3.1 Bedeutung des Unterrichtsbereichs
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3 Mathematik Seite 163 3.1 Bedeutung des Unterrichtsbereichs Mathematik stellt für den Menschen eine Möglichkeit dar – insbesondere quantifizierbare – Aspekte der Welt zu entdecken, durch geistige Auseinandersetzung zu ergründen und zu verstehen. Der Mensch beschäftigt sich seit je mit der Mathematik, und zwar in ihrer ganzen Bandbreite vom Spielen bis zum Forschen. Mathematik ist eine Grundlage vieler wissenschaftlicher Disziplinen sowie unserer heutigen technischen Zivilisation. Sie hilft bestehende Zusammenhänge erkennen und planmässig erfassen. Damit erleichtert sie gezieltes Handeln und dient der praktischen Bewältigung der Probleme des Alltags. Mathematik ist eine Wissenschaft mit langer Tradition, sie erfährt aber auch dauernd Wandlungen, Ergänzungen und Weiterentwicklungen. Die Beschäftigung mit der Mathematik führt zur Begegnung mit Zahlen und Grössen, Figuren und Körpern. Mathematik spricht das Vorstellungsvermögen, die Abstraktionsfähigkeit und das logische Denken an. Sie führt zu klaren Begriffen sowie zum Erkennen und Formulieren von Beziehungen und Gesetzmässigkeiten. Ihre Sprache ist international und beruht auf Konventionen. Wissenschaftliche Mathematik ist formal; Schulmathematik berücksichtigt jedoch neben der abstrakten auch die bildhafte und handlungsorientierte Ebene. Als eine Basis des wissenschaftlichen Denkens werden mathematische Denkweisen, Kenntnisse, Fertigkeiten, Techniken und Darstellungsformen in vielen anderen Unterrichtsbereichen angewandt. Seite 164 3 Mathematik 3.2 Richtziele Begriffsbildung Die Schulung des logischen Denk- und Abstraktionsvermögens führt zur Bildung klarer Begriffe. Dies wird erreicht durch – Ordnen und Zuordnen – Zusammenfassen und Aufteilen – Folgern und Verallgemeinern Begriffliche Genauigkeit hilft den Schülerinnen und Schülern, sich umgangssprachlich verständlich sowie mathematisch korrekt und folgerichtig auszudrücken. Indem sie die Sprache der Mathematik und ihre Vereinbarungen kennen, akzeptieren und gebrauchen lernen, gewinnen sie die Fähigkeit, sowohl Problemstellungen als auch Erkenntnisse sprachlich korrekt auszudrücken. Raumerkundung Durch die eigene Raumwahrnehmung und durch das Experimentieren mit Körpern und Figuren lernen die Schülerinnen und Schüler, sich im Raum zu orientieren und Gesetzmässigkeiten zu entdecken. Dabei wird ihre räumliche Vorstellungskraft geschult. Sie lernen, die technischen Hilfsmittel einzusetzen, insbesondere die gebräuchlichen geometrischen Werkzeuge, und können so durch Skizzieren, Konstruieren und Berechnen räumliche und ebene Strukturen ergründen und darstellen. Kulturtechnik Rechnen Die Schülerinnen und Schüler erwerben grundlegende Kenntnisse im mündlichen und schriftlichen Umgang mit – Zeichen und Symbolen – Zahlen – Zahlbeziehungen – mathematischen Operationen Sie müssen daher mit der Zahlschreibweise vertraut sein. Fundamentale Rechenfertigkeiten und Rechenverfahren werden automatisiert. Durch gezieltes und sorgfältiges Üben wird erreicht, dass die Rechnungen, mit denen man im Alltag, beim Berechnen von Näherungswerten und bei Kontroll- aufgaben begegnet, schnell und sicher ausgeführt werden können. Sachprobleme Die Schülerinnen und Schüler erwerben die Sicherheit im Umgang mit den im täglichen Leben gebräuchlichen Grössen und Masseinheiten. Um diese grundlegenden Kenntnisse in situationsbezogenen Problemen des Alltags sinnvoll einsetzen zu können, brauchen sie – klare Vorstellungen von Zahlen – Sicherheit im Rechnen – Übung im Schätzen – Gewandtheit im Gebrauch von Messinstrumenten – Fertigkeiten im Umgang mit elektronischen Hilfsmitteln Sie lösen Probleme und Aufgaben selbständig und auch in Zusammenarbeit mit anderen unter Verwendung geeigneter mathematischer Modelle und Hilfsmittel und überprüfen, beurteilen und interpretieren dabei Aussagen und Ergebnisse. Problemlösung Durch verschiedenartige mathematische Problemstellungen und Lösungsverfahren werden die Schülerinnen und Schüler zu Gesetzmässigkeiten und Strukturen hingeführt. Sie lernen – Problemstellungen zu erfassen – Vermutungen zu formulieren – Hypothesen aufzustellen, zu prüfen – passende mathematische Modelle zu wählen und damit zu arbeiten – Hilfsmittel wie Tabellen, Taschenrechner usw. beizuziehen – Ergebnisse zu prüfen Die dabei gewonnenen Erkenntnisse können sie sprachlich und grafisch korrekt ausdrücken bzw. anwenden und diese auf andere Aufgaben und neue Situationen übertragen. Dabei entwickeln sie – Fähigkeiten zum Abstrahieren und Konkretisieren – Neugier und Experimentierfreude – Neuem gegenüber eine offene Haltung 3 Mathematik Seite 165 3.3 Stufenlehrpläne Einführende Erläuterungen Differenzierung auf der Oberstufe Eckige Klammern [ ] enthalten korrekte mathematische Begriffe, welche den Lehrkräften den Sachverhalt erläutern, jedoch von den Schülerinnen und Schülern nicht gelernt werden müssen. Der Stoffumfang der Oberstufe ist gegliedert: Schwarz Verbindlicher Stoffumfang für elementare und höhere Anforderungen. Grau Verbindlicher Stoffumfang für höhere Anforderungen. Weiss Zusatzstoff für beide Klassenabteilungen. Seite 166 Hinweise zur Planung und Gestaltung des Unterrichts 3 Mathematik (siehe Geometrie-Lehrplan der Oberstufe) verwendet. Allgemein Zu mathematischen Erkenntnissen kann man auf verschiedenen Wegen gelangen: Intuition, empirisches Vorgehen sowie Gedankenarbeit führen zu Verständnis. Zur Vertrautheit mit Zahlen und Grössen tragen spielerischer und experimenteller Umgang mit ihnen ebenso bei wie systematische Schulung der Rechenfertigkeit und der Schätzverfahren. Neben der stufengemässen Schulung geistiger Beweglichkeit durch variantenreiche Übungs- und Transfergelegenheiten ist die Sicherheit durch kontinuierliches Üben und hinreichende Automatisierung der grundlegenden Fertigkeiten zu fördern. Klar gegliederte, unmissverständliche Darstellung sowie sorgfältige und genaue Arbeitsweise haben grosse Bedeutung. Die Schülerinnen und Schüler erhalten immer wieder Gelegenheit, eigene Darstellungsformen und Lösungsstrategien zu entwickeln. Geometrie Primarschule Der Geometrieunterricht auf der Primarschulstufe hat vorbereitenden Charakter: – Er schult das Vorstellungsvermögen und die Orientierung in Raum und Ebene. – Er öffnet den Blick für den Reichtum an Formen und Strukturen. – Das spielerische und ornamentale Gestalten nimmt einen wichtigen Platz ein. – Der Umgang mit geometrischen Zeichengeräten wird geübt. – Die Beschriftung geometrischer Figuren wird gelegentlich unter Berücksichtigung der Konventionen Geometrie Oberstufe Der Geometrieunterricht greift die Erfahrungen aus der Primarschule auf und vertieft das Orientierungsund Vorstellungsvermögen. Als Ergänzung zur Arbeit mit geometrischen Modellen und zur Arbeit auf Papier ist Geometrie auch in der konkreten Umgebung der Schülerinnen und Schüler zu betreiben. Neben skizzenhaftem Darstellen von ebenen und räumlichen Sachverhalten soll auch genaues und sorgfältiges Konstruieren gepflegt werden. Gute Gelegenheiten zu grafischgeometrischem Gestalten bietet auch der Unterrichtsbereich «Gestaltung und Musik». Geometrisches Zeichnen Das Fach Geometrisches Zeichnen steht in engem Bezug zur Geometrie, zum Zeichnen und zum Werken. Die Schulung der räumlichen Vorstellungskraft steht im Vordergrund und berücksichtigt die Anforderungen an künftige Gewerbeschülerinnen und Gewerbeschüler. Elektronische Hilfsmittel Die elektronischen Hilfsmittel (Taschenrechner, Computer) werden im Mathematikunterricht der Oberstufe gezielt verwendet. Die Schülerinnen und Schüler sind zu einem realistisch-vernünftigen Gebrauch der elektronischen Rechenhilfsmittel anzuleiten. 3 Mathematik Rechnen Seite 167 Diagramme Sortieren nach mehreren Merkmalen Stellenwert Ziffern 0 - 9 Mengen / Eigenschaften von Zahlen Zahlenbereich / Zahlschreibweise und - systeme Operationen / Algebra Zehnersystem Zahlbereich 0 - 1000 Kopfrechnen Grössen / Sachrechnen Grundoperationen Masseinheiten Seite 168 Rechnen 3 Mathematik Mengen/Eigenschaften von Zahlen Grunderfahrungen mit Mengen Bilden von Mengen mit strukturiertem Material und mit Objekten, die aus der Umwelt des Kindes stammen Objekte, Zahlen und Grössen betrachten, vergleichen, sortieren und ordnen Mengenbildung nach einem Merkmal 1 Ordnen von Objekten und Zahlen nach Beziehungseigenschaften: gleich, grösser, kleiner, mehr, weniger gleichviel, das Doppelte, die Hälfte heller, dunkler, schwerer, leichter, ... Ordnen von Mengen in verschiedenen Darstellungsformen Graphische Darstellungen Tabelle Venn-, Flussdiagramm 2 Mengenbildung nach höchstens zwei Merkmalen Ordnen von Zahlenmengen Graphische Darstellungen Tabelle Venn-, Flussdiagramm Mengenbildung nach höchstens drei Merkmalen 3 3 Mathematik Rechnen Seite 169 Zahlenbereich/Zahlschreibweise und -systeme Zahlenbereich erarbeiten und beherrschen Zahlen von 0 bis 20 Zahlen von 21 bis 30 Zahlenbereich erfahren Vorwärts- und Rückwärtszählen Zählübungen Zählübungen, die auch den Zahlrenraum überschreiten dürfen Verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs anwenden [Kardinalzahl: Mächtigkeit von Mengen ] [Ordinalzahl: Bezeichnung für eine bestimmte Stelle in einer Reihenfolge] Veranschaulichung für Zahlen Zahlbilder und strukturiertes Material zur Veranschaulichung für Einer und Zehner Kleiner-/Grösserbeziehung < und > Ziffern benennen und schreiben können Ziffern 0 bis 9 1 Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen Erweitern und Beherrschen des Zahlenbereiches Zahlen von 0 bis 100 Zählübungen, die auch den Zahlenbereich überschreiten dürfen Schreibweise der Zahlen kennen 21, … , 100 Verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs anwenden Kardinalzahl, Ordinalzahl Einsicht ins Zehnersystem vertiefen Strukturiertes Material zur Veranschaulichung von Einer, Zehner und Hunderter Stellenwert benennen und verstehen Begriffe: Einer (E), Zehner (Z) 2 Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen Erweitern und Beherrschen des Zahlenbereichs Zahlen 0 bis 1000 Zählübungen, die auch den Zahlenbereich überschreiten dürfen Schreibweise der Zahlen 101, ... , 1000 Verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs anwenden Kardinalzahl, Ordinalzahl Einsicht ins Zehnersystem vertiefen Strukturiertes Material zur Veranschaulichung von Einer, Zehner, Hunderter und Tausender Stellenwert benennen und verstehen Begriffe: Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H) Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen 3 Seite 170 Rechnen 3 Mathematik Operationen Handlungen, die zur Addition und Subtraktion führen Multiplikation, Division Hinzufügen, Zusammenlegen, Verlängern, Wegnehmen, Abtrennen, Zudecken Operationszeichen anwenden können + – Kopfrechnen im Zahlbereich von 0 bis 20 20 bis 30 Relationszeichen Gleichungen, Ungleichungen darstellen und Lösungen bestimmen grösser als kleiner als gleich Begriffe und Operationsbereich Zuzählen, Wegzählen beherrschen Zehnerübergang aufgreifen E ± E ZE ± E 1 [plus] [minus] > < = Gesetzmässigkeiten in einfachen Zahlenfolgen suchen Handlungen, die zur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division führen Kleines Einmaleins Teilen ohne Rest Operationszeichen anwenden können + – Kopfrechnen im Zahlbereich von 0 bis 100 Begriffe und Operationsbereich Zuzählen, Wegzählen beherrschen Zehnerübergang festigen Vervielfachen, Teilen aufgreifen ZE ± E Z ± Z ZE ± Z (plus) (minus) 2 . : (mal) (durch) Gesetzmässigkeiten in einfachen Zahlenfolgen suchen Handlungen, die zur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division führen 10er-Einmaleins Teilen ohne Rest durch eine reine Zehnerzahl Kopfrechnen im Zahlbereich von 0 bis 1000 Begriffe und Operationsbereich Zuzählen und Wegzählen beherrschen H ± H H ± Z H ± E HZ ± H HZ ± Z HZE + H HZE + Z HZE + E Gesetzmässigkeiten in einfachen Zahlenfolgen suchen Zahlenfolgen wie z.B. 3, 6, 12, 24, 48 3 3 Mathematik Rechnen Seite 171 Grössen/Sachrechnen Grundoperationen sprachlich formulierte Aufgaben 1 Handelnd die Masseinheiten erfahren Masseinheiten : Geld Fr., Rp. Längen m, cm Zeit h, min 2 (mit Münzen) Grundoperationen mit Grössen gleicher Masseinheit sprachlich formulierte Aufgaben Handelnd die Masseinheiten erfahren Masseinheiten Geld Fr., Rp. (Münzen und Noten) Längen km, m, cm, mm Zeit Jahr, Monat, Woche, d, h, min, s Hohlmasse hl, l, dl Gewicht t, kg, g Grundoperationen mit Grössen gleicher Masseinheit Umformungen von der kleineren in die grössere Masseinheit und umgekehrt sprachlich formulierte Aufgaben 3 Rechnen 3 Mathematik Teilbarkeit Seite 173 Diagramme Sortieren nach mehreren Merkmalen Dezimalbruch Bruch Mengen / Eigenschaften von Zahlen Zehnersystem Zahlenbereich / Zahlschreibweise und - systeme Proportionalität / Sachrechnen Dreisatz Direkte Proportion Zahlbereich 0 - 1'000'000 Operationen / Algebra Grössen / Sachrechnen Kopfrechnen Grundoperationen Schätzen Schriftliches Rechnen Masseinheiten Umrechnungen Notation Grundoperationen mit Grössen Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen Seite 174 Rechnen 3 Mathematik Mengen/Eigenschaften von Zahlen Zahlen nach 1 bis 3 Eigenschaften sortieren Zahleigenschaften: ist teilbar durch ... ist Vielfaches von ... Teilbarkeitsregel :2, :3, :4, :5, :6, :8, :9 Sortierprozesse graphisch darstellen Sprachliche Aussagen über die Zugehörigkeit von Elementen zu verschiedenen Mengen machen Darstellungen Baum-, Mengen-, Flussdiagramm 4 5 6 3 Mathematik Rechnen Seite 175 Zahlenbereich/Zahlschreibweise und -systeme Im erarbeiteten Zahlenbereich vorwärts und rückwärts zählen 4 Erweitern und Beherrschen des Zahlenbereichs Zahlen von 0 bis 10 000 Schreibweise der Zahlen kennen 1001 ...... 10 000 Zahlen unter verschiedenen Aspekten verwenden [Kardinalzahl: Mächtigkeit von Mengen] [Ordinalzahl: Bezeichnung für eine bestimmte Stelle in einer Reihenfolge] [Masszahl] Veranschaulichung für Zahlen Zahlenstrahl Strukturierte Materialien Stellenwerte benennen und verstehen Begriffe: Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), Tausender (T), Zehntausender (ZT) Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen Im erarbeiteten Zahlenbereich vorwärts und rückwärts zählen 5 Erweitern und Beherrschen des Zahlenbereichs Zahlen von 0 bis 100 000 Schreibweise der Zahlen kennen 10 001 ...... 100 000 Zahlen unter verschiedenen Aspekten verwenden [Kardinalzahl, Ordinalzahl, Masszahl] Veranschaulichung für Zahlen Zahlenstrahl Schaubilder / Diagramme, Struk. Materialien Stellenwerte benennen und verstehen Begriffe: Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H) Tausender (T), Zehntausender (ZT) Hunderttausender (HT) Schreibweise für Brüche kennen und anwenden Begriffe: Bruch, Zähler, Nenner, Bruchstrich Komma- bzw. Punktschreibweise für Masszahlen von Grössen verwenden 4 m 60 cm = 4,60 m 2 Fr. 50 Rp. = 2.50 Fr. Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen Seite 176 Rechnen 3 Mathematik Im erarbeiteten Zahlenbereich vorwärts und rückwärts zählen 6 Erweitern und Beherrschen des Zahlenbereichs Zahlen von 0 bis 1 000 000 Schreibweise der Zahlen kennen 100 001 ...... 1 000 000 Zahlen unter verschiedenen Aspekten verwenden [Kardinalzahl, Ordinalzahl, Masszahl] Veranschaulichung für Zahlen Zahlenstrahl Schaubilder/Diagramme Struk. Materialien Stellenwertsystem beherrschen 1 bis 1 000 000 Begriffe: Dezimalzahl Zehntel, Hundertstel, Tausendstel Einen Bruch in eine Dezimalzahl verwandeln und auch umgekehrt Zahlen lesen und nach Diktat schreiben Zahlen dem Wert nach ordnen 2 5 m = 0,40 m 0,625 km = 85 km 3 Mathematik Rechnen Seite 177 Operationen Mathematische Symbole und ihre Bedeutung kennenlernen und in Gleichungen oder Ungleichungen anwenden + plus · mal – minus : durch kleiner als grösser als gleich [Operationszeichen] < > = 4 5 6 [Relationszeichen] Die Operationen mit der fachsprachlichen Bezeichnung benennen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division Lösungen von Rechenaufgaben abschätzen durch Rechnen mit gerundeten Zahlen Rechnungsaufgaben, die auf den Schwierigkeitsgrad von Kopfrechnungen gerundet worden sind Rechnungen überprüfen; Lösungen von Rechenaufgaben kontrollieren Umkehraufgabe, Schätzen, Neunerprobe Sprachlich formulierte Rechenaufgaben und Gleichungen lösen Addiere 24 zu 39 und teile das Resultat durch 7 Rechengesetze als Rechenvorteile bei Kopfrechenverfahren und beim Rechnen mit Stellenwerten anwenden [Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)] 58 · 6 = 6 · 58 [Zusammenfassungsgesetz (Assoziativgesetz)] 80 + 60 = 80 + (20 + 40) = (80 + 20) + 40 [Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)] 4 · 57 = 4 · (50 + 7) = 4 · 50 + 4 · 7 Die Gesetzmässigkeit von Zahlenfolgen finden Zahlenfolgen, die nach einfachen additiven oder multiplikativen Gesetzmässigkeiten aufgebaut sind Schriftliche Rechenverfahren für die Grundoperationen kennen und anwenden Die schriftlichen Verfahren systematisch üben Rechnen mit Brüchen Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren; Brüche und gemischte Zahlen mit natürlichen Zahlen multiplizieren und dividieren Grundoperationen mit einfachen Brüchen Brüche dem Wert nach ordnen Gleichnamige Brüche oder Brüche mit gleichen Zählern Brüche in Dezimalzahlen und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln Umwandlungen, die den Schwierigkeitsgrad folgender Beispiele nicht überschreiten 7 8 = 7 : 8 = 0.875 2 3 205 0,205 = 1000 Mit Dezimalzahlen schriftlich rechnen Grundoperationen = 2 : 3 = 0,66… 5 6 Rechnen Seite 178 Kopfrechnen 3 Mathematik Addition und Subtraktion Beide Zahlen haben je höchstens zwei von 0 verschiedene Ziffern, ausgenommen einer der beiden Summanden oder der Subtrahend besteht nur aus Einern, Zehnern, Hundertern 370 + 58 3090 – 420 2357 + 900 Aufgaben im Zahlenbereich 0 bis 1000 Multiplikation und Division Kleines Einmaleins und entsprechende Division beherrschen Erweitertes Einmaleins und entsprechende Division Ein Faktor oder der Divisor ist: eine reine Zehnerzahl eine reine Hunderterzahl eine reine Tausenderzahl Schriftliches Rechnen Aufgaben im Rahmen des eingeführten Zahlenbereiches 43 978 + 7056 + 18 309 67 701 – 3427 – 29 456 568 · 1809 67 982 : 38 mehrere Summanden mehrere Subtrahenden ein Faktor höchstens dreistellig ohne Rest, Divisor höchstens zweistellig Dezimalzahlen Grundoperationen, die den Schwierigkeitsgrad der folgenden Beispiele nicht überschreiten 34,95 + 142,5 + 76,104 857,34 – 204,456 359 · 5,678 343,246 : 73 mehrere Summanden mehrere Subtrahenden ein Faktor höchstens dreistellig ohne Rest, Divisor höchstens zweistellig 4 5 6 3 Mathematik Rechnen Seite 179 Grössen/Sachrechnen Masseinheiten handelnd erfahren sowie in Grössenangaben und Grössen verwenden Geld: Längen: Hohlmasse: Gewichte: Zeitmasse: Grössenschreibweise innerhalb der eingeführten Grössenbereiche anpassen und notieren Fr./Rp. d/h h/min min/s Fr., Rp. km, m, dm, cm, mm hl, l, dl, cl, ml t, kg, g Jahr, Monat, Woche d, h, min, s t/kg kg/g km/m m/dm m/cm m/mm dm/cm cm/mm 4 hl/l l/dl l/cl l/ml Jahr/Monat Jahr/Woche Monat bzw. Woche/d 304 cm = 3 m 04 cm Mündlich und schriftlich mit Grössen rechnen Grundoperationen aus den erwähnten Grössenbereichen, bei welchen höchstens zwei Masseinheiten vorkommen 5 Festigung des 4.-Kl.-Stoffes Grössen-Notation in der Dezimalschreibweise kennen und anwenden Grundoperationen mit dezimalen Grössen in der Dezimalschreibweise (Division ohne Rest) 3 m 4 cm = 3,04 m 6 Sicherheit im Umgang mit Grössen Auf- und Abrunden von Grössen auf eine vorgeschriebene Einheit Sinnvolle Genauigkeit von Grössen Masseinheiten handelnd erfahren sowie in Grössenangaben und Grössen verwenden Flächen: m2, dm2, cm2, mm2 Grössen-Notation und Zahlen in Alltagssituationen erkennen und mit ihnen rechnen Anwendung von Mathematik auf konkrete, bildhaft dargestellte oder sprachlich formulierte Situationen Rechnungen mit Grössen interpretieren Begriff «Prozent» kennenlernen 30% Rabatt von 200 Fr. Seite 180 Rechnen 3 Mathematik Proportionalität/Sachrechnen Gesetzmässigkeit der direkten Zuordnung (Dreisatz) erkennen und andere Gesetzmässigkeiten erfahren Dreisatzaufgaben darstellen und lösen; einfache Satzaufgaben, denen die direkte Proportionalität zugrunde liegt Darstellung von Zahlenpaar – Folgen Preis – Menge, Weg – Benzinverbrauch, … 4 5 6 Rechnen/Algebra 3 Mathematik Faktorzerlegung Seite 181 Teilbarkeit Primzahl Beziehungen zwischen natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen Lösung Lösungsmenge Zahlen Variablen | Q Elementare Mengenlehre Mengen / Eigenschaften von Zahlen Von der Sachaufgabe zur Gleichung Grafische Darstellungen Dreisatz ( |R ) ZZ Dezimalbruch |N Zahlengerade Zehnersystem Gleichungen / Ungleichungen Zahlenbereich / Zahlschreibweise und - systeme Proportionalität / Sachrechnen Operationen / Algebra Grössen / Sachrechnen Grosse Zahlen Potenzen Quadratwurzel Terme Regeln Gesetze Prozent Masseinheiten Themen zur Auswahl Binome Polynome Seite 182 Rechnen/Algebra Mengen/Eigenschaften von Zahlen Mengenlehre Begriffe, Notationen und Spezialzeichen aus der Mengenlehre kennen, verstehen bzw. benützen Begriffe und Zeichen: Menge, Grundmenge, Element Aussage, Aussageformen Schnittmenge, Vereinigungsmenge Teilmenge, leere Menge Restmenge, Ergänzungsmenge Notation und Darstellung: Aufzählende und beschreibende Form Diagramm Beziehungen zwischen natürlichen Zahlen Eigenschaften natürlicher Zahlen und die damit verbundenen Begriffe entdecken; diese und die entsprechenden Bezeichnungen kennen und anwenden. Begriffe und Bezeichnungen: natürliche Zahl; Menge der natürlichen Zahlen (N, I N I o) Teiler, Vielfache Teilermenge, Vielfachenmenge ggT und kgV Quersumme Primzahl Primfaktorzerlegung Teilbarkeitsregeln Beziehungen zwischen ganzen Zahlen Eigenschaften ganzer Zahlen und die damit verbundenen Begriffe entdecken Begriffe und Bezeichnungen: ganze Zahl : Menge der ganzen Zahlen (ZZ) Gegenzahl, Betrag einer Zahl Ganze Zahlen ordnen <,> Beziehungen zwischen rationalen Zahlen Eigenschaften rationaler Zahlen und die damit verbundenen Begriffe entdecken Begriffe und Bezeichnungen: rationale Zahl; Menge der rationalen Zahlen (IQ) Kehrwert Rationale Zahlen ordnen >,<,= ≥,≤ 3 Mathematik 3 Mathematik Rechnen/Algebra Zahlenbereich/Zahlschreibweise und -systeme Menge der natürlichen Zahlen IN Unbegrenztheit des Zahlenbereichs erleben Begriffe: Zahlenstrahl Million, Milliarde, Billion Basis, Exponent Prinzipien des Aufbaus des Dezimalsystems wiederholen und vertiefen Ziffer, Zahl, Stellenwert In unterschiedlichen Schreibweisen notierte Zahlen lesen und Zahlen in diesen Schreibweisen notieren Schreibweisen: nur mit Ziffern mit Zahlwortabkürzungen mit Zehnerpotenz mit Komma bzw. Punkt Darstellung grosser Zahlen in elektronischen Hilfsmitteln lesen 3.5 E9 2.6 08 Das Binärsystem als anderes Stellenwertsystem erleben Umwandlung von Zahlen im Zehnersystem ins binäre System und umgekehrt Andere Zahlsysteme kennenlernen Römische Zahlen weitere Stellenwertsysteme (zB. 12er, 16er, u.a.) (= 3,5 · 10 9 ) (= 2,6 · 10 8 ) Menge der ganzen Zahlen ZZ Den Zahlenbereich erweitern auf die ganzen Zahlen Begriffe und Bezeichnungen: positive und negative Zahlen Zahlengerade Vorzeichen, Schreibweise Menge der rationalen Zahlen Q I Den Zahlenbereich erweitern auf die rationalen Zahlen und die entsprechenden Begriffe und Bezeichnungen verstehen und benützen Begriffe und Bezeichnungen: Bruch: Zähler, Nenner Bruchteil (Grössenangabe) Operator (Rechenanweisung) Verhältnis unausgerechneter Quotient Zahlengerade Übersetzen zw. den Schreibweisen rationaler Zahlen als Bruch bzw. als als Dezimalzahl endlicher Dezimalbruch periodischer Dezimalbruch Rationale Zahlen in beiden Schreibweisen in Prozent- und Promilleangaben übersetzen und umgekehrt Prozent (%) Promille (‰) Menge der reellen Zahlen IR Die Existenz nicht rationaler Zahlen erkennen Wurzeln: Quadratwurzel 3. Wurzel Die Zahl Pi Seite 183 Seite 184 Rechnen/Algebra Operationen/Algebra Grundoperationen in IN0 Begriffsrepertoire erweitern und anwenden Begriffe: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division Summe, Differenz, Produkt, Quotient Summand, Faktor Minuend, Subtrahend, Dividend, Divisor Variable (Platzhalter), Term Beziehung Operation und Umkehroperation erkennen und nutzen Operation, Umkehroperation Rechenregeln und Rechengesetze kennen und anwenden Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) Zusammenfassungsgesetz (Assoziativgesetz) Reihenfolge-Regel bei Operationen verschiedener Stufen Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) Terme umformen, vereinfachen, ausrechnen Klammern (setzen bzw. auflösen) Struktureller Aufbau (aus Worten) erfassen Potenzen schreiben und ausrechnen Potenz als vereinfachte Schreibweise der Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren Potenz, Basis, Exponent, hoch Grundoperationen in ZZ Grundoperationen mit ganzen Zahlen ausführen Unterschied zw. Vorzeichen und Operationszeichen Die bekannten Rechenregeln und Rechengesetze in ZZ anwenden Terme umformen, vereinfachen, ausrechnen Potenzen berechnen und Ergebnisse schätzen Basis aus ZZ, Exponent aus IN0 Grundoperationen in Q I Grundoperationen mit rationalen Zahlen ausführen Die bekannten Rechenregeln und Rechengesetze in Q I anwenden Bruchterme umformen, vereinfachen, ausrechnen Kürzen und Erweitern Terme mit Operationen der ersten beiden Stufen Terme mit Potenzen 3 Mathematik 3 Mathematik Rechnen/Algebra Einfache Polynomumformungen ausführen Umformungen: Produkt zweier Binome Quadrierte Summen (Differenzen) zu Polynomen Differenz zweier Quadrate zu einem Produkt Sehr grosse und sehr kleine Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise (Exponenten aus ZZ) lesen und auch schreiben können Grundoperationen in IR Grundoperationen mit Quadratwurzeln Seite 185 Seite 186 Rechnen/Algebra Grössen/Sachrechnen Grössen Die im Zusammenhang mit Grössen und Masseinheiten im Alltag, in der Technik, in der Wissenschaft, im Handwerk usw. verwendeten Begriffe, Notationen (insbesondere deren Abkürzungen) verstehen und benützen Begriffe: Grösse, Masseinheit (Einheit) SI-Vorsätze: kilo-, hekto-, dezi-, centi-, milliMasseinheiten Länge mm, cm, dm, m, km Fläche mm2, cm2, dm2, m2, a, ha, km2 Volumen mm3, cm3, dm3, m3, ml, cl, dl, l, hl Geld Fr., Rp. Masse mg, g, kg, t Zeit s, min, h, d 1 Jahr = 12 Monate = 360 d Winkel °, ’, ” Geschwin- m km (m/s, km/h) digkeit s’ h Grössen innerhalb eines Grössenbereichs mit verschiedenen Masseinheiten darstellen Im Zusammenhang mit dem Bearbeiten von Sachaufgaben: Kenntnisse über Grössen und Masseinheiten vertiefen dem Sachverhalt angepasste sinnvolle Masseinheiten wählen Überschlagsrechnungen ausführen und Ergebnisse schätzen Rundungsregeln (Konventionen) anwenden Ergebnisse in vernünftiger Genauigkeit angeben elektronische Hilfsmittel sachgerecht einsetzen errechnete Ergebnisse auf ihren Realitätsgehalt überprüfen Kenntnisse im Anwendungszusammenhang erweitern Anwendung von Mathematik auf konkrete bildhaft dargestellte oder sprachlich formulierte Situationen ab ... , ... 5 wird aufgerundet Bedeutung von nachstehenden Nullen in Dezimalzahlen: 3,5 m <––> 3,500 m Masseinheiten mit SI-Vorsätzen: mega-, giga-, mikro Masseinheiten aus Naturlehre, Umwelt und Technik Sachrechnen (Themen zur Auswahl) Rechenfertigkeit und Kenntnisse über Grössen, Gleichungen, Zuordnungen, Darstellungen in verschiedensten Sachbereichen anwenden Verteilungsrechnung Durchschnittsrechnung Gleichförmige Bewegung Versicherungen Kleinkredit und Abzahlung Wertpapiere Steuern Teuerung und Index Wachstum 3 Mathematik 3 Mathematik Rechnen/Algebra Proportionalität/Sachrechnen Die Erfahrungen mit proportionalen Zuordnungen (Dreisätze) vertiefen und ergänzen; die Art der Proportionalität aufgrund des Sachzusammenhanges erkennen und überprüfen. Direkte Proportion (Dreisatz) Indirekte Proportion Andere Zuordnungen Anwendung der Proportionalität, Lösungsverfahren festigen Begriffe : Direkte und indirekte Proportionalität Proportion, Verhältnis Grundwert, Prozent, Promille Höhendifferenz, Steigung und Gefälle Bruttopreis, Rabatt, Nettopreis Skonto, Zahlung Währung, Wechselkurs (Ankauf, Verkauf) Kapital, Zins, Zinssatz (Zinsfuss) Marchzins Proportionale Zuordnungen als Funktion darstellen Wertetabellen Grafische Darstellungen Funktionsgleichungen Weitere Anwendungen der direkten und indirekten Proportionalität suchen und aufgreifen Seite 187 Seite 188 Rechnen/Algebra Gleichungen/Ungleichungen Gleichungen in IN0 Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungen und Ungleichungen kennen und anwenden Begriffe : Variable, Platzhalter Gleichung, Ungleichung Lösung, Lösungsmenge Aussage, Aussageform gleichwertig oder äquivalent Gleichungen in ZZ Lineare Gleichungen lösen Lineare Ungleichungen kennenlernen Gleichungen in Q I Lineare Gleichungen ohne Lösungsvariable im Nenner lösen Lineare Gleichungen mit Lösungsvariable im Nenner lösen Gleichungen mit mehreren Variablen (bzw. Formvariablen) nach jeder Variablen auflösen können Gleichungen lösen mit Bruchtermen, welche sich zu linearen Gleichungen umformen lassen Gleichungen und Ungleichungen als ein mathematisches Lösungsmodell erkennen und als Lösungsverfahren anwenden Sachprobleme Denksport Graphische Darstellung im Koordinatensystem Einfache quadratische Gleichungen und Wurzelgleichungen kennenlernen Graphische Darstellung 3 Mathematik Geometrie 3 Mathematik Seite 189 Symmetrie Geometrische Grundkörper Dynamischer Ansatz Abbildungen Vorstellungsvermögen Raumwahrnehmung Geometrische Grundbegriffe Statischer Ansatz Punktmengen Winkel Figuren Verwendung von Zirkel Lineal und Geodreieck Quadrat, Rechteck Dreieck Seite 190 Geometrie Dynamischer Ansatz: Abbildungen 4 5 6 Mit Symmetrien in geometrischen Figuren experimentieren Statischer Ansatz: Punktmengen/Figuren Geometrische Begriffe an räumlichen und ebenen Figuren erkennen und benennen (keine Definitionen) Begriffe: Punkt, Linie, Gerade, Strecke Strahl gerade horizontal, vertikal Grundfiguren erkennen und benennen Begriffe: Dreieck Quadrat, Rechteck, Länge, Breite, Umfang Diagonale Kreis, Mittelpunkt, Radius, Durchmesser Winkel zeichnen und messen Winkel, Rechter Winkel Grad Gegenseitige Lage von Geraden erkennen und benennen parallel, senkrecht Handhabung der geometrischen Werkzeuge Strecken und Geraden mit Lineal oder Geodreieck zeichnen; Kreise und Kreisbogen mit dem Zirkel zeichnen Parallelen (Parallelenverschiebung) Messen von Strecken Ornamente Vorstellungsvermögen/Raumwahrnehmung Geometrische Körper kennenlernen und als Idealisierungen von Körpern aus der Umwelt erfahren 3 Mathematik Begriffe: Würfel, Quader, Prisma, Zylinder Pyramide, Kegel Kugel Geometrie 3 Mathematik Seite 191 Aehnlichkeit Kongruenz Symmetrie Koordinaten Beziehungen und Verhältnisse Modelle Schrägbild Netz Würfel - Quader Prisma - Zylinder Pyramide - Kegel Kugel Dynamischer Ansatz Abbildungen Vorstellungsvermögen Raumwahrnehmung Berechnungen im Raum Statischer Ansatz Punktmengen Konstruktionen Figuren Berechnungen in der Ebene Volumen Oberfläche Umfang Fläche Dreiecke - Vierecke Kreis Winkelbeziehungen Geometrische Grundbegriffe Strahlensätze Winkel Vieleck Dreieck Viereck Seite 192 Geometrie Dynamischer Ansatz: Abbildungen Kongruenzabbildungen Kongruenzabbildungen und die dabei verwendeten Begriffe kennen und benützen Mit Symmetrien in geometrischen Figuren experimentieren Begriffe: Abbildung: Original und Bild kongruent (deckungsgleich) Achsenspiegelung (Geradenspiegelung) Symmetrieachse Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende Achsensymmetrie, achsensymmetrisch Parallelverschiebung [Translation] Vektor Drehung [Rotation] Drehzentrum, Drehwinkel, Drehsinn Drehsymmetrie, drehsymmetrisch bezügl. ... Punktspiegelung Symmetriezentrum Punktsymmetrie, punktsymmetrisch Von Handlungen ausgehend skizzierend und konstruierend Figuren abbilden Achsenspiegelung, Punktspiegelung Parallelverschiebung, Drehung Symmetrieachse bzw. -zentrum finden Symmetrie als Eigenschaft von ebenen und räumlichen Figuren erkennen in geradlinig begrenzten Figuren in Kreisen und Figuren mit Kreisbogen in Grafiken, Ornamenten, Parketten usw. Kongruenzabbildungen verknüpfen Schubspiegelung Identität Ähnlichkeitsabbildung Die zentrische Streckung und die dabei verwendeten Begriffe kennen und benützen. Analog zu den Kongruenzabbildungen: Figuren strecken Streckungszentrum bestimmen Ähnlichkeit von Original und Bild erkennen Zentrische Streckung im Anwendungszusammenhang erfahren und dabei die Grenzen ihrer Anwendbarkeit erfahren Zentrische Streckung anwenden Begriffe: Zentrische Streckung, ähnlich Streckungsfaktor k , Streckungszentrum Dia-, Hellraumprojektion Schattenbilder, Pläne aller Art, Karten (Massstab als Streckungsfaktor) Teilen von Strecken (Strahlensätze) Einschreiben von Figuren in andere Figuren 3 Mathematik 3 Mathematik Geometrie Statischer Ansatz: Punktmengen Geometrische Grundbegriffe Das geometrische Begriffsrepertoire aufbauen Begriffe mit der Vorstellung einer Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften verknüpfen Geometrische Begriffe an räumlichen und ebenen Figuren erkennen und benennen Begriffe: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Winkel Mittelsenkrechte, Abstand Winkelhalbierende Parallele, Parallelenpaar Mittelparallele Kreis, Kreislinie, Radius, Durchmesser Tangente, Sehne Inkreis, Umkreis Thaleskreis horizontal, vertikal, gerade, gekrümmt parallel, senkrecht Aus Handlungen geometrische Konstruktionen ableiten; Grundkonstruktionen beherrschen Linienförmige Punktmenge [Geometrischer Ort] Flächenförmige Punktmenge Die Lage eines bestimmten Punktes bzw. einer Menge von Punkten mit Hilfe von geometrischen Begriffen/Eigenschaften beschreiben Fasskreis [Ortsbogen] Koordinatensysteme Das rechtwinklige Koordinatensystem kennen; Punkte eintragen und von Punkten Koordinaten angeben können Begriffe : Koordinatenachse Nullpunkt (Ursprung), Einheit Quadrant Andere Koordinatensysteme Koordinaten der Erde Schiefwinklige Koordinatensysteme (Verzerrungen) Sternkoordinaten (Astronomie) Seite 193 Seite 194 Geometrie 3 Mathematik Konstruktionen/Figuren Geometrische Begriffe Begriffe aufgreifen, ergänzen und benützen: Dreiecke Begriffe: gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig spitz-, recht-, stumpfwinklig Höhe, Schwerlinie (Seitenhalbierende), Schwerpunkt Vierecke Allgemeines Viereck, Diagonale, Umfang Parallelenviereck: Quadrat, Rechteck, Rhombus (Raute), Rhomboid (Parallelogramm) Trapez (gleichschenkliges, rechtwinkliges) Mittellinie im Trapez Drachenviereck Vielecke Regelmässige (reguläre) Vielecke und unregelmässige (allgemeine) Vielecke Kreis Kreis, Mittelpunkt, Radius, Durchmesser Winkel Winkelbeziehungen untersuchen und Erkenntnisse formulieren können Begriffe: Winkel, Scheitelpunkt, Schenkel rechter, spitzer, stumpfer, überstumpfer Winkel Winkel an Geradenkreuzungen Nebenwinkel, Scheitelwinkel Stufenwinkel, Wechselwinkel Winkelsummen im Dreieck Winkelsumme im n-Eck Innenwinkel, Aussenwinkel Winkel zeichnen, konstruieren, messen Grad Konstruktion ebener Figuren Erkenntnisse aus der PunktmengenBetrachtungsweise anwenden Übertragen von Strecken Dreiecke aufgrund der vier Kongruenzsätze und von: Winkelgrössen, Seitenlängen und Höhen Schwerlinien, Winkelhalbierenden Umkreis, Inkreis Trapeze aufgrund von: Winkel, Seiten, Höhe, Diagonalen, Mittellinie Tangenten: in einem Kreispunkt von einem Punkt an einen Kreis gemeinsame Tangenten zweier Kreise Kreise: gegenseitige Lage Berührungen Symmetrieeigenschaften untersuchen und in Konstruktionen davon Gebrauch machen Gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck Gleichschenkliges Trapez, Drachenviereck Parallelenvierecke Regelmässige Vielecke 3 Mathematik Geometrie Berechnungen in der Ebene Begriffe und Bezeichnungen im Zusammenhang mit geometrischen Berechnungen kennen und verwenden Begriffe : Umfang (u), Flächeninhalt (A) Je nach Problemstellung: Grundseite, (zugehörige) Höhe Diagonale, Mittellinie (Kreis-)Sektor, (Sektor-)Bogen π (Pi, Kreiszahl), Zentriwinkel α Empirische Verfahren zur Grössenbestimmung von Längen und Flächen anwenden «Fadenmethode» (Längenbestimmung) «Rasterauszählmethode», «Wägemethode» (Flächenbestimmung) Formeln für die Berechnung der Flächeninhalte von gradlinig begrenzten Grundfiguren Verwendete Grössen: Seiten, Diagonalen Grundseite und zugehörige Höhe Katheten, Höhe und Mittellinie Formeln für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt von Kreis und Kreisteilen Grundformeln für: Kreisumfang und Kreisfläche Abgeleitete Formeln für: Bogenlänge, Sektorfläche Die bekannten Formeln – der Aufgabe entsprechend – nach einzelnen Variablen auflösen Berechnungen wie: Radius aus Kreisumfang oder -fläche Radius aus Bogenlänge oder Sektorfläche Höhe aus Flächeninhalt und Grundseite Zusammengesetzte Figuren geeignet in berechenbare Teilflächen zerlegen Winkelberechnungen durchführen und anwenden Winkelsummen, Winkel an Parallelen Winkelbeziehungen am Kreis Peripheriewinkel, Zentriwinkel Sehnentangentenwinkel Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz [Satz des Euklid], Höhensatz Berechnungen von Längen und Flächeninhalten aufgrund von Ähnlichkeitsbetrachtungen durchführen 1. und 2. Strahlensatz Ähnlichkeitsbeziehungen an Figuren erkennen Ähnlichkeit am rechtwinkligen Dreieck Seite 195 Seite 196 Geometrie Berechnungen im Raum Erkenntnisse und Erfahrungen an und mit einfachen geometrischen Körpern aufgreifen und begrifflich fassen Begriffe: Ecke, Kante, Fläche Körperdiagonale Würfel, Quader Prisma, Zylinder Formeln für Berechnungen an Körpern an diesen Körpern kennen Volumen Oberflächeninhalt Erkenntnisse und Erfahrungen an und mit geometrischen Körpern aufgreifen, begrifflich fassen und erweitern Begriffe: Ecke, Kante, Fläche Körperdiagonale Würfel, Quader Prisma, Zylinder Pyramide, Kegel Kugel Schrägbild (Risse) Netz (Abwicklung) Grund-, Deck-, Seitenfläche Mantelfläche M, Oberfläche S Schnittfläche Volumen (V) Formeln für Berechnungen an Körpern kennen und allein oder in Verbindung mit Berechnungsformeln aus der Ebene anwenden Volumen Oberflächeninhalt Der Aufgabe entsprechend Grundformeln nach einzelnen Variablen auflösen Berechnung von einzelnen Flächeninhalten oder Kantenlängen Berechnung der Körperhöhe 3 Mathematik 3 Mathematik Geometrie Vorstellungsvermögen/Raumwahrnehmung Körpermodelle herstellen und Körper in der Zeichnungsebene darstellen Skizzieren und Konstruieren von Netzen und Schrägbildern Räumliche Sachverhalte in ebene Darstellungen übertragen Konstruktion von wahren Längen und von Schnittflächen in wahrer Grösse Beobachten, vergleichen, schätzen, skizzieren und konstruieren Beziehungen und Verhältnisse von Strecken, Flächen und Volumen Seite 197 Seite 198 Geometrisches Zeichnen 3 Mathematik Geometrisches Zeichnen 3 Mathematik Zielsetzungen Fähig werden, Zweidimensionales und Dreidimensionales in einer dem Zweck entsprechenden Darstellungsform und Genauigkeit zu zeichnen, skizzieren, konstruieren und bauen. Dies auch als Hilfe zur Darstellung, zur Formulierung eigener Beobachtungen, Erkenntnisse und Vermutungen in anderen Unterrichtsbereichen einsetzen. Die Schulung der räumlichen Vorstellungskraft, das Skizzieren und Reinzeichnen von Hand und mit dem Computer, sowie eine saubere Blockschrift bilden eine zentrale Rolle. Die Anforderungen an zukünftige Gewerbeschüler werden berücksichtigt, ohne aber auf gewisse Berufe direkt einzugehen. Themen zur Auswahl (individuelle Neigungen und Berufsabsichten berücksichtigen) Vorgänge zeichnen Regelmässige Formen in der Natur, optische Täuschungen Verschiedene Schriften, Hilfen beim Erklären von Vorgängen Blockschrift (muss nicht Normschrift sein) Werkpläne Ornamente, Elemente der Kunstgeschichte, Zentralprojektion, Goldener Schnitt Grafische Darstellungen Beziehungen geom. Grundelemente, Konstruktionen geometrischer Grundformen, Kurven Computer-Zeichnungsprogramme Parallelperspektiven (isometrische Projektion 30˚, dimetrische Projektion 45˚) Normalprojektion (Aufriss, Grundriss, Seitenriss links) Abwicklungen, Bau von Modellen, Wahre Längen (Konstruktion, Berechnung) Schnitte (Konstruktion, Berechnung) Seite 199
