Stromteiler / Ersatzstromquelle

Stromteiler / Ersatzstromquelle
zahlenpresse.de
12. Dezember 2012
1
Unbelasteter Stromteiler
Der Gesammtstrom Iges fließt gemäß der Knotenregel über den beiden Leitwerten G1 und G2 ab. Es gilt also Iges = I1 + I2 . Es soll nun der über G2 laufende
Strom I2 in Abhängigkeit der Dimensionierung von G1 und G2
betrachtet werden.
…€ ‚€ …‚ƒÿ€ ‚ÿ€ ‚ € …‚
„ƒ
„„
„„
G2
G1 „
„„
Uges
Iges
„
ƒ
…/
I1 ù
I2
…
ù
„ƒ€ …ù‚ÿƒ€
‚ÿ€ ‚ƒ
Iges = Uges · Gges = Uges · (G1 + G2 )
Da an G1 und G2 die gleiche Spannung Uges liegt, kann Uges hier noch
wahlweise durch Uges = GI11 oder Uges = GI22 ersetzt werden. Da wir den Strom
I2 bestimmen wollen kommt nur letztere Substitution in Frage.
Iges =
I2
· (G1 + G2 )
G2
⇔
1
I2 = Iges ·
G2
G1 + G2
2
Belasteter Stromteiler
…€ ‚€ …‚ƒÿ€ ‚ÿ€ ‚ € …‚ƒ
„ƒ
„„
G2
G1
GL
„„ Uges
Iges
…/
I1 ù
I2
ù
…
„ƒ€ …ù‚ÿƒ€
‚ÿ€ ‚ƒ
Iges = Uges · Gges = (U2 + UL ) · (G1 + G2 , GL )
Der Leitwert aus der Reihenschaltung (G2 , GL ) soll später berechnet werden.
Hier werden erstmal U2 = GI22 und UL = GILL eingesetzt. Beachtet werden sollte
dabei, dass aufgrund der Reihenschaltung von G2 und GL durch beide Leitwerte
der gleiche Strom geht I2 = IL .
Iges = (
IL
I2
+
) · (G1 + G2 , GL )
G2 GL
Iges = IL · (
⇔
Iges = (
IL
IL
+
) · (G1 + G2 , GL )
G2 GL
1
1
+
) · (G1 + G2 , GL )
G2
GL
Nach dem Erweitern der Brüche und Umformen nach IL ergibt sich dann:
Iges = IL · (
Iges = IL ·
GL
G2
+
) · (G1 + G2 , GL )
G2 · GL
G2 · GL
G2 + GL
·(G1 +G2 , GL )
G2 · GL
⇔
IL =
Iges · G2 · GL
(G2 + GL ) · (G1 + G2 , GL )
Jetzt soll der Leitwert G2L = (G2 , GL ) aus den in Reihe liegenden Leitwerten
errechnet werden und in letztere Gleichung eingesetzt werden.
1
1
1
=
+
G2L
G2
GL
G2 + GL
1
=
G2L
G2 · GL
G2L =
⇔
IL = Iges ·
IL = Iges ·
1
GL
G2
=
+
G2L
G2 · GL
G2 · GL
⇔
G2 · GL
= (G2 , GL )
G2 + GL
G2 · GL
(G2 + GL ) · (G1 +
G2 ·GL
G2 +GL )
G2 · GL · (G2 + GL )
(G2 + GL ) · (G1 · (G2 + GL ) + G2 · GL )
IL = Iges ·
G2 · GL
G1 · G2 + G1 · GL + G2 · GL
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Ersatzstromquelle
Ziel der Ersatzstromquelle ist es, ausgehend vom unbelasteten Stromteiler eine
neue Stromquelle Ii mit bekanntem Innenleitwert Gi zu definieren. Vergleichsweise kann hier eine Stromquelle herangezogen werden von der zunächst auch
einmal nur der Ausgangsstrom bekannt ist. Der Innenleitwert kann zwar nachgemessen werden, wie dieser sich aber zusammensetzt ist für den äußeren Betrachter nicht erfassbar. Erst an diese neue Stromquelle wird in Analogie zum
belasteten Stromteiler die Last GL gemäß der folgenden Schaltung angeschlossen:
…€ ‚€ …‚ƒÿxyy zÿxyyyyyyyyy z€ …‚ƒ
„ƒ
„„
Gi
GL
„„ Uges
Ii
…/
Ii ù
IL
…
ù
„ƒ€ …ù‚ÿƒxyy
zÿxyyyyyyyyy €z ‚ƒ
Für die Konstruktion der ESQ wird der Stromteiler unbelastet betrachtet.
Dafür wurde bereits der folgende formale Zusammenhang aufgestellt:
Ii = I2 = Iges ·
G2
G1 + G2
Im nächsten Schritt muss der Innenleitwert Gi ermittelt werden. Dieser ergibt
sich aus dem Leitwert im Stromkreis des unbelasteten Stromteilers, wobei die
Stromquelle Iges in Leerlauf gebracht wird. Der Innenleitwert kommt dann aus
den in Reihe liegenden Leitwerten G1 und G2 zu stande.
Gi =
G1 · G2
G1 + G2
Damit sind bereits alle Größen bekannt. Möchte man jetzt den Stromfluss durch
GL bestimmen, so hat man einen neuen Stromteiler bestehend aus Gi und GL
zu berechnen.
IL = Ii ·
GL
Gi + GL
Um die Richtigkeit dieser Gleichung zu proben genügt es Ii und Gi , wie
oben aufgeschreiben einzusetzen. Damit finden wir die gleiche Formel, wie beim
belasteten Stromteiler:
IL = Iges ·
G2 · GL
G1 · G2 + G1 · GL + G2 · GL
Das Modell der Ersatzstromquelle ist gerade bei der Berechnung von größeren
Netzwerken sehr hilfreich.
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