Leseprobe

Geometrie
120 Aufgaben
zur Förderung und Binnendifferenzierung
Franz Amann
Inhalt
1
4
5
22
Aufgaben
Winkel am Kreis
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Ortslinien und Konstruktionen
Argumentieren, Begründen, Beweisen
27
42
52
58
pr
ob
e
Einleitung
Vorworte
Hinweise zur Klassifikation der Aufgaben und zum Register
Hinweise zum Lösen von Aufgaben in der Geometrie
Der Randwinkelsatz und sein Umfeld
(1 – 40)
(41 – 70)
(71 – 90)
(91 – 120)
Lösungshinweise zu einzelnen Aufgaben
Le
se
Lösungen
Winkel am Kreis
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Ortslinien und Konstruktionen
Argumentieren, Begründen, Beweisen
Register
69
(1 – 40)
(41 – 70)
(71 – 90)
(91 – 120)
78
110
130
150
172
Einleitung
1
Vorwort für Erwachsene
The mathematician’s patterns, like the painter’s or poet’s, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together
in a harmonious way.
G.H. Hardy, 1940
Le
se
pr
ob
e
Dieser Vergleich mit den “schönen Künsten” mag auf den ersten Blick überraschen.
Schönheit und Faszination der Mathematik sind schließlich von einer anderen Art.
Sie erschließen sich weniger in der Rolle des Betrachters und Zuhörers, sondern weit
mehr in der aktiven Auseinandersetzung mit mathematischen Fragen und Problemen. Die Beschäftigung mit Problemstellungen, die über die Schulbuchmathematik
hinausgehen, ist anregend und erweitert den kreativen Umgang mit den vorhandenen Kenntnissen.
Die vorliegende Aufgabensammlung ist ebenso wie die geplanten anderen Bände
aus einer Reihe von mathematischen Arbeitsgemeinschaften, Seminaren mit besonders interessierten und begabten Schülern sowie der Betreuung der Aufgabenecke
einer mathematischen Schülerzeitung entstanden.
Der erste Teil umfasst 40 Aufgaben zum Leitthema “Winkel am Kreis”. Ausgehend
von den grundlegenden Sätzen über Mittelpunktswinkel und Randwinkel (Umfangswinkel oder Peripheriewinkel) wird eine Fülle geometrischer Sätze behandelt, die
teilweise zum Schulunterricht der Mittelstufe gehören, aber dort aus Zeitgründen
leider nur kurz gestreift werden oder vollständig entfallen. Auch werden einige klassische Probleme der euklidischen Geometrie angesprochen, die jedoch bisher kaum
Eingang in den Mathematikunterricht gefunden haben.
Nach meinen Beobachtungen ist es für begabte und interessierte Schüler eine wichtige Erfahrung, die Entwicklung eines Themenbereiches von einfachsten Voraussetzungen bis hin zur Lösung komplexer Problemstellungen wie dem Satz vom Ptolemäus oder dem Feuerbachschen Kreis mitzuerleben und mitzugestalten.
Das Thema “Winkel am Kreis” bietet die Möglichkeit, neben der Vermittlung von
geometrischen Kenntnissen und Beweistechniken lokales Ordnen als wichtige Arbeitsmethode zu erfahren. Bei der Darstellung der Lösungen habe ich deshalb wiederholt auf Kenntnisse von vorhergehenden Aufgaben verwiesen.
Die Aufgaben aus dieser Serie können selbstverständlich auch einzeln als Ergänzung
zum Unterricht eingesetzt werden, jedoch wird die Lösung dann aber möglicherweise langwieriger und teilweise auch schwieriger.
2
Einleitung
Le
se
pr
ob
e
Im zweiten Teil mit dem Schwerpunkt auf der Berechnung von Längen, Flächen, Volumina und Winkelmaße schließen sich 30 Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad an.
Weitere 20 Aufgaben beschäftigen sich mit Konstruktionen und teilweise mit den
Bedingungen, unter denen eine oder mehrere Figuren mit vorgegebenen Eigenschaften existieren.
Den Abschluss bilden 30 Aufgaben zum Argumentieren, Begründen und Beweisen.
Die 120 Aufgaben decken die wesentlichen Inhalte des Geometrieunterrichts der
Sekundarstufe I ab und können zur Vertiefung des aktuellen Unterrichtsstoffes eingesetzt werden. Durch die notwendige Verknüpfung verschiedener Lösungsmethoden leisten sie aus meiner Sicht einen Beitrag zum problemlösenden Denken.
Das Lösen mathematischer Probleme ist eine praktische Kunst, die durch Nachahmen erworben und durch dosiertes Training verfeinert werden kann. Selbst Preisträger von mathematischen Wettbewerben berichten wiederholt, welche Bedeutung
kleine Anfangserfolge für die Stärkung des Selbstbewusstseins und des Durchhaltevermögens hatten. Kleinere Aufgaben, zu deren Lösung eine pfiffige Idee erforderlich ist oder die einen gewissen Grad an Unabhängigkeit vom aktuellen Unterrichtsstoff haben, können Originalität und Kreativität bei den Schülern fördern. Sie sind
damit vielleicht Initialzündung für eine intensive Beschäftigung mit mathematischen
Fragen.
Einleitung
3
Vorwort für Schülerinnen und Schüler
Wenn uns eine Aufgabe vorliegt, sollten wir
bald übersehen können, ob es nützlich wäre, erst irgendwelche anderen Aufgaben ...
zu untersuchen.
Descartes, Regeln zur Anleitung des Geistes
Le
se
pr
ob
e
Der erste Teil dieses Buches steht unter dem Leitthema “Winkel am Kreis”. Ausgehend von den Sätzen über Mittelpunktswinkel und Randwinkel werden insgesamt 40
Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad vorgestellt. Unter ihnen sind auch einige klassische Problemstellungen der elementaren Geometrie. Vielfach werden die
Lösungen durch die Einbeziehung von Kenntnissen aus vorhergehenden Aufgaben
wesentlich erleichtert. Im Sinne des oben zitierten Ausspruchs von Descartes stellen
sie damit eine Übung zu einer wichtigen Problemlösestrategie in der Mathematik
dar.
Selbstverständlich können diese Aufgaben auch einzeln bearbeitet werden. Sollte
sich eines der Probleme dabei besonders lange der Lösung widersetzen, so denke
man an die Anleitung von Descartes und suche nach möglichen Teillösungen.
In den weiteren Abschnitten werden insgesamt 80 Aufgaben aus der Geometrie
behandelt. Diese Aufgaben können zur Vertiefung des aktuellen Unterrichtsstoffes
gelöst werden. Hinweise zur Auswahl geeigneter Aufgaben und zum Gebrauch des
Registers sind auf der nächsten Seite zu finden.
Ich hoffe, dass durch den gestaffelten Schwierigkeitsgrad möglichst viele Leser zu
Lösern werden und die Erfolge dann zu weiteren Taten anregen. Durch zahlreiche
Gespräche mit Preisträgern mathematischer Wettbewerbe sehe ich meine eigene
Beobachtung bestätigt, dass es auch beim Lösen mathematischer Probleme einen
Trainingseffekt gibt. Mit jedem gelösten Problem wachsen Sicherheit, Selbstbewusstsein und Durchhaltevermögen. Aus dem Nachahmen, Einüben und Variieren
von Lösungsmethoden entwickelt sich mit zunehmender Erfahrung die Fähigkeit zur
Kombination verschiedener Methoden und Verfahren und damit zum kreativen
Problemlösen.
Unter diesem Gesichtspunkt ist das Lösen mathematischer Probleme ein Kunsthandwerk. Hier wie dort kann man von der Erfahrung anderer profitieren, hier wie
dort kann man durch Nachahmen die Lehrzeit verkürzen, hier wie dort muss man
aber auch selbst zupacken und sich die Fähigkeiten erarbeiten.
4
Einleitung
Hinweise zur Klassifikation der Aufgaben und zum Register
Zur Erleichterung der Auswahl und für einen raschen Überblick ist jeder Aufgabe
eine Klassifikation vorangestellt.
Klassenstufe
Schwierigkeitsgrad
Fuchs
Biene
Kon
Bew
DGS
Le
se
pr
ob
e
Die angegebenen Klassenstufen sind als untere Grenze anzusehen. In der Regel stehen ab diesen Klassenstufen die erforderlichen mathematischen Kenntnisse zur Verfügung. Selbstverständlich können diese Aufgaben auch noch später eingesetzt werden. Da die Bildungspläne in den Bundesländern unterschiedlich sind und in der
Regel zwei Klassenstufen umfassen, sind gelegentliche Abweichungen unvermeidlich.
Beim Schwierigkeitsgrad werden drei Stufen unterschieden. Diese Einteilung ist sicherlich subjektiv, denn die Kenntnis der Lösung beeinflusst natürlich die Einschätzung des Schwierigkeitsgrades in nicht unerheblichem Maß. Außerdem ist der Zugang zur Lösung von den Vorerfahrungen beim Problemlösen abhängig.
Der „Fuchs“ steht für eine Aufgabe, bei der ein guter Einfall hilfreich ist. Bei Aufgaben mit dem Symbol „Biene“ sind Fallunterscheidungen erforderlich oder ein größeres Durchhaltevermögen hilfreich. Außerhalb der beiden speziellen Abschnitte werden die Kennzeichnungen „Kon“ für Konstruktion und „Bew“ für Beweisen verwendet, wobei unter „Beweisen“ auch Argumentieren und Begründen zu verstehen ist.
Mit „DGS“ sind Aufgaben gekennzeichnet, bei denen der Einsatz von „Dynamischer
Geometrie-Software“, wie beispielsweise GeoGebra, DynaGeo, GeoNext oder ähnliches zur Gewinnung von Lösungsideen hilfreich sein können.
Im Register (S. 172/173) sind zusätzlich stichwortartig notwendige und wesentliche
Kenntnisse aufgeführt, die dem Leser und Löser die Auswahl geeigneter Aufgaben
erleichtern sollen. Die meisten Stichworte sind selbsterklärend. Unter dem Begriff
Ortslinien sind Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende usw. zusammengefasst. Innerhalb der einzelnen Abschnitte sind die Aufgaben nach Klassenstufen und dann nach Schwierigkeitsgrad geordnet, sofern nicht inhaltlich aufeinander aufbauende Probleme eine andere Reihenfolge nahelegten.
Einleitung
5
se
pr
ob
e
Hinweise zum Lösen von Aufgaben in der Geometrie
Als ersten Schritt kommt es in der Geometrie darauf an, sich von der beschriebenen
Situation das richtige Bild zu machen. Diese Aussage ist durchaus wörtlich zu verstehen, denn aus einer präzisen Zeichnung lassen sich Hinweise auf einen möglichen
Lösungsweg ableiten. Dies gilt insbesondere dann, wenn die vorgegebene Figur
durch die richtigen Hilfslinien ergänzt wird.
Was aber sind die "richtigen Hilfslinien"? Sind es nicht gerade die vielen Irrwege, die
vielen vergeblichen, mit Hilfslinien angefüllten Zeichnungen, die Aufgaben aus der
Geometrie so schwierig erscheinen lassen? Die nachträgliche Erkenntnis, dass durch
eine leichte Variation des zuvor beschrittenen Lösungsweges die Aufgabe wesentlich
einfacher "zu packen" gewesen wäre, ist dann eher Anlass zur Frustration über die
Umwege als Anlass zur Befriedigung über die gelöste Aufgabe.
Die Fülle der bekannten geometrischen Sätze gibt zudem manchmal nicht die erhoffte Sicherheit, die Lösung des Problems schließlich doch zu erreichen, sondern verursacht eher das Gefühl, den entscheidenden Satz gerade nicht zu kennen. Dieses Gefühl wird noch dadurch verstärkt, dass im Unterricht die Zuordnung von Aufgabenstellung und Lösungsmethode in der Regel klar vorgegeben ist und die Kombination
verschiedener Kenntnisse nur selten erforderlich wird.
Bei der Analyse der Schwierigkeiten kristallisieren sich einige typische Situationen
heraus.
• Der Zusammenhang zwischen den gegebenen Informationen und den zu bestimmenden Größen oder den zu konstruierenden Figuren ist nicht erkennbar.
Le
• Häufig scheint das Ziel greifbar nahe, und der Versuch, diese scheinbar kleine
Lücke zu schließen, endet immer wieder an der gleichen oder zumindest an
einer vergleichbaren Stelle.
• Bei der Darstellung der gefundenen Lösung herrscht Unsicherheit darüber,
welche Eigenschaften als bekannt vorausgesetzt werden können und welche
Aussagen beweisbedürftig sind.
Auf diese drei Punkte soll nun ausführlicher eingegangen werden.
6
Einleitung
pr
ob
e
Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten
Das Vorwärtsarbeiten wird immer dann praktiziert, wenn der Weg von den gegebenen Informationen zum Ziel wie ein roter Faden vorgezeichnet scheint. Voraussetzungen und Behauptung sind in der Aufgabenstellung klar beschrieben oder lassen
sich zumindest aus dem Text ohne Schwierigkeiten herausarbeiten. Durch die Kombination der Voraussetzungen mit dem Wissen aus ähnlichen, bereits erfolgreich
gemeisterten Problemen kann das Ziel schrittweise erreicht werden, ohne dieses aus
dem Blick zu verlieren. Dieses Idealbild einer Lösung wird jedoch nur selten zutreffen.
Häufig liegt der Reiz einer Aufgabe gerade darin, dass nicht alle Informationen offen
vorliegen oder das Ziel des Weges die Bestimmung eines unbekannten Winkels, einer Streckenlänge, eines Flächeninhaltes oder eines Konstruktionsverfahrens ist.
In solchen Fällen kann das Rückwärtsarbeiten entscheidende Hilfen geben. Man
nehme an, dass z.B. die Winkelgröße aus einer präzisen Zeichnung nahegelegt wird
oder die Figur bereits konstruiert ist.
Le
se
• Aus welcher Eigenschaft der Figur könnten wir die Winkelgröße unmittelbar
bestimmen?
• Gibt es besondere Teilfiguren, die uns dabei helfen würden?
• Durch welche Konstruktionsschritte könnte der gesuchte Punkt in der Figur
entstanden sein?
Die Überlegungen zum Vorwärts- und zum Rückwärtsarbeiten sollen an vier Beispielen konkretisiert werden.
Einleitung
7
Beispiel 1
In der Figur gelte: g und h sind parallel,
g und n sind orthogonal,
DE ist doppelt so lang wie AC,
α= 26° .
h
g
n
ob
e
C
D
α
β
A
B
E
Le
se
pr
Bestimme ß durch geometrische Überlegungen.
Die Voraussetzungen und die Behauptung sind bei dieser Aufgabe klar formuliert.
Vielleicht gibt es aber noch einige versteckte Informationen. Deshalb bieten sich
folgende Überlegungen als erste Schritte des Vorwärtsarbeitens an.
Welche Informationen enthält die Aufgabenstellung zusätzlich?
Trage in die Figur z.B. die Orthogonalität von h und n ein. Da die Strecke DE doppelt so lang wie die Strecke AC ist, könnte es sich lohnen, den Mittelpunkt M der
Strecke DE einzutragen.
Die Strecken DM und ME haben dann die gleiche Länge wie die Strecke AC.
Gibt es wegen der Parallelität der Geraden g und h weitere Winkel, deren Maße
mit α oder β übereinstimmen oder durch α oder β ausgedrückt werden können?
Zwischenergebnis
C
h
β
α+β
x
g
n
α
A
D
β
B
90°−β
x
M
x
E
8
Einleitung
C
h
α+β
M'
x
A
D
β
B
n
β
x
pr
g
α
ob
e
Ein gleichschenkliges Dreieck ist nicht zu erkennen, da die Strecken mit gleicher Länge (AC, MD und ME) nicht als Seiten eines Dreiecks auftreten. Ein Versuch scheitert,
in den Dreiecken ABC und AEC mit Hilfe der Winkelsumme eine Beziehung zwischen
α und β herzustellen.
Kann man in die Figur weitere Linien so eintragen, dass gleichschenklige (gleichseitige, rechtwinklige) Dreiecke oder besondere Vierecke entstehen?
Hilft z.B. die Verbindungsstrecke von M und C weiter?
M
E
x
Le
se
In der neuen Figur könnten die Dreiecke DMC und MEC gleichschenklig mit den
Basen CD und CE sein. Dazu müsste nachwiesen werden, dass die Strecke MC die
gleiche Länge hat wie die Strecken MD und ME.
Variante 1
Wer sich hier an die Umkehrung des Satzes von Thales erinnert, hat den Beweis bereits vor Augen.
Da das Dreieck DEC nach Voraussetzung bei C einen rechten Winkel besitzt, liegt der
Punkt C nach der Umkehrung des Satzes von Thales auf dem Halbkreis über der Strecke DE mit dem Mittelpunkt M. Die Strecken MD, ME und MC sind dann Radien dieses Kreises und deshalb gleich lang. Die Figur enthält also einige gleichschenklige
Dreiecke, mit deren Hilfe Beziehungen zwischen den Winkelweiten α und β hergeleitet werden können.
Einleitung
9
n
C
h
α
D
β
A
β
ob
e
x
g
β
α+β
90°−β
B
M
x
E
x
pr
Die restlichen Überlegungen sind nun nicht mehr schwierig und sollen hier nicht
ausgeführt werden.
Variante 2
In einem anderen Lösungsansatz wird die Parallele zu g durch M verwendet. Es soll
wieder nachgewiesen werden, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind.
n
se
C
h
M'
Le
x
g
β
α+β
α
A
β
D
β
x
M
E
x
B
Sind bereits die Strahlensätze bzw. die zentrische Streckung bekannt, so wird man in
dieser Figur die Strahlensatzfigur DMEMˈC mit dem Zentrum D erkennen. Mˈ ist deshalb der Mittelpunkt der Strecke DC und MˈM die Mittelsenkrechte im Dreieck DMC,
woraus DM = CM folgt. Die Mittelsenkrechte MMˈ ist als Symmetrieachse gleichzeitig auch Winkelhalbierende. Es gilt deshalb CMD = 2β .
10
Einleitung
Variante 3
Es ist aber auch möglich, die gegebene Figur oder Teile von ihr zu einem Rechteck zu
ergänzen. Dabei kann man ausnutzen, dass die Diagonalen in einem Rechteck gleich
lang sind und sich gegenseitig halbieren. Daraus ergibt sich, dass die vier Teildreiecke
im Rechteck alle gleichschenklig und paarweise kongruent sind.
C
D
α
β
A
B
x
Die drei Lösungsansätze führen zu der Beziehung β=
E
x
M
pr
Zusammenfassung
β
x
α+β
x
g
n
ob
e
h
x
F
1
α und damit zu β= 13° .
2
Für die nebenstehende Planfigur wird
angenommen, dass sie alle geforderten
Bedingungen erfüllt. Insbesondere gilt
AC
= BD
= x . (Rückwärtsarbeiten)
C
A'
h
D
6 cm
Le
se
Beispiel 2
Die Parallelen g und h haben den Abstand 6 cm. Auf g liegen Punkte A und B mit
AB = 9 cm .
Konstruiere den Punkt C auf h so, dass die Strecke AC die gleiche Länge hat wie
das Lot von B auf die Gerade AC.
Weise nach, dass die konstruierte Figur die geforderte Eigenschaft besitzt.
x
x
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt,
dass der Punkt C auf der Parallelen zu AB
im Abstand 6 cm liegt und dass die Streg
9 cm
A
B
cken AC und BD orthogonal sind. Der
Punkt D muss also auf dem Thaleskreis
über AB liegen. (Vorwärtsarbeiten).
Es fehlt jeweils nun noch eine zweite Eigenschaft, welche die Lage des Punktes C
bzw. D beschreibt.
22
Einleitung
ob
e
Der Randwinkelsatz und sein Umfeld
Hilfreich für eine kurze und übersichtliche Darstellung von Lösungen sind die Sätze
über Winkel am Kreis. Sie ergänzen nicht nur die Sätze über die Winkel an Parallelen
und über die Winkelsummen in Vielecken wirkungsvoll, sondern ermöglichen elegante Konstruktionsverfahren und liefern Kriterien, unter welchen Bedingungen
Punkte auf einem Kreis liegen.
Zeichnet man den Umkreis eines Dreiecks ABC und verC
bindet z.B. die Eckpunkte A und B mit dem Umkreismitγ
telpunkt M, so ist der Mittelpunktswinkel AMB doppelt so groß wie der Randwinkel ACB .
M
(Satz über den Mittelpunktswinkel)
ϕ
pr
A
se
Zum Nachweis dieser Eigenschaft werden die gleichschenkligen Dreiecke ABM, BCM und CAM verwendet. Mit
den Benennungen der nebenstehenden Abbildung folgt
dann
α ' =β ',
C
γ1
M
γ1
A
Le
α '+ β '+=
ϕ 180°.
γ2
ϕ
γ1 + γ2 = γ ,
α '+ β '+ 2 ⋅ ( γ 1 + γ 2=) 180°,
B
γ2
β'
α'
B
Durch Vergleichen folgt dann ϕ = 2γ .
Der angegebene Nachweis muss noch durch die
Fälle ergänzt werden, bei denen M auf einer Dreiecksseite oder außerhalb des Dreiecks ABC liegt.
Diese Ergänzungen entsprechen der Betrachtung
der Fälle γ= 90° und γ > 90° .
Der Satz des Thales erweist sich somit als Sonderfall des Satzes über den Mittelpunktswinkel. Der
Nachweis für diese beiden Fälle kann ebenso über
gleichschenklige Dreiecke erfolgen.
C
γ
A
M
ϕ
B
Einleitung
23
Zu beachten ist in diesem Zusammenhang, dass für γ > 90° der zugehörige Mittelpunktswinkel ϕ wie in der nebenstehenden Zeichnung liegt.
C
ε
ϕ
M
2ϕ
A
ϕ
ε
ε ϕ
ϕ
M
2ε 2ϕ
ϕ
B
ε
A
B
ϕ
M
2ε 2ϕ
pr
2ε
A
C
C
ε
ε
ob
e
Ein möglicher Nachweis verwendet den allgemeinen Satz, dass in einem Dreieck die
Größe eines Außenwinkels mit der Summe der Winkelweiten der beiden nicht anliegenden Innenwinkel übereinstimmt. Diese Eigenschaft wurde bei der Benennung der
Winkelweiten in den beiden folgenden Abbildungen verwendet. Außerdem wurde
ausgenutzt, dass die Dreiecke ABM und AMC bzw. AMB und ABC gleichschenklig
sind, da jeweils zwei Seitenlängen mit dem Kreisradius übereinstimmen.
B
Le
se
Einige wichtige Folgerungen
Aus dem Satz über den Mittelpunktswinkel ergibt
sich unmittelbar der Umfangs- oder Randwinkelsatz.
Alle Randwinkel über dem gleichen Bogen sind
gleich groß.
Als Begründung genügt der Hinweis, dass alle
Randwinkel ACB , AC'B , AC*B halb so groß
sind wie der gemeinsame Mittelpunktswinkel
AMB .
C
C'
γ
C*
γ
A
γ
M
ϕ
B
24
Einleitung
C
2β
2δ
β
ob
e
Eine weitere Folgerung bezieht sich auf Sehnenvierecke, d.h. Vierecke mit Umkreis.
In jedem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°.
D δ
Die Ausformulierung des Beweises ist Teil der Aufgabe 2.
Die Umkehrungen dieser Sätze sind für viele Anwendungen bedeutsamer als die Kreiswinkelsätze selbst,
A
denn diese Umkehrungen erlauben Aussagen über
die Existenz von Kreisen durch vorgegebene Punkte.
D
Für den Randwinkelsatz bedeutet die Umkehrung:
ϕ
Gilt für die vier Punkte A, B, C und D die Beziehung
ACB = ADB = ϕ , so gibt es einen Kreis, auf dem
alle vier Punkte liegen.
Diese Aussage wird durch einen indirekten Beweis nachgewiesen, bei dem die Annahme widerlegt wird, dass der A
Punkt D nicht auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt.
Annahme:
D
*
Der Punkt D liegt nicht auf dem Kreis.
ϕ D
Widerlegung:
ϕ*
Liegt D nicht auf dem Umkreis des Dreiecks ABC, so
schneidet die Gerade BD den Kreis in einem Punkt D*.
Ohne Beschränkung für den weiteren Beweis kann
annehmen werden, dass der Punkt D* auf der StreA
cke BD liegt.
Nach dem Randwinkelsatz gilt
C
ϕ
pr
se
Le
B
B
C
ϕ
B
ϕ* =AD*B =ACB =ϕ.
Da nach Voraussetzung auch ACB = ADB gilt, folgt AD*B = ADB .
Die Geraden AD und AD* müssen parallel sein, da sie in der gleichen Halbebene der
Geraden AB liegen und mit der Geraden BD den gleichen Winkel bilden. Da beide
Geraden aber den Punkt A gemeinsam haben, sind sie identisch. Dies ist jedoch nur
möglich, wenn D und D* zusammenfallen.
Einleitung
25
se
pr
ob
e
Anmerkung
Die Umkehrung des Randwinkelsatzes kann auch so interpretiert werden, dass alle
Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke AB unter einem vorgegebenem Winkel erscheint, auf einem Kreisbogen über der Strecke AB liegen.
Entsprechend bedeutet die Umkehrung des Satzes über Sehnenvierecke:
Ein Viereck besitzt dann einen Umkreis besitzt, wenn sich die Maße gegenüberliegender Winkel im Viereck jeweils zu 180° ergänzen.
Wegen der Winkelsumme von 360° im Viereck genügt der Nachweis der Winkelsumme von 180° sogar für ein Paar von Gegenwinkeln. Die Gültigkeit des Kehrsatzes
kann ebenso durch einen indirekten Beweis gezeigt werden, wie dies für die Umkehrung des Randwinkelsatzes geschehen ist, und soll als Teil der Aufgabe 2 nachgewiesen werden.
Typische Anwendungen des Randwinkelsatzes
Winkelbestimmung
Am Beispiel einer Aufgabe aus dem Landeswettbewerb
C
Baden-Württemberg soll gezeigt werden, in welcher WeiD
se die Anwendung des Randwinkelsatzes die Darstellung
E
der Lösung vereinfacht.
In der Figur gilt AE = ED und α= 20° .
Der Punkt D liegt auf EC.
Le
Berechne β und γ.
Aus dem gegebenen Winkel und der Kenntnis, dass nach
dem Satz von Thales im Dreieck ABD bei D und im Dreieck
ABE bei E ein rechter Winkel vorliegt, ergeben sich die in
der Figur eingetragenen Winkelmaße. Daraus kann nach
wenigen Zwischenschritten auf DAE= EDA= 20° geschlossen werden.
Nach dem Randwinkelsatz gilt
γ= EBA= EDA= 20°
(Sehne AE),
β= DBE= DAE= 20°
(Sehne ED).
α
β
γ
A
B
M
C
E
D
70°
20°
A
α
β
20°
γ
M
B
26
Einleitung
ob
e
Konstruktion
Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 5 cm , γ= 55° und sc = 4 cm .
Diese Konstruktion setzt die Anwendung des RandwinkelC
satzes und des Satzes über den Mittelpunktswinkel voraus, denn der Kreis um den Mittelpunkt Mc der Strecke
sc
AB mit Radius sc genügt nicht zur eindeutigen Festlegung
von C. Erst die Anwendung des Randwinkelsatzes ergibt
eine zweite Ortslinie, die zusammen mit dem Kreis um Mc
35°
A
den Punkt C festlegt.
C'
M
Mc
35°
B
= 110° .
Nach dem Satz über den Mittelpunktswinkel ist AMB
Das Dreieck ABM ist gleichschenklig mit AB = 5 cm und mit den Basiswinkeln
pr
1
⋅ (180° − AMB )= 35° . Der Kreis um M mit Radius AM schneidet den Kreis um
2
Mc mit Radius sc in zwei Punkten C und C'. Die beiden Dreiecke ABC und ABC' sind
se
kongruent zueinander, da die Gesamtfigur zur Mittelsenkrechten der Strecke AB
achsensymmetrisch ist.
Le
Ausblick
Die ersten 40 Aufgaben im folgenden Aufgabenpool bauen schrittweise auf dem
Randwinkelsatz auf und sind mehrfach in einer Arbeitsgemeinschaft in der Mittelstufe erprobt.
Aufgaben
Winkel am Kreis
27
Winkel am Kreis
Aufgabe 1
7/8
■
Ein Kreis mit einer Sehne AB ist gegeben.
Zeichnet man im Punkt A des Dreiecks ABC die Tangente an den Umkreis, so ist der Winkel zwischen
der Tangente an den Kreis im Punkt A und der Sehne
AB stets so groß wie der Umfangswinkel ACB auf
dem Bogen, der der Seite AB gegenüber liegt.
Beweise diese Eigenschaft.
C
ob
e
γ
Aufgabe 2
7/8
■
A
γ'
M
B
Bew
C
se
pr
Das Viereck ABCD besitzt einen Umkreis. Ein solches
Viereck wird als Sehnenviereck bezeichnet.
Weise nach, dass in jedem Sehnenviereck die WinkelD
summe gegenüberliegender Winkel 180° beträgt.
Erweiterung
7/8
A
■
Fuchs
B
Bew
Le
Weise nach, dass auch die Umkehrung dieses Satzes gilt:
Wenn in einem Viereck die Winkelsumme eines Paares von Gegenwinkeln 180°
beträgt, dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis.
28
Winkel am Kreis
Aufgabe 3
7/8
Aufgaben
■
P
D
A
ob
e
In einem Kreis sind zwei Sehnen AB und CD vorgegeben.
Ein Punkt P liegt auf dem jeweils längeren Bogenstück
dieser Sehnen.
Zeige, dass die Winkel APB und CPD genau dann
gleich groß sind, wenn die Sehnen AB und CD gleich lang
sind.
Aufgabe 4
9/10
C
B
■
Zwei Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P und einen gegebenen Kreis in
den Punkten A und B bzw. C und D. ( P ≠ A,B,C,D )
pr
Beweise, dass für die Längen der Strecken PA, PB, PC und PD die Beziehung gilt
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD – unabhängig davon, ob der Schnittpunkt P innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.
se
B
D
P
Le
A
C
g
D
g
C
B
h
Abb. a
A
P
h
Abb. b
Anmerkungen
Diese Aussage wird als Sehnensatz (Abb. a) bzw. als Sekantensatz (Abb. b) bezeichnet.
Es gilt auch die Umkehrung der beiden Sätze.
Aufgaben
Winkel am Kreis
Aufgabe 39
9/10
■■
41
Bew
Ein gleichseitiges Dreieck ABC mit seinem Umkreis ist gegeben.
Auf dem kleineren Bogen über der Sehne BC wird ein vierter Punkt D festgelegt.
Zeige, dass der Abstand des Punktes D von A gleich der Summe der Abstände zu den
beiden anderen Eckpunkten B und C ist.
Aufgabe 40
■■■
Bew
ob
e
9/10
In einem Dreieck ABC ist H der Höhenschnittpunkt.
C
pr
Ha ,Hb und Hc sind die Höhenfußpunkte, Ma , Mb
HC
und Mc die Seitenmitten. Außerdem sind HA ,HB
und HC die Halbierungspunkte der Strecken HA, HB Mb
und HC.
Hb
H
Weise nach, dass alle neun Punkte auf einem Kreis
HA
liegen.
A
Hc
Ha
Mc
Ma
HB
B
Le
se
Anmerkung
Dieser Kreis wird in der mathematischen Literatur als Neunpunktekreis, Feuerbachscher Kreis oder als Kreis von Poncelet bezeichnet.
42
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Aufgaben
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Aufgabe 41
5/6
■
Biene
ob
e
Aus 16 Streichhölzern können verschiedene, geradlinig
begrenzte Figuren gelegt werden. Dabei sollen immer die
Enden von Hölzchen aneinanderstoßen und gestreckte
oder rechte Winkel bilden.
Das Bild zeigt das Beispiel einer Fläche, deren Inhalt 13
Flächeneinheiten beträgt.
Welche Flächeninhalte können die Figuren besitzen, wenn
immer alle 16 Hölzchen verwendet werden?
Aufgabe 42
5/6
■
se
pr
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm wird durch drei
Strecken, die parallel zu den Seiten sind, in Rechtecke zerlegt (siehe Bild).
Bestimme den Umfang des kleinsten und des größten
Rechteckes, wenn A2 doppelt so groß, A 3 dreimal und A 4
viermal so groß wie A1 ist.
Le
Aufgabe 43
5/6
■
A1
A3
A2
A4
Biene
Die drei natürlichen Zahlen a, b und c seien die Kantenlängen eines Quaders in cm
gemessen.
Ist es möglich, dass der Quader ein Volumen von 270 cm³ und eine Gesamtkantenlänge von 80 cm aufweist?
Aufgaben
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Aufgabe 44
5/6
43
■
ob
e
Ein Würfel mit der Kantenlänge 12 cm
steht auf einer Tischplatte. Auf der Deckfläche des großen Würfels steht ein kleinerer Würfel, ohne über diese Fläche
herauszuragen.
Wie groß ist die Kantenlänge des kleineren Würfels, wenn die sichtbaren Oberflächenteile der beiden Würfel zusammen
flächengleich zur Gesamtoberfläche des
großen Würfels sind?
Aufgabe 45
5/6
■
Fuchs
Le
se
pr
Ein Würfel (Kantenlänge 7 cm) besteht aus 343 kleinen Würfelchen mit der Kantenlänge 1 cm. An den
vier Eckpunkten der oberen Begrenzungsfläche
werden Würfel von 1 cm, 2 cm, 3 cm bzw.
4 cm Kantenlänge entfernt.
Bestimme das Volumen und den Oberflächeninhalt
des Restkörpers.
Aufgabe 46
7/8
■
Über der Strecke AB ist der Thaleskreis gezeichnet.
Bestimme alle Winkelmaße in der nebenstehenden Figur.
D
F
C
E
20°
A
M
B
44
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Aufgabe 47
7/8
Aufgaben
■
C
D
E
ob
e
In ein Quadrat ABCD wird ein gleichseitiges Dreieck ABE
über der Seite AB eingezeichnet.
Wie groß ist der Winkel CED?
Aufgabe 48
7/8
A
■
B
Le
se
pr
In der nebenstehenden Figur ist M der Mittelpunkt
der Strecke AB und E der Mittelpunkt des Kreisbogens durch M und B.
Bestimme ϕ .
Aufgabe 49
7/8
E
30°
D
C
ϕ
A
M
B
■
Von einem Drachenviereck ist bekannt:
a) Beide Diagonalen haben die gleiche Länge a.
b) Mindestens eine Seite des Drachens hat die gleiche Länge wie die Diagonalen.
Berechne die Winkelmaße der vier Innenwinkel des Drachens.
Aufgaben
Längen, Flächen, Volumina, Winkel
Aufgabe 68
9/10
51
■■
Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basislänge a und der Höhe h rotiert um die
Mittellinie parallel zur Basis (Abb. a).
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a und h.
a
Abb. a
ob
e
h
h
a
Abb. b
9/10
■■■
se
Aufgabe 69
pr
Erweiterung
Rotiert das gleiche gleichschenklige Dreieck um die Symmetrieachse, so entsteht ein
Kegel (Abb. b).
Welche Beziehung besteht zwischen a und h, wenn die beiden Körper das gleiche
Volumen haben?
Le
Zwei Kugeln mit den Radien r und 2r berühren einander von außen. Ein Kreiskegel wird diesen beiden Kugeln umbeschrieben.
Berechne den Grundkreisradius und die Höhe des Kegels.
Aufgabe 70
9/10
■■■
Fuchs
In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck soll von einem inneren Punkt P der
Hypotenuse zu einem inneren Punkt Q einer der beiden Katheten eine Linie gezogen
werden, die den Flächeninhalt des Dreiecks halbiert. Die Linie muss nicht notwendigerweise gerade sein.
Wie sind P und Q zu wählen, damit die Linie möglichst kurz wird?
Bestimme die Form und die Länge dieser Linie in Abhängigkeit von der Länge c der
Hypotenuse.
Aufgaben
Ortslinien und Konstruktionen
Aufgabe 90
9/10
■■■
DGS
D'
C'
Q
A'
B'
a
ob
e
Gegeben ist ein Würfel, dessen Eckpunkte
mit A, B, C, D, A', B', C' und D' bezeichnet
sind.
Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke PQ,
wenn die Länge der Strecke PQ mit der
Kantenlänge a des Würfels übereinstimmt,
P auf AA' und Q auf der Seitenfläche
A'B'C'D' liegen?
57
P
D
Le
se
pr
A
C
B
58
Argumentieren, Begründen, Beweisen
Aufgaben
Argumentieren, Begründen, Beweisen
Aufgabe 91
5/6
■
Biene
5/6
■■
Fuchs
pr
Aufgabe 92
D'
A'
ob
e
Ein Würfel wird durch einen ebenen Schnitt in zwei
Teilkörper zerlegt. Dies ist auf verschiedene Arten möglich.
Die Abbildung zeigt eine Zerlegung in zwei Teilkörper,
bei der die Eckenzahl um 6 größer ist als beim Würfel.
Um wieviel erhöht sich die Eckenzahl der beiden Körper im Vergleich zum Würfel mindestens, um wieviel
höchstens?
Sind alle Zwischenwerte möglich?
Le
se
Aus 125 Würfelchen der Kantenlänge 1 cm, die jeweils
vollständig schwarz oder weiß gefärbt sind, wird ein
größerer Würfel zusammengesetzt.
Die sechs Seitenflächen des großen Würfels sollen
schachbrettartig gefärbt werden.
Wie viele Würfelchen jeder Farbe muss es mindestens
geben?
C'
B'
D
A
C
B
Aufgaben
Argumentieren, Begründen, Beweisen
Aufgabe 93
5/6
59
■■
5/6
■■
se
Aufgabe 94
pr
ob
e
Ein Würfel der Kantenlänge 3 cm kann aus 27 Würfelchen mit der Kantenlänge 1 cm zusammengesetzt werden, von denen 54 Seitenflächen außen liegen.
Bei einem anderen, aus solchen Würfelchen zusammengesetzten Würfel ist die Anzahl dieser Würfelchen gleich
der Anzahl der außen liegenden Seitenflächen der Würfelchen.
Aus wie vielen Würfelchen besteht der große Würfel?
Erweiterung
Weise nach, dass es auch große Würfel gibt, bei denen die Anzahl der außen liegenden Seitenflächen gleich der Hälfte, gleich einem Drittel, einem Viertel ... der Anzahl
der Würfelchen ist, aus dem der große Würfel zusammengesetzt wurde.
Welche Aussage kann in diesen Fällen über die Anzahl der Würfelchen gemacht
werden, die längs einer Kante liegen?
Fuchs
Le
Mehrere normale Spielwürfel sollen so aneinandergeklebt werden, dass die Summe der sichtbaren Augenzahlen möglichst groß wird. Als sichtbar gelten alle
nicht miteinander verklebten Seitenflächen.
Bei den drei abgebildeten Würfeln beispielsweise
wären 14 Seitenflächen sichtbar. Die Summe der
sichtbaren Augenzahlen kann bei dieser Anordnung
und bei geschickter Wahl 58 betragen.
a) Gib ein Verfahren an, wie die Würfel zusammengeklebt werden müssen, damit die sichtbare Augensumme maximal wird.
b) Wie groß wird diese Summe in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfel?
172
Register
Die angegebenen Klassenstufen sind als untere Grenze anzusehen. In der Regel stehen ab diesen Klassenstufen die erforderlichen mathematischen Kenntnisse zur Verfügung. Selbstverständlich können diese Aufgaben auch noch später eingesetzt werden.
Register Klassenstufen 5 und 6
Aufgabe
42
41, 42, 43, 44, 45, 93
43, 45, 93
41
43, 91, 92, 94
44, 45, 91, 92, 93, 94
ob
e
Thema
Längenberechnung
Flächenberechnung
Volumenberechnung
systematisches Probieren
Fallunterscheidung
räumliches Vorstellungsvermögen
se
Thema
Tangente
pr
Register Klassenstufen 7 und 8
Sehnenviereck
Konstruktion
Ortslinien
Le
Winkelberechnung
Flächenberechnung
Satz des Thales
Satzgruppe Pythagoras
Kongruenz
Kreis
Fallunterscheidung
Aufgabe
1, 7, 10, 21, 30, 72
2, 10, 11, 12, 20, 21, 23, 24, 25, 26,
28, 29, 31, 32
16, 17, 27, 30
11, 19, 23, 26, 27, 28, 29, 52, 78,
83, 99, 106, 103
6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 19, 46, 47, 48,
49, 50, 51, 52, 54, 96, 98, 100, 101,
113
53, 54, 55, 56, 57
19, 20, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 46,
48, 55, 78, 101, 108
55, 82, 86, 88, 116
3, 25, 29, 73, 75, 80, 88, 97, 104,
105, 109, 111, 112
1, 2, 7, 9, 10, 13, 55, 56, 57, 72, 74,
76, 77, 80, 86, 97, 109, 111, 116
16, 17, 23, 30, 71, 73, 74, 75, 76,
77, 80, 82, 85
Register
173
Winkel am Kreis
Dreiecksungleichung
Beweis
besondere Vielecke
1 bis 40, 81, 82, 83
84, 105, 106
2, 11, 12, 13,
87, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104,
105, 107, 112, 113, 116
Aufgabe
4, 5, 18, 33, 35, 36, 38, 61, 62, 119
5, 62
18, 61, 62
18
33, 34, 36, 38, 39
34
34, 36, 37, 40, 60, 70, 78, 89, 110,
117
35, 53, 57, 59, 60, 63, 64, 65, 67,
70, 114, 115, 117
64, 66, 67, 68, 69
35, 37, 40, 59, 78, 90
59, 61, 63, 64, 66, 69, 90, 120
36, 37, 40, 53, 68, 69, 89, 110, 118,
120
38, 115, 119
58, 59, 62, 65, 69, 70, 90, 114, 117,
120
33, 37, 38, 39, 40
pr
Thema
Ähnlichkeit
Tangente
Längenberechnung
Sehnensatz
Sehnenviereck
Konstruktion
Ortslinien
ob
e
Register Klassenstufen 9 und 10
se
Flächenberechnung
Le
Volumenberechnung
Satz des Thales
Satzgruppe Pythagoras
zentrische Streckung / Strahlensatz
Trigonometrie
Kreis
Beweis