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2. Elektrischer Strom
2.1. Stromstärke
Elektrischer Strom = Ladungstransport
dA ⊥ Bewegung
Ladung
dQ
Stromstärke (bzgl. dA):
Stromdichte:
Bewegung
während dt
Stromstärke bzgl. A:
A
Kontinuitätsgleichung:
Beweis der Kontinuitätsgleichung: (→ Tafel)
Ladungserhaltung ⇒
Oberfläche ∂V
Beliebiges Volumen V
Gaußscher Satz ⇒
Folgerung:
für beliebige V ☐
Leitungsmechanismen:
• Elektronische Leiter: Metalle, Halbleiter
Ladungsträger hauptsächlich Elektronen
• Ionen-Leiter: Elektrolyte, Isolatoren mit Fehlstellen
Ladungsträger hauptsächlich positive und negative Ionen
• Gemischte Leiter: Plasmen
Ladungsträger: Elektronen und Ionenrümpfe; z.B. in Gasentladungen
Mikroskopische Theorie:
n±: Anzahldichte positiver (negativer) Elementarladungen
: zugehörige Transportgeschwindigkeiten
2.2. Ohmsches Gesetz
Bahn eines
Leitungselektrons
Betrachte elektronische Leiter (Metalle)
a)
typische instantane Geschwindigkeit
(T-abhängig):
Stöße an Atomen des Festkörpers ⇒
ungeordnete Bewegung
mittlere freie Weglänge ( zwischen zwei Stößen ): 𝚲
mittlere Zeit zwischen zwei Stößen:
Beispiel: Kupferdraht bei Zimmertemperatur
b)
Bahn eines
Leitungselektrons
Bsp.: Cu-Draht, E = 100 V/m
Def.: Driftgeschwindigkeit
Pro Ladungsträgersorte folgt:
Stöße ⇒ völlige Randomisierung
der Bewegungsrichtung
⇒ Ladungstransport
Bahn eines
Leitungselektrons
Stöße ⇒ völlige Randomisierung
der Bewegungsrichtung
Definition:
elektrische Leitfähigkeit
Beweglichkeit
→ stark T-abhängige Materialparameter; oft unabhängig von
Folgerung:
Ohmsches Gesetz
Spezialfall: homogener Leiter, konstanter Querschnitt
über Querschnitt
homogen
A
L
U
Ohmsches Gesetz
elektrischer
Widerstand
A
L
U
spezifischer Widerstand
(Materialparameter)
Allgemein: Seien U, I = Spannung, Strom zwischen zwei Kontakten.
Dann wird der elektrische Widerstand zwischen den Kontakten
definiert durch:
R
Schaltzeichen
Beispiel: quasistatisches Auf-/Entladen eines Kondensators
≈ Folge statischer Situationen
I
R
U0
schließt bei t = 0
UR
I
Q
C UC
UC
Bemerkung:
I
U0/R
Lösung:
𝜏
t
I
R
U0
schließt bei t = 0
UR
I
Q
C UC
UC
I
U0/R
Kondensatorspannung:
𝜏
t
𝜏
t
UC
U0
2.3. Stromleistung und Joulsche Wärme
R
Arbeit des E-Feldes:
Q
Elektrische Leistung:
𝜙1
U=𝜙1 − 𝜙2
𝜙2
Umwandlung in Wärme
U = const.
Ohmsches Gesetz ⇒
Einheiten:
2.4. Kirchhoffsche Regeln
Analyse von Netzwerken von Leitern, (allgemeinen) Widerständen,
Spannungs- / Stromquellen, …
a) Knotenregel: Knoten = punktförmige Leiterverbindung
(ungeladen)
I1
I
2
I5
I3
V→0
I4
Ladungserhaltung:
auslaufend:
I>0
einlaufend:
I<0
b) Maschenregel: Masche = geschlossener Weg
offener Weg
U
𝜙1
𝜙2
Masche
𝜙1 = 𝜙2
Zerlegung in Teilspannungen entlang der Masche ⇒
c) Anwendung: Masche = Schleife in der Schaltung
I1
I1
− + I1
Q2
R1
I5
I2
I3
C
Masche
+
−
I5
+
−
I4
I3
R2
R3
I4
I3
I3
Anwendung (1): Reihenschaltung ohmscher Widerstände
I
R1
I
R2
I
Rn
I
I
I
+
U0
Maschenregel ⇒
I
−
Anwendung (2): Parallelschaltung ohmscher Widerstände
U0
I
U0
0
Knotenregel ⇒
I1
I2
R1 U0
R2
In
 U0
Rn
Anwendung (3): Spannungsteiler
U0
I
U(x)
Potentiometer
I
d R
I x
0
I
U0
Ix = 0
U(x)
0
d
x
Anwendung (4): Wheatstonesche Brückenschaltung
Nullabgleich:
U0
x
A
R1
I U
1
d R
U2
Rx
0
„Amperemeter”
2.5. Messgeräte
a) Wärmewirkung: Hitzdraht-Amperemeter
I
I
l
δl
Erhitzung ⇒
l
b) Magnetische Wirkung: Galvanometer
Drehbare
Spule
Zeiger
Drehspulgerät:
(analog: Dreheisengerät)
N
S
I
I
Permanentmagnet
Innenwiderstand des Amperemeters:
A
̂
A
Ri
Innenwiderstand
real
ideal
I
Beispiel:
R
R
+
U
−
+
Ri
−
U
⇒ Ri sollte möglichst klein sein!
A
Indirekte Spannungsmessung mit Amperemetern:
A
Rp
Ip
I
R
Ip
U
Spannung ohne Messgerät:
gesucht!
Spannung mit Messgerät:
gemessen!
⇒ Innenwiderstand eines Voltmeters sollte möglichst groß sein!
2.6. Elektrolytische Leitung von Strom
Elektrolyt: Flüssigkeit mit frei beweglichen Ionen (geladene Moleküle)
z.B. Salzlösungen, Säuren, Laugen
Bildung eines Elektrolyts:
−
Molekül mit
Ionenbindung
O
̂
−
+
+
H
H
Wasser-Molekül
Dissoziation
( Aufspaltung in Wasser
da energetisch günstiger )
−
U0
+
+ −
Elektrolyt
Anion
Kation
Kathode
(Minuspol)
Anode
(Pluspol)
−
Neutralisierung der Ionen an Elektroden ⇒
U0
+
• Ablagerungen auf Elektroden
+ −
• Aufsteigen von Gasbläschen an Elektroden
• Auflösen von Elektroden
Elektrolyt
Kathode
(Minuspol)
Anode
(Pluspol)
Spezialfall: Dissoziation von Wasser

H 2O  H  OH

⇒ (geringe) Leitfähigkeit von Wasser
Erhöhung der Leitfähigkeit durch Zugabe von Salz etc.
Knallgaserzeugung mit Kochsalzlösung:
Dissoziation von Kochsalz: Na Cl → Na+ + Cl−
Kathode:
2 Na+ + 2 H2O + 2 e− → 2 Na OH + H2↑
Anode:
4 Cl− + 2 H2O → 4 H Cl + O2↑ + 4 e−
⇒ 2 H2-Moleküle + 1 O2-Molekül ⇒ Knallgas
Knallgaserzeugung mit verdünnter Schwefelsäure:
Dissoziation Schwefelsäure: H2 SO4 → 2 H+ + SO42−
Kathode:
2 H+ + 2 e− → H2↑
Anode:
SO42− + H2O → H2 SO4 + ½ O2↑ + 2 e−
⇒ 2 H2-Moleküle pro O2-Molekül ⇒ Knallgas
Kupferbeschichtung ( Rostschutz ):
Dissoziation Kupfersulfat:
Cu SO4 → Cu2+ + SO42−
Kathode (z.B. Nickel):
Cu2+ + 2 e− → Cu (galvanische
Beschichtung)
Anode:
SO42− → SO4 + 2 e−
a) Kohlestab
2 H2O + 2 SO4 → 2 H2 SO4 + O2↑
b) Kupfer (Opferelektrode) Cu + SO4 → Cu SO4 (Auflösung)
Bleibaum:
Dissoziation Bleiacetat: Pb ( CH3COO )2∙3H2O
Pb2+
Bleikathode:
CH3COO−
Pb – Ablagerung (Bleibaum)
Bleianode (Opferanode): Pb + 2 CH3COO− → Pb ( CH3COO )2 + 2 e−
Leitfähigkeit und Ionenkonzentration:
𝜎el
A: Ladungsträgerdichte steigt
B: Beweglichkeit nimmt ab
(Anziehung von Kationen und Anionen)
A
B
Def.: Faraday-Konstante
n
Folgerung: 1 Mol eines Ions mit Ladg. Z·e transportiert die Ladg. Z·F
Definition: Elektrochemisches Äquivalent = Proportionalitätsfaktor
zwischen abgeschiedener Masse und transportierter Ladung
2.7. Stromquellen
Ri
Klemmspannung:
U0 = EMK
U
V
U0 heißt ElektroMotorische Kraft
Ra
Stromquelle
Messung von U(Ra) ⇒ Messung von Ri und EMK
Beispiele für Stromquellen:
a) Elektrodynamische Generatoren (Dynamo, → Elektrodynamik, s. u.)
b) Solarzellen ( → Halbleiterphysik )
c) Galvanische Elemente: Lösung von Metall in Elektrolyt
Metall
+
−− −− Ion
e e
+
Elektrolyt

DiffusionsGleichgewicht
Metall
− +
+−
− +
+−
+ − − − +
+
Elektrolyt
abschirmendes
E-Feld
⇓
Potentialdifferenz
Galvanisches Element (Prinzip):
poröse Wand
0
Metall1
Elektrolyt1 Elektrolyt2
Metall2
U
Referenzelektrode: H2-umspülte Platinelektrode in 1-normaler Säure
1 Mol H+ /l
Spannungsreihe: Galvanische Spannung gegenüber Referenzelektrode
(Metalle in 1-normalem Elektrolyt mit gleichem Metallion)
1 Mol Metallionen /l
Edle Metalle:
U > 0 (Cu, Ag, Au,…) geben schwer Elektronen ab
Unedle Metalle: U < 0 (Fe,…) geben leicht e− ab ⇔ oxydationsfreudig
Daniell-Element:
0
Cu
poröse Wand
Cu SO4
Zn SO4
2e−
2e−
H2SO4 / H2O
Cu
+
+
+ + +
+
+
+
Cu++ +
+
U
Zn
+
+
+
+
+
SO42−+
+
Zn
+
+
+
+
+
+
Zn+++
+
+
+
+
𝛥𝜙 = 𝛥E = E( Cu-Abscheidung ) − E( Zn-Auflösung )
Bemerkung: Cu SO4 als gemeinsames Elektrolyt möglich, aber ZnElektrode würde sich mit Kupfer überziehen!
d) Akkumulatoren:
Wiederaufladbare Stromquellen
Pb
Pb SO4
Schicht
Beispiel: Bleiakku
H2SO4 /H2O
Aufladen:
Anode: Pb SO4 + 2 H2O → Pb O2 + H2SO4 + 2 H+ + 2 e−
Kathode: Pb SO4 + 2 H+ + 2 e− → Pb + H2SO4
⇒ Anode = Pb O2 ;
Kathode = Pb
Entladen:
Anode: Pb O2 + SO42− + 4 H+ + 2 e− → Pb SO4 + 2 H2O
Kathode: Pb + SO42− → Pb SO4 + 2 e−
⇒ Anode = Pb SO4 ; Kathode = Pb SO4
Analog: Trockenbatterie (Leclanché-Element)
Pb
e) Thermoelektrizität
Energieniveaus der Energie freier Elektornen (ruhend)
Leitungselektronen
E
−
−
WA
−
−
−
−
−
−
−
−
MetallOberfläche
Austrittsarbeit
Vakuum
Def.: Kontaktpotential U12 = 𝛥WA zwischen zwei sich berührenden
Metallen 1, 2
stark Temperaturabhängig
Thermoelement:
(Seebeck-Effekt)
Metall 1
Metall 2
>
T1
Metall 1
T2
V
Thermospannung:
Uth
Peltier-Effekt:
T1
Metall 1
T2
Metall 2
I
Metall 1
I
+
−
Uext