Vorlesung 3

√ √
√
Im Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 − 27 2 − (1 + 22 ) 3 betrachtet.
Die Zahl liegt in einer iterierten ( √
zweifachen“)
quadratischen
√
”
Erweiterung von Q, nämlich in Q( 2)( 3). Diese Erweiterung ist aber in
gewissem Sinne einfach, weil die beiden s“, also s = 2 und s = 3,
”
Elemente aus Q sind. Es muss nicht
pimmer√so sein:
√
z.B. liegt die Zahl (1 + 2) + 3 · ( 2 + 3 2) auch inpeiner zweifachen
√
√
quadratischen Erweiterung von Q, nämlich in Q( 2)( 2 + 3 2): das
ersteps“, s = 2, ist ein Element von Q und das zweite s“,
√
√
”
”
Element von Q( 2).
s = 2 + 3 2 ist ein
q
√
√ √
√
2+ 13+ 4+
63
liegt ebenfalls in einer iterierten
Die Zahl v
sr
u
q
u
√ √
t
1111+
12+ 12
quadratischen Erweiterung von Q. Die Anzahl von Erweiterungsschritten,
die wir brauchen ist jedoch ziemlich gross: In diesem Fall genügen 12
Schritte (und es ist eine nichtriviale Aufgabe zu beweisen, dass man
mind. 12 Schritte braucht).
Es gilt: Eine Zahl liegt genau dann in einer iterierten
quadratischen Erweiterung von Q, wenn man die Zahl mit
Hilfe von Körper-Operationen, rationellen Zahlen, und
quadratischem Würzelziehen bekommen kann
Ich bitte Sie zu überlegen, dass diese konstruktive“ Beschreibung zur
”
Definition 10 (unter vervendung von Satz 7) äquivalent ist.
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Regeln (zuerst nichtformal; auf übernächster Folie sind sie
formalisierter dargestellt):
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Regeln (zuerst nichtformal; auf übernächster Folie sind sie
formalisierter dargestellt):
Gegeben sind: Ein (in alle Richtungen unendliches) Papierblatt; ein
(unendliches) Lineal ohne Maßstab und ein (unendlich grosser) Zirkel.
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Regeln (zuerst nichtformal; auf übernächster Folie sind sie
formalisierter dargestellt):
Gegeben sind: Ein (in alle Richtungen unendliches) Papierblatt; ein
(unendliches) Lineal ohne Maßstab und ein (unendlich grosser) Zirkel.
Es ist erlaubt, dass bereits irgendwelche Objekte ( geometrische
”
Gebilde“) auf dem Papierblatt eingezeichnet sind: Z.B. sind auf dem
Blatt später zwei Punkte mit Abstand 1 vorhanden.
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Regeln (zuerst nichtformal; auf übernächster Folie sind sie
formalisierter dargestellt):
Gegeben sind: Ein (in alle Richtungen unendliches) Papierblatt; ein
(unendliches) Lineal ohne Maßstab und ein (unendlich grosser) Zirkel.
Es ist erlaubt, dass bereits irgendwelche Objekte ( geometrische
”
Gebilde“) auf dem Papierblatt eingezeichnet sind: Z.B. sind auf dem
Blatt später zwei Punkte mit Abstand 1 vorhanden. Wenn nichts gesagt
wird, werden wir annehmen, dass das Blatt leer ist.
Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal:
Frage: (Euklid) Welche geometrischen Objekten sind allein mit Zirkel
und Lineal konstruierbar?
Regeln (zuerst nichtformal; auf übernächster Folie sind sie
formalisierter dargestellt):
Gegeben sind: Ein (in alle Richtungen unendliches) Papierblatt; ein
(unendliches) Lineal ohne Maßstab und ein (unendlich grosser) Zirkel.
Es ist erlaubt, dass bereits irgendwelche Objekte ( geometrische
”
Gebilde“) auf dem Papierblatt eingezeichnet sind: Z.B. sind auf dem
Blatt später zwei Punkte mit Abstand 1 vorhanden. Wenn nichts gesagt
wird, werden wir annehmen, dass das Blatt leer ist.
Was können wir tun:
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
A
B
M
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
A
B
M
Wenn die Schnittpunkte von zwei Geraden, Geraden und einem Kreis
oder zweier Kreise existieren und die Anzahl davon endlich ist, können
wir einen Schnittpunkt (oder mehrere Schnittpunkte) wählen.
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
A
B
M
Wenn die Schnittpunkte von zwei Geraden, Geraden und einem Kreis
oder zweier Kreise existieren und die Anzahl davon endlich ist, können
wir einen Schnittpunkt (oder mehrere Schnittpunkte) wählen. Auch wenn
auf dem Blatt irgendein Objekt vor der Konstruktion vorhanden ist,
können wir die Schnittpunkte der von uns konstruierten Geraden oder
Kreise mit dem Objekt bestimmen.
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
A
B
M
Wenn die Schnittpunkte von zwei Geraden, Geraden und einem Kreis
oder zweier Kreise existieren und die Anzahl davon endlich ist, können
wir einen Schnittpunkt (oder mehrere Schnittpunkte) wählen. Auch wenn
auf dem Blatt irgendein Objekt vor der Konstruktion vorhanden ist,
können wir die Schnittpunkte der von uns konstruierten Geraden oder
Kreise mit dem Objekt bestimmen.
(Damit wir überhaupt anfangen können, können wir einen Punkt des
Blattes wählen.)
Was können wir tun:
Sind zwei verschiedene Punkte A, B gegeben, können wir die (perfekte
unendliche) Gerade durch sie zeichnen.
Sind drei Punkte A 6= B, M gegeben, können wir einen Kreis mit Radius
|AB| um M zeichnen.
A
B
M
Wenn die Schnittpunkte von zwei Geraden, Geraden und einem Kreis
oder zweier Kreise existieren und die Anzahl davon endlich ist, können
wir einen Schnittpunkt (oder mehrere Schnittpunkte) wählen. Auch wenn
auf dem Blatt irgendein Objekt vor der Konstruktion vorhanden ist,
können wir die Schnittpunkte der von uns konstruierten Geraden oder
Kreise mit dem Objekt bestimmen.
(Damit wir überhaupt anfangen können, können wir einen Punkt des
Blattes wählen.)
Alle Konstruktionen die wir durchführen sind ideal (=exakt; es gibt
keinen Fehler).
Dasselbe ein bisschen formaler:
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar.
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden,
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden, (e) und die Schnittpunkte von zwei
sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar.
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden, (e) und die Schnittpunkte von zwei
sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar.
Geometrische Gebilde (wie z.B. Punkte, Geraden, Strecken, Kreise,
Dreiecke, Polygone,) die jeweils durch eine endliche Punktmenge
festgelegt werden können, wollen wir vorübergehend als Objekte“
”
bezeichnen.
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden, (e) und die Schnittpunkte von zwei
sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar.
Geometrische Gebilde (wie z.B. Punkte, Geraden, Strecken, Kreise,
Dreiecke, Polygone,) die jeweils durch eine endliche Punktmenge
festgelegt werden können, wollen wir vorübergehend als Objekte“
”
bezeichnen. Wir sagen dann, das Objekt a sei bei Vorgabe der Objekte
a1 , . . . , ak konstruierbar,
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden, (e) und die Schnittpunkte von zwei
sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar.
Geometrische Gebilde (wie z.B. Punkte, Geraden, Strecken, Kreise,
Dreiecke, Polygone,) die jeweils durch eine endliche Punktmenge
festgelegt werden können, wollen wir vorübergehend als Objekte“
”
bezeichnen. Wir sagen dann, das Objekt a sei bei Vorgabe der Objekte
a1 , . . . , ak konstruierbar, wenn es Objekte ak+1 , . . . , an = a gibt, so dass
aj bei Vorgabe der Objekte a1 , . . . , aj−1 konstruierbar ist für
j = k + 1, . . . , n.
Dasselbe ein bisschen formaler:
Wir definieren den Begriff konstruierbar“ durch die folgenden
”
Festlegungen:
(a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist
konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius
gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist
konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden,
(d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis
schneidenden gegebenden Geraden, (e) und die Schnittpunkte von zwei
sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar.
Geometrische Gebilde (wie z.B. Punkte, Geraden, Strecken, Kreise,
Dreiecke, Polygone,) die jeweils durch eine endliche Punktmenge
festgelegt werden können, wollen wir vorübergehend als Objekte“
”
bezeichnen. Wir sagen dann, das Objekt a sei bei Vorgabe der Objekte
a1 , . . . , ak konstruierbar, wenn es Objekte ak+1 , . . . , an = a gibt, so dass
aj bei Vorgabe der Objekte a1 , . . . , aj−1 konstruierbar ist für
j = k + 1, . . . , n.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Gegeben ist die Strecke AB.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Gegeben ist die Strecke AB. Man zeichne die Kreise um A und B mit
(gleichenm) Radius |AB|.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Gegeben ist die Strecke AB. Man zeichne die Kreise um A und B mit
(gleichenm) Radius |AB|.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Gegeben ist die Strecke AB. Man zeichne die Kreise um A und B mit
(gleichenm) Radius |AB|.
Die Gerade durch Schnittpunkte der Kreise ist die Mittelsenkrechte. Der
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit AB ist der Mittelpunkt von AB.
Mittelpunkt einer gegebenen Strecke ist konstruierbar.
Gegeben ist die Strecke AB. Man zeichne die Kreise um A und B mit
(gleichenm) Radius |AB|.
Die Gerade durch Schnittpunkte der Kreise ist die Mittelsenkrechte. Der
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit AB ist der Mittelpunkt von AB.
Wir haben mehr gemacht:
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade.
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade. Wir zeichnen einen Kreis mit
einem beliebigen Radius um den Punkt.
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade. Wir zeichnen einen Kreis mit
einem beliebigen Radius um den Punkt. Der Punkt ist dann nach
Konstruktion der Mittelpunkt der Stecke mit Endpunkten in den
Schnittpunkten des Kreises mit der Geraden.
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade. Wir zeichnen einen Kreis mit
einem beliebigen Radius um den Punkt. Der Punkt ist dann nach
Konstruktion der Mittelpunkt der Stecke mit Endpunkten in den
Schnittpunkten des Kreises mit der Geraden.
Für diese Strecke konstruieren wir die Mittelsenkrechte (wie auf
vorheriger Folie beschrieben wurde). Sie ist die Gerade, die zur gegebenen
Geraden orthogonal ist und durch den gegebenen Punkt geht.
Wir haben mehr gemacht: wir haben die Mittelsenkrechte konstruiert,
also die Gerade, die zur gegebenen Strecke orthogonal ist und deren
Schnittpunkt der Mittelpunkt der gegebenen Strecke AB ist.
Deswegen ist die Senkrechte durch einen gegebenen Punkt einer
gegebenen Geraden konstruierbar:
Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade. Wir zeichnen einen Kreis mit
einem beliebigen Radius um den Punkt. Der Punkt ist dann nach
Konstruktion der Mittelpunkt der Stecke mit Endpunkten in den
Schnittpunkten des Kreises mit der Geraden.
Für diese Strecke konstruieren wir die Mittelsenkrechte (wie auf
vorheriger Folie beschrieben wurde). Sie ist die Gerade, die zur gegebenen
Geraden orthogonal ist und durch den gegebenen Punkt geht.
Analog gilt: Lot eines Punktes auf einer Gerade ist konstruierbar.
Mittelpunkt eines Kreises
Konstruktion
A
C
O
B
Man wähle drei Punkte A, B, C auf dem Kreis. Man zeichne die
Geraden AB und AC . Man zeichne die Mittelsenkrechte für die
Strecken AB und AC . Der Schnittpunkt O der Strecken ist der
Mittelpunkt des Kreises.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels ist
konstruierbar
Konstruktionsidee: Die beiden Schenkel liegen symmetrisch bzgl. der
Winkelhalbierenden.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
An einem gegebenen Strahl ist vom Anfangspunkt aus der
Winkel abzutragen, der die gleiche Größe hat wie ein
gegebener Winkel.
Konstruktionsidee: Zu gleichgroßen Sehnen gehören in
gleichgroßen Kreisen gleichgroße Mittelpunktswinkel.
Parallelgerade
Ähnlich: Eine Gerade durch einen gegebenen Punkt, die zu einer
gegebenen Geraden parallel ist, ist konstruierbar.
Parallelgerade
Ähnlich: Eine Gerade durch einen gegebenen Punkt, die zu einer
gegebenen Geraden parallel ist, ist konstruierbar.
Parallelgerade
Ähnlich: Eine Gerade durch einen gegebenen Punkt, die zu einer
gegebenen Geraden parallel ist, ist konstruierbar.
Parallelgerade
Ähnlich: Eine Gerade durch einen gegebenen Punkt, die zu einer
gegebenen Geraden parallel ist, ist konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Konstruierbare Zahlen
Def. 11
Konstruierbare Zahlen
Def. 11
Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar,
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Das bedeutet: Als vorgegebenes Objekt auf dem Blatt ist eine Strecke
gegeben (also, zwei Endpunkte), deren Länge wir nach Definition gleich 1
setzen. Um eine (positive) Zahl a zu konstruieren, müssen wir mit Zirkel
und Lineal und unter Verwendung von den oben erklärten Regeln, eine
Konstruktion einer Strecke der Länge |a| beschreiben.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Das bedeutet: Als vorgegebenes Objekt auf dem Blatt ist eine Strecke
gegeben (also, zwei Endpunkte), deren Länge wir nach Definition gleich 1
setzen. Um eine (positive) Zahl a zu konstruieren, müssen wir mit Zirkel
und Lineal und unter Verwendung von den oben erklärten Regeln, eine
Konstruktion einer Strecke der Länge |a| beschreiben.
Bsp. Die Zahl 21 ist konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Das bedeutet: Als vorgegebenes Objekt auf dem Blatt ist eine Strecke
gegeben (also, zwei Endpunkte), deren Länge wir nach Definition gleich 1
setzen. Um eine (positive) Zahl a zu konstruieren, müssen wir mit Zirkel
und Lineal und unter Verwendung von den oben erklärten Regeln, eine
Konstruktion einer Strecke der Länge |a| beschreiben.
Bsp. Die Zahl 21 ist konstruierbar.
A
B
Ziel: konstruieren eine Strecke der Länge 1/2
gegebene Strecke der Länge 1
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Das bedeutet: Als vorgegebenes Objekt auf dem Blatt ist eine Strecke
gegeben (also, zwei Endpunkte), deren Länge wir nach Definition gleich 1
setzen. Um eine (positive) Zahl a zu konstruieren, müssen wir mit Zirkel
und Lineal und unter Verwendung von den oben erklärten Regeln, eine
Konstruktion einer Strecke der Länge |a| beschreiben.
Bsp. Die Zahl 21 ist konstruierbar.
B
A
gegebene Strecke der Länge 1
Ziel: konstruieren eine Strecke der Länge 1/2
M
A
B
Lösung: man finde den Mittelpunkt M der Strecke (wie oben beschrieben).
Die Strecke AM hat dann die Länge 1/2. Also, wir können (mit Zirkel-Lineal)
eine Strecke der Länge 1/2 konstruieren, wenn eine Strecke der Länge 1
vorgegeben ist.
Bsp. Die Zahl
√
2 + 1 ist konstruierbar
1
A
B
Die gesuchte Strecke
1
C
A
Die Strecke
der Länge
Würzel von Zwei.
C
1
B
Zuerst konstruieren wir die Strecke der Länge
√
2. Dazu konstruiere man die Gerade durch
A, die zu AB orthogonal ist (wie oben beschrieben). Mit Hilfe des Zeichnens eines
Kreises vom Radius 1 findet man einen Punkt
C auf der Geraden sodass |AC√| = 1. Dann
hat die Strecke CB die Länge 2.
L
Dann
addieren“ wir 1 und
√
”
2: Wir zeichnen einen Kreis
um
√ B vom Radius |BC | =
2. Einer von den Schnittpunkten L des Kreises mit
der Geraden
√ AB hat den Abstand 1 + 2 von A. Also hat
die Strecke√AL die gesuchte
Länge 1 + 2.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar, so auch die Zahlen
a + b, a − b, ab, a/b
{z
}
|
Körperoperationen
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar, so auch die Zahlen
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ),
{z
}
|
Körperoperationen
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
a
b
1
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
a
b
1
Solch ein ähnliches Dreieck ist
konstruierbar, weil eine Gerade
durch einen gegebenen Punkt, die
zu einer gegebenen Geraden parallel ist, konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
{z
}
|
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
a
b
1
Solch ein ähnliches Dreieck ist
konstruierbar, weil eine Gerade
durch einen gegebenen Punkt, die
zu einer gegebenen Geraden parallel ist, konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
|
{z
}
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
ab
a
b
b
1
Solch ein ähnliches Dreieck ist
konstruierbar, weil eine Gerade
durch einen gegebenen Punkt, die
zu einer gegebenen Geraden parallel ist, konstruierbar ist.
a
1
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
|
{z
}
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
ab
a
b
b
1
Solch ein ähnliches Dreieck ist
konstruierbar, weil eine Gerade
durch einen gegebenen Punkt, die
zu einer gegebenen Geraden parallel ist, konstruierbar ist.
a
1
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b ( falls b 6= 0 ), und a (falls a > 0 ).
|
{z
}
Körperoperationen
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken
√ der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist wie im Bsp.
mit 1 + 2 oben und ist trivial. Die Konstruktion von Strecken der
Längen a/b und ab läßt sich an den folgenden ähnlichen Dreiecken
ablesen: (auf nächste Folie werden wir die Konstruktion der Strecke der
Länge a/b ausführlicher angeben)
a/b
ab
a
b
b
1
Solch ein ähnliches Dreieck ist
konstruierbar, weil eine Gerade
durch einen gegebenen Punkt, die
zu einer gegebenen Geraden parallel ist, konstruierbar ist.
a
1
Konstruktion von a/b
Gegeben sind drei Strecken der Längen 1, a und b. Wir müssen die
Strecke der Länge a/b konstruieren.
Wir wählen einen
Punkt A und konstruieren zwei Geraden,
G1 und G2 durch
A. Dann wählen wir
einen anderen Punkt
A′
und konstruieren zwei Geraden G1′ und G2′ durch A′ sodass G1 k G1′ und
G2 k G2′ ist. Die Konstruktion von solchen Geraden haben wir oben
besprochen.
G1
1
A
a
G1’
G2
b
A’
G2’
Durch Zeichnen von
Kreisen tragen wir
die Strecken der
Längen 1, a, und b
von Punkten A und
A′ wie auf dem Bild
ab.
Die Endpunkte der Strecken bezeichnen wir mit B,B ′ , C wie auf
dem Bild.
Dann zeichnen wir die Gerade G3 durch B und C , und die Gerade
G3′ , die durch den Punkt B ′ geht, und parallel zu G3 ist.
Den Schnittpunkt von G1′ und G3′ bezeichnen wir mit C ′ . Die
Länge von A′ C ′ ist a/b wie wir wollen, weil die Dreiecke ABC und
|A′ B ′ |
b
1
A′ B ′ C ′ ähnlich sind, und deswegen |AB|
|AC | = |A′ C ′ | , also a = |A′ C ′ | ,
a
also |A′ C ′ | = b gilt, wie wir wollen.
G3
G1
a
1
C
G3’
A
B
a
b
G1’
G2
b
C’
B’
A’
1
G2’
Konstruktion von
√
a
+
=
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
A
+
a
C
=
B
1
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
A
+
a
C
=
B
1
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
gleich π2 .
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
gleich π2 .
+
D
x
A
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C , A
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
gleich π2 .
|AD|2 + |BD|2
+
D
x
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
=
|AB|2
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruiere die Gerade durch C , A
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
gleich π2 .
|AD|2 + |BD|2
x 2 + a2 +
D
x
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
=
|AB|2
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruiere die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
Nach Pythagoras ist
gleich π2 .
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x +a + x +1 =
.
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruiere die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
Nach Pythagoras ist
gleich π2 .
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x + a + x + 1 = (a + 1)2 .
Konstruktion von
√
a
Konstruiere die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruiere den Kreis vom Radius
(a +1)/2 um den Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruiere die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist
a.
Tatsächlich ist der Winkel ADB
Nach Pythagoras ist
gleich π2 .
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x + a + x + 1 = (a + 1)2 .
√
Dann x 2 = a, also x = a
Folgerung Liegt a ∈ R in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von Q, so ist a konstruierbar.
Beweis: Nach Definition liegt eine reelle positive Zahl in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q, wenn man die Zahl
mit Hilfe von Körper-Operationen, rationellen Zahlen, und
quadratischem Wurzelziehen
kann.
q bekommen
√ √
√
( 4+ 13+ 23+ 33)
√
(z.B. liegt die Zahl
in einer iterierten
7+ 1 171
5
quadratischen Erweiterung von Q).
Im Beweis von Satz 8 haben wir gezeigt, dass wir diese
zulässigen“ Operationen mit Zirkel und Lineal durchführen
”
können (falls eine Strecke der Länge 1 gegeben ist). Die rationellen
Zahlen (also die Strecken deren Länge eine beliebige positive
rationelle Zahl ist) bekommen wir aus 1 mit Körper-Operationen:
Um z.B. die Zahl 2/5 zu bekommen müssen wir 2 als 1 + 1
kontruieren, 5 als 1 + 1 + 1 + 1 + 1, und dann 2 durch 5 dividieren.
Also ist jedes a aus einer iterierten quadratischen Erweiterung von
Q konstruierbar
Bemerkung. Beweis des Satzes 8 ist konstruktiv – für jede Zahl a
aus einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q können wir
eine Strecke der Länge |a| wie im Beweis vom Satz 8 konstruieren.
Diese Konstruktion ist nicht immer die optimale Konstruktion, wie
das Bsp. unten zeigt.
Aufgabe
Aufgabe (Alte Griechen)
Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
Konstruiere die Nullstellen des Polynoms x 2 − ax + b 2 .
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b2 .
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
Altgriechsche Methode ist schneller:
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
a/2
b
O
C
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Fortsetzung von) Hypotenuse mit dem Kreis vom
Radius q
2
OC = a4 − b 2 um O.
a/2
b
O
C
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Fortsetzung von) Hypotenuse mit dem Kreis vom
Radius q
2
OC = a4 − b 2 um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Fortsetzung von) Hypotenuse mit dem Kreis vom
Radius q
2
OC = a4 − b 2 um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
Tatsächlich, nach Sekantensatz gilt
|AB| · |AD| = |AC |2
|AD|+|AB|
= 2a
2
a/2
D
b
O
C
B
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Fortsetzung von) Hypotenuse mit dem Kreis vom
Radius q
2
OC = a4 − b 2 um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
Tatsächlich, nach Sekantensatz gilt
|AB| · |AD| = |AC |2
x+ · x− = b 2
=⇒
x+ +x−
|AD|+|AB|
= 2a
= 2a
2
2
a/2
D
b
O
C
B
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
2
Wir wissen: x± = 2a ± a4 − b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar; wir
können die Konstruktion durchführen in dem wir a2 = a · a konstruieren,
dann 4 = 1 + 1 + 1 + 1 konstruieren,dann a2 mit 4 teilen, dann b 2 = b · b
konstruieren, eine Zahl von der anderen abziehen, dann Wurzel ziehen
usw.
A
Altgriechsche Methode ist schneller: 1. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete
der Länge b und Hypotenuse der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Fortsetzung von) Hypotenuse mit dem Kreis vom
Radius q
2
OC = a4 − b 2 um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Tatsächlich, nach Sekantensatz gilt
|AB| · |AD| = |AC |2
x+ · x− = b 2 und das ist die Satzgruppe
=⇒
x+ +x−
|AD|+|AB|
= 2a von Viëta.
= 2a
2
2
Satz 8 ist eine gewaltige Konstruktionsmethode!
Um eine schwierige Konstruktionsaufgabe zu lösen, können wir wie folgt
fortfahren: Wir setzen eine gegebene Strecke gleich 1 und reduzieren (mit
Hilfe von Algebra) die Aufgabe zur Konstruktion einer Strecke der Länge
aus einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann konstruieren
wir diese Strecke wie im Beweis von Satz 8; damit lösen wir die Aufgabe.
Bsp.
Gegeben sind zwei nichtparallele Geraden und ein Punkt. Man muss einen
Kreis konstruieren, der die beiden Geraden berührt und den Punkt
enthält.
D
Kreis zum konstruiren
P
Die Aufgabe ist nicht besonders einfach; nehmen wir zunächst an, dass
Sie nicht sofort eine Lösung gefunden haben. Wie kann man weiter
agieren?
Die Aufgabe algebraisch analysieren und Satz 8 anwenden:
Wir betrachten die Winkelhalbierende
und die Gerade, die zur WinkelhalbieX
renden orthogonal ist, und den Punkt
Q
P enthält. Die beiden Geraden sind mit
Zirkel-Lineal konstruierbar. Dann finden
P
wir den Punkt Q, so dass er die Spiegelung des Punktes P bzgl. der Winkelhalbierenden ist.
Der Punkt Q ist auch mit Zirkel-Lineal konstruierbar und liegt
automatisch auf dem gesuchten Kreis. Ausserdem konstruieren wir den
Punkt R wie auf dem Bild. Jetzt stellen wir eine Gleichung für die Länge
der Strecke RX auf:pNach Sekantensatz haben wir: |XR|2 = |RQ| · |RP|.
Dann gilt |XR| = |RQ| · |RP|.
Die zwei Stecken unter der Wurzel können wir mit Zirkel-Lineal
konstruieren. Dann können wir auch die Strecke der Länge |XR|
konstruieren, wie wir das im Beweis von Satz 8 gemacht haben (als
Strecke der Länge 1 können wir eine beliebige Strecke wählen).
Wenn die Strecke der Länge |XR| konstruiert ist, können wir
selbstverständlich den Punkt X finden. Dann ist es einfach, den
Mittelpunkt des Kreises zu konstruieren, als Schnittpunkt von
R
Satz 9.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB|
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis:
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8.
”
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“.
”
”
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen:
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordinaten jedes konstruierbaren Punktes
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordinaten jedes konstruierbaren Punktes in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordinaten jedes konstruierbaren Punktes in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
(x1 − x2 )2
u
| {z }
t
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordinaten jedes konstruierbaren Punktes in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
(x1 − x2 )2
+
(y1 − y2 )2
u
| {z }
| {z }
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB auch eine Strecke der Länge |a| · |AB| konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen =⇒“. Wir ”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p aus p1 , . . . , pn konstruierbar ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K.
Tatsächlich sind oBdA 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordinaten jedes konstruierbaren Punktes in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
iter. quadr.
u
(x1 − x2 )2
+
(y1 − y2 )2
∈ Erweiterung .
u
| {z }
| {z }
von Q
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
(i) Schnittpunkt der Geraden
r’
r
P4
P2
P1’
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
−x 1 , wobei t ∈ R}
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
P1’
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 ,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R}
− y1
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 ,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um xy00 ,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um xy00 , dessen Radius gleich Abstand
zwischen xy11 und xy22 ist,
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um xy00 , dessen Radius gleich Abstand
′
zwischen xy11 und xy22 ist, mit dem Kreis um yx0′ , dessen Radius
0
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,
1
2
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um xy00 , dessen Radius gleich Abstand
′
zwischen xy11 und xy22 ist, mit dem Kreis um yx0′ , dessen Radius
0
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen (wobei xi , yi , y ′ , y ′ ∈ K).
P2’
r
P2
r’
r
P2
P0
P0’
P0
P1
P1
P3
r
P4
P3
P1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
r’
r
P4
P2
P1’
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K
liegt.
(Die Geraden
G1
bzw. G2 sind die Geraden durch Punkten xy11 , xy22 bzw. xy33 , xy44 . )
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x des Kreises um y00 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
und xy44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um xy00 , dessen Radius gleich Abstand
′
zwischen xy11 und xy22 ist, mit dem Kreis um yx0′ , dessen Radius
0
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen (wobei xi , yi , y ′ , y ′ ∈ K).
P2’
(i)
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R}
− y1
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R},
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind,
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
Da die Geraden nichtparallel sind,
ist
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
Da die Geraden nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des Systems
nichtausgeartet,
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
Da die Geraden nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des Systems
nichtausgeartet, also ist die Lösung
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
Da die Geraden nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des Systems
nichtausgeartet, also ist die Lösung
t s
x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
=
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
Da die Geraden nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des Systems
nichtausgeartet, also ist die Lösung
t s
x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
=
x
=
− x1
det 2
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
(x4 − x3 )
(x2 − x1 )
x
3 − x1
y3 − y1
(i)
x1
Falls die Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1
y2 − y1
x − x1
t
−(x4 − x3 )
= 3
y3 − y1
s
−(y4 − y3 )
ist
Da die Geraden nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des Systems
nichtausgeartet, also ist die Lösung
t s
x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
=
x
=
− x1
det 2
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
(x4 − x3 )
(x2 − x1 )
Wir sehen, dass die Koordinaten des Schnittpunkts in K liegen.
x
3 − x1
y3 − y1
(ii)
(ii)
Man betrachte den Kreis um
x 0
y0
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K,
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer quadratischen Erweiterung von K
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R}
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 ,
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t,
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K oder K(r ) sind.
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac.
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac. Sie liegen in einer
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac. Sie liegen in einer
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die Schnittpunkte der Geraden G1
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac. Sie liegen in einer
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 .
t± yx22 −
y1
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac. Sie liegen in einer
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 . Deren Koordinaten liegen in einer iterierten quadratischen
t± yx22 −
y1
Erweiterung von K.
(ii)
Man betrachte den Kreis um xy00 mit Radius
p
r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 . Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in
einer
p quadratischen Erweiterung von K (in K oder in
K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
, wobei t ∈ R} mit dem
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
− y1
x x − x Kreis ist der Punkt der Form y11 + t y22 − y11 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K(r ) sind.
b 2
− ac. Sie liegen in einer
Deren Lösungen sind t± = − b2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 . Deren Koordinaten liegen in einer iterierten quadratischen
t± yx22 −
y1
Erweiterung von K.
(iii)
(iii)
Den Kreis um
x 0
y0
(iii)
Den Kreis um
x 0
y0
(bzw. um
x ′ 0
y0′
)
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
zwischen xy11 und xy22
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ )
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken,
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen,
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Darum
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich dem Abstand r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. dem Abstand r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Darum
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren,
mit Hilfe von Konstruktion von parallelen Geraden)
Anwendung: Konstruktionen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren,
mit Hilfe von Konstruktion von parallelen Geraden)
Der dritte Punkt
des regelmässeigen
Dreiecks ABC
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres
Viereck sind konstruierbar (trivial); reguläres 5-Eck ist konstruierbar (wir zeigen es später mit
Methoden aus Satz 8; Sie können
aber auch eine elementare“ Kon”
struktion über Google finden).
A
Kreisen um A und B
mit Radius |AB|
B
Zwei beliebig
gewällte Punkte
Bsp.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck konstruierbar, so ist auch ein reguläres
2n-Eck konstruierbar.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck konstruierbar, so ist auch ein reguläres
2n-Eck konstruierbar.
Begründung. Wir konstruieren zuerst einen Kreis um das reguläre nEck (auf dem Bild n = 3). Dann
betrachten wir die Mittelsenkrechten
zu den Seiten des n-Ecks und deren
Schnittpunkte mit dem Kreis. Sie geben uns die fehlende n Ecken des 2nEcks.
Satz 10
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar,
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis.
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“
”
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angenommen es ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angenommen es ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir den Winkel n konstruieren.
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angenommen es ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir den Winkel n konstruieren. Dann können wir
einen Kreis in n gleiche Sektoren teilen,
Satz 10 Ein reguläres n-Eck ist g.d. konstruierbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angenommen es ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir den Winkel n konstruieren. Dann können wir
einen Kreis in n gleiche Sektoren teilen, und so die Ecken eines
reguläres n−Eck konstruieren.
Beweis ⇒“
”
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
2π
n
konstruieren,
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist konstruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Beobachtung
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Beobachtung z := e
2π
n i
∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe
z n −1
z−1
=
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
Summe
z n −1
z−1
=
e
2π
n
e
n
i
−1
2π i
n −1
=
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
Summe zz−1
=
= 2π i
=
2π i
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
Bsp.
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich,
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 .
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 .
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen die Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen die Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen die Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
n−1
Tatsächlich, 1, z,z 2 , ...,
z
ist
die
geometrische
Progression, deren
2π n
2π·i
e n i −1
n
e
−1
(
)
−1
1−1
Summe zz−1
=
= 2π i
= 2π
= 0 ist.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 lautet die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen die Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
und deswegen ist nach Satz 10 ein reguläres 5−Eck konstruierbar.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar,
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒“ ist trivial:
”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒“ ist trivial: falls wir den Winkel
”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒“ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: Ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die regulären q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒“ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐“:
”
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar,
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar.
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar.
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1.
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren
2π
diese Gleichung mit 2π
n = pq
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren
2π
diese Gleichung mit 2π
n = pq und bekom2π
2π
men, dass der Winkel m1 p +m2 2π
q = n
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren
2π
diese Gleichung mit 2π
n = pq und bekom2π
2π
men, dass der Winkel m1 p +m2 2π
q = n
konstruierbar ist.
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren
2π
diese Gleichung mit 2π
n = pq und bekom2π
2π
men, dass der Winkel m1 p +m2 2π
q = n
konstruierbar ist. Also ist das n−Eck konstruierbar.
Gesuchter Winkel 360/12= 30
(für p= 3, q=4)
Beweis ⇐“: Sind die regulären q− und
”
p−Ecken konstruierbar, so sind die Win2π
kel p bzw. 2π
q konstruierbar. Dann ist für
2π
alle m1 , m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p +m2 q
konstruierbar. Nach Satz 3 gibt es m1 , m2
s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren
2π
diese Gleichung mit 2π
n = pq und bekom2π
2π
men, dass der Winkel m1 p +m2 2π
q = n
konstruierbar ist. Also ist das n−Eck konstruierbar.