methode der kleinen schritte

F AKULTÄT FÜR PHYSIK
Arbeitsgruppe Didaktik der Physik
NUMERISCHE BEHANDLUNG VON BEWEGUNGSVORGÄNGEN MIT DER
METHODE DER KLEINEN SCHRITTE
Bewegungen mit konstanter Beschleunigung können wir mathematisch mit Hilfe der
Bewegungsgleichungen v(t) = vo + a ∙ t und s(t) = so + vo ∙ t + a ∙ t2 beschreiben und mit ihnen
Prognosen für den Verlauf einer Bewegung erstellen.
Bei den meisten beobachteten Prozessen ist die Beschleunigung aber nicht konstant, sondern ändert
sich im Lauf der Zeit. Für den freien Fall mit Luftwiderstand gilt zum Beispiel:
a g 
c W A L v 2
c A L
  g  Kv2 ; K  W
2m
2m
Je länger ein Körper fällt, desto größer wird seine Geschwindigkeit, desto größer damit der
bewegungshemmende Luftwiderstand und desto kleiner mithin die Beschleunigung. Die zugehörigen
beschreibenden Gleichungen sind hier komplexer und nicht mehr elementar lösbar.
Um die Bewegung genau zu erfassen, müsste die Beschleunigung a zu jedem Zeitpunkt t, also a als
Funktion der Zeit, dh. a = a(t) bekannt sein. Diese Funktion kennt man aber nicht.
Um trotzdem für verschiedene Zeiten die Geschwindigkeit und den Ort wenigstens näherungsweise
ermitteln zu können, wendet man ein numerisches Verfahren, die sog. Methode der kleinen
Schritte an.
 Man zerlegt die betrachtete Fallzeit in viele sehr kleine Zeitintervalle dt.
 Innerhalb einer solchen kleinen Zeitspanne dt (z. B. dt = 0,1 s) ändert sich die Geschwindigkeit
und damit auch der Luftwiderstand und somit die wirkende Beschleunigung a nur sehr wenig.
 Man nimmt also näherungsweise an, dass die Beschleunigung in dem betrachteten Zeitraum dt
im ganzen Intervall so groß ist wie zum Beginn t (diese Näherung wird umso besser, je kleiner
man dt wählt).
Der Startwert für die Beschleunigung ist bekannt.
Die Beschleunigung am Ende eines Intervalls berechnet sich aus der Geschwindigkeit am Ende
eines Intervalls (v(t)  a(t)). Für den freien Fall lautet die Berechnungsgleichung
a g 
c W A L v 2
c A L
  g  Kv2 ; K  W
2m
2m
Diese Beschleunigung ist Grundlage für die Geschwindigkeitsberechnung im nachfolgenden
Intervall.
 Die Geschwindigkeit zu Beginn der Bewegung ist bekannt.
Die neue Geschwindigkeit v(t + dt) am Ende Intervalls erhält man aus der Geschwindigkeit am
Anfang des Intervalls plus dem Geschwindigkeitszuwachs im Intervall zu
v(t + dt) = v(t) + a(t) ∙ dt.
 Der neue Weg s(t + dt) am Ende eines Intervalls kann berechnet werden aus dem Weg zu
Beginn des Intervalls und dem Wegzuwachs im Intervall:
s(t + dt) = s(t) + v(t) ∙ dt + ∙a(t) dt2.
Wenn Sie dieses Handout aufmerksam studiert haben wird Ihnen sicher nicht entgangen sein,
dass für die Berechnung des Weges am Ende eines Intervalls die Geschwindigkeit am Ende
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dieses Intervalls verwendet wird für die Berechnung der Geschwindigkeit am Ende eines
Intervalls jedoch die Beschleunigung zu Beginn des Intervalls.
Nun: bei der Berechnung der Geschwindigkeit hat man keine andere Wahl, weil die
Berechnung der Beschleunigung die Berechnung der Geschwindigkeit am Ende eines Intervalls
voraussetzt.
Bei der Berechnung hätte man tatsächlich die Wahl, auch die Geschwindigkeit zu Beginn des
Intervalls zu verwenden. Allerdings weiß man aus der Praxis, dass sich bessere Näherungswerte
ergeben, wenn man die Geschwindigkeit am Ende des Intervalls verwendet.
Die besten Werte würde man erhalten, wenn man die mittlere Geschwindigkeit in diesem
Intervall verwendet: mm = (V(t + dt) – v(t)).
Startwerte für die konkrete Durchrechnung:
t = 0 s; dt = 0,10; g = 9,81
m
m
kg
; v(0s) = 0
; x(0s) = 0 m;  L  1,293 3
2
s
s
m
Näherung für menschlichen Körper (Zylinder):
A = 0,20 m2; c W = 0,85; m = 70 kg
K = _________________
Rechentabelle:
a / m/s2
t /s
v / m/s
x /m
0
0
0
talt = t
valt = v(t)
xalt = x(t)
aalt = a(t)
tneu = t +dt
Vneu = v(t + dt)
xneu = v(t + dt)
aneu = v(t + dt)
0,1
0,2
0,3
allgemein:
Programmieren Sie die Iteration in Exel und berechnen Sie Sie damit a(t), v(t) und s(t) im Zeitintervall
von 0s bis 60 s mit dt = 0,1 s. Stellen Sie die Ergebnisse graphisch dar!
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