2 Geometrie am Computer Werkstattposten
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Geometrie am Computer Werkstattposten 2 Software Cabri-géomètre II Thema Höhen im Dreieck Ziel Erleben, wie der Höhenschnittpunkt aus dem Innern des Dreiecks über eine Ecke ins Gebiet ausserhalb des Dreiecks wandert. Flächenberechnungen im Dreieck. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Konstruiere die Höhen in einem spitzwinkligen Dreieck. Aufgaben (Werkzeug: Dreieck) 2. Verändere die Dreiecksform (an einer Ecke ziehen, dann an einer anderen) 3. Notiere die Beobachtungen. 4. Zeichne die Winkelbogen ein und miss die Winkel (Höhenfusspunkte) 5. Miss die Seiten und Höhen 6. Berechne die Fläche auf alle drei Arten mit dem Taschenrechner und vergleichemit der Fläche des PC’s (Polygon). Besonderes Wenn beim Verändern des Dreiecks nicht mehr ein Höhenschnittpunkt vorhanden ist, oder Höhen nicht mehr senkrecht stehen, liegt ein Konstruktionsfehler vor. Beim Figuren-Verändern kommt aus, ob richtig konstruiert wurde. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 20 Software Cabri-géomètre II Thema Pythagoras Ziel Pythagoras mit den 3 Quadraten richtig konstruieren. Durch Verändern des Dreiecks erleben, wie sich die Quadratgrössen ändern. Beweis des Pythagoras bei einer Konstruktion und vielen Dreiecken. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck. (aus 3 Seiten, kein Polygon !!) Aufgaben 2. Konstruiere die Katheten- und Hypotenusenquadrate. 3. Lege Polygone über die Quadrate und mach alle Geraden und Kreise unsichtbar. 4. Berechne die Flächen der Quadrate. 5. Kontrolliere deine Konstruktion: Dreieck verändern. Bleiben alle rechten Winkel tatsächlich 90 Grad. 6. Quadrate berechnen am PC und mit dem Taschenrechner die Summenformel überprüfen bei mindestens 5 verschiedenen Dreiecken. (ziehen an den Ecken, Dreieckform verändern). Besonderes Bei vielen SchülerInnen und Schülern fällt mindestens ein Quadrat aus dem Lot. weil falsch konstruiert wurde. Jede Konstruktion durch Ziehen an den Ecken überprüfen.!! Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 3 Software Cabri-géomètre II Thema Flächenscherung / gleichbleibende Fläche Ziel Anschaulicher Beweis des Prinzips von Cavalieri erleben durch Verändern eines Dreiecks, wobei der 3. Punkt sich auf eiener Parallelen bewegt. Beweis der Flächenberechnung im Dreieck durch Handeln erfahren. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Figur “Dreiecksfläche scheren” Aufgaben 2. Packe das Dreieck am Punkt B (auf der Parallelen) und schiebe Punkt B entlang der Parallelen. 3. Beobachte dabei die Länge der Seite b, die Höhe b und die Fläche des Dreiecks. Notiere deine Beobachtungen. 4. Verschiebe Punkt P nach oben oder unten. Beobachte die Höhe b und die Fläche des Dreiecks. Verschiebe wieder Punkt B 5. Verändere doie Lage von Punkt C. Beobachte die b und die Fläche. 6. Lass die Konstruktion wiederholen (Menu bearbeiten) 7. Konstruiere diese Flächenscherung nun selbst. (Neues Dokument). Gib ihm den Namen: Flächenscherung “Nicole”. Besonderes Cabri-géomètre soll nicht nur für Konstruktionen genutzt werden, sondern auch für Analysen von fertigen Kontruktionen: Entdeckendes Lernen ! Die SchülerInnen und Schüler sollen selber etwas herausfinden. Erfinde nun selber eine Lektion für den Beweis der Flächenscherung beim Parallelogramm ! Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 6 Software Cabri-géomètre II Thema Tangenten an einen Kreis Ziel -Spiel mit der Figur und entdecken, wie sich die Punkte A und B bewegen, wenn an Punkt P gezogen wird. -Nachkonstruieren. Anwendung des Thaleskreises -Konstruktion der Tangenten an 2 Kreise (nächster Werkstatt-Posten) Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Figur “Tangenten an einen Kreis” Aufgaben 2. Ziehe an Punkt P, verändere die Figur. 3. Ziehe an Punkt K, verändere die Kreisgrösse. 4. Beantworte die Frage: Wie bewegen sich die Punkte A und B, wenn bei P gezogen wird ? - Kennst du den Zusammenhang ? Mach den Thaleskreis durch M, A und P sichtbar. 5. Konstruiere in einer neuen Konstr. die Tangenten an einen Kreis. 6. Konstruiere die Tangenten an 2 Kreise. (Nächster Werkstattposten). Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 7 Software Cabri-géomètre II Thema Tangenten an 2 Kreise Ziel -Entweder: Figur vorgeben und spielerisch innere und äussere Tangenten an 2 Kreise erleben (Winkelhalbierende mit Kreiszentren / Radius senkrecht auf Tangente / Parallelen (bei gleichen Radien) etc.) oder: -Figur selber so konstruieren, dass sie durch Verändern richtig bleibt. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte Fall 1: Spielen: Aufgaben Verändere durch Ziehen an Punkten des linken Kreises die Figur so, dass die Tangenten: - zu Parallelen werden - zu inneren Tangenten werden - zu Tangenten an einen Kreis werden Beobachte dabei den Verlauf der Tangenten, die Winkel, die Radien. Verändere die Lage der Kreiszentren: Näher oder weiter auseinander. Suche nach weiteren Entdeckungen. Fall 2: Diese Konstruktion selber erstellen. (Schwierige Aufgabe) Besonderes Durch Sichtbarmachen resp. Unsichtbarmachen von konstruierten Geraden und Kreisen können weitere Details spielerisch erkannt werden. Warum bleibt die Konstruktion nur richtig, wenn am linken, nicht aber am rechten Kreis die inneren Tagenten erstellt werdem ? Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Billard Ziel Entdecken der Kontruktion (Bandenwinkel) Konstruktion des Weges über 2 und über 3 Banden = Anwendung der Kongruenzabbildungen 15 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte Kugel 1 trifft Kugel 2 Aufgaben 1. Lade “Billard 1” 2. Packe K1 (Kugel 1) und setze sie an verschiedene andere Orte. Beobachte den Bandenwinkel, wie er sich verändert, wo er sich befindet. 3. Entdecke die Konstruktion durch “Rückblende” und Sichtbarmachen der Konstruktonslinien. 4. Konstruiere nun den Weg der Kugel von K1 zu K2 a) über 2 Banden b) über 3 Banden Besonderes Anspruchsvolle Denksportaufgabe Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 16 Software Cabri-géomètre II Thema Billard über zwei oder drei Banden Ziel Präsentation der Lösung aus Werkstattposten 15 Nachkonstruieren, so dass K1 und K2 verändert werden dürfen und die Bandenwinkel bleiben korrekt. Bezug zur Optik (Physik) herstellen Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Nachkonstruieren Aufgaben 2. Spielen 3. Winkel eintragen, messen lassen !! 4. Spielen und kontrollieren, ob die Winkel immer stimmen. Besonderes Schwierige Aufgabe Zuerst soll die Aufgabe über eine Bande gelöst werden. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Punktspiegelung Ziel Durch Verändern der Originalfigur kann die Wirkung in der Punktspiegelung der Figur direkt abgelesen werden. Direktes Erlebnis, was eine Punkt-Spiegelung ist. 12 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Konstruiere ein Polygon. Wähle ein Punktspiegelzentrum. Aufgaben 2. Konstruiere die Punktspiegelung deiner Figur. 3. Verändere das Original und verfolge die Wirkung. Kontrolliere, ob deine Konstruktion stimmt. 4. Fülle die Polygone mit verschiedenen Farben. Besonderes (aus: PG 3. Klasse / Kapitel E: Kongruenzabbildungen) Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 5 Software Cabri-géomètre II Thema Thaleskreis Ziel - Heranführung an den Satz des Thales - Erleben, wie der Peripheriewinkel über einer Sehne, die durch den Kreismittelpunkt führt immer 90° beträgt (Satz des Thales) Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Datei “Thaleskreis spielen”. Aufgaben 2. Verschiebe mit der Maus den Punkt Y. Beobachte Punkt P. Was stellst Du fest? Was vermutest Du? 3. Wähle “Spur ein”. Auf welcher Linie bewegt sich Punkt P ? 4. Durch “Zeichnung auffrischen” kannst du die Linie ausradieren. 5. Notiere Deine Beobachung. Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Unbekannter Punkt im Dreieck 1+2 Ziel - Identität des Punktes M herausfinden - Konstruktion vervollständigen 4 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Starte die Datei “Unbekannter Punkt im Dreieck 1”. Aufgaben 2. Verändere die Lage der Punkte A, B, C und versuche herauszufinden , um welchen Punkt es sich bei M handelt. - Was stellst du fest? - Wie verändert sich die Lage von M? - Welche Eigenschaften hat M in Bezug auf das Dreieck? - Um was für einen Punkt handelt es sich bei M? 3. Konstruiere in einem neuen Dreieck diesen Punkt M. 4. Starte die Datei “Unbekannter Punkt im Dreieck 2”. Spiele die Punkte 1 bis 3 auch mit diesem Punkt durch Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Das Dreieck und seine Ankreise Ziel - Konstruktion der Ankreise des Dreiecks PQR - Entdeckung: Wie findet man die Zentren der Ankreise ? 10 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Öffne die Datei “Ankreise Dreieck” und untersuche die Zeichnung durch Aufgaben Verschieben der Punkte A, B, C. Wie findest du die Kreiszentren E1, E2, E3 ? 2. Nach der Entdeckung: Öffne ein neues Dokument und konstruiere nach. Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Peripheriewinkel und Zentriwinkel Ziel Den Lehrsatz über Peripheriewinkel und Zentriwinkel gewinnen. 9 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Öffne die Datei Peripherie-Zentriwinkel Aufgaben 2. Verändere die Lage des Punktes C. 3. Notiere deine Beobachtungen. 4. Verändere die Lage des Punktes B. (grösserer, kleinerer Kreis) mehrmals. 5. Notiere deine Beobachtungen. 6. Formuliere einen Lehrsatz über Peripheriewinkel (bei Punkt C) und Zentriwinkel (bei Punkt M). 7. Lass Punkt C durch “Animation” laufen. 8. Konstruiere in einem neuen Dokument dieses Bild nach. Besonderes Bemerkung: Dies ist noch kein Beweis. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Fluchtpunkt-Perspektive Ziel Beobachten von Veränderungen, wenn a) die Fluchtpunkte seitlich verschoben werden b) die Fluchtpunktlinie in der Höhe verstellt wird. 23 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade “Fluchtpunkt-Perspective” Aufgaben 2. Verändere die Lage der Fluchtpunkte F1 und F2 3. Verändere die Lage des Punktes “H”. 4. Notiere die Beobachtungen. 5. Konstruiere ein eigenes Bild in der Fluchtpunkt-Perspective mit höherem Schwierigkeitsgrad. kein Quader, sondern eine aufwändigere Figur. Besonderes So anschaulich kann ohne Computer die Fluchtpunkt-Perspektive nicht gezeigt werden. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 17 Software Cabri-géomètre II Thema Magisches Viereck Ziel - Entdecken der Zusammenhänge über die 4 Winkel. - Entdecken der Bahnen der 4 Eckpunkte - Entdecken der optimalen Figurenform: Welche Viereckform hat die grösstmögliche Fläche ? Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Figur “Magisches Viereck” Aufgaben 1. Ziehe an den 4 Eckpunkten des Vierecks. 2. Beobachte dabei die Bahnen der Eckpunkte. 3. Beobachte dabei die Grösse der Winkel. 4. Finde das Gesetz über die 4 Winkel heraus. Notiere ! 5. Verändere die Figur so, dass die maximal grösste Fläche entsteht. Wie sieht dieses aus ? 6. Erst wenn Punkt 5 gelöst ist, darfst du die ganze Konstruktion sichtbar machen Besonderes Wenn du die Ecke über die Nachbarecke hinaus bewegst, kannst du weitere spannende Entdeckungen machen. Beobachte die Grösse des Winkels an der Ecke, die du bewegst (vor und nach dem Ueberqueren der Ecke !). (Thema: Ortsbogen) Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 11 Software Cabri-géomètre II Thema Abbildung: Achsenspiegelung Ziel Direkte Verfolgung am Bildschirm, wie sich das Spiegelbild verändert, wenn sich das Original ändert. Herausfinden der Papierkonstruktion. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade das Dokument “Spiegeln ohne Bild”. Es sieht so aus wie oben auf Aufgaben der Abbildung. 2. Konstruiere das Spiegelbild an der Achse rechts. Spiegle alle Punkte an der Achse und mit “Geradenspiegelung” und verbinde sie mit dem Werkzeug “Polygon”. 3. Fülle die Polygone mit verschiedenen Farben. 4. Ziehe am Originalbild (links der Spiegelachse) an einer Ecke und verfolge, was mit dem Spiegelbild passiert. 5. Ziehe an anderen Ecken, verändere die Figur, beobachte. 6. Konstruiere am PC ohne Verwendung des Menus Geradenspiegelung. (d.h. so wie du auf Papier konstruieren müsstest). Besonderes (aus: PG 3. Klasse / Kapitel E: Kongruenzabbildungen) Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 14 Software Cabri-géomètre II Thema Drehung um bestimmten Winkel Ziel Ein Drehung am Computer erleben, wie der Drehwinkel beliebig verändert werden kann. (Dynamik). Eine Drehung nachkonstruieren. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade das Dokument “Drehung Dreieck 1” . Aufgaben 2. Ziehe am Punkt Z. Das Dreieck ABC wird um den Winkel Alpha gedreht. 3. Klicke “Animation”; ziehe am Punkt Q leicht oder stark. Notiere die Beobachtungen (Stop = Mausklick). 4. Wähle “Spur ein” der Punkte des drehenden Dreiecks. (Durch “Zeichnung auffrischen” kannst du die Spuren löschen) Form der Spuren ? 5. Konstruiere selber eine Drehung: Drehe ein Dreieck um ein selber gewähltes Drehzentrum mit einem festen oder beweglichen Winkel. Besonderes (aus: PG 3. Klasse / Kapitel E: Kongruenzabbildungen) Mit der Animation kannst du die Dynamik der Geometrie erleben. Versuche weitere Ideen der Animation. Beachte den Drehsinn !! Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Software Cabri-géomètre II Thema Ortsbogen Ziel -Ortsbogen erleben -Bahn aufzeichnen lassen -Nachkonstruieren Werkstattposten 8 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade das Dokument “Ortsbogen-Spur”. Aufgaben 2. Ziehe an der Ecke C. Beobachte und notiere. Winkel bei C ? 3. Wähle “Spur ein”. Ziehe bei C; die Spur wird rot aufgezeichnet. 4. Durch “Zeichnung auffrischen” kannst du die Spur wieder löschen. 5. Verändere AB. (Strecke AB länger oder kürzer). Beobachte, notiere. 6. Wie wurde konstruiert? Versuch hinter das Geheimnis zu kommen. 7. Konstruiere nach in einem neuen Dokument. Besonderes Die Ecke C soll auch unterhalb der Strecke AB zu liegen kommen. Verwende auch “Animation” für den Punkt C. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 22 Software Cabri-géomètre II Thema Höhensatz des Euklid Ziel -Konstruktion des Höhensatzes von Euklid mit Berechnung der Flächen. -Grössenveränderung der Flächen. -Umwandlung von einem Rechteck in ein flächengleiches Quadrat. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Konstruiere den Höhensatz nach. Beginne mit dem Rechteck p*q. Aufgaben 2. Verändere die Breite und die Länge des Rechtecks. Kontrolliere, ob das Höhenquadrat immer die gleiche Fläche wie dein Rechteck hat. Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 21 Software Cabri-géomètre II Thema Kathetensatz von Euklid Ziel -Konstruktion des Kathetensatzes von Euklid mit Berechnung der Flächen. -Grössenveränderung der Flächen. -Umwandlung von einem Rechteck in ein flächengleiches Quadrat. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Konstruiere den Kathetensatz nach. Beginne mit dem Rechteck p*c Aufgaben 2. Verändere die Breite und die Länge des Rechtecks. Kontrolliere, ob das Kathetenquadrat immer die gleiche Fläche wie dein Rechteck hat. Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten 25 Software Cabri-géomètre II Thema Zentrische Streckung 1 Ziel Ein 12-Eck soll zentrische gestreckt werden können Das Streckzentrum liegt im Schwerpunkt des regelmässigen 12-Ecks. Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Figur “Zentrische Streckung 12-Eck” Aufgaben 2. Ziehe an Punkt A. Beobachte. Notiere. 3. Konstruiere eine Zentrische Streckung nach. Wähle ein 8-Eck. 4. Lass durch “Spur ein” aller Polygon-Eckpunkte dir die Streckung beweisen. Besonderes Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser Geometrie am Computer Werkstattposten Software Cabri-géomètre II Thema Zentrische Streckung 2 Ziel Zentrische Streckung eines Kreises erleben, wenn Streckzentrum ausserhalb der Figur liegt. 26 Abbildung der Konstruktion Arbeitsschritte 1. Lade die Figur “Zent.Streckung, Kreis” Aufgaben 2. Strecke den Kreis durch Ziehen von M oder durch Verändern von g, h 3. Konstruiere die Figur nach. Besonderes Der 2. Strahlensatz könnte berechnet werden durch 2 Stellungen und dem Vergleich der Strecke PM : Radius des Kreises. Aufgaben für den normalen Matheunterricht Sek Liestal Hugo Buser
