der Zahlentheorie sinnvoll genutzt wurden und
dieses im Vortrag auch dargelegt wurde, ob also ein Problemlöseprozeß
beim Vortragenden stattgefunden hat. Hierauf liegt der Schwerpunkt bei
der Benotung. Daneben sollte auch noch darauf geachtet werden, ob die
Aufgabe mathematisch korrekt gelöst und wie selbständig die Lösung
erarbeitet wurde.
Die Beurteilung der Unterrichtsstunde dagegen sollte sich danach richten,
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sie die Problemstellung erarbeiten ließ. Außerdem sollte überprüft werden,
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Arbeit unter Anleitung durch sinnvolle Fragen gewonnen wurden. Danach
wäre ein weiteres Kriterium die Bereitschaft und das Verständnis für
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vorgeschlagen wurden, oder ob er selber, was sich dann negativ auf die
Note auswirken sollte, seine vorbereitete Lösung aufgedrängt hat. Daneben
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mathematischen Hintergrund der Aufgabe verstanden und bereitgestellt
hat und ob er das nutzen konnte, um klärend und helfend bei
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Gestaltung und Leitung der Stunde eine Rolle spielen, doch sollte dies
nicht mehr als eine Tendenz in der Gesamtnote ausmachen.
51
Wenn alle diese Kriterien im Seminar abgefragt und die entsprechenden
Techniken bzw. das dazugehörige Wissen gelernt werden sollen, so muß es
dafür auch eine Begründung geben. Es ließe sich alles allein aus der
Konzeption des Seminars rechtfertigen. Entscheidender ist aber, daß diese
Fertigkeiten für die spätere Tätigkeit im Lehramt sinnvoll sind –und das
Seminar ist eine Veranstaltung für Lehramtsstudierende.
Die Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) hat
Defizite in der mathematischen Leistung deutscher Schüler festgestellt. Bei
der
Verbesserung
Problemlöseunterricht
dieser
Defizite
weist
als Unterrichtsprinzip
die
Studie
große Bedeutung
dem
bei.69
Lehrerinnen und Lehrer der Mathematik brauchen also künftig vermehrt
Kenntnisse, die durch ein Seminar über Problemlösen vermittelt werden.
Bislang ist es nur in der gymnasialen Oberstufe eine Anforderung, die
Schüler zum eigenständigen Problemlösen zu bringen, daß sie also
Probleme erkennen, verstehen, sie in den dazugehörigen Kontext einordnen
und einen Lösungsweg finden können.70 Wenn man die Fachinhalte als
Lösungen für Probleme auffaßt, so kann man schon in der Unterstufe
durch Problemlösen mathematisches Arbeiten erlernen. Ein Seminar, so
wie es hier ausgearbeitet wurde, kann zukünftige Lehrerinnen und Lehrer
dazu befähigen, diesen Sachverhalt zu verstehen und in ihrer eigenen
Unterrichtspraxis umzusetzen.
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nur etwas für begabte, aber nicht für durchschnittliche Schüler.71 Dazu
muß gesagt werden, daß die Vermittlung höherer kognitiver Fähigkeiten,
wozu auch eine Fähigkeit zum Lösen von Problemen gehört, für alle
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vgl.: Sprengel. S. 449 f. Zu weiterführender Literatur über TIMSS: a.a.O. S. 456.
70
vgl.: Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II –Gymnasium / Gesamtschule
in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen 1999. S. 5, 14 und 39.
71
vgl. dazu und zum Folgenden: Zimmermann. S. 7 f.
52
Gesellschaft zunehmend diese Fähigkeit für jede Teamarbeit nachgefragt
und
abverlangt
wird,
auch
in
nicht-mathematischen
Bereichen.
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mehr Kreativität und Innovation befähigen.
6.
Anhang der Aufgaben
Die bisher im Seminar benutzten Wettbewerbsaufgaben sollen durch neue
Aufgaben ersetzt werden. Da ein langes Semester ungefähr vier Monate
dauert, und da zu Beginn einige Sitzungen für die Einführung in die
Heuristik und in das Problemlösen gebraucht werden, können maximal 15
Teilnehmer mit Vorträgen und anleitender Gruppenarbeit aktiv mitarbeiten. Die ersten 15 Aufgaben stammen von der Mathematikolympiade
und die restlichen vom Bundeswettbewerb. Die Reihenfolge ist keine
systematische sondern lediglich eine chronologische Abfolge.
1) Für jede positive ganze Zahl n bezeichne d (n ) die Anzahl der positiven
Teiler von n (einschließlich 1 und n). Man bestimme alle positiven
ganzen Zahlen k, für die es ein n gibt, so daß gilt:
d (n 2 )
k .72
d(n )
2) Man finde alle Paare (a, b) positiver ganzer Zahlen, so daß a 2b a b
durch ab 2 b 7 teilbar ist.73
3) Man bestimme alle Paare (a, b) ganzer Zahlen mit a, b 1 , die folgende
2
Gleichung erfüllen: a b b a .74
72
39. IMO 1998. in: PM 1/41 (1999). S. 29.
73
ebd.
53
4) Die positiven ganzen Zahlen a und b sind derart, daß die Zahlen
15a 16b und 16a 15b beide Quadrate von positiven ganzen Zahlen
sind. Man bestimme den kleinsten möglichen Wert, den das Minimum
dieser beiden Quadrate annehmen kann.75
5) Es sei p eine ungerade Primzahl. Man bestimme die Anzahl aller
Teilmengen A der Menge { 1, 2, , 2p }, für die gilt:
(i) A hat genau p Elemente.
(ii) Die Summe aller Elemente von A ist durch p teilbar.76
6) Es sei n eine natürliche Zahl größer als 6 und es seien a1, a 2 , , ak alle
diejenigen natürlichen Zahlen, die kleiner als n und teilerfremd zu n
sind. Man beweise: Falls a 2 a1 a 3 a 2  ak ak 1 0 , dann ist n
entweder eine Primzahl oder eine Potenz von 2 mit natürlichem
Exponenten.77
7) Man zeige: Für jede natürliche Zahl n gibt es n aufeinanderfolgende
natürliche Zahlen, von denen keine eine Primzahlpotenz mit ganzzahligem Exponenten ist.78
74
38. IMO 1997. in: PM 1/40 (1998). S. 30.
75
37. IMO 1996. in: PM 6/38 (1996). S. 262.
76
36. IMO 1995. in: PM 6/37 (1995). S. 269.
77
32. IMO 1991. in: PM 6/33 (1991). S. 283.
78
30. IMO 1989. in: PM 8/31 (1989). S. 503.
54
8) Sei n eine ganze Zahl 2 . Man beweise:
n
eine Prim3
für alle ganzen Zahlen k mit
Wenn k 2 k n für alle ganzen Zahlen k mit 0 k 
zahl ist, dann ist auch k 2 k n
0 k n 2 eine Primzahl.79
9) Sei d eine positive ganze Zahl ungleich 2, 5, 13 . Man zeige:
In der Menge { 2, 5, 13, d } gibt es zwei verschiedene Elemente a, b, für
die ab 1 keine Quadratzahl ist.80
10) Es sei M eine Menge aus 1985 verschiedenen positiven ganzen Zahlen.
Keine dieser Zahlen hat einen Primteiler größer als 26. Man beweise:
In M gibt es vier paarweise verschiedene Elemente, für die ihr Produkt
die vierte Potenz einer ganzen Zahl ist.81
11) Man finde ein Paar a, b positiver ganzer Zahlen, die folgenden
Bedingungen genügen:
(1)
(2)
Die Zahl ab(a b ) ist nicht durch 7 teilbar,
(a b)7 a 7 b 7 ist durch 7 7 teilbar.
Begründe die Antwort!82
12) Gibt es 1983 verschiedene positive ganze Zahlen kleiner oder gleich
105 , unter denen keine drei die aufeinanderfolgenden Glieder einer
arithmetischen Folge sind? (Die Antwort ist zu begründen.)83
79
28. IMO 1987. in: [17] S. 110.
80
27. IMO 1986. in: a.a.O. S. 96.
81
26. IMO 1985. in: a.a.O. S. 79.
82
25. IMO 1984. in: a.a.O. S. 62.
83
24. IMO 1983. in: a.a.O. S. 51.
55
13) Es seien m und n natürliche Zahlen mit 1 m, n 1981 .
Es gelte (n 2 m 
n m 2 )2 1 . Man bestimme den maximalen Wert
von m 2 n 2 .84
14) a) Für welche Werte von n 2 gibt es n aufeinanderfolgende positive
ganze Zahlen so, daß die größte dieser Zahlen ein Teiler des kleinsten
gemeinsamen Vielfachen der übrigen n 1 Zahlen ist?
b) Für welche Werte von n 2 gibt es genau eine Folge mit dieser
Eigenschaft?85
15) Seien p und q natürliche Zahlen, so daß
p
1 1 1
1
1
gilt. Man beweise, daß p durch
1     

q
2 3 4
1318 1319
1979 teilbar ist.86
16) Für jede natürliche Zahl n werde die Quersumme ihrer Darstellung im
Zehnersystem mit Q(n ) bezeichnet.
Man beweise, daß für unendlich viele natürliche Zahlen k die Ungleichung Q 
3k Q 
3k 1 gilt.87
17) Kann man aus 100 beliebig gegebenen ganzen Zahlen stets 15 Zahlen
derart auswählen, daß die Differenz zweier beliebiger dieser 15 Zahlen
durch 7 teilbar ist?
Wie lautet die Antwort, wenn 15 durch 16 ersetzt wird? (Beweis!)88
84
22. IMO 1981. in: a.a.O. S. 23.
85
ebd.
86
21. IMO 1979. in: a.a.O. S. 8.
87
BWM 1999, 2. Runde, in: [8].
88
BWM 1997, 1. Runde, in: [7].
56
18) Man bestimme (mit Beweis) alle Primzahlen p, für die das Gleichungssystem
p 1 2x 2
p 2 1 2y 2
Lösungen mit ganzen Zahlen x, y besitzt.89
19) Man beweise, daß jede natürliche Zahl k ( k 1 ) ein Vielfaches besitzt,
das kleiner als k 4 ist und im Zehnersystem mit höchstens vier verschiedenen Ziffern geschrieben wird.90
20) Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen n mit der folgenden
Eigenschaft: Jede natürliche Zahl, deren Dezimaldarstellung aus n
Ziffern besteht, und zwar genau einer Sieben und n 1 Einsen, ist eine
Primzahl.91
21) Es gibt Paare von Quadratzahlen mit folgenden beiden Eigenschaften:
(1)
Ihre Dezimaldarstellungen haben die gleiche Ziffernzahl, wobei
(2)
Hängt man an die Dezimaldarstellung der ersten die der zweiten
die erste Ziffer jeweils von 0 verschieden ist.
an, so entsteht die Dezimaldarstellung einer weiteren Quadratzahl.
Beispiel: 16 und 81; 1681 412 .
Man beweise, daß es unendlich viele Paare von Quadratzahlen mit
diesen Eigenschaften gibt.92
89
ebd.
90
BWM 1995, 2. Runde, a.a.O.
91
BWM 1994, 2. Runde, a.a.O.
92
BWM 1993, 1. Runde, a.a.O.
57
22) Unter der Standarddarstellung einer positiven ganzen Zahl n wird
nachfolgend die Darstellung von n im Dezimalsystem verstanden, bei
der die erste Ziffer verschieden von 0 ist. Jeder positiven ganzen Zahl n
wird nun eine Zahl f (n ) zugeordnet, indem in der Standarddarstellung
von n die letzte Ziffer vor die erste gestellt wird; Beispiele:
f (1992) 2199 , f (2000) 200 .
Man bestimme die kleinste positive ganze Zahl n, für die f (n ) 2n
gilt.93
23) Gegeben sind 1991 paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, wobei
das Produkt von irgend zehn dieser Zahlen stets größer als 1 ist.
Man beweise, daß das Produkt aller 1991 Zahlen ebenfalls größer als 1
ist.94
24) Von der Zahlenfolge a 0, a1, a 2 ,  ist bekannt:
a 0 0 , a1 1 , a 2 1 und an 2 a n 1 2
an 1 an für alle n t. Es
ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.95
25) Gesucht werden drei natürliche Zahlen a, b, c bei denen das Produkt
von je zweien bei Division durch die dritte den Rest 1 läßt.
Man bestimme alle Lösungen.96
93
BWM 1992, 2. Runde, in [6].
94
BWM 1991, 1. Runde, a.a.O.
95
BWM 1990, 1. Runde, a.a.O.
96
BWM 1990, 2. Runde, a.a.O.
58
26) Es sei f (x ) x n , wobei n eine natürliche Zahl ist. Kann dann die
Dezimalzahl 0, f (1)f (2)f (3) rational sein? Die Antwort ist zu begründen.
(Beispiel: Für n 2 geht es um 0,1 4 9 16 25  , für n 3 ist die betrachtete Zahl 0,1 8 27 64 125  )97
27) Man gebe eine Zahl k t und ein Polynom
f (x ) a 0 a1x a 2x 2  ak x k , ak 0 , mit folgenden Eigenschaften
an:
(1)
Die Koeffizienten a 0, a1, a 2 , , ak sind Elemente von { 1, 0, 1 }.
(2)
Für jedes n t ist f (n ) durch 30 teilbar.
(3)
Kein Polynom kleineren Grades hat ebenfalls beide Eigenschaften (1) und (2).98
28) Für die natürlichen Zahlen x und y gelte 2x 2 x 3y 2 y . Man beweise, daß dann x y , 2x 2y 1 und 3x 3y 1 Quadratzahlen
sind.99
29) Man bestimme alle Tripel (x , y, z ) ganzer Zahlen, für die gilt:
2x 3y z 2 .100
97
BWM 1989, 1. Runde, a.a.O.
98
BWM 1989, 2. Runde, a.a.O.
99
BWM 1988, 2. Runde, a.a.O.
100
BWM 1987, 2. Runde, in: [5].
59
30) Es sei dn die letzte von 0 verschiedene Ziffer der Dezimaldarstellung
von n! .
Man zeige, daß die Folge d1, d2 , d 3,  nicht periodisch ist.
Erläuterung:
Eine Folge a1, a 2 , a 3 ,  heißt genau dann periodisch, wenn es natürliche
Zahlen T und n 0 mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für alle natürlichen Zahlen n mit n n 0 gilt an an T .101
101
BWM 1986, 2. Runde, a.a.O.
60
7.
Literaturverzeichnis
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hrsg. vom Stifterverband für die dt. Wissenschaft, bearb. von
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hrsg. vom Stifterverband für die dt. Wissenschaft, bearb. von K.-R.
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Problemloesen_in_der_Didaktik.htm
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[11] drs.: Problem-Solving Strategies. New York 1998.
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denten. URL: http://www.mathematik-olympiaden.de (16.01.2001)
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von Hermann-Dietrich Hornschuh. München 1977.
[16] Internationale Mathematik-Olympiaden. Band II: 1969 –1978. hrsg.
von Hermann-Dietrich Hornschuh. 3. Aufl. München 1983.
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von Hermann-Dietrich Hornschuh. 2. Aufl. München 1988.
62
[18] Larson, Loren C.: Problem-solving through problems. New York 1983.
[19] Pólya, Georg: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer
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[20] drs.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Einsicht und
Entdeckung, Lernen und Lehren. 2 Bd. Basel, Stuttgart. (Bd. 1: 2.
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[21] Praxis der Mathematik (PM) 31 (1989) ff.
[22] Remmert, Reinhold / Ullrich, Peter: Elementare Zahlentheorie.
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[24] Sewerin, Horst: Mathematische Schülerwettbewerbe. Beschreibungen,
Analysen, Aufgaben, Traininigsmethoden mit Ergebnissen einer
Umfrage zum Bundeswettbewerb Mathematik. München 1979.
[25] Sprengel, Hans-Jürgen: Problemlösen – bei TIMSS gefragt, bei
Mathematik-Olympiaden gelernt. in: Mathematik in der Schule 36
(1998). S. 449-456.
[26] Zimmermann, Bernd: Problemlösen als eine Leitidee für den
Mathematikunterricht. Ein Bericht über neuere amerikanische
Beiträge. in: MU 29, Heft 3 (1983). S. 5-45.
63
Ich versichere, daß ich die schriftliche Hausarbeit selbständig verfaßt und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Alle Stellen der Arbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder Sinn nach
entnommen wurden, habe ich in jedem Fall unter Angabe der Quelle als
Entlehnung kenntlich gemacht. Das gleiche gilt auch für die beigegebenen
Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen.