Kapitel 7: Elementare Wellenmechanik ()

Kapitel 7
Elementare Wellenmechanik
Die Wellenmechanik ist eine quantenmechanische Beschreibung i. A. von spinlosen
und nichtrelativistischen Teilchen und wurde parallel zur Matrizenmechanik entwickelt.
Hierin erkennt man, wie aus der klassischen Mechanik die Quantenmechanik erra”
ten“wurde und warum die Quantenmechanik eine statistische Theorie ist.
7.1
De Broglie Wellen
Louis de Broglie ( de broj“auszusprechen; ein Franzose aus einer italienischen Adels”
familie stammend) entwickelt um 1923 die Idee, die Begriffsverbindung von Welle und
Teilchen, wie sie Einstein für die Lichtquantenhypothese“verwendet hat, auf Teilchen
”
der Materie auszudehnen.
Die folgenden Beziehungen sollen nicht nur für Photonen, sondern
auch für (nichtrelativistische) Teilchen der Materie gelten:
E = ~ω
p~ = ~ ~k .
(7.1)
(7.2)
Durch den bekannten Zusammenhang zwischen Impuls und Energie aus der klassischen
Mechanik folgt
E =
~2 ~k 2
p~ 2
=
= ~ω
2m
2m
93
(7.3)
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
und damit
ω =
~ ~k 2
.
2m
(7.4)
Damit hat ein freies Teilchen mit Energie E und (scharfen) Impuls p~ auch die Eigenschaft einer (ebenen) Welle,:
~
ei(k~x−ωt) .
(7.5)
Falls man mit einer Welle eine elektromagnetische Welle (Photonen) beschreiben
möchte, dann gelten andere Zusammenhänge zwischen Energie und Impuls, die wir
aus der relativistischen Mechanik kennen
E = cp
(7.6)
ω = ck.
(7.7)
und damit
7.2
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Ein (reiner) Zustand des Teilchens — Analog zur Angabe von Position und Geschwindigkeit in der klassischen Mechanik — zu einem bestimmten Zeitpunkt t ist durch die
(komplexwertige) Wellenfunktion
ψ(~x, t) = ψt (~x)
(7.8)
gegeben. Im Folgenden werden wir nur t mitanschreiben, wenn wir die Zeitabhängigkeit
brauchen.
Aus dieser komplexen Größe müssen wir wieder irgendwie eine reelle Größe machen,
die wir als Wahrscheinlichkeit interpretieren können. Mathematisch erhält man aus
einer komplexen Zahl/Funktion eine reelle, indem man den Betrag, die Norm, bildet.
Wir werden also fordern wollen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo
im ganzen Raum zu finden, gleich 1 ist, die Normierungsbedingung
Z
|hψ|ψi =
d3 x |ψ(~x)|2 = 1 .
(7.9)
R3
Dabei kann man d3 x |ψ(~x)|2 als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass man das
Teilchen im Volumen d3 x findet. Damit ist insbesondere
Z
d3 x |ψ(~x)|2 ,
(7.10)
V
94
7.3. Der mathematische Rahmen für die Quantentheorie
die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen V zu finden. Daher bedeutet die Normierungsbedingung nichts anderes als, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen irgendwo im Raum zu finden gleich 1 ist. Es ist irgendwo und kann nicht verschwinden. Daher
kann man in der Quantentheorie auch keine Teilchenerzeugung oder -vernichtung beschreiben.
Hierbei wird ρ(~x) : = |ψ(~x)|2 auch als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet. Siehe
auch Abschnitt 2.2.
7.3
Der mathematische Rahmen für die Quantentheorie
In Göttingen, wo Heisenberg, Born und Jordan an der Entwicklung der Quantentheorie
arbeiteten, war auch das moderne Zentrum der Mathematik, ein führender Wissenschaftler war David Hilbert.
Die mathematischen Objekte, die physikalischen Zuständen entsprechen, leben im so
genannten Hilbertraum. Das ist ein komplexer Vektorraum mit einer Norm und einem
inneren Produkt, der vollständig (= jede Cauchyfolge von Vektoren konvergiert gegen
Null) ist. Seine Dimension kann endlich, aber auch unendlich sein.
Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren und kann man addieren ( Vektor”
addition“), subtrahieren und mit (komplexen) Zahlen multiplizieren. Dabei gelten die
gewohnten Rechenregeln: Assoziativität, Kommutativität der Summation, Distributivgesetz bei Multiplikation von Zahlen und es gibt einen eindeutig definieren Nullvektor.
Man verwendet 3 verschiedene Notationen“, wobei die erstere die Abstraktion für
”
beide Möglichkeiten darstellt:
95
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
abstrakter
endlichdimensionaler
unendlichdimensionaler
Hilbertraum
Hilbertraum
Hilbertraum
Dirac Notation
Zustandsvektor


Wellenfunktion







|~v i = 







|keti
Norm: kψk =
p
hψ|ψi
Inneres Produkt: hφ|ψi
k~v k =
h~u|~v i =
qP
v1 




v2 



.. 
. 




vd
d
k=1
Pd
k=1
ψ(x)
|2
kψk =
u∗k · vk
hφ|ψi =
|vk
qR
R3
R
R3
|ψ(~x)|2 d3 x
φ∗ (~x) · ψ(~x) d3 x
Genau genommen haben wir noch eine dritte Art kennengelernt und zwar den Dichteoperator. Im Speziellen haben wir gesehen, dass für Zweizustandssysteme die drei
Paulimatrizen und die Einheit den ganzen Zustandsraum und damit einen Hilbertraum
bilden. Darauf möchten wir hier aber nicht weiter eingehen.
7.4
Wie sieht die experimentelle Realisierung eines
durch eine Wellenfunktion beschriebenen Zustandes aus?
Damit haben wir uns bereits beschäftigt, hier eine kurze Wiederholung: Die experimentelle Realisierung eines Zustandes kann (muss!) man sich durch eine große Zahl
N gleich präparierter Kopien des betrachteten physikalischen Systems (hier: Teilchen)
vorstellen. Zum Beispiel 100 H–Atome im Grundzustand.
96
7.4. Wie sieht die experimentelle Realisierung eines durch eine Wellenfunktion
beschriebenen Zustandes aus?
Eine Ortsmessung kann man sich so realisiert denken, dass eine gewisse Anzahl von
Detektoren Dk (k=1,2. . . ) feststellen kann, ob sich das Teilchen im Volumen Vk zu
einem bestimmten Zeitpunkt befindet.
Idealerweise spricht bei einer Ortsmessung jeweils nur einer der Detektoren an, während
die anderen kein Signal geben. Bei N Kopien des Systems wird daher N1 –mal der Detektor D1 , N2 –mal der Detektor D2 ,. . . ansprechen, wenn an allen N Kopien des Systems
zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Ortsmessung durchgeführt wird.
Ist der durch die Wellenfunktion ψ(~x) beschriebene Zustand präpariert worden, so
wird im Limes N −→ ∞ gelten:
Z
Nk
lim
=
d3 x |ψ(~x)|2 ,
(7.11)
N −→∞ N
Vk
d.h. wir haben die Wahrscheinlichkeit erhalten, dass das Teilchen im Volumen Vk angetroffen wir. Mit anderen Worten
Z
d3 x |ψ(~x)|2
(7.12)
Vk
ist der Erwartungswert für das Verhältnis NNk , welches für endliche N gemäß den
R
üblichen statistischen Regeln um den theoretischen Wert Vk d3 x |ψ(~x)|2 verteilt ist.
Man kann nicht vorhersagen bei welcher Kopie des Systems gerade der Detektor Dk
ansprechen wird (in diesem Sinne ist die QM nicht deterministisch!), man kann aber
sehr wohl die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der der Detektor Dk ein Signal geben
wird (in diesem Sinne ist die QM deterministisch!).
7.4.1
Beispiel: Teilchen in Volumen V oder nicht
Nehmen wir an, wir haben nur zwei Detektoren, der eine kann feststellen, ob sich das
Teilchen im Volumen V befindet, der andere, ob es außerhalb ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in V befindet ist
Z
=
d3 x |ψ(~x)|2 =: p
(7.13)
V
und damit die Gegenwahrscheinlichkeit, dass das Teilchen außerhalb von V nachgewiesen wird ist 1−p. Wird die Messung an genau N Kopien des Systemes durchgeführt, so
ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen in genau k dieser Kopien (k = 0, 1, 2, . . . N )
im Volumen V nachgewiesen wird
µ
¶
N
wk =
pk (1 − p)N −k
(7.14)
k
97
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
mit dem Binominalfaktor N über k“
”
µ
¶
N!
N
=
.
k
k! (N − k)!
(7.15)
Mittelwert und Schwankung von k kann man über die Berechnung der charakteristischen Funktion
Φ(λ) =
N
X
wk eλk
(7.16)
k=0
bestimmen, da
¯
N
X
dn Φ(λ) ¯¯
=
wk k n =: k¯n
dλn ¯λ=0
k=0
(7.17)
¶
N µ
X
N
Φ(λ) =
pk (1 − p)N −k eλk = (p eλ + (1 − p))N .
k
(7.18)
und
k=0
Somit ergibt der Mittelwert von k
k = Φ0 (0) = N p
(7.19)
und der Erwartungswert von k 2
k¯2 = Φ“(0) = N (N − 1)p2 + N p
(7.20)
und damit erhalten wir das so genannte Schwankungsquadrat von k (Varianz)
2
(∆k)2 := (k − k)2 = k 2 − k = N p(1 − p)
p
=⇒ ∆k =
N p(1 − p) .
Für den Erwartungswert des Verhältnisses
k
= p,
N
(7.21)
k
N
erhält man daher:
p
p(1 − p)
∆k
√
=
.
N
N
−→
(7.22)
In diesem Sinne ist die Formel Nk N → ∞ p zu verstehen.
Achtung: Es handelt sich hier um rein statistische Überlegungen. Die QM spielt nur
insofern eine
als sie die gemessene Wahrscheinlichkeit p mit dem theoretischen
R Rolle,
3
Ausdruck V d x |ψ(~x)|2 verknüpft.
98
7.5. Ein bisschen mehr über Multiplikationsoperatoren
7.4.2
Reduktion der Wellenfunktion oder was ist nach der
Messung?
Wir haben schon mehrfach bemerkt, dass sich der Zustand nach einer Messung verändert.
Ist das Teilchen im Volumen V nachgewiesen worden, so nimmt man an, dass der Zustand des Teilchens nach der Messung durch die Wellenfunktion
(
R
V
cV ψ(~x)
1
d3 x |ψ(~x)|2 ) 2
beschrieben wird, wobei cV (~x) die charakteristische Funktion im Gebiet V ist
½
1 falls ~x ∈ V
cV (~x) :=
0 sonst
(7.23)
(7.24)
Dabei hat sich, die Wellenfunktion vor der Messung sprunghaft“in die Wellenfunkti”
on nach der Messung umgeändert, dies wird mit dem Terminus Technicus Reduktion
der Wellenfunktion bezeichnet. Wie dieser Vorgang im Einzelnen aussieht, wissen wir
nicht und wird auch als das Messproblem der Quantentheorie bezeichnet. Es gibt zwar
viele Ansatzpunkte (z.B. Dekohärenz), allerdings gibt es derzeit keine Idee, die bei allen Situationen zu einer vernünftigen Lösung des Problems führen könnte. Es hängt
auch ganz stark damit zusammen, dass es scheinbar keine feste“Grenze zwischen einer
”
Quantenwelt und einer klassischen Welt gibt.
7.5
Ein bisschen mehr über Multiplikationsoperatoren
Die im vorigen Abschnitt verwendete Vorschrift multipliziere ψ(~x) mit der Funktion
”
cV (~x)“ist ein typisches Beispiel für einen linearen Operator, d.h.
cV (~x)(a1 ψ1 (~x) + a2 ψ2 (~x)) = a1 cV (~x) ψ1 (~x) + a2 cV (~x) ψ2 (~x)
(7.25)
mit a1 , a2 ∈ C. Unter den Eigenfunktionen φ(~x) des linearen Operators cV (~x) versteht man eine (nichtverschwindende) Funktion mit der Eigenschaft
cV (~x) φ(~x) = λ φ(~x)
Eigenwertgleichung ,
(7.26)
wobei λ ∈ C als Eigenwerte des Operators bezeichnet werden.
Im vorliegenden Fall hat der lineare Operator, die folgende Eigenschaft (vergleiche
mit Projektionsoperator)
cV (~x) · cV (~x) = cV (~x)
99
(7.27)
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
und damit folgt für die möglichen Eigenwerte λ2 = λ, also λ = 0, 1. Die möglichen
Werte eines Operators bezeichnet man als (diskretes) Spektrum dieses Operators.
D.h. für unseren Multiplikationsoperator gibt es zwei Typen von Eigenfunktionen. Ist
cV (~x) φ1 (~x) = 0 für alle ~x 6∈ V , so ist der dazugehörige Eigenwert λ1 = 0. Ist
hingegen cV (~x) φ2 (~x) = φ2 (~x) für alle ~x ∈ V , so ist λ2 = 1.
Physikalisch steht dieser Multiplikationsoperator cV (~x) in unmittelbarer Beziehung zu
den bereits betrachteten JA/NEIN–Experimenten. Hier ist die Frage, die an das quantenmechanische System gestellt wird: Befindet sich das Teilchen im Volumen
”
V ?“
Den beiden möglichen Ergebnissen der Messung (JA/NEIN) entsprechen die Eigenwerte λ = 0, 1. Die (normierten) Eigenfunktionen zum Eigenwert 1 sind genau jene
Wellenfunktionen, bei denen das Teilchen mit Sicherheit im Volumen V angetroffen wird, dagegen sind die (normierten) Eigenfunktionen zum Eigenwert 0 genau jene
Wellenfunktionen, bei denen das Teilchen immer außerhalb von V vorgefunden wird.
Der Erwartungswert
Z
hcV iψ = hψ|cV (~x)|ψi =
d3 x ψ(~x)∗ · cV (~x) · ψ(~x)
(7.28)
R3
des Operators cV (~x) im Zustand ψ(~x) ist in diesem Fall gerade die Wahrscheinlichkeit
Z
=
d3 x |ψ(~x)|2
(7.29)
V
das Teilchen im Volumen V zu finden, wenn sein Zustand durch die Wellenfunktion
ψ(~x) beschrieben wird.
Andere Beispiele für lineare (Multiplikations–)Operatoren sind die Ortsoperatoren
x1 , x 2 , x 3
ψ(~x) −→ xi ψ(~x) .
(7.30)
Betrachten wir zum Beispiel die folgende Eigenwertgleichung für x1
x1 φ(~x) = y1 φ(~x) ,
(7.31)
wobei y1 beliebige reelle Werte annehmen kann. Die Lösung des Eigenwertproblems ist
durch
φ(~x) = δ(x1 − y1 ) · f (x2 , x3 )
gegeben, wobei δ(x1 − y1 ) die Diracsche Deltafunktion (–distribution) ist.
100
(7.32)
7.5. Ein bisschen mehr über Multiplikationsoperatoren
Da y1 eine beliebige reelle Zahl ist (es gibt unendlich viele!), ist das Spektrum vom
Multiplikationsoperator x1 der ganze R. Hier tritt allerdings eine Komplikation auf: die
Eigenfunktionen sind nicht normierbar!
Das ist auch charakteristisch beim Auftreten eines kontinuierlichen Spektrums, wie
das Beispiel im folgenden Abschnitt veranschaulichen soll.
Natürlich kann man die obige Funktion“(genau: Distribution) in die 3 Dimensionen
”
verallgemeinern, es gibt also eine simultane (gleichzeitige) Eigen– funktion“von ~x
”
φ~y (~x) = δ(x1 − y1 ) · δ(x2 − y2 ) · δ(x3 − y3 ) := δ (3) (~x − ~y ) ,
(7.33)
die die Eigenwertgleichungen
xi δ (3) (~x − ~y ) = yi δ (3) (~x − ~y )
(7.34)
gleichzeitig erfüllen. Die nicht normierbaren Funktionen“stellen gewissermaßen einen
”
Grenzfall von Wellenfunktionen dar, bei denen das Teilchen exakt am Ort ~x = ~y
lokalisiert ist. Klar wird die Sache, wenn man überlegt, dass die Fourietransformierte
einer Deltafunktion nichts anderes als das Integral
Z
i
1
(3)
δ (~x − ~y ) =
d3 p e ~ p~·(~x−~y)
(7.35)
3
(2π~)
ist. Die Impulseigen -funktionen“stellen also eine Idealisierung dar, die aber oft im
”
Experiment näherungsweise erreicht wird, daher macht es oft Sinn mit diesen Funk”
tionen“zu rechnen.
Die Deltafunktionen sind zwar nicht normierbar, sie sind jedoch orthogonal
Z
Z
3
∗
hφ~y (~x)|φ~y 0 (~x)i :=
d x φ~y (~x) · φ~y 0 (~x) =
d3 x δ (3) (~x − ~y ) · δ (3) (~x − ~y 0 )
= δ (3) (~y − ~y 0 )
(7.36)
und vollständig, d.h. jede normierbare Funktion ψ(~x) lässt sich als Linearkombination
der Ortseigenfunktionen schreiben
Z
ψ(~x) := hφ~x |ψi =
d3 y δ (3) (~x − ~y ) · ψ(~y ) .
(7.37)
Manchmal schreibt man auch statt hφx |ψi kurz hx|ψi ≡ ψ(x). Hier erkennen wir,
dass die Wellenfunktion ψ(~x) auch als Wahrscheinlichkeitsamplitude angesehen werden
kann, das Teilchen am Ort x vorzufinden!
Und allgemein ist die Fouriertransformation einer beliebigen Funktion ψ gegeben
durch
Z
i
1
d3 p ψ̃(~p) e ~ p~·~x
ψ(~x) =
(7.38)
3
(2π~) 2
101
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
bzw.
ψ̃(~p) =
Z
1
(2π~)
i
d3 x ψ(~x) e− ~ p~·~x
3
2
(7.39)
und damit der Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung (siehe auch
Abschnitt 7.7.1), der offensichtlich ein unitärer ist. Die Angabe der Ortswellenfunktion
ψ(~x) beinhaltet alles, das man über das System aussagen kann. Das ist äquivalent zu
der Angabe von ψ̃(~p).
7.6
Der Impulsoperator
In der Mechanik gibt man meist den Ort und den Impuls an, um die Bahn eines Teilchens zu beschreiben. Wir wissen aus L1, dass ein Zusammenhang zwischen räumlichen
Verschiebungen und dem Impuls eines physikalischen Systems besteht. Betrachten wir
eine Verschiebung einer Wellenfunktion ψ(x) um die Strecke a (wir beschränken uns
hier auf eine Dimension), dann wir diese durch den Translationsoperator
(Ta ψ)(x) := ψ(x − a)
(7.40)
bewirkt. Klarerweise besitzt dieser Operator die Eigenschaften
Ta Tb = Ta+b
Ta=0 = 1
Ta† = T−a
(7.41)
und aus den zwei letzten Eigenschaften folgt Ta Ta† = Ta† Ta = 1, d.h. der Translationsoperator ist ein unitärer Operator.
Für ein infinitesimales a kann man die Reihenentwicklung um a = 0 machen
d
ia
d
.
ψ(x − a) = ψ(x) − a ψ(x) = ψ(x) − · (−i~) ψ(x) .
dx
~
dx
(7.42)
d
Den hermitischen Operator (−i~) dx
bezeichnet man als Impulsoperator. Beweis her”
mitisch“: z.z. hφ | p̂ψi = hp̂φ | ψi.
Die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Impulsoperators erhält man durch Lösung
der Eigenwertgleichung
p̂ fp (x) = p fp (x) ,
d
−i~ f (x) = p f (x) ,
dx
102
(7.43)
7.6. Der Impulsoperator
welche die Lösung hat
fp (x) = √
i
1
e ~ px .
2π~
(7.44)
Nichts anderes als ebene Wellen (ahhhha)!
Für den Impulseigenwert p kommen wieder alle reellen Zahlen in Frage, das Spektrum
ist also wie beim Ortsoperator kontinuierlich und dementsprechend sind die Impulseigenfunktionen fp (x) nicht auf 1 normierbar, sie erfüllen aber wie die Ortseigenfunktionen die Orthogonalitätsrelation
Z
+∞
hfp |fp0 i =
dx
−∞
fp∗ (x)
1
fp0 (x) =
2π~
Z
+∞
i
i
0
dx e− ~ px+ ~ p x = δ(p − p0 ) .
−∞
(7.45)
Damit — analog zu Ortseigenzuständen — sind die Impulseigenzustände Grenzfälle von
Wellenfunktionen mit immer schärferem Impuls. Auch kann wieder jede (normierte!)
Wellenfunktion ψ(x) als Summe von Impulseigen funktionen“geschrieben werden, die
”
Eigen funktionen“bilden wieder eine vollständige orthogonale Basis:
”
Z
+∞
ψ(x) =
−∞
1
dp fp (x) ψ̃(p) = √
2π~
Z
+∞
i
dp e ~ p·x ψ̃(p)
(7.46)
−∞
und die Umkehrfunktion
1
ψ̃(p) = hfp |ψi = √
2π~
Z
+∞
i
dx e− ~ p·x ψ(x) .
(7.47)
−∞
Dabei wird |ψ̃(p)|2 dp = |hfp |ψi|2 dp als die Wahrscheinlichkeit bei einer Impulsmessung einem Messwert im Impulsintervall [p, p + dp] zu erhalten interpretiert.
Wir haben wieder die Kurzschreibweise eingeführt: hfp |ψi = hp|ψi = ψ̃(p).
103
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
Wir erkennen also den Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen:
Z +∞
ψ(x) = hx|ψi =
dphx|pihp|ψi
(7.48)
−∞
Z +∞
ψ̃(p) = hp|ψi =
dxhp|xihx|ψi
(7.49)
−∞
und damit auch
Z +∞
Z
+∞
dp |pihp| = 1 .
dx |xihx| =
−∞
(7.50)
−∞
Die letzte Gleichung ist eine Verallgemeinerung eines Analysatorkreises. D.h. die Ortswellenfunktion ψ(x) als auch die Impulswellefunktionen ψ̃(p) enthalten dieselbe Information über den Quantenzustand! Es ist egal in welcher Darstellung man arbeitet (wir
werden in den ÜE sehen, dass allerdings manchmal das Integral
leichter in der einen als in der anderen Darstellung zu berechnen
ist. Es kommt auch vor, dass das Integral in einer Darstellung mathematisch nicht exakt definiert ist (z.B. Unstehtigkeitsstelle oder
nicht differenzierbar), jedoch in der anderen Darstellung.)
Beispiel: Ortserwartungswert“:
”
In der Ortsdarstellung:
Z ∞
Z
∗
hx̂iψ = hψ| x̂ |ψi =
dx ψ (x) · x̂ · ψ(x) =
−∞
∞
dx x · |ψ(x)|2 .
(7.51)
−∞
In der Impulsdarstellung:
Z
Z
∞
∗
hx̂iψ = hψ| x̂ |ψi =
dp ψ̃ (p) · x̂ · ψ̃(p) =
−∞
Z ∞
= (i~)
dp ψ̃ ∗ (p)ψ̃ 0 (p) .
∞
dp ψ̃ ∗ (p)(i~)
−∞
d
ψ̃(p)
dp
(7.52)
−∞
Beispiel: Impulserwartungswert“:
”
In der Ortsdarstellung:
Z ∞
Z
∗
hp̂iψ = hψ| p̂ |ψi =
dx ψ (x) · p̂ · ψ(x) = (−i~)
−∞
∞
−∞
104
dx ψ ∗ (x) ψ 0 (x) . (7.53)
7.7. Vertauschungsrelationen
In der Impulsdarstellung:
Z
Z
∞
hp̂iψ = hψ| p̂ |ψi =
∗
−∞
7.7
∞
dp ψ̃ (p) · p̂ · ψ̃(p) =
dp p · |ψ̃(p)|2 .
(7.54)
−∞
Vertauschungsrelationen
Orts- und Impulsoperatoren kommutieren (vertauschen) nicht miteinander. In der Ortsdarstellung erhält man
d
d
)ψ(x) − (−i~ ) x · ψ(x)
dx
dx
= x · (−i~)ψ 0 (x) − (−i~) 1 · ψ(x) − (−i~) x · ψ 0 (x)
= i~ ψ(x) .
[x̂, p̂] ψ(x) = x · (−i~
(7.55)
In der Impulsdarstellung erhält man das gleiche Ergebnis:
d
d
p − p (i~) ) ψ̃(p)
dp
dp
d
d
= i~(ψ̃(p) + p
ψ̃(p) − p ψ̃(p))
dp
dp
= i~ ψ̃(p) .
[x̂, p̂] ψ̃(p) = (i~
(7.56)
D.h. wir können den Kommutator auch kurz bzw. darstellungsunabhängig so schreiben
[x̂, p̂] = x̂ · p̂ − p̂ · x̂ = i~ 1 .
7.7.1
(7.57)
Exkurs gaußförmige Wellenpakete
Als Beispiel für eine Wellenfunktion betrachten wir Glockenkurven, bzw. Gaußfunktionen
x2
i
ψ(x) = N · e− 4σ2 · e ~ x·p0
(7.58)
Hier ist σ 2 eine positive Konstante der Dimension (Länge)2 und p0 ist eine Konstante
mit der Dimension eines Impulses. N ist der Normierungsfaktor, den man durch die
Bedingung
hψ|ψi = 1
erhält.
105
(7.59)
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
Hier zwei sehr praktische Formeln. Das Gaußsche Integral ergibt
r
Z ∞
π
−αx2
dx e
=
(7.60)
α
−∞
und durch Differenzieren nach dem Parameter α erhält man
Z ∞
Z ∞
d
1√ −3
2
−αx2
−
dx e
=
dx x2 · e−αx =
πα 2 . (7.61)
dα −∞
2
−∞
Die Normierungskonstante ergibt damit (bis auf eine unphysikalische Phase)
Z ∞
Z ∞
√
x2
∗
2
hψ|ψi = 1 =
dx ψ(x) ψ(x) = |N |
dx e− 2σ2 = |N |2 · 2πσ 2
−∞
−→
N =
−∞
1
(7.62)
1
(2π · σ 2 ) 4
Der Erwartungswert des Ortsoperators
Z ∞
hx̂iψ = hψ| x̂ |ψi =
dx ψ ∗ (x) · x · ψ(x) = 0 ,
(7.63)
−∞
da die Gaußfunktion symmetrisch unter x → −x ist, x jedoch antisymmetrisch.
Der Erwartungswert des Operators x̂2 ergibt
Z ∞
Z ∞
x2
1
2
2
∗
2
hx̂ iψ = hψ| x̂ |ψi =
dx ψ (x) · x · ψ(x) = √
dx x2 · e− 2σ2
2πσ −∞
−∞
2
= σ .
(7.64)
Und damit können wir die Schwankung des Ortsoperators berechnen
q
q
(∆x)ψ =
h(x − hxiψ )2 iψ =
hx2 iψ − hxiψ = σ ,
(7.65)
d.h. die Breite“der Gaußfunktion ist die Schwankung (nichts anderes haben wir er”
wartet).
Berechnen wir nun den Erwartungswert des Impulses in der Ortsdarstellung
Z ∞
d
hp̂iψ = hψ| p̂ |ψi =
dx ψ ∗ (x) · (−i~) ψ(x)
dx
−∞
Z ∞
= (−i~)
dx ψ ∗ (x) · ψ 0 (x) = p0 .
(7.66)
−∞
106
7.7. Vertauschungsrelationen
D.h. p0 ist also der Erwartungswert (Mittelwert) des Impulses in dem betrachteten
Zustand. Der Erwartungswert des Operators p̂2 ergibt (siehe UE)
hp̂2 iψ = hψ| p̂2 |ψi = p20 +
~2
4σ 2
und damit ist die Schwankung des Impulses der Gaußfunktion
q
q
~
2
(∆p)ψ =
h(p − hpiψ ) iψ =
hp2 iψ − hpiψ =
.
2σ
(7.67)
(7.68)
Das Produkt aus Ortsunschärfe und Impulsunschärfe ist beim Gaußschen Wellenpaket
also gerade
(∆x)ψ · (∆p)ψ =
~
.
2
(7.69)
Das ist der kleinsmögliche Wert, denn nach der Heisenbergschen Unschärferelation
gilt allgemein (d.h. für alle möglichen quantenmechanischen Zustände) die Ungleichung
(∆x)ψ · (∆p)ψ ≥
~
.
2
(7.70)
Nur für Gaußsche Wellenpakete wird das Minimum tatsächlich auch angenommen (Beweis siehe Abschnitt 7.7.3). Hier erkennt man den Zusammenhang zwischen der Teilchen und Welleneigenschaft. Mache ich die Breite der Ortsverteilung ∆x = σ, so wird
~
größer oder umgekehrt!
die Breite der Impulsverteilung ∆p = 2σ
7.7.2
Allgemeine Form der Unschärferelation
Nun wollen wir prinzipiell untersuchen, wie die Unschärfe zwischen zwei beliebigen
Observablen A und B aussieht.
Den Erwartungswert einer Observablen A in diesem Zustand bezeichnen wir wie gehabt mit
hAiψ = hψ| A |ψi .
(7.71)
Unter dem Schwankungsquadrat einer Observablen A im Zustand ψ versteht man den
Erwartungswert des Operators
(∆A)2ψ := h(A − hAiψ )2 iψ = hA2 iψ − hAi2ψ .
(7.72)
Für einen beliebigen, nicht notwendiger weise hermitischen Operator C gilt:
hC † Ciψ = hψ|C † C ψi = hC ψ|C ψi ≥ 0 .
107
(7.73)
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
Abbildung 7.1: Eine graphische Veranschaulichung der Heisenbergschen Ungleichung
für Ort und Impuls oder Energie und Zeit.
Seien nun A, B hermitische Operatoren, so können wir für C folgendes ansetzen
C =
A − hAi
B − hBi
+i
.
∆A
∆B
(7.74)
Berechnen wir
i
hC † Ci = . . . = 2 + h[A, B]i ≥ 0
2
(7.75)
i
hC C † i = . . . = 2 − h[A, B]i ≥ 0 .
2
(7.76)
Und für C ↔ C †
Für zwei beliebige Observablen A und B folgt allgemein die Vertauschungsrelation für einen Zustand ψ
1
(∆A)ψ · (∆B)ψ ≥ |h[A, B]iψ | .
2
(7.77)
Im Spezialfall A = x̂ und B = p̂ folgt die Heisenbergsche Unschärferelation ∆x̂∆p̂ ≥ ~2 . Das Gleichheitszeichen folgt nur für Gaußsche
Wellenpakete (siehe Abschnitt 7.7.3).
108
7.7. Vertauschungsrelationen
7.7.3
Die Zustände, die die Unschärferelation exakt erfüllen
Wir wollen hier zeigen, dass die Gaußschen Wellenpakete tatsächlich die einzigen
Zustände sind, bei denen das Produkt aus Orts– und Impulsunschäfe den kleinsten
Wert ∆x̂ · ∆p̂ = ~2 annehmen. Nach Gleichung (7.73) gilt
hC ψ | C ψi = 0
−→ Cψ = 0
(7.78)
mit
C =
x̂ − x0
p̂ − p0
+i ~
σ
2σ
(7.79)
In der Ortsdarstellung entspricht C ψ = 0 der Differentialgleichung
¸
·
x − x0
2σ
d
+i
(−i ~
− p0 ) ψ(x) = 0
σ
~
dx
(7.80)
Diese können wir umformen in
d
ψ(x) =
dx
·
x − x0 ip0
−
+
2σ 2
~
¸
ψ(x)
(7.81)
bzw.
dψ
=
ψ
·
x − x0 ip0
−
+
2σ 2
~
¸
dx .
(7.82)
Die Lösung dieser Differentialgleichung kennen wir
ψ(x) = N · e−
(x−x0 )2
4σ 2
· eip0 ·x
(7.83)
und ist nichts anderes als ein Gaußsches Wellenpaket. Damit haben wir gezeigt, dass
die Wellenfunktionen, die einzigen möglichen Lösungen sind für den minimalsten Wert
der Unschärferelation.
Bemerkung: C † ψ = 0 ergibt keine normierbaren Lösungen.
7.7.4
Die Existenz der Atome oder die physikalische Interpretation der Unschärferelation
In der Theorie der Wellen kennt man den Zusammenhang zwischen der Funktion ψ(~r)
und ihrer Fourietransformierten ψ̃(~p), also im Wesentlichen, dass die Ausdehnung einer
109
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
Welle und Ihrer Fourietransformieten nicht gleichzeit beliebig klein gemacht werden
kann; dieser Zusammenhang führte zu der Ungleichung
~
2
~
∆py · ∆y ≥
2
~
∆pz · ∆z ≥
.
(7.84)
2
Diese Ungleichung hat Werner Heisenberg 1927 durch Diskussion von verschiedenen
Messmethoden von Ort und Impuls physikalisch hergeleitet.
Diese Ungleichung legt nicht nur der Messgenauigkeit der von Physikern ausgeführten
Experimenten wohldefinierte Schranken auf, sondern sie muss auch in der Natur ohne
Eingriff des Experimentators erfüllt sein.
Betrachtet man zum Beispiel ein mikroskopisches System, in dem eine Kraft wirkt,
die die Energie zu minimieren versucht, dann kann die Unbestimmtheitsrelation der
Grund dafür sein, dass das klassisch mögliche Minimum nicht erreicht werden kann.
Im Rutherford–Modell für das Wasserstoffatom ist die Energie eines Elektrons gegeben
durch
p~ 2
e2
E =
−
.
(7.85)
2m
r
Klassisch betrachtet ist die niedrigste Energie gegeben, falls das Elektron beim Kern
r = 0 ruht und der Impuls p = 0 ist, dann ist die Energie minus unendlich. Das
bedeutet aber, dass das Elektron unter Aussendung von Photonen (Energie) in den
Kern stürzt und wir niemals stabile Atome hätten.
∆px · ∆x ≥
Was verhindert das Abstürzen des Elektrons?
Nehmen wir die Unbestimmtheitsrelation für gültig an, folgt, dass der Ort und Impuls
gekoppelt sind und damit ein Zusammenfallen des Atoms unmöglich wird.
Machen wir eine Abschätzung für den Impuls; es muss gelten (Achtung: Faktor 12
haben wir durch 1 ersetzt, siehe später):
p ≥ ∆p ≥
~
~
≥
∆r
r
(7.86)
und damit für die Energie
e2
~2
−
:= E0 (r) .
(7.87)
2mr2
r
Zeichnen wir die Funktion auf, sehen wir sofort, dass für zu kleine Werte von r die
kinetische Energie (der Impuls) und für große r die potentielle Energie überwiegt.
E ≥
110
7.7. Vertauschungsrelationen
0.4
0.2
2
4
6
8
10
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Insbesondere finden wir, dass ein absolutes Minimum bei (a0 Bohrscher Radius)
rmin = a0 =
~2
,
me2
(7.88)
dem einer Energie
Emin
1
e2
= − α2 m c2 = −Ry = −13, 6eV
= −
2a0
2
(7.89)
2
e
1
mit der Feinstrukturkonstante α = ~c
∼ 137
entspricht. Das ist genau die Ionisierungsenergie eines H–Atoms. Der Bohrsche Radius ergibt dabei
a0 = 0.592 · 10−10 m
(7.90)
Diese Abschätzung (Faktor 12 durch Faktor 1 ersetzt) entspricht den Ergebnissen, die
man mit exakten quantenmechanischen Rechnungen erhält. Bei Verwendung des richtigen Faktors hätte man ein um den Faktor 4 kleineres Ergebnis für den Bohrschen
Radius gefunden. In diesem Sinne ist das Ergebnis ein Zufall, wir wissen jedoch schon,
dass die einzigen Wellen, die die Unbestimmtheitsrelation exakt erfüllen, die Gaußfunktionen sind und diese nicht die Lösungen des Wasserstoffsproblems darstellen.
Im Abschnitt 8.5 werden wir dieses hier semi–quantitatives Argument noch einmal
aufgreifen.
7.7.5
Weitere Bemerkungen zur Unschärferelation
• Wie wir gesehen haben, ist die Unschärferelation eine direkte Folge der Beschreibung von Teilchen durch Wellenfunktionen. Sie folgt direkt aus den Postulaten
111
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
lens
hν
R
e−
Abbildung 7.2: Das ist die originale Idee von Werner Heisenberg (1927). In der Brennebene der Linse wird der Impuls des Photons gemessen, um so auf den Ort des Elektrons
rückschliessen zu können.
Bildebene (Ortsmessung)
Brennebene (Impulsmessung)
lens
e− Schirm
?
hν
R
e−
> *
Abbildung 7.3: Diese Abbildung zeigt eine verbesserte“ Version des Heisenberg–
”
Mikroskops. Das Photon kann mittels eines Schirms entweder in der Bildebene oder in
der Brennebene aufgefangen werden. Das Elektron wird ebenfalls nach dem Passieren
des Doppelspaltes aufgefangen.
112
7.7. Vertauschungsrelationen
der QM, ist damit nicht eine künstliche oder aufgepfropfte Zustatzbedingung.
Die Formulierung, dass man nicht genauer messen kann“ist falsch, man kann
”
keinen Zustand so präparieren, dass ∆x · ∆p < ~2 ist, d.h. so ein Zustand ist in
der Natur nicht realisiert!
Es gibt also keine theoretischen Einschränkungen an die Messgenauigkeit einer
Orts– oder Impulsmessung per se, aber natürlich praktische Grenzen und einen
Zusammenhang zwischen der ortsartigen Information und der impulsartigen Information, die man aus zwei Messreihen erhalten kann.
• Insbesondere haben wir gesehen, dass die Unschärferelation nichts mit Hintereinanderausführung von Orts– und Impulsmessung an ein und demselben Teilchen
zu tun hat. Hier müsste man die Reduktion des Zustandes berücksichtigen!
• Die Unschärferelation muss in der Natur auch ohne Eingriff des Experimentatiors
erfüllt sein.
• Die Unschärferelation gibt es nicht nur zwischen Orts- und Impulsoperatoren,
sondern für alle Operatoren, die nicht miteinander kommutieren. Sie können,
dann nicht gleichzeitig beliebig scharf gemacht werden.
• Durch die Vertauschungsrelation sind zwei Observablen miteinander korreliert/verbunden.
• Die Vertauschungsrelation ist daher im Allgemeinen weniger von experimentellen, sondern von theoretischem Interesse. Sie erklärt zum Beispiel — wie wir
gesehen haben und werden — die Stabilität der Atome (Abschnitt 8.5) oder die
Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators (Abschnitt 8.6).
• Genauer sollte die Unschärferelation eher Unbestimmtheitsrelation heißen.
• Fig. 7.2 zeigt Heisenbergs Idee zur Messung der Unschärferelation. Fig. 7.3 zeigt
eine eher realistische Anordnung.
113
Kapitel 7. Elementare Wellenmechanik
114