Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt
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Biquaternion Relativität Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit André Waser CH-8840 Einsiedeln, Switzerland; [email protected] Die Biquaternion Notation - oder genauer die Semi-Biquaternion Notation - wird für die Mechanik und Spezielle Relativitätstheorie angewendet. Die Lorentz Transformation sowie die Transformation der Elektromagnetischen Felder sind die Folge einer Multiplikation mit der relativen Biquaternion Geschwindigkeit. Es wird ersichtlich, dass die Biquaternion Geschwindigkeit bezüglich dem Äquivalenzprinzip eine wichtige Rolle einnimmt. Die totale Ableitung der Vierergeschwindigkeit liefert gleichzeitig die Trägheits- und Gravitationsbeschleunigung. In unserem Modell liegt die Ursache der Gravitation in der räumlichen Veränderung (Gradient) der Lichtgeschwindigkeit. Erstellt am 01. Januar 2011. 1 Einleitung Ein Hamilton Quaternion q [1] ist eine Erweiterung von reellen Zahlen mit √ den Hamiltonschen Einheiten i, j, k mit dem Betrag von −1. Sie formen eine Vierer-Zahl gemäss Die unterschiedlichen Klammern sollen zeigen, dass die beiden Semi-Biquaternionen nicht dieselbe Struktur haben. Die Multiplikation von zwei Biquaternionen " A =a+b = q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 , wobei q0 ...q3 reelle Zahlen sind. Die Hamiltonschen Einheiten unterliegen der assoziativen aber nicht der kommutativen Multiplikationen i2 = j2 = k2 = i jk = −1 , i j = k jk = i ki = j , i j = − ji jk = −k j ki = −ik . Der Realteil eines Quaternions wird meist als Skalarteil und der Imaginärteil als Vektorteil interpretiert. Beide zusammen formen einen Vierer-Vektor: q = q0 , ~q , ! # ib0 a0 + ~ i~a b ! # x0 iy0 X = x+y = + ~y i~x " ist a0 x0 − b0 y0 + ~a · ~x − ~b · ~y + AX = ~ ~ i a0 ~x + x0~a + b0~y + y0 b + ~a × ~y − b × ~x i a0 y0 + b0 x0 − ~a · ~y − ~b · ~x . (1) a0~y + x0~b − b0 ~x − y0~a − ~a × ~x + ~b × ~y Die Biquaternion Multiplikation ist nicht kommutativ aber mit ~q = iq1 + jq2 + kq3 . Mit der Einführung von kom- assoziativ. Die Hamilton-Einheiten werden bei der Biquaterplexen Koeffizienten mit der Gauss’schen imaginären Einheit nion Skalarmultiplikation nicht multipliziert i präsentierte Hamilton später eine Erweiterung der Quater A · X = a0 x0 − ~a · ~x − b0 y0 − ~b · ~y . nionen [2]. Q = q0 + i p0 + i (q1 + i p1 ) + j (q2 + i p2 ) + k (q3 + i p3 ) . Ein Biquaternion kann in zwei Vierervektoren gruppiert werden Q = q0 , i~q + i p0 , ~p = q + p . Beide Terme q und p heissen Semi-Biquaternionen. Diese beiden Semi-Biquaternionen haben nicht dieselbe Struktur. Der erste Term ist sehr nützlich um translatorische ViererGrössen abzubilden, während der zweite Term eine komplementäre rotierende Vierer-Grösse repräsentieren kann. Eine vereinfachte Schreibweise ist die Summendarstellung eines ’linken’ und ’rechten’ Semi-Biquaternions zu " ! # q0 i p0 Q =q+ p = + . ~p i~q Daraus folgt für den Betrag eines Biquaternions |Q| = p Q·Q = q a20 − ~a · ~a − b20 − ~b · ~b . (2) Ein Spezialfall liegt vor, wenn das zweite Semi-Biquaternion Null gesetzt wird. Mit b = 0 und ~y = 0 reduziert sich die Multiplikation von zwei Biquaternionen zu " ! # a0 x0 + ~a · ~x 0 AX = + . i a0 ~x + x0~a −~a × ~x Aus der Multiplikation von zwei Semi-Biquaternionen resultiert bis auf ein zusätzliches Kreuzprodukt fast wieder ein Semi-Biquaternion. André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit 1 2 Biquaternion Geschwindigkeit Mit Gleichung (6) folgt Vor einiger Zeit haben wir gezeigt, wie solche BiquaterniodX · dX V0 · V0 = (8) nen zur Elektrodynamik angewendet werden [3]. Der Fokus dX0 · dX0 von diesem Papier liegt in der Mechanik (klassisch und relazur Biquaternion Koordinatentransformation tivistisch). Das Positions-Biquaternion steht für ein Ereignis Das führt direkt 0 von S nach S in der Raumzeit " ! # ∗ X0 = XV0 (9) ct 0 X = + (3) i~x 0 sowie zur Rücktransformation worin die Konstante c die Lichtgeschwindigkeit ist. Mit X = X0 V0 . (10) " ! # cdt 0 dX = + Die Vor- und Rückwärtstransformationen sind explizit id~x 0 ! # " 0! # " 0 ct 0 ct − ~vc·~v und mit dem Eigenzeitintervall dτ 0 (11) X = 0 + =γ + ~x×~v i~x 0 i ~x − ~vt r c p ! # " ! # " ~v · ~v 0 ct 0 ct0 + ~vc·~v d |X| = c2 (dt)2 − d~x · d~x = cdt 1 − 2 = cdτ . + ~x0 ×~v . (12) X = + =γ c i~x 0 i ~x0 + ~vt0 − c folgt die Biquaternion Geschwindigkeit Aus Gleichung (11) und Gleichung (12) folgt auch " ! # dX c 0 V = =γ + (4) ~x × ~v = 0 and ~x0 × ~v = 0 . i~v 0 dτ Die obigen Transformation sind also nur gültig im Spezialfall von kollinearen Vektoren ~xk~v und ~x0 k~v. Der allgemeine v2 Fall folgt mittels Transformation des zu ~v parallelen Teils vom c2 Positionsvektor X und der anschliessenden Addition mit dem Der Betrag der Biquaternion Geschwindigkeit ist immer c, verbleibenden Teil von X senkrecht zu ~v. Mit unabhängig vom Betrag von ~v. Damit wird das Einheits" ! # ct 0 Biquaternion zur Geschwindigkeit + Xk = 0 i ~xv·~v ~vv " ! # 1 0 0 V = γ ~v + (5) ist die allgemeine Vorwärtstransformation 0 ic ∗ ∗ oder X0 = X⊥ + Xk V0 = X − Xk 1 − V0 , (13) dX V = = V0 . (6) d|X| |V| oder explizit Die Inverse einer Einheits-Biquaternion Geschwindigkeit ist # γ ct − ~vc·~v 0 seine Bikonjugierte, welche wiederum ein Einheits-Biquater + 0 , X = 0 i ~x − (1 − γ) ~xv·~v ~vv − γ~vt nion ist 1 0∗ =V (7) und die allgemeine Rückwärtstransformation ist V0 mit ! # " X = X0⊥ + X0k V0 = X0 − X0k 1 − V0 , (14) 1 0 0∗ . V =γ ~v + 0 −i c oder explizt # 3 Biquaternion Lorentz Transformation γ ct + ~vc·~v 0 + . X = 0 i ~x0 − (1 + γ) ~x ·~v ~v + γ~vt S sei ein Inertialsystem mit einem ruhenden Beobachter. Ein 0 v v 0 anderes Inertialsystem S bewegt sich gegenüber S mit konstanter Geschwindigkeit ~v. Der Abstand zwischen zwei Er- Hiermit wird keine neue Lorentz-Transformation beschrieeignissen ist invariant für beide Systeme ben. Aber es ist interessant, dass die Lorentz-Transformation mit einer Multiplikation des Position-Biquaternions mit dem d|X| = d|X0 | . Biquaternion der Relativgeschwindigkeit beschrieben werden Auch das Quadrat dieses Längenelements ist eine Invariante kann. Die Komponente des Position-Biquaternions parallel zum Geschwindigkeits-Biquaternion ist und es gilt dX · dX = dX0 · dX0 = d2 |X| = d2 |X0 | . X · V0 V0 . mit 2 1 γ = q 1− . André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit Dessen Lorentz-Transformation ist ! ~x · ~v 0 0 0∗ X · V V V = γ ct − . c Die elektromagnetischen Felder folgen aus der Ableitung der Potenzialfelder. Mit der Definition des Biquaternion Differentialoperators "1 ∂ ! # ∂ 0 Das Ergebnis hat überhaupt keinen räumlichen Vektor und = c~∂t + ∇ ≡ . (17) 0 ∇ ∂X ist in allen Fällen von purem zeitlichen Charakter, d.h. unabhängig der Richtung des räumlichen Positions-Vektors im System S. Deshalb ist die Richtung des Zeitvektors in jedem folgen das elektrischen und magnetische Biquaternion Feld ! # bewegten System S0 für jeden Beobachter in S identisch mit 1 ∂ϕ ~ ·A ~ c c2 ∂t − ∇ + 0 , der Richtung V0 der Relativ-Vierergeschwindigkeit. E = c∇A = ~ ~ cB iE Um das Additionsgesetz zweier Biquaternion-Geschwindigkeiten zu finden sei V die relative Biquaternion-Geschwin " ! 1 ∂ϕ ~ · A) ~ i( c2 ∂t − ∇ 0 digkeit zwischen S and S0 , und U0 sei die Geschwindigkeit , B = − i ∇A = + ~ ~ eines bewegten Körpers gemessen in S 0 . Die gesamte BiquaiB − Ec ternion-Geschwindigkeit W gemessen in S folgt via Rückworin E = −icB. Mit der Lorentzbedingung transformation von U0 zu # " # " 0 1 ∂ϕ ~ ~ 0 c + ~uc·~v −∇·A =0 + γu γv ~u0 ×~v W = U0 V0 = γu γv 2 ∂t c i ~u0 + ~v c mit 1 γu = q 1− γv = q and u0 2 c2 1 1− v2 c2 . Etwas Umformen führt direkt zur addierten Geschwindigkeit # " ! 0 c W = γw + w~ ×~v ~ iw − c mit folgen die elektrischen und magnetischen Biquaternion Felder ohne Skalarteil zu " ! # 0 0 E = ~ + ~ , (18) iE cB " B = ! # 0 0 + . ~ ~ iB − Ec (19) Mit dem elektrischen Biquaternion Feld (18) ist die Vorwärtstransformation γw = q w2 " ! # 1 − c2 0 0 0 E = ~0 + ~0 und dem aus der Relativitätstheorie bekannten AdditionsgeiE B setz 0 ~ ~v · B − 1c ~v · E~ ~u + ~v 0∗ =EV = γ ~ (20) ~ = w . 0 ~ + γ − E~ . i E + ~v × B 1 + ~uc2·~v c 1 Der Betrag von W ist wiederum unabhängig von ~u oder ~v Diese Transformation ist offenbar nur anwendbar für identisch der Lichtgeschwindigkeit c. ~ =0. ~v · E~ = 0 and ~v · B 4 Biquaternion Feld-Transformationen Nur die Feldkomponenten senkrecht zu ~v werden transforDas elektromagnetische Biquaternion Potenzial miert, nicht aber die kollinearen Feldkomponenten zu ~v. Mit # "1 ! ϕ 0 c (15) A ≡ ~ + 0 0 A 0 Ek = ~v·E~ ~v + 0 i v v wird exakt gleich transformiert wie der Biquaternion-Positionsvektor. Die Vorwärtstransformation finden wir die allgemeine Transformation zu ϕ ~ ~v·A 0 − c + , ∗ ∗ ∗ A0 = γ c ~ v A×~ ~ − ϕ2 ~v E0 = Ek + E⊥ V0 = E V0 + Ek 1 − V0 . (21) i A c c ~ k ~v. Der allgemeine Fall folgt 5 Totale Biquaternion Ableitung nach der Zeit ist wiederum nur gültig für A aus Mit einem beliebigen Biquaternion-Feld ~v ϕ A·~ γ − " ! # c c 0 + . A0 = (16) a0 0 ~ ϕ ~ v A·~ v 0 i A A = + ~ − (1 − γ) v i~a 0 v v − γ c2 ~ André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit 3 abhängig von einem Biquaternion Position A = A (X) = A (X (ct, x1 , x2 , x3 )) , ist die totale zeitliche Ableitung dA = ∂A (X) ∂A ∂X ∂A ∂X d~x . dX = + ∂X ∂X ∂t ∂X ∂~x Mit ∂ ∂ ~ =∇ = ∇ and ∂X ∂~x folgt nach einigen Berechnungen ~ 0 dA ∂t∂ + ~v · ∇ A , = ~ ~v ∂ + ~ −~v ◦ ∇ i c∇ + c ◦ ∂t dt Die Biquaternion Kraft um eine Masse mit nicht-relativistischen Geschwindigkeiten zu beschleunigen ist dann " ! # 0 P F ≡ ma = m ~ + ~ , (26) iF cΩ oder explizit ~v ∂c ~ ~ ∂t + ~v· ∇c + c∇ · ~v + ~v · ∂t + F = m ∂~v ~ v ∂c ~ · ~v + c∇c ~ + ~ × ~v i ∂t + ~v ∇ v× ∇ c ∂t − ~ ~ × ~v i~v · ∇ . (27) ∂~ v ~ × ~v − ~v × ~ −c∇ + ∇c c∂t Die nicht-relativistische Kraft F~ wird ∂~v ~ · ~v − ~v × ∇ ~ × ~v + c∇c ~ + ~v ∂c . (28) F~ = m~a = + ~v ∇ ∂t c ∂t wobei das Symbol ◦ bedeutet, dass für den Skalarteil das Skalarprodukt und für den Vektorteil das Kreuzprodukt verwendet werden muss. Das wird explizit Mit c = konstant und Austausch des zweiten Terms durch eine ∂a0 ~a Vektoridentität folgt ~ ~ dA ∂t + ~v · ∇a0 + c∇ ·∂a~a + ~v · ∂t + = ∂~a ! ~ v 0 ~ · ~a + c∇a ~ 0+ ~ × ~a v× ∇ i ∂t + ~v ∇ dt v2 ∂~v c ∂t − ~ ~ × ~v , ~a = +∇ − ~v × ∇ ∂t 2 ~ × ~a i~v · ∇ . (22) ~ 0 ~ × ~a − ~v × ∂~a + ∇a −c∇ was mit der bekannten Beschleunigung in der Fluidmechanik c∂t übereinstimmt [4]. Interessanterweise ist das komplett equivalent zu 7 Gravitationspotenzial dA 1 = V∇A In Gleichung (28) finden wir zwei weitere Terme von spezieldt γ lem Interesse: und der Biquaternion Operator für die relativistische totale ~ + ~v ∂c . F~ ∼ c∇c Ableitung nach der Zeit ist c ∂t Mit c = konstant, also unabhängig von Raum und Zeit, wären d = V∇ . (23) beide Terme Null. Doch es existieren bereits Theorien mit dτ variabler Lichtgeschwindigkeit. Sie wurden eingeführt, um 6 Biquaternion Beschleunigung und Kraft das Horizontproblem in der Kosmologie zu erklären und eine Mit c = konstant und der relativistischen Beschleunigung Alternative zur kosmischen Inflation anzubieten (siehe z.B. [5] und Referenzen darin). Wir nehmen nun an, dass c=c(~x) d~v ~a ≡ (24) ist. Um weiterhin ein Viererraum (x0 , ~x) mit vier unabhängidt gen Dimensionen zu haben, muss das Zeitintervall dx0 unkann die relativistische Biquaternion Beschleunigung a direkt abhängig vom Raumintervall d~x sein und umgekehrt. Mit abgeleitet werden zu c , konstant soll das Intervall dx0 invariant zur lokalen Licht " ! # # geschwindigkeit sein. Also ist ~ v ·~ a 4 dV γ c a 0 + 0 . a ≡ 0 + = = 2 2 ~v·~a ~v i~a 0 0 iγ γ c c + ~a dτ dx0 = c0 dt = cdtc , Anstatt Gleichung (24) zu nutzen kann der Operator (23) angewendet werden worin c0 die konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Das Zeitintervall in einer Region c , konstant ändert nun gemäss dV c0 = V∇V . (25) a ≡ dtc = dt . (29) dτ c In diesem Aufsatz wollen wir diese Gleichung nicht für rel- Damit ist das Intervall der Zeitdimension x0 unabhängig von ativistische Geschwindigkeiten untersuchen. Mit der nicht- c. Die Geschwindigkeit in einer Region mit c , konstant wird relativistischen Geschwindigkeit U wird die Beschleunigung mit dem lokalen Zeitintervall gemessen " ! # dU c 0 c d~x d~x a = = U∇U with U ≡ c0 + . ~v = = . i c ~v 0 dt dtc c0 dt 4 André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit Das erfüllt das Kausalitätsprinzip, denn die lokale Geschwindigkeit ~v kann nicht höher sein als die Lichtgeschwindigkeit c. Das invariante Längenelement im Viererraum ist nun s ! # " c2 c 0 = cdt 1 − 04 v2 = cdτc (30) dXc = dt C0 + 0 i c ~v c und die Biquaternion Geschwindigkeit (4) ändert zu ! # " dXc c 0 Vc = = γc C 0 + 0 i c ~v dτc 8 Gravitation eines Zweikörpersystems In einem System mit zwei Punktmassen Mm, wo M die Zentralmasse, m die umlaufende Masse und φ das Gravitationspotenzial von M ist, soll die Lichtgeschwindigkeit eine Funktion von M sowie vom Abstand ~r (gemessen von M zu m) sein, also c = c0 f(M,~r) . Die Funktion f(M,~r) muss diese Randbedingungen erfüllen: • 0 ≤ f(M,~r) ≤ 1 for 0 ≤ r ≤ ∞, und • f(M,~r) = 1 with r → ∞, und mit 1 • der Gradient von c muss unterhalb der heutigen Messγc = q . c20 2 genauigkeit zur Lichtgeschwindigkeit sein. 1 − c4 v In ebenen Kugelkoordinaten mit radialer Symmetrie und M Der Biquaternion Differentialoperator (17) ändert ebenfalls im Ursprung folgt für die Trägheitskraft Fg der Masse m zu "1 ∂ ! # ∂ 0 ~ = mc2 f (M, r) ∂ f (M, r) , = c~∂t + ∇c ≡ , (32) Fg = −mc∇c 0 0 ∇ ∂Xc ∂~r worin c keine Konstante mehr ist. Der Operator zur totalen wobei r der Abstand gemessen von M zu m ist. Obige Gleichung soll Newtons Gravitationskraft entsprechen Ableitung nach der Zeit (23) ändert ebenfalls zu (31) Mmc d Fg = −G 2 ~r0 . = Vc ∇c . (33) r dτc Die Beschleunigung a einer nicht-relativistischen Geschwin- Hier wurde die Masse mc verwendet, weil - mit der EnergieImpuls Erhaltung - sich auch die Masse im Gravitationsfeld digkeit U kann geschrieben werden zu mit f(M,~r) ändert zu dU dVc = U∇U ≈ Vc ∇c Vc = = ac . a = E = γc mc2 ≈ mc2 = mc20 f 2 (M, r) = mc c20 . (38) dt dτc Das entspricht weiterhin Gleichung (27) für den nicht-relati- Also ist vistischen Fall. Die Trägheitskraft der Masse m wird einfach ∂ f (M, r) Mm mc20 f (M, r) = −G 2 f 2 (M, r)~r0 . Fg = −ma. Für Ableitungen von c kann obige Gleichung ∂~r r weiter reduziert werden zu Durch Integration und Anwenden obiger Randbedingungen dc = U∇c . (34) folgt die explizite Lösung g = dt − GM 2 Die auf einem Masse m wirkende Trägheitskraft Fg ist dann f (M, r) = e c0 r , ~v ∂c . c ∂t Mit zeitlich konstantem c reduziert obige Gleichung weiter zu 2 ~ = −m∇ c = −m∇φ . Fg = −mc∇c (35) 2 Der Skalar φ kann als Gravitationspotenzial einer Masse M mit der Einheit [m2 /s2 ] interpretiert werden zu c M,~r 2 . (36) φ ~r = 2 In unserem Modell wird die nicht relativistische, potenzielle Gravitationsenergie einer Masse m in einem Gravitationsfeld φ 1 V = mφ = mc2 , (37) 2 was als ’kinetische Energie’ einer Masse m mit lokaler Lichtgeschwindigkeit c entlang der Zeitkoordinate x0 interpretiert werden kann. ~ −m Fg = −mg = −mc∇c und die räumliche Änderung der Lichtgeschwindigkeit um M − GM 2 c(M, r) = c0 e c r 0 rS = e− 2r , (39) mit dem Schwarzschild Radius rS . Dieselbe räumliche Abhängigkeit von c wurde von Puthoff vorgeschlagen [6]. Newtons Gravitationsgesetz ändert sich damit geringfügig zu Mmc − GM 2 e c0 r ~r0 with ~r = ~rm − ~r M . r2 Für rrS ist die Abweichung zu 1/r2 weit ausserhalb heutiger Messmöglichkeiten, aber unterhalb rS dreht die Gravitation zwischen zwei Punktmassen zu Null statt nach unendlich. Mit (39) und den ersten Termen der zugehörigen Taylorreihe wird die Gesamtenergie einer Masse m ungefähr Fg = −G 1 GM ≈ mc20 + mv2 − m + ... , 2 r worin der letzte Term die traditionelle potenzielle Gravitationsenergie von m im Gravitationsfeld von M repräsentiert. E = γc mc2 = γc mc20 e André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit −GM c0 r 5 9 Planetenbahn mit neuem Gravitationspotenzial 10 Gravitation Zeitdilatation und Rotverschiebung Die Biquaternion Trägheit ist Durch Taylorentwicklung von Gleichung (39) in (29) folgt die Zeitdilatation im Gravitationsfeld von M als Näherung c 0 pc = mVc = m c0 + . (40) s i c ~v 0 − GM 2GM GM c2 r dtc = e 0 dt0 ≈ 1 − 2 dt0 ≈ 1 − 2 dt0 . (43) Für konstante Lichtgeschwindigkeit ist der Betrag jeder Vierc0 r c0 r ergeschwindigkeit konstant c und der Betrag vom Viererimpuls eines Körpers mit Masse m bleibt erhalten. Bei Anwe- Die Definition der gravitativen Rotverschiebung ist senheit von Gravitation soll der Viererimpuls weiterhin erhalλ0 −1, z = ten sein. Erreicht wird das durch Gleichsetzen der Beträge der λc Vierergeschwindigkeit ohne und mit Gravitationsfeld. Wir worin die Wellenlänge λ0 in grossem Abstand und λc nahe starten mit dem Betrags-Quadrat der Vierergeschwindigkeit zur gravitationsfelderzeugenden Masse M gemessen wird. Im 2 c20 2 2 2 näheren Punkt ist üblicherweise die Lichtquelle (die Sonne c0 = γc c − 2 v . c oder ein anderer Himmelskörper) und der entferntere Punkt ist der Ort der Messung (Erde). Zur Vereinfachung soll der Mit (39) folgt für nicht-relativistische Geschwindigkeiten radiale Abstand r zwischen den zwei Punkten konstant sein. GM − GM 2 2 2 c20 r c2 r Nach (38) ändert die Energie der Photonen entlang dieses 0 mc0 = mc0 e − mv e . Weges nicht. Deshalb muss die Frequenz an beiden PunkMit ebenen Polarkoordinaten (r: Radius, ϕ: Drehwinkel) und ten identisch sein (also kein Doppler-Effekt). Mit λ=c/ν folgt durch Ersetzen der Exponentialfunktionen mit den ersten Ter- direkt men ihrer Taylorreihe folgt 1 1 c0 −1. (44) − 1 = GM − 1 ≈ q z = rS rS −1 2 2 2 2 2 − c rS mc0 = mc0 1 − − m ṙ + r ϕ̇ 1 − . c2 r 1 − 0 e r r r " ! # Für radialsymmetrische und isotropische Bedingungen wird daraus rS rS 2 L2 L 2 rS − mc20 = mc20 1 − − mc20 , mṙ2 + 2 − 2 r r mr mr r Das ist die aus der Generellen Relativitätstheorie bekannte gravitative Rotverschiebung. In unserem Modell ist die Photonfrequenz und damit die Photonenergie konstant, dafür ändert die Lichtgeschwindigkeit entlang des Weges. wobei das Drehmoment L = mr2 ϕ̇ benützt wurde. Für Zen- 11 Allgemeine Biquaternion Trägheit und Gravitation tralkraftfelder bleibt das Drehmoment erhalten. Mit der poEine Verallgemeinerung wird erreicht durch konsequente Intenziellen Energie folgt schliesslich terpretation der Vierergeschwindigkeit Vc als ’Potenzialfeld rS für Trägheit und Gravitation’. E = mc2 ≈ mc20 1 − r Mit der Ableitung der Vierergeschwindigkeit Vc die aus der Relativitätstheorie bekannte Bewegungsgleichung # ~ · ~u 1 ∂c + ∇ 0 für m um M zu c ∂t ∇c Vc = ~ (45) + ∇ u ~ × ~u . i ∇c + 1c ∂~ mc20 Mm L2 L2 M E2 1 2 ∂t mṙ − G + −G 2 3 = − . (41) 2 r 2 2mr2 mc0 r 2mc20 und mit den Substitutionen Die Perihel-Präzession kann daraus auf die bekannte Weise 1 ∂c ~ g0 = − − ∇ · ~u berechnet werden. Mit dem vierdimensionalen Längenelec ∂t ment (30) zusammen mit Gleichung (39) - woraus wieder ~ − ∂~u ~g = −c∇c nur die ersten Terme ihrer Taylorserien benützt werden - folgt ∂t schliesslich ~ ~ = ∇ × ~u ω −1 2GM 2GM 2 2 2 2 dX = dt c0 1 − 2 − dx 1 − 2 . wird ein Biquaternion ’Beschleunigungsfeld’ gefunden c0 r c0 r " ! # cg0 0 In Polarkoordinaten und mit radialer Symmetrie und isotropig = −c∇U = + . (46) i~g c~ ω schen Bedingungen folgt direkt die Schwarzschildmetrik Die Ähnlichkeit zwischen ~g und dem elektrischen Feld E~ wie dX 2 = dt2 c20 1 − 2GM − 2 c0 r ~ ist offen~ und der magnetischen Induktion B auch zwischen ω −1 ~ kann dr2 1 − 2GM − r2 dϕ2 − r2 sin2 ϕdθ . (42) sichtlich. Das Feld ~g ist ein Beschleunigungsfeld und ω c20 r als Spin- oder Rotationsfeld visualisiert werden. 6 André Waser, Biquaternion Relativität - Gravitation als Effekt räumlich variabler Lichtgeschwindigkeit Mit dem Biquaternion d’Alembert Operator ∆c ≡ |∇c |2 = ∇∗c ∇c = 1 ∂2 ~ −∇ c2 ∂t2 kann Gleichung (45) weiter entwickelt werden zu ∇∗c ∇c Vc = mit m als Ruhemasse des Teilchens. Um das elektrische Feld der Punktmasse zu finden, ist das modifizierte Biquaternion (47) Potenzial "1 ! # ϕ 0 c A ≡ ~ + with c = c0 f (~x) . (49) 0 iA G G P = 2 ρVc , c2 c benötigt. Das elektrische Biquaternion-Feld folgt direkt zu 1 ∂ϕ # ~ ·A ~ − ϕ2 ∂c c ∂t + c∇ 0 c ∂t + E = −c∇A = ~ ~ ϕ~ ~ ×A ~ c∇ i ∇ϕ + ∂∂tA − c ∇c worin G die Gravitationskonstante, ρ die Massendichte und P die Biquaternion Impulsdichte ist und das elektrische Feld eines elektrischen Potenzials ϕ zu " ! # c 0 P ≡ ρVc = ρ c0 + with ρ = γc ρ0 . (48) ~ + ϕ ∇c ~ . E~ = −∇ϕ i c ~v 0 c Mit der ’kinetischen Lorentzbedingung’ g0 =0 resultieren vier Für eine Punktladung wird das im speziellen − Gm Gleichungen ähnlich den Maxwell-Gleichungen zu e 2 E~ = e c0 r ~r0 . (50) 2 4π0 r ~ ~ = 0, ∇·ω Das elektrische Feld einer Punktladung hat dieselbe Charak~ ∇ · ~g = Gρ , teristik wie sein Gravitationsfeld. ∂~ ω ~ + ∇ × ~g = 0 , 13 Zusammenfassung ∂t 1 G ∂~ g Die Beschreibung physikalischer Grössen mit Biquaternio~ ×ω ~− 2 ∇ = 2 ρ~u . c ∂t c nen ist nicht essentiell an sich, doch es erlaubt eine direkDie weitere Analyse dieser Gleichungen ist nicht Teil dieses tere und ’intuitive’ Annäherung an physikalische Modelle mit Aufsatzes. Sie könnten interessant sein für Fluidmechanik ’natürlichen Zahlen’, wobei nur arithmetische Grundoperaoder Kosmologie, zum Beispiel zur Analyse von grossen kos- tionen und etwas Differentialrechnung nötig ist. Die Vierergeschwindigkeit spielt eine Schlüsselrolle um mischen Strukturen. Mit die Relativität, Feldtransformationen, die Energie- und ImG pulserhaltung sowie Gravitation zu verstehen. ∆Vc = 2 ρVc and g0 = 0 c In unserem Modell ist die Lichtgeschwindigkeit c nicht konstant sondern abhängig von Massen (lokalen Energiedichfolgen die inhomogenen Wellengleichungen ten). Wie wir grob gezeigt haben, bietet das Modell eine Al! ∂ ρ~u G ~ 1 ∂~g ~ 2 ternative um die Ursache der Gravitation zu verstehen. Das − ∇ ~g = − 2 ∇ (ρc) + , Äquivalenzprinzip, das die Grundlage zur Allgemeinen Rel∂t c2 ∂t c ativitätstheorie legte, wird verallgemeinert mit einem - sagen ω ~2 1 ∂~ G~ ~ = 2∇ × ρ~u . −∇ ω wir - Identitätsprinzip. Trägheit und Gravitation haben beide 2 c ∂t c ihre identische Ursache in der totalen Zeitableitung der VierIn Abwesenheit von Massen folgen daraus die homogenen ergeschwindigkeit. Wellengleichungen und als Ergebnis davon die Vorhersage Erstellt am 01. Januar 2011. von transversalen Gravitationswellen mit der AusbreitungsReferenzen geschwindigkeit c. 12 Elektrisches Feld einer Punktladung Weil c nicht konstant ist muss sich mit c auch die Vakuum Permittivität 0 und Permeabilität µ0 verändern c20 f 2 (~x) = f (~x) f (~x) . 0 µ0 Beide Vakuumparameter 0 und µ0 ändern umgekehrt proportional zu c, wobei die Vakuumimpedanz konstant bleibt [6]. Das elektrische Potenzial einer Punktladung ist z.B. ϕ = e − Gm 2 e c0 r ~r0 4π0 r 1. Hamilton W. R. ”On a new Species of Imaginary Quantities connected with a theory of Quaternions”, Proceedings of the Royal Irish Academy 2 (Nov 13, 1843) 424–434 2. Hamilton W. R. ”Lectures on Quaternions”, Macmillan & Co, Cornell University Library (1853) 3. van Flanderen K. J., Waser A. ”Generalisation of Classical Electrodynamics to Admit a Scalar Field and Longitudinal Waves”, Hadronic Journal 24 (2001) 609–628 4. Truckenbrodt E. ”Fluidmechanik”, Springer Verlag Berlin, 4. Auflage (1996) 73 5. Ellis G. F. 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